3.3 : Συστήματα γραμμικών εξισώσεων

Εάν έχουμε ένα γραμμικό σύστημα m εξισώσεων με n μεταβλητές , χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό πινάκων, μπορούμε να το εκφράσουμε στην παρακάτω μορφή :
Ονομάζουμε τους πίνακες Α , Χ και Β, πίνακες συντελεστών , μεταβλητών και σταθερών αντίστοιχα.
Επειδή ο πίνακας Χ είναι μεγέθους nx1 και ο πίνακας Β είναι μεγέθους mx1, αυτοί μπορούν να θεωρηθούν και ως διανύσματα. Οπότε το παραπάνω γραμμικό σύστημα γράφεται και στην μορφή Α = .
Σ' αυτή την περίπτωση το ονομάζεται διάνυσμα μεταβλητών και το διάνυσμα σταθερών.
Το Θεώρημα 1.1 που διατυπώσαμε στο Κεφάλαιο 1 αναφερόταν στον αριθμό των λύσεων που μπορεί να έχει ένα γραμμικό σύστημα.( Θεώρημα 1.1 : Κάθε γραμμικό σύστημα έχει ακριβώς μια λύση ή άπειρο αριθμό λύσεων ή καμμία λύση)
Αποδείξαμε τότε σαν άσκηση, ότι το Θεώρημα αυτό ισχύει για γραμμικά συστήματα 2 εξισώσεων με 2 μεταβλητές. Σ' αυτό το σημείο θα αποδείξουμε το Θεώρημα 1.1, στην γενικότητά του.
Απόδειξη Θεωρήματος 1.1

Θεώρημα 3.4 :

Θεωρούμε ένα γραμμικό σύστημα Α = , m εξισώσεων με n μεταβλητές. (Προφανώς m ). Όλα τα διανύσματα για τα οποία το σύστημα είναι συμβατό σχηματίζουν έναν υπόχωρο του m που ταυτίζεται με τον στηλοχώρο του Α.

Απόδειξη Θεωρήματος 3.4

Ως άμεση συνέπεια του Θεωρήματος 3.4, έχουμε την παρακάτω πρόταση.

Πόρισμα 3.2 :
Έστω γραμμικό σύστημα Α = m εξισώσεων με n μεταβλητές . Το Α = είναι συμβατό εάν μόνον εάν ο επαυξημένος πίνακας ( Α : ) έχει τον ίδιο βαθμό με τον πίνακα των συντελεστών Α.
Απόδειξη Πορίσματος 3.2

Άσκηση :
Θεωρούμε το γραμμικό σύστημα Α = όπου Α =
Το σύστημα είναι συμβατό για (i) = (1,1,0) , (ii) = (2,1,1) ; Απάντηση

Θεώρημα 3.5 :

Θεωρούμε το ομογενές σύστημα Α = , m εξισώσεων με n μεταβλητές (Προφανώς n ). Τα διανύσματα που είναι λύσεις του παραπάνω συστήματος σχηματίζουν υπόχωρο του n διάστασης n-ρ, όπου ρ ο βαθμός του πίνακα Α.


Άσκηση :
Να αποδειχθεί το πρώτο σκέλος του Θεωρήματος 3.5.Δηλαδή να αποδειχθεί ότι το σύνολο των λύσεων του Α = αποτελεί υπόχωρο του n. Απόδειξη

Θεώρημα 3.6 :

Έστω γραμμικό σύστημα Α = , το οποίο είναι συμβατό. Οι λύσεις του συστήματος θα είναι ένα σύνολο της μορφής + V = { | = + , V }, όπου είναι μια οιαδήποτε λύση του Α = και V είναι ο υπόχωρος των λύσεων του ομογενούς συστήματος Α = .