Πόρισμα 3.2 :
Έστω γραμμικό σύστημα Α = m εξισώσεων με n μεταβλητές . Το Α = είναι συμβατό εάν μόνον εάν ο επαυξημένος πίνακας ( Α : ) έχει τον ίδιο βαθμό με τον πίνακα των συντελεστών Α.

Απόδειξη

Έστω 1 , 2 , . . . , n τα διανύσματα στηλών του Α.
Προφανώς οι υπόχωροι L( 1 , 2 , . . . , n ) , L( 1 , 2 , . . . , n , ) του m θα ταυτίζονται με τους στηλοχώρους των πινάκων Α και ( Α : ) είναι συμβατό εάν και μόνον εάν το ανήκει στον στηλόχωρο του Α, εάν δηλαδή L( 1 , 2 , . . . , n ) .
Όμως από την άσκηση 8 του Κεφαλαίου 2 , L( 1 , 2 , . . . , n ) εάν και μόνον εάν
L( 1 , 2 , . . . , n ) = L( 1 , 2 , . . . , n , )
Επειδή L( 1 , 2 , . . . , n ) L( 1 , 2 , . . . , n , ) από το Θεώρημα 2.5 προκύπτει ότι :
L( 1 , 2 , . . . , n ) = L( 1 , 2 , . . . , n , )
εάν και μόνον εάν
dim( L( 1 , 2 , . . . , n ) ) = dim( L( 1 , 2 , . . . , n , ) )
Όμως οι διαστάσεις των στηλοχώρων των πινάκων Α και ( Α : ) ταυτίζονται με τους βαθμούς αυτών των πινάκων.
Άρα
L( 1 , 2 , . . . , n ) = L( 1 , 2 , . . . , n , )
εάν και μόνον εάν οι πίνακες Α και ( Α : ) έχουν τον ίδιο βαθμό.
Επομένως , το σύστημα Α = είναι συμβατό εάν και μόνον εάν ο επαυξημένος πίνακας ( Α : ) έχει τον ίδιο βαθμό με τον πίνακα συντελεστών Α.