3.2 : Γραμμοχώροι και Στηλοχώροι πίνακα

Έστω πίνακας μεγέθους mxn
Θεωρούμε τα διανύσματα,

1 = ( a11 , a12 , ... , a1n )

2 = ( a21 , a22 , ... , a2n )

.         .       .     .       .

.         .       .     .       .

.         .       .     .       .

m = (am1 , am2 , ... , amn)

τα οποία ονομάζουμε διανύσματα γραμμών του Α.
Επίσης θεωρούμε τα διανύσματα ,

1 = ( a11 , a21 , ... , am1 )

2 = ( a12 , a22 , ... , am2 )

.         .       .     .       .

.         .       .     .       .

.         .       .     .       .

n = ( a1n , a2n , ... , amn )

τα οποία ονομάζουμε διανύσματα στηλών του Α.
Ο υπόχωρος του ⁿ που παράγεται από τα διανύσματα γραμμών του Α, ονομάζεται γραμμοχώρος του Α, ενώ ο υπόχωρος του ^m που παράγεται από τα διανύσματα στηλών του Α, ονομάζεται στηλοχώρος του Α.
Δηλαδή έχουμε Γραμμοχώρος του Α = L( ₁ , ₂ , . . . , _m ) Στηλοχώρος του Α = L( ₁ , ₂ , . . . , _n ) Θεώρημα 3.1 :

Στοιχειώδης γραμμομετασχηματισμοί δεν αλλάζουν τον γραμμοχώρο ενός πίνακα. (Δηλαδή εάν Α~Β τότε οι Α , Β έχουν τον ίδιο γραμμοχώρο)

Άσκηση : Να αποδειχθεί το Θεώρημα 3.1 Απόδειξη

Θεώρημα 3.2 :

Έστω πίνακας Α , ο οποίος βρίσκεται σε Απλή Κλιμακωτή Μορφή. Τα μη-μηδενικά διανύσματα γραμμών του Α , αποτελούν βάση για τον γραμμοχώρο του.

Άσκηση : Να αποδειχθεί το Θεώρημα 3.2 Απόδειξη

Από τα Θεωρήματα 3.1 ,3.2 προκύπτει το εξής πόρισμα :
Πόρισμα 3.1 :

Εάν εφαρμόσουμε σ'έναν πίνακα Α τον αλγόριθμο των Gauss-Jordan, θα προκύψει ένας πίνακας Β , ο οποίος βρίσκεται σε Απλή Κλιμακωτή Μορφή. Τα μη-μηδενικά διανύσματα γραμμών του Β αποτελούν βάση για τον γραμμοχώρο του Α.

Άσκηση : Να αποδειχθεί το Πόρισμα 3.1 Απόδειξη

Το Πόρισμα 3.1 είναι πολύ χρήσιμο στην εύρεση βάσης υπόχωρου που παράγεται από κάποια συλλογή διανυσμάτων.

Άσκηση :
Να βρεθεί μια βάση για τον υπόχωρο του ⁵ που παράγεται από τα διανύσματα : ₁ = (1,1,1,0,0) , ₂ = (1,-1,-1,1,1) , ₃ = (2,0,0,1,1) , ₄ = (0,-2,-2,1,1) Απάντηση
Θεωρούμε έναν πίνακα Α, ο οποίος έχει διανύσματα γραμμών του τα δοθέντα διανύσματα ₁ , ₂ , ₃ , ₄ . Έχουμε δηλαδή O γραμμοχώρος του Α ταυτίζεται με τον υπόχωρο του οποίου μια βάση θελουμε να προσδιορίσουμε. Άρα για αρκεί να βρούμε μια βάση του γραμμοχώρου του Α.
Εφαρμόζουμε στον πίνακα Α την διαδικασία των Gauss-Jordan οπότε έχουμε : Επομένως από το Πόρισμα 3.1, τα διανύσματα (1,0,0,1/2,1/2) , (0,1,1,-1/2,-1/2) αποτελούν βάση του υπόχωρου L(₁ , ₂ , ₃ , ₄).

Ερώτηση : Με τις γνώσεις που έχουμε αποκτήσει μέχρι τώρα, μπορούμε να βρούμε μια βάση για τον στηλοχώρο ενός πίνακα;
Για παράδειγμα εάν Α = μπορούμε να βρούμε μια βάση για τον στηλοχώρο του Α ; Απάντηση

Το επόμενο Θεώρημα 3.3 είναι από τα πιο θεμελιώδη θεωρήματα της Γραμμικής Άλγεβρας.

Θεώρημα 3.3

Για κάθε πίνακα Α , η διάσταση του γραμμοχώρου του ισούται με την διάσταση του στηλοχώρου του.( Η κοινή τιμή της διάστασης των δύο υπόχωρων ονομάζεται βαθμός του Α και συμβολίζεται με ρ(Α) )

Άσκηση : Έστω πίνακας Α μεγέθους mxn. Ποιά είναι η μέγιστη πιθανή τιμή του βαθμού του Α ; Απάντηση

---