Θεώρημα 1.1 : Κάθε γραμμικό σύστημα έχει ακριβώς μια λύση ή άπειρο αριθμό λύσεων ή καμμία λύση .
Απόδειξη
Για να αποδείξουμε το θεώρημα, αρκεί να αποδείξουμε ότι εάν το σύστημα έχει περισσότερες από μια λύσεις, τότε έχει άπειρο αριθμό λύσεων.
Όπως αναφέραμε και προηγουμένως το γραμμικό σύστημα μπορεί να εκφρασθεί στην μορφή Α Χ = Β . Έστω Χ₁ , Χ₂ δύο διαφορετικές λύσεις του συστήματος . Αυτό σημαίνει ότι Α Χ₁ = Β , Α Χ₂ = Β και επομένως Α (Χ₁ - Χ₂) = 0.
Θέτουμε Χ₀ = Χ₁ - Χ₂ και έστω k .
Τότε έχουμε

A(X1 +kΧ0) = AX1 +kAΧ0

A(X1 +kΧ0) = Β + 0

A(X1 +kΧ0) = Β

Άρα ο πίνακας X₁ +kΧ₀ αποτελεί λύση του A X = Β και επειδή ο k μπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός, το σύστημα A X = Β έχει άπειρο αριθμό λύσεων.

---