Θεώρημα 3.2 :

Έστω πίνακας Α , ο οποίος βρίσκεται σε Απλή Κλιμακωτή Μορφή. Τα μη-μηδενικά διανύσματα γραμμών του Α , αποτελούν βάση για τον γραμμοχώρο του.

Aπόδειξη
Έστω πίνακας Α μεγέθους mxn σε Α.Κ.Μ.
Ο γραμμοχώρος του L( 1 , 2 , . . . , m ) παράγεται από τα m διανύσματα γραμμών του.
Έστω ότι τα m-k είναι μη-μηδενικά διανύσματα, τότε είναι
L( 1 , 2 , . . . , m ) = L( 1 , 2 , . . . , m-k , , , . . . , ) = L( 1 , 2 , . . . , m-k )
Διότι κάθε διάνυσμα του L( 1 , 2 , . . . , m ) έχουμε:

= λ11 + λ22 + . . . + λmm      ή

= λ11 + λ22 + . . . + λm-km-k + λm-k+1 + λm-k+2 + . . . + λm      ή

= λ11 + λ22 + . . . + λm-km-k

Τώρα κάθε διάνυσμα από τα 1 , 2 , . . . , m-k έχει σαν πρώτο μη-μηδενικό στοιχείο του το 1(βασικό 1) ενώ όλα τα υπόλοιπα στην ίδια θέση (δηλαδή στην ίδια στήλη του πίνακα) έχουν το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι κανένα από τα 1 , 2 , . . . , m-k δεν μπορεί να εκφρασθεί ως γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων.
Επομένως τα μη-μηδενικά διανύσματα γραμμών (1 , 2 , . . . , m-k) του Α είναι γραμμικώς ανεξάρτητα και παράγουν τον γραμμοχώρο του, δηλαδή είναι βάση του.