3.1:Βασικές έννοιες

Πίνακα ή μήτρα μεγέθους mxn ονομάζουμε κάθε ορθογώνια διάταξη m n το πλήθος αριθμών σε m- γραμμές και n-στήλες. Το στοιχείο που ανήκει στην i-γραμμή και j-στήλη συμβολίζεται συνήθως με a_ij (όπου 1 < i < m και 1 < j < n ).
Έχουμε δηλαδή ή συνοπτικά Α = [a_ij] όπου i = 1 , 2 , . . . , m και j = 1 , 2 , . . . , n .
Δύο πίνακες Α = [a_ij] και Β = [b_ij] του ιδίου μεγέθους, θα λέμε ότι είναι ίσοι, αν έχουν τα αντίστοιχα στοιχεία ίσα δηλαδή [a_ij] = [b_ij] a_ij = b_ij , (i,j). Ένας πίνακας μεγέθους mxn του οποίου όλα τα στοιχεία είναι μηδεν συμβολίζεται με Ο_mxn ή απλά με Ο. Ένας τέτοιος πίνακας ονομάζεται μηδενικός.

Πράξεις

(α) Πρόσθεση πινάκων

Μεταξύ πινάκων του ιδίου μεγέθους ορίζεται η πράξη της πρόσθεσης, όπου αθροίζουμε τα αντίστοιχα στοιχεία. Συγκεκριμένα εάν Α = [a_ij] και Β = [b_ij] τότε Α + Β =C = [c_ij], όπου c_ij = a_ij + b_ij, (i,j).
(β) Πολλαπλασιασμός πίνακα με αριθμό

Στην πράξη αυτή πολλαπλασιάζουμε κάθε στοιχείο του πίνακα με τον αριθμό.
Συγκεκριμένα εάν Α = [a_ij] και λ , τότε λΑ = Β = [b_ij] όπου b_ij = λa_ij, (i,j).

Για τις δύο πράξεις που ορίσαμε , ισχύουν όλες οι γνωστες ιδιότητες που έχουν οι αντίστοιχες πράξεις σε διανυσματκούς χώρους.
Έχουμε δηλαδή

Α +Β =Β + Α ,	λ(μΑ) = (λμ)Α ,
Α + (Β + C) = (Α + Β) + C ,	(λ+μ)Α = λΑ + μΑ ,
A + 0 = 0 + A = Α ,	λ(Α + Β) = λΑ + λΒ ,
Α + (-Α) = (-Α) + Α = 0 όπου -Α = (-1)Α ,	1Α = Α ,    0Α = 0

Σημείωση : Το άθροισμα Α +(-Β) ονομάζεται και διαφορά του Β από τον Α και συμβολίζεται με Α-Β.

(γ) Πολλαπλασιασμός πινάκων

Έστω πίνακας Α = [a_ij] μεγέθους mxn και πίνακας Β = [b_jk] μεγέθους nxr. To γινόμενο ΑΒ θα είναι ένας πίνακας C = [c_ik] μεγέθους mxr, του οποίου κάθε στοιχείο c_ik είναι το άθροισμα των γινομένων των n στοιχείων της i-γραμμής του Α με τα αντίστοιχα n στοιχεία της k-στήλης του Β. Έχουμε δηλαδή c_ik = a_i1b_1k + a_i2b_2k + . . . + a_inb_nk , (i,k). Παράδειγμα
Εάν Τότε Παρατήρηση : Θα πρέπει να τονισθεί ότι το γινόμενο Α Β ορίζεται μόνον όταν ο αριθμός των στηλών του Α ισούται με τον αριθμό των γραμμών του Β.

Η πράξη του πολλαπλασιασμού μεταξύ πινάκων έχει τις παρακάτω ιδιότητες:

(ΑΒ)C = A(BC)

Α(Β + C) = AB + AC

λ(ΑΒ) = (λΑ)Β = Α(λΒ) , όπου λ

Γενικά δεν ισχύει η αντιμεταθετικότητα, δηλαδή συνήθως έχουμε ΑΒ BA όπου το ένα από τα δύο γινόμενα μπορεί και να μην ορίζεται αν τα μεγέθη των πινάκων δεν είναι τα σωστά.

Ανάστροφος πίνακας

Αν πάρουμε τις γραμμές ενός πίνακα Α και τις τοποθετήσουμε ως στήλες στην ίδια σειρά, τότε δημιουργείται ένας νέος πίνακας που ονομάζεται ανάστροφος του Α και συμβολίζεται με Α^T. Δηλαδή οι γραμμές και στήλες του Α γίνονται αντίστοιχα στήλες και γραμμές του Α^T.
Έτσι αν το μέγεθος του Α είναι mxn το μέγεθος του Α^T θα είναι nxm.
Παράδειγμα Η αναστροφή πινάκων έχει τις παρακάτω ιδιότητες : (οι οποίες εύκολα μπορούν να αποδειχθούν χρησιμοποιώντας τον ορισμό του ανάστροφου πίνακα που αναφεραμε προηγουμένως).

(A + B)T = AT + BT ,	(AB)T = BTAT
(λA)T = λΑT ,	(AT)T = A

---