Στοιχειώδης γραμμομετασχηματισμοί δεν αλλάζουν τον γραμμοχώρο ενός πίνακα. (Δηλαδή εάν Α~Β τότε οι Α , Β έχουν τον ίδιο γραμμοχώρο) |
Έστω ότι ο πίνακας Β προκύπτει από τον πίνακα Α κατόπιν κάποιου στοιχειώδη γραμμομετασχηματισμού. Ας υποθέσουμε ότι
1 , 2 , . . . , m τα διανύσματα γραμμών του Α και
τα διανύσματα γραμμών του Β. Θα αποδείξουμε πρώτα ότι ) 
L( 1 , 2 , . . . , m ) σχέση (3.1)
L( ) . Aυτό σημαίνει ότι το είναι γραμμικός συνδυασμός των .Εάν ο στοιχειώδης γραμμομετασχηματισμός, βάσει του οποίου προέκυψε ο Β από τον Α, είναι εναλλαγή δύο γραμμών , τότε προφανώς ο γραμμοχώρος του Α θα ταυτίζεται με τον γραμμοχώρο του Β. Άρα εάν
L( ), θα έχουμε επίσης και L( 1 , 2 , . . . , m ).Εάν ο στοιχειώδης γραμμομετασχηματισμός είναι πολλαπλασιασμός γραμμής με μη-μηδενικό αριθμό ή πρόσθεση σε γραμμή πολλαπλάσιο άλλης γραμμής, τότε καθένα από τα διανύσματα
μπορεί να εκφρασθεί ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων 1 , 2 , . . . , m. Άρα εάν το
είναι γραμμικός συνδυασμός των
, αυτό θα είναι επίσης και γραμμικός συνδυασμός των 1 , 2 , . . . , m .Δηλαδή εάν
L( ), θα έχουμε επίσης ότι L( 1 , 2 , . . . , m ).Επομένως έχουμε αποδείξει ότι ισχύει η σχέση (3.1).
Τώρα επειδή ο Β προέκυψε από τον Α κατόπιν κάποιου στοιχειώδη γραμμομετασχηματισμού, αυτό σημαίνει ότι και ο Α μπορεί να προκύψει από τον Β με κάποιο στοιχειώδη γραμμομετασχηματισμό
(Βλέπε σχετική παρατήρηση στο Κεφάλαιο 1).
Χρησιμοποιώντας όλα τα επιχειρήματα που αναφέραμε προηγουμένως και εναλλάσσοντας τους ρόλους των πινάκων Α και Β, αποδεικνύουμε επίσης ότι
1 , 2 , . . . , m ) L( )
σχέση (3.2)
 |