Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Aσχοληθήκαμε περαιτέρω με το θεώρημα Cauchy-Hadamard που μας πληροφορεί ότι το σύνολο σύγκλισης έχει πάντοτε την μορφή διαστήματος (έστω εκφυλισμένου, ή γενικευμένου), με κατάλληλο κέντρο και ακτίνα, μια πρώτη ένδειξη της καλής συμπεριφοράς αυτών. Σκιαγραφήσαμε (και) μέσω του κριτηρίου του πηλίκου την απόδειξη του θεωρήματος, ενώ είδαμε ότι στο εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης η σύγκλιση της δυναμοσειράς είναι απόλυτη, το διάστημα σύγκλισης είναι δυνατόν να περιέχει κάποιο ή και τα δύο άκρα του (εφόσον υπάρχουν), αυτό είναι αδύνατο να διερευνηθεί μέσω του κριτηρίου του πηλίκου, ενώ η σύγκλιση σε κάποιο από αυτά ή και στα δύο (εφόσον ισχύει) μπορεί να είναι κατά συνθήκη. Στην συνέχεια διερευνήσαμε παραδείγματα ως προς το θεώρημα Cauchy-Hadamard.

Ξαναελέγξαμε στοιχεία της άλγεβρας μεταξύ δυναμοσειρών με κοινό κέντρο, με αναφορά στα διαστήματα σύγκλισής τους. Παρατηρήσαμε π.χ. ότι το διάστημα σύγκλισης του αθροίσματος δυναμοσειρών με κοινό κέντρο είναι είναι υπερσύνολο της τομής των διαστημάτων σύγκλισης των δύο δυναμοσειρών, κ.ο.κ.  

Ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με αναλυτικές ιδιότητες των δυναμοσειρών. Καταρχάς διατυπώσαμε το θεώρημα συνέχειας που μας πληροφορεί ότι οι δυναμοσειρές είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα συγκλισής τους. Η απόδειξη αυτού είναι δυνατόν να προκύπτει από έννοιες εκτός του εύρους του μαθήματος (δείτε π.χ. εδώ και εδώ), αλλά επί της ουσίας μας πληροφορεί ότι για της δυναμοσειρές επιτρέπεται κάποιου είδους εναλλαγή ορίων.

Εντυπωσιακότερο είναι το θεώρημα παραγωγισιμότητας δυναμοσειράς με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης, στο εσωτερικό αυτού, που επιτρέπει επίσης κάποιου εναλλαγή ορίου, και συνεπάγεται ότι η παράγωγος είναι επίσης δυναμοσειρά με το ίδιο κέντρο και εσωτερικό διαστήματος σύγκλισης που ταυτίζεται με το εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης της αρχικής, ενώ υπολογίζεται πολύ εύκολα από την αρχική δυναμοσειρά. Ξεκινήσαμε να ασχολούμαστε με διάφορες εφαρμογές του. 

Χρησιμοποιώντας την παραγωγισιμότητα, εργαστήκαμε με παραδείγματα που προέκυψαν στα πλαίσια της γεωμετρικής σειράς όποτε είδαμε ότι είναι δυνατόν να χρησιμοποιείται η εν λόγω αναλυτική ιδιότητα προκειμένου να βρίσκουμε πραγματικές σειρές.

Παραγωγίζοντας κατάλληλη δυναμοσειρά και βρίσκοντας την μοναδική λύση προβλήματος αρχικών τιμών δείξαμε το πως αναπαρίσταται από δυναμοσειρά η εκθετική συνάρτηση, ενώ είδαμε ότι η αναπαράσταση αυτή δεν είναι μοναδική όπως και άλλα συναφή ζητήματα. Οι λόγοι που ισχύουν αυτές οι αναπαραστάσεις αφορούν στην θεωρία των αναλυτικών συναρτήσεων.

Περνώντας σε εφαρμογές δυναμοσειρών είδαμε εν συντομία κάποιες βασικές έννοιες που αφορούν στις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις. Παρατηρήσαμε ότι συνήθως λύσεις αυτών βρίσκονται μέσω περίπλοκων διαδικασιών ολοκλήρωσης (που συνδυάζονται με κατάλληλους μετασχηματισμούς) και ότι εφόσον η ολοκλήρωση είναι γενικά υπολογιστικά πολύπλοκη, προκύπτει εύλογα το ερώτημα αν είναι δυνατόν σε κάποιες περιπτώσεις να αποφευχθεί μέσω διαδικασίών εύρεσης λύσεων ενδεχομένως μικρότερης πολυπλοκότητας. Οδηγηθήκαμε έτσι σε μια εισαγωγή στην Μέθοδο των Δυναμοσειρών για την εύρεση λύσεων.

Η μέθοδος ανάγεται στην επίλυση απειροπληθούς συστήματος από αναδρομικές σχέσεις για την εύρεση των άγνωστων συντελεστών της δυναμοσειράς. Αυτό προκύπτει από την μορφή της εξίσωσης, την μορφή που έχουν οι παράγωγοι δυναμοσειράς με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης, και από την έννοια της ισότητας δυναμοσειρών. Είναι δε δυνατόν να είναι ευκολότερα επιλύσιμο από την ολοκλήρωση. Το σύστημα δεν θα εμπεριέχει εξ'ορισμού πληροφορία για κάποιους από τους συντελεστές της εξίσωσης το πλήθος των οποίων θα ταυτίζεται με την τάξη της, και οι οποίοι θα αναπαριστούν τις σχετικές σταθερές ολοκλήρωσης. Ασχοληθήκαμε με την εφαρμογή της μεθόδου στην κατηγορία των γραμμικών εξισώσεων πρώτης τάξης, με σταθερούς συντελεστές και σταθερό όρο

Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ, εδώ, και εδώ.

Πίνακες των εξ' αποστάσεως διαλέξεων του προηγούμενων ακαδημαϊκών ετών που αφορούν σε έννοιες που σχετίζονται με τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ, εδώ, εδώ και εδώ.   .

Περαιτέρω Ασκήσεις

1. Να δειχθεί ότι οι παρακάτω είναι δυναμοσειρές και να βρεθεί το εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης αυτών:
   1. 
   2. 
   3. 
   4. 
   5. 

2. Να βρεθούν οι παράγωγοι 1ης τάξης για όσες από τις παρακάτω δυναμοσειρές είναι καλώς ορισμένες:

   1. ,
   2. ,
   3. ,
   4. ,
   5. .
   6. 
   7. 
   8. 
   9. 
   10.