Μάθημα : Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ

Mεταγράψαμε τον γεωμετρικό ορισμό του ορίου στον ισοδύναμο του αναλυτικό ορισμό, και είδαμε το πως ο τελευταίος εφαρμόζεται σε παραδείγματα. Προχωρήσαμε μέσω της χρήσης του στην διακρίβωση της σχέσης της σύγκλισης με τις αλγεβρικές πράξεις που έχουμε μελετήσει για πραγματικές ακολουθίες.

Παρατηρώντας ότι η χρήση μέρους του λογισμού των ορίων έχει να κάνει με την διευκόλυνση της εξακρίβωσης του ζητήματος σύγκλισης (και ενδεχομένως της συνακόλουθης εύρεσης του ορίου) για ακολουθίες που απατελούν

Συνεχίσαμε την εξαγωγή μιας σειρά από αποτελέσματα που συγκροτούν ένα μικρό μέρος του (ατελούς) λογισμού που χρησιμεύει στην διακρίβωση του αν μια ακολουθία είναι συγκλίνουσα, ή/και όταν είναι, στην εύρεση του ορίου αυτής. Έπι παραδείγματι, μέσω της χρήσης του γεωμετρικού ορισμού είδαμε ότι το όριο όταν υπάρχει είναι μοναδικό.

Είδαμε ότι αν μια ακολουθία είναι συγκλίνουσα είναι και φραγμένη οπότε ισοδύναμα αν μια ακολουθία είναι μη φραγμένη τότε αναγκαστικά είναι αποκλίνουσα, ότι όταν μια συγκ

Προοικονομώντας την έννοια του ορίου, δείξαμε ότι όταν μια ακολουθία συνδυάζει τις ιδιότητες της μονοτονίας και της φραγής τότε διαθέτει ένα ενδιαφέρον χαρακτηριστικό συγκέντρωσης. Ξεκινήσαμε την ανάπτυξη της έννοιας χρησιμοποιώντας το γενικό παράδειγμα φραγμένης και αύξουσας ακολουθίας όπου και είδαμε ότι θα εμφανίζει μορφή "ασυμπτωτικής συγκέντρωσης" "γύρω από" το sypremum της. Δυικά ισχύει  "ασυμπτωτικής συγκέντρωσης" όποιας φραγμένης και φθίνουσας ακολουθίας "γύρω από" το infimum της.

Τα πα

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με το ζήτημα της φραγής ως προς τις πραγματικές ακολουθίες εξετάζοντας παραδείγματα και άντιπαραδείγματα. Παρατηρήσαμε ότι ως προς το ερώτημα του αν δεδομένη ακολουθία είναι φραγμένη, η άμεση χρήση του ορισμού είναι γενικά δυσχερής. Προσπαθήσαμε να το αντιμετωπίσουμε, τουλάχιστον ως προς το ότι θα μας απασχολήσει στην συνέχεια, μέσω της ανάπτυξης ενός μικρού σχετικού λογισμού. Έτσι ασχοληθήκαμε με την εξαγωγή αποτελεσμάτων που π.χ. αποδίδουν την ιδιότητα της φραγής

Συνεχίσαμε με την διερεύνηση της έννοιας της φραγμένης πραγματικής συνάρτησης, εκκινώντας από την έννοια της φραγής από πάνω, εξετάζοντας παραδείγματα και άντι-παραδείγματα. Ασχοληθήκαμε αντιστοίχως με την δυική έννοια της φραγής από κάτω. Συνδυάζοντας τα προηγούμενα αποκτήσαμε τελικά την έννοια της φραγής για πραγματικές συναρτήσεις.

Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω διατυπώσαμε τελικά τον ορισμό της φραγμένης πραγματικής ακολουθίας χρησιμοποιώντας καταρχάς την συνάρτησιακή της μορφή. Ξεκινήσαμε την

Παρουσιάσαμε περαιτέρω παραδείγματα πραγματικών ακολουθιών, κάποια εκ των οποίων άπτονται της της θεωρίας πιθανοτήτων. Εξετάσαμε ζητήματα περιγραφής και συμβολισμών. Χρησιμοποιώντας τον διανυσματικό ορισμό εξετάσαμε την έννοια της ισότητας πραγματικών ακολουθιών η οποία και αποτελεί κατά "φυσικό τρόπο" επέκταση της έννοιας της ισότητας πραγματικών διανυσμάτων. Εξετάσαμε συνοπτικά μια γενίκευση αυτής, η οποία επιτρέπει την συσχέτιση δύο πραγματικών ακολουθιών ως σχεδόν παντού ίσες ακόμη και όταν

Η πρώτη διάλεξη είχε τον χαρακτήρα ενημέρωσης για ζητήματα που άπτονται της διεξαγωγής του μαθήματος. Τα παραπάνω εν μέρει περιγράφονται στην σύνοψη του μαθήματος η οποία βρίσκεται εδώ.

Προκειμένου για την κατανόηση της έννοιας του ορίου, ξεκινήσαμε την πραγμάτευση της έννοιας της πραγματικής ακολουθίας. Εξετάσαμε δύο ισοδύναμους ορισμούς, ο πρώτος (διανυσματικός) εκ των οποίων είναι βολικός για την πραγμάτευση αλγεβρικών ιδιοτήτων ενώ ο δεύτερος (συναρτησιακός) για την πραγμάτευση αναλυτικών

1. Η εξεταστέα ύλη του μαθήματος συγκροτείται από ότι πραγματευτήκαμε στις διαλέξεις, μέχρι και την διάλεξη της 09/01/2025, όπως και από ότι αναφέρεται στις σχετικές αναρτήσεις του ιστολογίου και στους εκεί συνδέσμους.
2. Η παράδοση των προαιρετικών ασκήσεων για την εν λόγω εξέταση θα γίνει μέσω της σχετικής εργασίας  που βρίσκεται στην καρτέλα εργασίες (assignments), και η οποία θα είναι προσβάσιμη από την 10/1/2025, και ώρα 10:00 π.μ. Λεπτομέρειες αναφορικά με το χρονικό περιθώριο μεταφόρτωσης των

Δεδομένης της διερεύνησης μας για το παράδειγμα εφικτού συνόλου, περιγράφοντας σε αδρές γραμμές την σύνδεση μεταξύ σχέσης προτίμησεων επί του εφικτού συνόλου και (όταν υπάρχει) συνάρτησης ωφέλειας που την αναπαριστά, ασχοληθήκαμε με παράδειγμα συνάρτησης ωφέλειας επί του εφικτού συνόλου και με το ζήτημα του αν αυτή (και συνακόλουθα το πρόβλημα της βέλτιστης επιλογής διαχρονικής ροής κατανάλωσης) είναι καλώς ορισμένη. Αυτή είχε την μορφή σειράς συναρτήσεων και εμφάνιζε τα χαρακτηριστικά της χρονι

Προκειμένου να μπορούμε να ασχοληθούμε με πολυπλοκότερα παραδείγματα αλλά και με την έννοια της δυναμοσειράς και τις συνακόλουθες εφαρμογές, ξεκινήσαμε την γενίκευση των έννοιών που έχουμε δει μέχρι τώρα εισάγωντας και την έννοια της ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού. Παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν να αντιληφθούμε μια ακολουθία πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού με τουλάχιστον δύο ισοδύναμους τρόπους. Ο δεύτερος την αναπαριστά ως "λίστα" πραγματικών ακολουθιών