Μάθημα : Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ

Οι διαλέξεις της προηγούμενης εβδομάδας περιλαμβάνουν και την τέταρτη και την πέμπτη προαναπλήρωση, σύμφωνα με το πρόγραμμα που έχει ανακοινωθεί εδώ.

Από τον γεωμετρικό στον αναλυτικό ορισμό

Ξεκινήσαμε επανεξετάζοντας τον γεωμετρικό ορισμό του ορίου. Ο ορισμός μέσω ανοικτών διαστημάτων αποδίδει με σαφήνεια την ιδέα ότι οι όροι μιας συγκλίνουσας ακολουθίας συγκεντρώνονται γύρω από το όριό της. Δεν προσφέρεται όμως πάντοτε για τον υπολογισμό ορίων ή για την απόδειξη αλγεβρικών ιδιοτήτων.

Παρατηρή

Η διάλεξη της τρέχουσας εβδομάδας περιλαμβάνει και την τρίτη προαναπλήρωση, σύμφωνα με το πρόγραμμα προαναπληρώσεων που έχει ανακοινωθεί εδώ.

Έχοντας ήδη μελετήσει τη φραγή και τη μονοτονία, περάσαμε στην κεντρική έννοια του ορίου πραγματικής ακολουθίας. Η προηγούμενη εξέταση των μονότονων και φραγμένων ακολουθιών μάς είχε οδηγήσει στη γεωμετρική διαπίστωση ότι οι όροι τους συγκεντρώνονται προοδευτικά γύρω από έναν συγκεκριμένο πραγματικό αριθμό. Στη διάλεξη αυτή διατυπώσαμε με ακρίβεια τι σημα

Το υλικό που καλύφθηκε κατά τις διαλέξεις της τρέχουσας εβδομάδας περιλαμβάνει και τις δύο πρώτες προαναπληρώσεις, σύμφωνα με το πρόγραμμα που έχει ανακοινωθεί εδώ.

Συνεχίσαμε τη μελέτη των αναλυτικών ιδιοτήτων των πραγματικών ακολουθιών, εστιάζοντας αρχικά στην έννοια της φραγής. Όπως και σε προηγούμενα σημεία του μαθήματος, αξιοποιήσαμε τη συναρτησιακή θεώρηση της ακολουθίας ως συνάρτησης από το ℕ στο ℝ. Ξεκινήσαμε επομένως από τις αντίστοιχες έννοιες για γενικές πραγματικές συναρτήσεις και

Στις δύο αυτές διαλέξεις συνεχίσαμε τη μελέτη των πραγματικών ακολουθιών, εναλλάσσοντας συστηματικά ανάμεσα στις δύο ισοδύναμες οπτικές που έχουμε εισαγάγει: την ακολουθία ως άπειρο διάνυσμα και την ακολουθία ως συνάρτηση με πεδίο ορισμού το ℕ.

Αρχικά εξετάσαμε πρόσθετα παραδείγματα ακολουθιών.  Ως παράδειγμα από τη θεωρία πιθανοτήτων χρησιμοποιήσαμε την εκθετική κατανομή και την ακολουθία των τιμών της πυκνότητάς της στους φυσικούς. Συζητήσαμε επίσης τη γεωμετρική ακολουθία

1, 1/α, 1/α², 1/α³,

Η πρώτη διάλεξη είχε κυρίως ενημερωτικό και εισαγωγικό χαρακτήρα. Παρουσιάστηκαν η οργάνωση, το περιεχόμενο και ο τρόπος διεξαγωγής του μαθήματος, καθώς και ο ρόλος των σημειώσεων, των ασκήσεων και της πλατφόρμας eClass. Η σχετική σύνοψη του μαθήματος βρίσκεται εδώ.

Συζητήσαμε επίσης τη γενικότερη φιλοσοφία του μαθήματος. Το βασικό μας αντικείμενο δεν είναι ένας κατάλογος τύπων και υπολογιστικών τεχνικών, αλλά η μαθηματική μελέτη της μετάβασης από πεπερασμένες προσεγγίσεις σε άπειρα αντικείμενα

Η εξεταστέα ύλη του μαθήματος συγκροτείται από ότι πραγματευτήκαμε στις διαλέξεις, μέχρι και την διάλεξη της 14/01/2026, όπως και από ότι αναφέρεται στις σχετικές αναρτήσεις του ιστολογίου και στους εκεί συνδέσμους.

Ασχοληθήκαμε με παράδειγμα που επισκοπεί μεγάλο μέρος της μέχρι τώρα ύλης, και αφορά στην βέλτιστη επιλογή διαχρονικής κατανάλωσης σε κατάλληλο υπόβαθρο. Σε αυτό παρατηρήσαμε ότι διαχρονική ροή κατανάλωσης είναι όποια πραγματική ακολουθία από μη αρνητικούς όρους, ενώ αρχίσαμε να εργαζόμαστε στην κατασκευή εφικτού συνόλου από διαχρονικές ροές κατανάλωσης δεδομένης εξωγενούς αρχικής προικοδότησης και τεχνολογίας μετασχηματισμού πόρων. 

Ασχοληθήκαμε με την περιγραφή εφικτού συνόλου που προσδιορίζε

Προκειμένου να μπορούμε να ασχοληθούμε με πολυπλοκότερα παραδείγματα, ασχοληθήκαμε την γενίκευση των έννοιών που έχουμε δει μέχρι τώρα εισάγωντας και την έννοια της ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού. Παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν να αντιληφθούμε μια ακολουθία πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού με τουλάχιστον δύο ισοδύναμους τρόπους. Ο δεύτερος την αναπαριστά ως "λίστα" πραγματικών ακολουθιών, μία για καθε σημείο του κοινού πεδίου ορισμού. Αυτός μαζί με την έ

Συνεχίσαμε την διερεύνση της άλγεβρας σειρών, της περικοπής αυτών, κ.ο.κ. Μέσω περαιτέρω παραδείγματος παρατηρήσαμε ότι σε κάποιες περιπτώσεις η φραγή της ΑΜΑ είναι δυνατόν να προκύψει μέσω της κατά σημείο σύγκρισης της παραπάνω με κατάλληλα επιλεγμένη συγκλίνουσα γεωμετρική. Αυτό τελικά μας οδήγεί στην κατασκευή γενικού κριτηρίου (Κριτήριο του Πηλίκου) το οποίο θα μας πληροφορεί σε κάποιες περιπτώσεις για το αν δεδομένη σειρά υπάρχει μέσω μιας υπολογιστικά "λιγότερο περίπλοκης" διαδικασίας.

Ξε

Ολοκληρώσαμε το παράδειγμα εμφάνισης της γεωμετρικής ακολουθίας και  σειράς στην τεχνολογία των κλασματικών ρευστών διαθεσίμων.

Συνεχίσαμε με το παράδειγμα της αρμονικής σειράς και εκμεταλλευόμενοι την προεργασία που είχαμε κάνει για την προσέγγιση του γενικού όρου της αρμονικής ΑΜΑ από ολοκλήρωμα, δείξαμε ότι η εν λόγω σειρά δεν υπάρχει επειδή η ΑΜΑ αυτής δεν είναι φραγμένη.

Αναφερθήκαμε στο παράδειγμα της εναλλάσουσας αρμονικής η οποία υπάρχει και ισούται με ln(2), και σημειώσαμε ότι τα εννοι