https://eclass.aueb.gr/courses/OIK228/Αναρτήσεις ιστολογίουThu, 15 Jan 2026 17:30:45 +0300elhttps://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=609&course=OIK228<p><span>Η εξεταστέα ύλη του μαθήματος συγκροτείται από ότι πραγματευτήκαμε στις διαλέξεις,</span><span> </span><strong>μέχρι και</strong><span> </span><span>την διάλεξη της 14/01/2026, όπως και από ότι αναφέρεται στις σχετικές αναρτήσεις του</span><span> </span><a href="/modules/blog/?course=OIK228" target="_blank" rel="noreferrer noopener">ιστολογίου</a><span> </span><span>και στους εκεί συνδέσμους.</span></p>Thu, 15 Jan 2026 17:30:45 +0300Thu, 15 Jan 2026 17:30:45 +0300609https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=608&course=OIK228<p></p> <p>Ασχοληθήκαμε με παράδειγμα που επισκοπεί μεγάλο μέρος της μέχρι τώρα ύλης, και αφορά στην βέλτιστη επιλογή διαχρονικής κατανάλωσης σε κατάλληλο υπόβαθρο. Σε αυτό παρατηρήσαμε ότι διαχρονική ροή κατανάλωσης είναι όποια πραγματική ακολουθία από μη αρνητικούς όρους, ενώ αρχίσαμε να εργαζόμαστε στην κατασκευή εφικτού συνόλου από διαχρονικές ροές κατανάλωσης δεδομένης εξωγενούς αρχικής προικοδότησης και τεχνολογίας μετασχηματισμού πόρων. </p> <p>Ασχοληθήκαμε με την περιγραφή εφικτού συνόλου που προσδιορίζεται από εξωγενή προικοδότηση και σταθερή στον χρόνο τεχνολογία μετασχηματισμού των πόρων. Παρατηρήσαμε ότι το εφικτό σύνολο από διαχρονικές ροές κατανάλωσης δεδομένων των παραπάνω, προσδιορίζεται από ακολουθία ανισοτικών περιορισμών ("διαχρονικοί εισοδηματικοί περιορισμοί"). Δείξαμε ότι είναι μη κένο και ότι <span>αποτελείται από (</span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_boundedness" target="_blank" rel="noreferrer noopener">ομοιόμορφα</a><span>) φραγμένες ακολουθίες. </span></p> <p> </p> <p><span>Δεδομένης της διερεύνησης μας για το παράδειγμα εφικτού συνόλου, περιγράφοντας σε αδρές γραμμές την σύνδεση μεταξύ σχέσης προτίμησεων επί του εφικτού συνόλου και συνάρτησης ωφέλειας που την αναπαριστά-όταν υπάρχει, ασχοληθήκαμε με παράδειγμα συνάρτησης ωφέλειας <em>επί του εφικτού συνόλου</em> και με το ζήτημα του αν αυτή (και συνακόλουθα το πρόβλημα της βέλτιστης επιλογής διαχρονικής ροής κατανάλωσης) είναι καλώς ορισμένη. Αυτή είχε την <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Discounted_utility" target="_blank" rel="noreferrer noopener">μορφή σειράς συναρτήσεων</a> και εμφάνιζε τα χαρακτηριστικά της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Discount_function" target="_blank" rel="noreferrer noopener">χρονικής διαχωρισιμότητας</a> (time separability) και της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_discounting" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εκθετικής χρονικής προεξόφλησης</a> (exponential discounting). Το να είναι καλώς ορισμένη ισοδυναμεί με το να συγκλίνει για κάθε εφικτή διαχρονική κατανάλωση. Δεδομένων των τιμών που επιτρέψαμε στον συντελεστή χρονικής προτίμησης, και χρησιμοποιώντας μια σειρά από συλλογισμούς που άπτονται σημαντικού μέρους της μέχρι τώρα μας ύλης, δείξαμε το καλώς ορισμένο. </span></p> <p> </p> <p><span></span></p> <p>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Example.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>, <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/BoundedFeasSet.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Τους πίνακες των από διαλέξεων του προηγούμενου ακαδημαϊκού έτους που αφορούν σε έννοιες που σχετίζονται με τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε<span> <a href="https://auebgr.sharepoint.com/:b:/s/2021-22448/EWEkgFbnFi5KqpmkEWej7f0B4eMnOV8CRgKaZ3cXZnGIrw?e=x6nvLm" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ,</a> και <a href="https://auebgr.sharepoint.com/:b:/s/2021-22448/EaqbUGqPNGNMjigsEJyFfZkBq5LsQjYqM16ySkRjpbOsuQ?e=DJewfa" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a></span>.</p> <p> </p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις</strong></p> <ol> <li>Ερμηνεύστε οικονομικά τον μετασχηματισμό <img class="latex" title="k\rightarrow k^{a}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=k%5Crightarrow+k%5E%7Ba%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="k\rightarrow k^{a}" />.</li> <li>Προσπαθήστε να δείξετε αν το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διερευνήθηκε παραπάνω είναι καλώς ορισμένο όταν η συνάρτηση ωφέλειας είναι η <img class="latex" title="\sum_{t=0}^{\infty}\beta^{t}\ln (c_{t}+1)" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bt%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cbeta%5E%7Bt%7D%5Cln+%28c_%7Bt%7D%2B1%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{t=0}^{\infty}\beta^{t}\ln (c_{t}+1)" />.</li> </ol> <p><span> </span></p> <p>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Genseqser_cor.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>, <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Example.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/BoundedFeasSet.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Τους πίνακες των από απόστασης διαλέξεων του Ακ. Έτους 2020-21 που περιλαμβάνουν σχετικές με τις παραπάνω έννοιες, μπορείτε να βρείτε<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%2019.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%2020-21-22-23-24-25.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p>Thu, 15 Jan 2026 17:29:24 +0300Thu, 15 Jan 2026 17:29:24 +0300608https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=607&course=OIK228<p></p> <p>Προκειμένου να μπορούμε να ασχοληθούμε με πολυπλοκότερα παραδείγματα, ασχοληθήκαμε την γενίκευση των έννοιών που έχουμε δει μέχρι τώρα εισάγωντας και την έννοια της ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού. Παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν να αντιληφθούμε μια ακολουθία πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού με τουλάχιστον δύο ισοδύναμους τρόπους. Ο δεύτερος την αναπαριστά ως "λίστα" πραγματικών ακολουθιών, μία για καθε σημείο του κοινού πεδίου ορισμού. Αυτός μαζί με την έννοια του ορίου πραγματικής ακολουθίας μας οδήγησε "φυσικά" στην έννοια του <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Pointwise_convergence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">σημειακού ορίου</a> ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων, το οποίο εξ'ορισμού είναι πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού υποσύνολο του κοινού πεδίου ορισμού των όρων της ακολουθίας. (Και) μέσω παραδειγμάτων παρατηρήσαμε ότι αυτή η έννοια ορίου είναι αρκετά ασθενής ώστε <em>είναι δυνατόν</em> η συνάρτηση όριο να μην έχει ιδιότητες που έχουν όλα τα μέλη της ακολουθίας όπως π.χ. η συνέχεια, και πως είναι δυνατόν να οριστούν <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_convergence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">ισχυρότερες μορφές ορίου</a> που να διατηρούν κάποιες από αυτές τις ιδιότητες.</p> <p>Συνακόλουθα, ασχοληθήκαμε με την πραγμάτευση της έννοιας της σειράς πραγματικών συναρτήσεων, παρατηρώντας ότι μπορούμε να την διαχειριστούμε αναλόγως με τις πραγματικές σειρές, έχοντας στην διάθεση μας την διαδικασία της κατά σημείο μερικής άθροισης και την έννοια του σημειακού ορίου. Έτσι, ορίσαμε την έννοια της σειράς πραγματικών συναρτήσεων ως σημειακό όριο κατάλληλης ακολουθίας μερικών αθροισμάτων. Προκειμένου να εντοπίζουμε μέρος του πεδίου ορισμού μιας τέτοιας σειράς διατυπώσαμε αλγόριθμο που βασίζεται στο κριτήριο του πηλίκου και είδαμε παραδείγματα. Παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν σε μέρος του πεδίου ορισμού της μια τέτοια σειρά να συγκλίνει απολύτως και σε άλλο μέρος κατά συνθήκη (προφανώς το τελευταίο δεν είναι δυνατόν να εντοπισθεί από το κριτήριο του πηλίκου-γιατί;). Εξετάσαμε παραδείγματα.</p> <p>Ξεκινήσαμε την πραγμάτευση παραδείγματος που επισκοπεί μεγάλο μέρος της μέχρι τώρα ύλης, και αφορά στην βέλτιστη επιλογή διαχρονικής κατανάλωσης σε κατάλληλο υπόβαθρο. Σε αυτό παρατηρήσαμε ότι διαχρονική ροή κατανάλωσης είναι όποια πραγματική ακολουθία από μη αρνητικούς όρους, ενώ παρατηρήσαμε ότι προκειμένου να καταπιαστούμε με το παραπάνω χρειάζεται να πραγματευτούμε τις έννοιες του εφικτού συνόλου από διαχρονικές ροές κατανάλωσης, και των προτιμήσεων επί αυτού του συνόλου.</p> <p> </p> <p>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Genseqser_cor.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>, <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Example.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/BoundedFeasSet.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Τους πίνακες των από απόστασης διαλέξεων του Ακ. Έτους 2020-21 που περιλαμβάνουν σχετικές με τις παραπάνω έννοιες, μπορείτε να βρείτε<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%2019.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%2020-21-22-23-24-25.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p> </p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις</strong></p> <ol> <li>Όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> να βρεθεί το <img class="latex" title="X^{*}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%5E%7B%2A%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X^{*}" width="21" height="12" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} x/i!" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+x%2Fi%21&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} x/i!" width="67" height="18" />.</li> <li>Όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> να βρεθεί το <img class="latex" title="X^{*}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%5E%7B%2A%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X^{*}" width="21" height="12" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}x^{3i}/i!" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dx%5E%7B3i%7D%2Fi%21&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}x^{3i}/i!" width="78" height="19" /> .</li> <li>Όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> να βρεθεί το <img class="latex" title="X^{*}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%5E%7B%2A%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X^{*}" width="21" height="12" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} x/(i+1)" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+x%2F%28i%2B1%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} x/(i+1)" width="102" height="19" />.</li> <li>Όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> να βρεθεί το <img class="latex" title="X^{*}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%5E%7B%2A%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X^{*}" width="21" height="12" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} x^{2i}/(i+1)" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+x%5E%7B2i%7D%2F%28i%2B1%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} x^{2i}/(i+1)" width="113" height="19" />.</li> <li>Να επαναλάβετε τα προηγούμενα για το <img class="latex" title="X=(0,1)" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%280%2C1%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=(0,1)" width="71" height="18" />.</li> <li>Υπάρχουν στα παραπάνω περιπτώσεις που γνωρίζουμε βάσει και των όσων έχουμε κάνει προηγουμένως και ποιό είναι το όριο;</li> <li>Όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> να βρεθεί το <img class="latex" title="X^{*}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%5E%7B%2A%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X^{*}" width="21" height="12" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} \sin(ix)/i!" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Csin%28ix%29%2Fi%21&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} \sin(ix)/i!" width="105" height="19" /> χωρίς την χρήση του κριτηρίου.</li> <li>Προσπαθήστε να επαναλάβετε το παραπάνω χρησιμοποιώντας το κριτήριο.</li> </ol>Mon, 12 Jan 2026 02:54:22 +0300Mon, 12 Jan 2026 02:54:22 +0300607https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=606&course=OIK228<p></p> <p>Συνεχίσαμε την διερεύνση της άλγεβρας σειρών, της περικοπής αυτών, κ.ο.κ. Μέσω περαιτέρω παραδείγματος παρατηρήσαμε ότι σε κάποιες περιπτώσεις η φραγή της ΑΜΑ είναι δυνατόν να προκύψει μέσω της κατά σημείο σύγκρισης της παραπάνω με κατάλληλα επιλεγμένη συγκλίνουσα γεωμετρική. Αυτό τελικά μας οδήγεί στην κατασκευή γενικού κριτηρίου (Κριτήριο του Πηλίκου) το οποίο θα μας πληροφορεί σε κάποιες περιπτώσεις για το αν δεδομένη σειρά υπάρχει μέσω μιας υπολογιστικά "λιγότερο περίπλοκης" διαδικασίας.</p> <p>Ξεκινήσαμε να χρησιμοποιούμε την καταχρηστική ορολογία που χρησιμοποιείται γενικότερα στις σχετικές βιβλιογραφίες περί "σύγκλισης σειρών".</p> <p>Προκειμένου για την διατύπωση του Κριτηρίου του Πηλίκου ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με  εκλέπτυνση της έννοιας σύγκλισης σειρών, εν προκειμένω με την έννοια της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_convergence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">απόλυτης σύγκλισης</a>.</p> <p>Αναφέραμε ότι η απόλυτη σύγκλιση αποτελεί γνήσια εκλέπτυνση της συνήθους σύγκλισης, ενώ επίσης αναφέραμε εν συντομία το<span> </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_series_theorem" target="_blank" rel="noreferrer noopener">Θεώρημα Σειρών του Riemann</a><span> </span>και το ότι ανν έχουμε απόλυτη σύγκλιση η αναδιάταξη των όρων της σειράς δεν επηρεάζει την άθροιση. </p> <p>Μέσω του παραπάνω έγινε τελικά εφικτή η διατύπωση του <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test" target="_blank" rel="noreferrer noopener">Κριτηρίου του Πηλίκου</a> το οποίο (σε κάποιες περιπτώσεις) αποφαίνεται για το αν δεδομένη σειρά συγκλίνει απολύτως ή αποκλίνει  και ξεκινήσαμε να εργαζόμαστε με αυτό.</p> <p>Παρατηρήσαμε ότι επί της ουσίας λειτουργεί μέσω της σύγκρισης με γεωμετρική σειρά ο συντελεστής της οποίας σχετίζεται με το όριο της βοηθητικής ακολουθίας των πηλίκων των απολύτων τιμών των διαδοχικών όρων. Συνεπώς είναι αναμενόμενο ότι όταν τέτοια σύγκριση είναι αδύνατη (π.χ. σε υπεραρμονικές σειρές) το κριτήριο θα είναι να είναι μη πληροφοριακό όταν υπάρχει το σχετικό όριο.</p> <p>Μέσω παραδειγμάτων, είδαμε ότι η περίπτωση της μη πληροφοριακότητας είναι δυνατόν να αφορά κατά συνθήκη σύγκλιση, κάτι αναμενόμενο, απόκλιση αλλά και απόλυτη σύγκλιση. Συνεπώς είναι γενικά αδύνατο να συνάγουμε κάτι για την συμπεριφορά σειράς για την οποία το κριτήριο είναι μη πληροφοριακό χρησιμοποιώντας μόνο το κριτήριο. Παρατηρήσαμε επίσης ότι υπάρχουν εκλεπτύνσεις του κριτηρίου που είναι δυνατόν να μας πληροφορούν για την συμπεριφορά δεδομένης σειράς<span> </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test#The_test" target="_blank" rel="noreferrer noopener">είτε όταν το όριο της βοηθητικής ακολουθίας δεν υπάρχει</a>, <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test#Extensions_for_L_.3D_1" target="_blank" rel="noreferrer noopener">είτε όταν αυτό ισούται με ένα</a></p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε<span> </span><span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Series2.pdf">εδώ</a>,<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/hyperharmonic.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>,  και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Absconrt.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>. </p> <p>Τους πίνακες των από απόστασης διαλέξεων του Ακ. Έτους 2020-21, που μεταξύ άλλων, αναφέρονται και στα παραπάνω να βρείτε<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%2012-13.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>,  <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%A3%CF%85%CE%BD%CE%AD%CF%87%CE%B5%CE%B9%CE%B1%20%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%CF%82%2013.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και<span> </span><span></span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%2016-17.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a><span>. </span>Αντίστοιχους σχετικούς πίνακες από απόστασης διάλεξης από το Ακ. Έτος 2021-22 μπορείτε να βρείτε<a href="https://auebgr.sharepoint.com/:b:/s/2021-22448/EZwB6iT803BPvOWW33aod9ABoALi3enJkdSNN0wdte1tsw?e=Oheqmn" target="_blank" rel="noreferrer noopener"><span> εδώ</span></a>.</p> <p> </p> <p>Συνεχίσαμε να εργαζόμαστε σε απλά παραδείγματα εμφάνισης των εννοιών των πραγματικών ακολουθιών, της διαδικασίας μερικής άθροισης και των πραγματικών σειρών στα οικονομικά.</p> <p>Το παράδειγμα που εξετάσαμε αφορά σε περιοριστικό ορισμό και <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Valuation_(finance)">τιμολόγηση χρηματοοικονομικού τίτλου</a>. <span>Σε αυτό, εκφράσαμε υπό προϋποθέσεις την τιμή ως σειρά των κατάλληλα προεξοφλημένων αποδόσεων. Διερευνήσαμε παραδείγματα της προσέγγισής μας, ένα εκ των οποίων αφορούσε στην μη σύγκλιση κατάλληλης σειράς, ως σχετικό με την έννοια της </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Economic_bubble" target="_blank" rel="noreferrer noopener">χρηματοοικονομικής φούσκας</a><span>. Η περιορισμένη εκφραστικότητα του υποδείγματος συνεπάγονταν στο εν λόγω παράδειγμα τον απειρισμό της τιμής (εξαιτίας της απόκλισης της σειράς των παρουσών αξιών των αποδόσεων), κάτι που προφανώς δεν παρατηρείται στην πραγματικότητα).</span></p> <p><span>Η κατασκευή πιο εκφραστικών υποδειγμάτων, αλλά και η εξέταση της έννοιας της δυναμοσειράς και των συνακόλουθων εφαρμογών, διευκολύνεται από την γενίκευση των έννοιών που έχουμε δει μέχρι τώρα εισάγωντας και την έννοια της ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού.</span></p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/FinancialSeqSer.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a><span>.</span> Ένα γενικότερο υπόδειγμα αποτίμησης σε υπόβαθρο αβεβαιότητας (το οποίο προφανώς είναι εκτός της ύλης του μαθήματος) μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202019-20/%CE%93%CE%B5%CE%BD%CE%B9%CE%BA%CF%8C%20%CE%A5%CF%80%CF%8C%CE%B4%CE%B5%CE%B9%CE%B3%CE%BC%CE%B1%20%CE%91%CF%80%CE%BF%CF%84%CE%AF%CE%BC%CE%B7%CF%83%CE%B7%CF%82%20%CE%A7%CF%81%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%BF%CE%BF%CE%B9%CE%BA%CE%BF%CE%BD%CE%BF%CE%BC%CE%B9%CE%BA%CE%BF%CF%8D%20%CE%A4%CE%AF%CF%84%CE%BB%CE%BF%CF%85/cap_notes_2_0809.pdf">εδώ</a><span>(και περισσότερες λεπτομέρειες για αυτό μπορείτε να βρείτε στο </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%A0%CE%B1%CE%BB%CE%B1%CE%B9%CF%8C%CF%84%CE%B5%CF%81%CE%B1%20%CE%88%CF%84%CE%B7/9789606355387_deigma.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">Κεφ. 9</a> <span>του εγχειριδίου που ενδεχομένως έχετε επιλέξει στο μάθημα της Στατιστικής ΙΙ).</span></p> <p> </p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις</strong> (προσπαθήστε να λύσετε τις 1-4 τόσο χρησιμοποιώντας αποκλειστικά το κριτήριο του πηλίκου όσο και χωρίς να το χρησιμοποίησετε).</p> <ol> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i!}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bx%5E%7Bi%7D%7D%7Bi%21%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i!}" /> συγκλίνει για κάθε <img class="latex" title="x\geq 0" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=x%5Cgeq+0&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="x\geq 0" />.</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(i+1)^m},\: 0\leq m &lt;1" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%28i%2B1%29%5Em%7D%2C%5C%3A+0%5Cleq+m+%3C1&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(i+1)^m},\: 0\leq m &lt;1" /> αποκλίνει.</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i^{m}))" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cexp%28-%28i%5E%7Bm%7D%29%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i^{m}))" /> για όποιο <img class="latex" title="m&gt;1" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=m%3E1&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="m&gt;1" /> συγκλίνει. Υπόδειξη: Μπορείτε να συσχετίσετε την συμπεριφορά της εν λόγω σειράς με την ανάλογη υπεραρμονική. Μπορείτε για μεγαλύτερη ευκολία να ασχοληθείτε με την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i+1)^{m}))" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cexp%28-%28i%2B1%29%5E%7Bm%7D%29%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i+1)^{m}))" /> ή/και να δείτε την προηγούμενη μόνο για m=2).</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(i)+1}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%28i%29%2B1%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(i)+1}" /> αποκλίνει.</li> <li>Επινοήστε όσο το δυνατόν περισσότερες σειρές και προσπαθήστε να διαπιστώσετε το αν συγκλίνουν χρησιμοποιώντας πλέον αποκλειστικά το κριτήριο. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε και αυτές που αναφέρονται σε παλαιότερες αναρτήσεις.</li> </ol> <p></p> <p> </p>Sat, 27 Dec 2025 22:03:10 +0300Sat, 27 Dec 2025 22:03:10 +0300606https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=603&course=OIK228<p></p> <p><span>Ολοκληρώσαμε το παράδειγμα εμφάνισης της γεωμετρικής ακολουθίας και  σειράς στην τεχνολογία των κλασματικών ρευστών διαθεσίμων.</span></p> <p><span>Συνεχίσαμε με το παράδειγμα</span><span> της </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)" target="_blank" rel="noreferrer noopener">αρμονικής</a> σειράς και εκμεταλλευόμενοι την προεργασία που είχαμε κάνει για την προσέγγιση του γενικού όρου της αρμονικής ΑΜΑ από ολοκλήρωμα, δείξαμε ότι η εν λόγω σειρά δεν υπάρχει επειδή η ΑΜΑ αυτής δεν είναι φραγμένη.</p> <p><span>Αναφερθήκαμε στο παράδειγμα της </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)#Alternating_harmonic_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εναλλάσουσας αρμονικής</a> η οποία υπάρχει και ισούται με ln(2), και σημειώσαμε ότι τα εννοιολογικά εργαλεία που έχουμε συγκεντρώσει μέχρι τώρα δεν επαρκούν για να εξετάσουμε το τι συμβάινει με αυτό το παράδειγμα•θα μας χρησιμεύσουν οι δυναμοσειρές. Επιφυλαχθήκαμε με το παράδειγμα της<span> </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)#p-series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">υπεραρμονικής</a><span> σειράς.</span></p> <p>Παρατηρήσαμε ότι με την εξαίρεση παραδειγμάτων όπως αυτό της γεωμετρικής σειράς, όπου ήταν "εύκολο" να βρεθεί και να ελεγχθεί ως προς την σύγκλιση γενικός τύπος για την μερική άθροιση, γενικά τα ζητήματα i) της ύπαρξης δεδομένης σειράς και ii) της εύρεσης του με τι ισούται όταν υπάρχει, εμφανίζουν δυσκολίες στην γενική τους επίλυση ανάλογες με αυτές των διαδικασιών ολοκλήρωσης.</p> <p>Εστιάζοντας κυρίως στο ζήτημα της διακρίβωσης του εάν δεδομένη σειρά υπάρχει, ξεκινήσαμε την διατύπωση θεμελιώδους λογισμού σειρών που βασίζεται στον λογισμό που έχουμε αναπτύξει για τα όρια. Έτσι καταρχάς είδαμε ότι όταν η αρχική ακολουθία αποτελείται από ομόσημους όρους τότε, και επειδή η ακολουθία μερικών αθροισμάτων αυτής είναι μονότονη, η σχετική σειρά θα υπάρχει ανν η ακολουθία μερικών αθροισμάτων είναι φραγμένη.</p> <p>Ξεκινήσαμε την εξέταση στοιχείων του λογισμού σειρών που άπτονται άλγεβρας συγκλινουσών σειρών.</p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limser.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> κ<span>αι </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/FinancialSeqSer.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Στοιχεία των παραπάνω μπορείτε να βρείτε και στους πίνακες των από απόσταση διαλέξεων του Έτους 2020-21, <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%A3%CF%84%CE%BF%CE%B9%CF%87%CE%B5%CE%AF%CE%B1%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%2010-11.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%2012-13.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <h3> </h3>Sun, 14 Dec 2025 01:59:57 +0300Sun, 14 Dec 2025 01:59:57 +0300603https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=602&course=OIK228<p></p> <p><span>Ξεκινήσαμε την εννοιολόγηση ορίζοντας την έννοια της ακολουθίας μερικών αθροισμάτων δεδομένης πραγματικής ακολουθίας που περικλείει του συντελεστές του αθροίσματος. Αυτή μπορεί να θεωρηθεί ως διαδικασία "ολοκλήρωσης ", ενώ η ζητούμενη έννοια της σειράς ως προς την ακολουθία των συντελεστών είναι το όριο αυτής όταν αυτό υπάρχει. Εξετάσαμε παραδείγματα μεταξύ των οποίων αυτά της </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">γεωμετρικής</a><span>, της </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)" target="_blank" rel="noreferrer noopener">αρμονικής</a><span>, της </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)#Alternating_harmonic_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εναλλάσουσας αρμονικής</a><span> και της </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)#p-series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">υπεραρμονικής</a><span> ακολουθίας μερικών αθροισμάτων. Ορίσαμε την έννοια της σειράς ως το όριο της ακολουθίας μερικών αθροισμάτων των συντελεστών.</span></p> <p> </p> <p><span>Στα πλαίσια των γενικών ερωτημάτων πέρι ύπαρξης και εύρεσης δεδομένης σειράς, εξετάσαμε το παράδειγμα της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">γεωμετρικής σειράς</a>. Παρατηρήσαμε ότι σε αυτό είναι δυνατόν με στοιχειώδεις τρόπους να επιλυθεί η έκφραση του γενικού όρου της σχετικής ΑΜΑ και στην συνέχεια αυτός να εξεταστεί ως προς την σύγκλιση. Ξεκινήσαμε την διερεύνηση παραδείγματος που εμπίπτει στα πλαίσια της νομισματικής θεωρίας όπου συναντάμε τις έννοιες της γεωμετριικής ακολουθίας, της γεωμετρικής ΑΜΑ και της συνακόλουθης γεωμετρικής σειράς. Αυτό αφορά στην δημιουργία χρήματος από τις θεμελιώδεις λειτουργίες του τραπεζικού συστήματος, το οποίο αποτελείται από την κεντρική και τις εμπορικές τράπεζες και στο οποίο υπάρχει η <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Fractional-reserve_banking" target="_blank" rel="noreferrer noopener">τεχνολογία των κλασματικών διαθεσίμων</a>.</span></p> <p> </p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limser.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/FinancialSeqSer.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p> </p> <p>Στοιχεία των παραπάνω μπορείτε να βρείτε και στους πίνακες των από απόσταση διαλέξεων του Έτους 2020-21 <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%2012-13.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p> </p> <h3>Περαιτέρω Ασκήσεις</h3> <ol> <li>Να οριστεί αυστηρά η αντίστροφη της διαδικασίας μερικής άθροισης.</li> <li>Να δείξετε ότι κάθε άθροισμα πεπερασμένου πλήθους όρων είναι δυνατόν να γραφεί ως κάταλληλη σειρά.</li> </ol>Tue, 09 Dec 2025 17:50:00 +0300Tue, 09 Dec 2025 17:50:00 +0300602https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=601&course=OIK228<p></p> <p><span>Mεταγράψαμε τον γεωμετρικό ορισμό του ορίου στον ισοδύναμο του αναλυτικό ορισμό, και είδαμε το πως ο τελευταίος εφαρμόζεται σε παραδείγματα. Προχωρήσαμε μέσω της χρήσης του στην διακρίβωση της σχέσης της σύγκλισης με τις αλγεβρικές πράξεις που έχουμε μελετήσει για πραγματικές ακολουθίες.</span></p> <p>Παρατηρώντας ότι η χρήση μέρους του λογισμού των ορίων έχει να κάνει με την διευκόλυνση της εξακρίβωσης του ζητήματος σύγκλισης (και ενδεχομένως της συνακόλουθης εύρεσης του ορίου) για ακολουθίες που απατελούν κατάλληλους μετασχηματισμούς ακολουθιών των οποίων η ασυμπτωτική συμπεριφορά είναι γνωστή, αναφερθήκαμε  στον μετασχηματισμό ακολουθιών μέσω σύνθεσης με κατάλληλες συναρτήσεις, και συνακόλουθα στην<span> </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Continuous_mapping_theorem">αρχή της μεταφοράς</a>. Χρησιμοποιήσαμε πολλές από τις έννοιες που έχουμε μέχρι τώρα εξάγει στην μελέτη της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς χρήσιμων στα παρακάτω παραδειγμάτων που σχετίζονται με την γεωμετρική σειρά.</p> <p><span>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω και ασκήσεις μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limits.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limser.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</span></p> <p><span>Τους πίνακες των διαλέξεων του Ακ. Έτους 2020-21 που εμπεριέχουν και μέρος των παραπάνω, μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%A3%CF%84%CE%BF%CE%B9%CF%87%CE%B5%CE%AF%CE%B1%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%207-8_b.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%209.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>. </span></p> <p><span><strong>Ξεκινώντας</strong> την ενασχόληση μας με τις </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Series_(mathematics)#Convergent_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">πραγματικές σειρές</a><span>, και προσπαθώντας να εννοιολογήσουμε το απειροπληθές άθροισμα είδαμε ότι γενικά αυτό είναι γενικά αδύνατο μέσω της άλγεβρας. </span></p>Sun, 30 Nov 2025 20:00:20 +0300Sun, 30 Nov 2025 20:00:20 +0300601https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=600&course=OIK228<p></p> <p><span>Συνεχίσαμε την εξαγωγή μιας σειρά από αποτελέσματα που συγκροτούν ένα μικρό μέρος του (ατελούς) λογισμού που χρησιμεύει στην διακρίβωση του αν μια ακολουθία είναι συγκλίνουσα, ή/και όταν είναι, στην εύρεση του ορίου αυτής. Έπι παραδείγματι, μέσω της χρήσης του γεωμετρικού ορισμού είδαμε ότι το όριο όταν υπάρχει είναι μοναδικό. </span></p> <p><span>Είδαμε ότι αν μια ακολουθία είναι συγκλίνουσα είναι και φραγμένη οπότε ισοδύναμα αν μια ακολουθία είναι μη φραγμένη τότε αναγκαστικά είναι αποκλίνουσα, ότι όταν μια συγκλίνουσα ακολουθία έχει όρους φραγμένους από πάνω (κάτω) από πραγματικό αριθμό, τότε και το όριο αυτής δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο (αντ. μικρότερο) του φράγματος, ότι ακολουθία που βρίσκεται κατά σημείο μεταξύ συγκλινουσών ακολουθίων στο ίδιο όριο, συγκλίνει και αυτή εκεί, και ότι το ζήτημα της σύγκλισης της ακολουθίας δεν επηρεάζεται καθόλου από την συμπεριφορά όποιου πεπερασμένου μέρους της ακολουθίας.</span></p> <p><span>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω και ασκήσεις μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limits.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limser.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</span></p> <p><span>Τους πίνακες διαλέξεων προηγούμενων ακαδημαϊκών ετών που εμπεριέχουν και μέρος των παραπάνω, μπορείτε να βρείτε  <a href="https://auebgr.sharepoint.com/:b:/s/2021-22448/EcEFRl1V5YhGi9NW0QA8vrIB1qwTjgj8k0tsN8R415aY0Q?e=WKqj1D" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>, <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%A3%CF%84%CE%BF%CE%B9%CF%87%CE%B5%CE%AF%CE%B1%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%207-8_b.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>, <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%209.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>, και <a href="https://auebgr.sharepoint.com/:b:/s/2021-22448/EaXKgOvByCZJg5U5VpUV4HkB1XrIJYymFbygzwBMbiunyA?e=6FGnVR" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>. Περαιτέρω σχόλια μπορείτε να βρείτε <a href="https://auebgr.sharepoint.com/sites/2021-22448/Shared%20Documents/General/STYLIANOS%20ARVANITIS-%CE%A3%CF%87%CE%BF%CC%81%CE%BB%CE%B9%CE%B1%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%B5%CC%81%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%206-7.mp4" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</span></p> <h3><span>Περαιτέρω Ασκήσεις</span></h3> <ol> <li><span>Έστω συγκλίνουσα ακολουθία όπου κάθε όρος της οποίας είναι αυτηρά μεγαλύτερος (αντ. μικρότερος) του πραγματικού αριθμού C. Να δειχθεί ότι το όριο είναι επίσης μεγαλύτερο (αντ. μικρότερο) ή ίσο του C. Γιατί είναι δυνατόν να είναι ίσο;</span><span></span></li> <li><span>'Εστω ακολουθία για την οποία οι απόλυτες τιμές σχεδόν όλων των όρων είναι μεγαλύτερες ή ίσες των απολύτων τιμών των αντίστοιχων όρων ακολουθίας που δεν είναι φραγμένη. Να δειχθεί ότι η αρχική ακολουθία είναι αποκλίνουσα.</span></li> <li><span>Δείξτε ότι συγκλίνουσα ακολουθία με κάτω φράγμα το 1 δεν μπορεί να έχει όριο μικρότερο του 1.</span></li> <li><span>Δείξτε ότι συγκλίνουσα ακολουθία με άνω φράγμα το 1 δεν μπορεί να έχει όριο μεγαλύτερο του 1.</span></li> <li><span>Δείξτε ότι το όριο συγκλίνουσας ακολουθίας δεν μπορεί να είναι μικρότερο από το inf και μεγαλύτερο από το sup αυτής.</span></li> <li>Χρησιμοποιώντας τον γεωμετρικό ορισμό του ορίου να δειχθεί ότι κάθε<span> </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Subsequence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">υπακολουθία</a> συγκλίνουσας ακολουθίας συγκλίνει επίσης στο ίδιο όριο.</li> </ol>Mon, 24 Nov 2025 04:04:50 +0300Mon, 24 Nov 2025 04:04:50 +0300600https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=597&course=OIK228<p></p> <p>Προοικονομώντας την έννοια του ορίου, δείξαμε ότι όταν μια ακολουθία συνδυάζει τις ιδιότητες της μονοτονίας και της φραγής τότε διαθέτει ένα ενδιαφέρον<span> </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Monotone_convergence_theorem" target="_blank" rel="noreferrer noopener">χαρακτηριστικό</a> συγκέντρωσης. Ξεκινήσαμε την ανάπτυξη της έννοιας χρησιμοποιώντας το γενικό παράδειγμα φραγμένης και αύξουσας ακολουθίας όπου και είδαμε ότι θα εμφανίζει μορφή "ασυμπτωτικής συγκέντρωσης" "γύρω από" το sypremum της. Δυικά ισχύει  "ασυμπτωτικής συγκέντρωσης" όποιας φραγμένης και φθίνουσας ακολουθίας "γύρω από" το infimum της.</p> <p>Τα παραπάνω μας οδήγησε στην ακριβή (καταρχάς γεωμετρική) διατύπωση της έννοιας του ορίου πραγματικής ακολουθίας. Μέσω αυτής διαπιστώσαμε ότι υπάρχουν τόσο συγκλίνουσες (π.χ. οι φραγμένες και μονότονες) όσο και αποκλίνουσες ακολουθίες (π.χ. εναλλάσουσες).<span> Θα ξεκινήσουμε τ</span><span>ην εξαγωγή μιας σειρά από αποτελέσματα που συγκροτούν ένα μικρό μέρος του (ατελούς) λογισμού που χρησιμεύει στην διακρίβωση του αν μια ακολουθία είναι συγκλίνουσα, ή/και όταν είναι, στην εύρεση του ορίου αυτής. </span><span></span></p> <p> </p> <p><span>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω και ασκήσεις μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limits.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limser.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</span></p> <p><span>Τους πίνακες διαλέξεων προηγούμενων ακαδημαϊκών ετών που εμπεριέχουν και μέρος των παραπάνω, μπορείτε να βρείτε  <a href="https://auebgr.sharepoint.com/:b:/s/2021-22448/EcEFRl1V5YhGi9NW0QA8vrIB1qwTjgj8k0tsN8R415aY0Q?e=WKqj1D" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>, <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%A3%CF%84%CE%BF%CE%B9%CF%87%CE%B5%CE%AF%CE%B1%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%207-8_b.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>, <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%209.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>, και <a href="https://auebgr.sharepoint.com/:b:/s/2021-22448/EaXKgOvByCZJg5U5VpUV4HkB1XrIJYymFbygzwBMbiunyA?e=6FGnVR" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>. Περαιτέρω σχόλια μπορείτε να βρείτε <a href="https://auebgr.sharepoint.com/sites/2021-22448/Shared%20Documents/General/STYLIANOS%20ARVANITIS-%CE%A3%CF%87%CE%BF%CC%81%CE%BB%CE%B9%CE%B1%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%B5%CC%81%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%206-7.mp4" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</span></p>Mon, 10 Nov 2025 16:45:05 +0300Mon, 10 Nov 2025 16:45:05 +0300597https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=596&course=OIK228<p></p> <p>Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με το ζήτημα της φραγής ως προς τις πραγματικές ακολουθίες εξετάζοντας παραδείγματα και άντιπαραδείγματα. Παρατηρήσαμε ότι ως προς το ερώτημα του αν δεδομένη ακολουθία είναι φραγμένη, η άμεση χρήση του ορισμού είναι γενικά δυσχερής. Προσπαθήσαμε να το αντιμετωπίσουμε, τουλάχιστον ως προς το ότι θα μας απασχολήσει στην συνέχεια, μέσω της ανάπτυξης ενός μικρού σχετικού λογισμού. Έτσι ασχοληθήκαμε με την εξαγωγή αποτελεσμάτων που π.χ. αποδίδουν την ιδιότητα της φραγής σε πραγματική ακολουθία μέσω κατάλληλης σύγκρισης με φραγμένη ακολουθία, μέσω της εύρεσης απολύτων φραγμάτων, και μέσω της διαπίστωσης της ύπαρξης φραγμάτων που καλύπτουν σχεδόν όλη την ακολουθία, όπως και με τις δυικές εκδοχές αυτών των αποτελεσμάτνω. Αντιστοίχως, δείξαμε π.χ. ότι οι αλγεβρικές πράξεις διατηρούν την φραγή (έτσι π.χ. το σύνολο των φραγμένων πραγματικών ακολουθιών είδαμε ότι αποτελεί<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK269/LinAlg2.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">διανυσματικό υποχώρο</a><span> </span>του συνόλου των πραγματικών ακολουθιών ως προς τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτου πολλαπλασιασμού). Ολοκληρώσαμε την καταρχάς διερεύνηση της φραγής δείχνοντας ότι το άθροισμα φραγμένης με μη φραγμένη ακολουθία είναι μη φραγμένη ακολουθία.</p> <p> </p> <p>Παρατηρήστε ότι η διάταξη με την οποία εμφανίζονται οι όροι μιας πραγματικής ακολουθίας μέσα σε αυτή δεν συμφωνεί αναγκαστικά με την διάταξη τους στην πραγματική ευθεία. Όταν οι δύο αυτές διατάξεις σχετίζονται μονότονα αποκτούμε την έννοια της μονότονης ακολουθίας. Διατυπώσαμε τον ορισμό ο οποίος επί της ουσίας βασίζεται στην έννοια <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Monotonic_function" target="_blank" rel="noreferrer noopener">μονότονης πραγματικής συνάρτησης</a>, και στην συναρτησιακή μορφή των ακολουθιών.</p> <p> </p> <p>Παρατηρήσαμε ότι οι (γνησίως) αύξουσες ακολουθίες είναι αναγκαστικά φραγμένες από κάτω, ενώ δυικά οι (γνησίως) φθίνουσες ακολουθίες είναι αναγκαστικά φραγμένες από πάνω. <span></span></p> <p> </p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω όπως και κάποιες ασκήσεις μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq3.pdf">εδώ</a>.</p> <p>Τους πίνακες διαλέξεων <span>που εμπεριέχουν την πραγμάτευση αντίστοιχων εννοιών στο Ακ. Έτος 2020-21 </span>μπορείτε να βρείτε<span> </span><a href="https://auebgr.sharepoint.com/:b:/s/2021-22448/EcEFRl1V5YhGi9NW0QA8vrIB1qwTjgj8k0tsN8R415aY0Q?e=WKqj1D" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>,<span> </span><a href="https://auebgr.sharepoint.com/:b:/s/2021-22448/EQp5J5QIVVhBhmC65X8O-DgBa6ZQtQBEAGcirmNv6F979w?e=z9AKLI" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> (σελ. 1-9),  <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq3.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limits.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Περαιτέρω σχόλια μπορείτε να βρείτε<span> </span><a href="https://auebgr.sharepoint.com/sites/2021-22448/Shared%20Documents/General/STYLIANOS%20ARVANITIS-%CE%A3%CF%87%CE%BF%CC%81%CE%BB%CE%B9%CE%B1%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%B5%CC%81%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%206-7.mp4" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις:</strong></p> <ol> <li>Να δειχθεί ότι αν η<span> </span><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28y_%7Bn%7D%29" alt="gif.latex?%28y_%7Bn%7D%29" /> φραγμένη ανν κάθε <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Subsequence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">υπακολουθία</a> της επίσης φραγμένη.</li> <li>Να δειχθεί ότι για κάθε μονότοτονη ακολουθία, κάθε υπακολουθία αυτής έχει την ίδια ή ισχυρότερη μονοτονία.</li> <li>Nα δειχθεί ότι αν οι<span> </span><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28x_%7Bn%7D%29%2C%5C%3A%28y_%7Bn%7D%29" alt="gif.latex?%28x_%7Bn%7D%29%2C%5C%3A%28y_%7Bn%7D%29" /> είναι αύξουσες, τότε και η<span> </span><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cmax%28x_%7Bn%7D%2Cy_%7Bn%7D%29%20%5Cright%20%29" alt="gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cmax%28x_%7Bn%7D%2Cy_%7Bn%7D%29%20%5Cright%20%29" /><span> </span>είναι (ενδεχομένως γνησίως) αύξουσα.</li> </ol>Sun, 02 Nov 2025 21:01:37 +0300Sun, 02 Nov 2025 21:01:37 +0300596https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=595&course=OIK228<p></p> <p>Συνεχίσαμε με την διερεύνηση της έννοιας της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Bounded_function" target="_blank" rel="noreferrer noopener">φραγμένης πραγματικής συνάρτησης</a>, εκκινώντας από την έννοια της<span> </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Infimum_and_supremum" target="_blank" rel="noreferrer noopener">φραγής από πάνω</a>, εξετάζοντας παραδείγματα και άντι-παραδείγματα. Ασχοληθήκαμε αντιστοίχως με την δυική έννοια της φραγής από κάτω. Συνδυάζοντας τα προηγούμενα αποκτήσαμε τελικά την έννοια της φραγής για πραγματικές συναρτήσεις.</p> <p>Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω διατυπώσαμε τελικά τον ορισμό της φραγμένης πραγματικής ακολουθίας χρησιμοποιώντας καταρχάς την συνάρτησιακή της μορφή. Ξεκινήσαμε την εξέταση παραδειγμάτων και αντί-παραδειγμάτων.</p> <p> </p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq1.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>,<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq2.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ,</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq3.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Τους πίνακες των σχετικών από απόσταση διαλέξεων του Ακ. Έτους 2020-21 μπορείτε να βρείτε<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%204-5.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Περαιτέρω σχόλια μπορείτε να βρείτε<span> </span><a href="https://auebgr.sharepoint.com/sites/2021-22448/Shared%20Documents/General/STYLIANOS%20ARVANITIS-%CE%A3%CF%87%CE%BF%CC%81%CE%BB%CE%B9%CE%B1%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%B5%CC%81%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%206-7.mp4" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p> </p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις:</strong></p> <ol> <li>Να δειχθεί ότι η ακολουθία <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bn%7Dx%5E%7B2%7Ddx%20%5Cright%20%29" alt="gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bn%7Dx%5E%7B2%7Ddx%20%5Cright%20%29" /> δεν είναι φραγμένη.</li> </ol>Sun, 26 Oct 2025 23:04:13 +0300Sun, 26 Oct 2025 23:04:13 +0300595https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=594&course=OIK228<p></p> <p>Παρουσιάσαμε περαιτέρω παραδείγματα πραγματικών ακολουθιών, κάποια εκ των οποίων άπτονται της της θεωρίας πιθανοτήτων. Εξετάσαμε ζητήματα περιγραφής και συμβολισμών. Χρησιμοποιώντας τον διανυσματικό ορισμό εξετάσαμε την έννοια της ισότητας πραγματικών ακολουθιών η οποία και αποτελεί κατά "φυσικό τρόπο" επέκταση της έννοιας της ισότητας πραγματικών διανυσμάτων. Εξετάσαμε συνοπτικά μια γενίκευση αυτής, η οποία επιτρέπει την συσχέτιση δύο πραγματικών ακολουθιών ως σχεδόν παντού ίσες ακόμη και όταν έχουν διαφορετικές συνιστώσες σε πεπερασμένο πλήθος θέσεων.</p> <p> </p> <p>Χρησιμοποιώντας τον διανυσματικό ορισμό εξετάσαμε παραδείγματα αλγεβρικών πράξεων μεταξύ ακολουθιών όπως η κατά σημείο πρόσθεση και ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός (ως προς αυτές το σύνολο των πραγματικών ακολουθιών είναι <a href="/modules/document/file.php/OIK269/LinAlg1.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">διανυσματικός χώρος</a>) καθώς και την πράξη του σημειακού πολλαπλασιασμού.</p> <p> </p> <p>Στην συνέχεια και χρησιμοποιώντας τον συναρτησιακό ορισμό ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με αναλυτικές ιδιότητες που μπορεί να έχουν πραγματικές ακολουθίες. Ξεκινήσαμε την διερεύνηση της έννοιας της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Bounded_function" target="_blank" rel="noreferrer noopener">φραγμένης πραγματικής συνάρτησης</a>, εκκινώντας από την έννοια της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Infimum_and_supremum" target="_blank" rel="noreferrer noopener">φραγής από πάνω</a>.</p> <p> </p> <p>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq1.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και<a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq1.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener"> </a><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq2.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>. </p> <p> </p> <p>Τους πίνακες των διαλέξεων που εμπεριέχουν την πραγμάτευση αντίστοιχων εννοιών στο Ακ. Έτος 2020-21 μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%202-%CE%9F%CF%81%CE%B9%CF%83%CE%BC%CE%BF%CE%AF.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>, <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%203.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>(υπάρχει λάθος σε υπόδειξη που δίνεται για την μεταβατική ιδιότητα της σχεδόν παντού ισότητας-ποιό και πως μπορεί να αναταχθεί;),  και<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%204-5.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> (σελ. 2).</p> <p> </p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις</strong></p> <p>1. Να δειχθεί ότι αν για τρείς ακολουθίες, η πρώτη είναι σχεδόν παντού ίση με την δεύτερη, και η δεύτερη είναι σχεδόν παντού ίση με την τρίτη, τότε το πλήθος των θέσεων που μπορεί να έχουν διαφορετικούς όρους η πρώτη και η τρίτη είναι μικρότερο ίσο από το άθροισμα του αντίστοιχου πλήθους μεταξύ πρώτης και δεύτερης και αυτού μεταξύ δεύτερης και τρίτης.</p> <p>2. Ως προς την παραπάνω άσκηση, να βρεθούν παραδείγματα όπου το πλήθος των θέσεων που μπορεί να έχουν διαφορετικούς όρους η πρώτη και η τρίτη, α) είναι μηδέν, β) είναι θετικό αλλά αυστηρά μικρότερο του παραπάνω αθροίσματος, γ) είναι θετικό και ίσο με το παραπάνω άθροισμα.</p> <p>3. Να δειχθεί ότι η σχεδόν παντού ισότητα είναι μεταβατική.</p> <p>4. Τι συμπεραίνετε από την χρήση της έννοιας της σχεδόν παντού ισότητας σε n-διάστατα πραγματικά διανύσματα;</p> <p>5.  Να βρεθεί παράδειγμα πραγματικής ακολουθίας όπου η ιδιότητα P δεν ισχύει για θετικό αλλά πεπερασμένο πλήθος όρων, όταν α) P="ο πραγματικός x είναι άρτιος φυσικός", β) α) P="ο πραγματικός x είναι άρρητός".</p> <p>6. Για P όπως στην προηγούμενη άσκηση, να βρεθεί παράδειγμα πραγματικής ακολουθίας όπου η ιδιότητα P ισχύει για άπειρο πλήθος όρων, και ταυτόγχρονα δεν ισχύει για άπειρο πλήθος όρων.</p>Sun, 19 Oct 2025 23:21:32 +0300Sun, 19 Oct 2025 23:21:32 +0300594https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=593&course=OIK228<p></p> <p>Η πρώτη διάλεξη είχε τον χαρακτήρα ενημέρωσης για ζητήματα που άπτονται της διεξαγωγής του μαθήματος. Τα παραπάνω εν μέρει περιγράφονται στην σύνοψη του μαθήματος η οποία βρίσκεται <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202025-26/%CE%A3%CF%8D%CE%BD%CE%BF%CF%88%CE%B7%20%CE%9C%CE%B1%CE%B8%CE%AE%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%BF%CF%82/Math_%CE%99%CE%99%CE%99_2526_syllabus.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p> </p> <p><span>Προκειμένου για την κατανόηση της έννοιας του ορίου, ξεκινήσαμε την πραγμάτευση της έννοιας της πραγματικής </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Sequence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">ακολουθίας</a><span>. Εξετάσαμε δύο ισοδύναμους ορισμούς, ο πρώτος (διανυσματικός) εκ των οποίων είναι βολικός για την πραγμάτευση αλγεβρικών ιδιοτήτων ενώ ο δεύτερος (συναρτησιακός) για την πραγμάτευση αναλυτικών ιδιοτήτων και την γενίκευση της έννοιας. Παρουσιάσαμε παραδείγματα πραγματικών ακολουθιών, κάποια εκ των οποίων άπτονται της Οικονομικής θεωρίας.</span></p> <p> </p> <p><span>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq1.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p> </p> <p>(Πρόχειρες σημειώσεις όπως και<span> </span>ασκήσεις για επανάληψη προγενέστερων εννοιών που είναι δυνατόν να μας χρειαστούν-όπως και μια σύντομη περιγραφή εννοιών που θα προσπαθήσουμε να καλύψουμε, βρίσκονται <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Motiv1.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.)</p>Sun, 12 Oct 2025 23:09:50 +0300Sun, 12 Oct 2025 23:09:50 +0300593https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=561&course=OIK228<ol> <li><span>Η εξεταστέα ύλη του μαθήματος συγκροτείται από ότι πραγματευτήκαμε στις διαλέξεις,</span><span> </span><strong>μέχρι και</strong><span> </span><span>την διάλεξη της 09/01/2025, όπως και από ότι αναφέρεται στις σχετικές αναρτήσεις του</span><span> </span><a href="/modules/blog/?course=OIK228" target="_blank" rel="noreferrer noopener">ιστολογίου</a><span> </span><span>και στους εκεί συνδέσμους.</span></li> <li>Η παράδοση των προαιρετικών ασκήσεων για την εν λόγω εξέταση θα γίνει μέσω της <a href="/modules/work/index.php?course=OIK228&amp;id=12344" target="_blank" rel="noreferrer noopener">σχετικής εργασίας</a>  που βρίσκεται στην καρτέλα εργασίες (assignments), και η οποία θα είναι προσβάσιμη από την 10/1/2025, και ώρα 10:00 π.μ. Λεπτομέρειες αναφορικά με το χρονικό περιθώριο μεταφόρτωσης των ασκήσεων βρίσκονται στον παραπάνω σύνδεσμο. Οποιαδήποτε εκπρόθεσμη μεταφόρτωση ή γενικότερη προσπάθεια παράδοσης δεν θα γίνει αποδεκτή.</li> <li>Ο διδάσκων διατηρεί το δικαίωμα να σας ζητήσει (π.χ. προφορικά) διευκρινήσεις για τις προτεινόμενες σας λύσεις πριν οριστικοποιήσει τον τελικό σας βαθμό. Ο <strong>μέγιστος</strong> βαθμός που είναι δυνατόν να αποδοθεί στις προτεινόμενες λύσεις είναι 1.5 (έναμιση).</li> </ol>Fri, 10 Jan 2025 01:36:58 +0300Fri, 10 Jan 2025 01:36:58 +0300561https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=560&course=OIK228<p>Δεδομένης της διερεύνησης μας για το παράδειγμα εφικτού συνόλου, περιγράφοντας σε αδρές γραμμές την σύνδεση μεταξύ σχέσης προτίμησεων επί του εφικτού συνόλου και (όταν υπάρχει) συνάρτησης ωφέλειας που την αναπαριστά, ασχοληθήκαμε με παράδειγμα συνάρτησης ωφέλειας <em>επί του εφικτού συνόλου</em> και με το ζήτημα του αν αυτή (και συνακόλουθα το πρόβλημα της βέλτιστης επιλογής διαχρονικής ροής κατανάλωσης) είναι καλώς ορισμένη. Αυτή είχε την <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Discounted_utility" target="_blank" rel="noreferrer noopener">μορφή σειράς συναρτήσεων</a> και εμφάνιζε τα χαρακτηριστικά της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Discount_function" target="_blank" rel="noreferrer noopener">χρονικής διαχωρισιμότητας</a> (time separability) και της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_discounting" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εκθετικής χρονικής προεξόφλησης</a> (exponential discounting). Το να είναι καλώς ορισμένη ισοδυναμεί με το να συγκλίνει για κάθε εφικτή διαχρονική κατανάλωση. Δεδομένων των τιμών που επιτρέψαμε στον συντελεστή χρονικής προτίμησης, και χρησιμοποιώντας μια σειρά από συλλογισμούς που άπτονται σημαντικού μέρους της μέχρι τώρα μας ύλης, δείξαμε το καλώς ορισμένο. </p> <p>Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με το πρόβλημα του καλώς ορισμένου, βρήκαμε εφικτές διαχρονικές ροές κατανάλωσης για τις οποίες η συνάρτηση ωφέλειας συγκλίνει ακόμη και όταν β=1. Στην συνέχεια, υποθέτωντας υπεραρμονική προεξόφληση, προκειμένου να αναφερθούμε σε προτιμήσεις όπου αποδίδεται μεγαλύτερη σημασία στις απομακρυσμένες χρονικά καταναλώσεις, δείξαμε επίσης το καλώς όρισμένο του αντίστοιχου προβλήματος δυναμικής βελτιστοποίησης.</p> <p>Στην συνέχεια ξεκινήσαμε την εισαγωγή μας στην <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Power_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">θεωρία των δυναμοσειρών</a>. Παρατηρώντας ότι μπορούν τυπικά να ειδωθούν ως κατάλληλα <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Formal_power_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">αλγεβρικά συμπληρώματα</a> των πολυωνύμων εφόσον αγνοήσουμε αναλυτικές ιδιότητες τους (ενώ η αλγεβρική αυτή θέαση είναι προφανώς εκτός του εύρους του μαθήματος), και ότι ως έννοιες της ανάλυσης (που είναι εντός του εύρους του μαθήματος) και εξαιτίας των "καλών ιδιοτήτων τους" έχουν ποικίλες εφαρμογές, ασχοληθήκαμε με τον ορισμό τους, και είδαμε παραδείγματα, και αντιπαράδειγμα.</p> <p>Δεδομένων των παραπάνω, ασχοληθήκαμε καταρχάς με το ζήτημα της συγκλισής τους, οπότε και διατυπώσαμε το <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2%80%93Hadamard_theorem" target="_blank" rel="noreferrer noopener">θεώρημα Cauchy-Hadamard</a> που μας πληροφορεί ότι το σύνολο σύγκλισης έχει πάντοτε την μορφή διαστήματος (έστω εκφυλισμένου, ή γενικευμένου), με κατάλληλο κέντρο και ακτίνα, μια πρώτη ένδειξη της καλής συμπεριφοράς αυτών.</p> <p>Ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με αναλυτικές ιδιότητες των δυναμοσειρών. Καταρχάς διατυπώσαμε το θεώρημα συνέχειας που μας πληροφορεί ότι οι δυναμοσειρές είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα συγκλισής τους. Η απόδειξη αυτού είναι δυνατόν να προκύπτει από έννοιες εκτός του εύρους του μαθήματος (δείτε π.χ. <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Compact_convergence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Abel%27s_theorem" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>), αλλά επί της ουσίας μας πληροφορεί ότι για της δυναμοσειρές επιτρέπεται κάποιου είδους <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Interchange_of_limiting_operations" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εναλλαγή ορίων</a>.</p> <p>Εντυπωσιακότερο είναι το θεώρημα παραγωγισιμότητας δυναμοσειράς με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης, στο εσωτερικό αυτού, που επιτρέπει επίσης κάποιου εναλλαγή ορίου, και συνεπάγεται ότι η παράγωγος είναι επίσης δυναμοσειρά με το ίδιο κέντρο και εσωτερικό διαστήματος σύγκλισης που ταυτίζεται με το εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης της αρχικής, ενώ υπολογίζεται πολύ εύκολα από την αρχική δυναμοσειρά. Ξεκινήσαμε να ασχολούμαστε με διάφορες εφαρμογές του. </p> <p>Χρησιμοποιώντας την παραγωγισιμότητα, εργαστήκαμε με παραδείγματα που προέκυψαν στα πλαίσια της γεωμετρικής σειράς όποτε είδαμε ότι είναι δυνατόν να χρησιμοποιείται η εν λόγω αναλυτική ιδιότητα προκειμένου να βρίσκουμε πραγματικές σειρές.</p> <p>Παραγωγίζοντας κατάλληλη δυναμοσειρά και βρίσκοντας την μοναδική λύση <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Initial_value_problem" target="_blank" rel="noreferrer noopener">προβλήματος αρχικών τιμών</a> δείξαμε το πως αναπαρίσταται από δυναμοσειρά η εκθετική συνάρτηση, ενώ είδαμε ότι η αναπαράσταση αυτή δεν είναι μοναδική όπως και άλλα συναφή ζητήματα. Οι λόγοι που ισχύουν αυτές οι αναπαραστάσεις αφορούν στην θεωρία των <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Analytic_function" target="_blank" rel="noreferrer noopener">αναλυτικών συναρτήσεων</a>.</p> <p>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Example.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>, <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/BoundedFeasSet.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Powser1.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Τους πίνακες των από διαλέξεων του προηγούμενου ακαδημαϊκού έτους που αφορούν σε έννοιες που σχετίζονται με τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε<span> <a href="https://auebgr.sharepoint.com/:b:/s/2021-22448/EWEkgFbnFi5KqpmkEWej7f0B4eMnOV8CRgKaZ3cXZnGIrw?e=x6nvLm" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ,</a> <a href="https://auebgr.sharepoint.com/:b:/s/2021-22448/EaqbUGqPNGNMjigsEJyFfZkBq5LsQjYqM16ySkRjpbOsuQ?e=DJewfa" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a></span>.</p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις</strong></p> <ol> <li>Ερμηνεύστε οικονομικά τον μετασχηματισμό <img class="latex" title="k\rightarrow k^{a}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=k%5Crightarrow+k%5E%7Ba%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="k\rightarrow k^{a}" />.</li> <li>Προσπαθήστε να δείξετε αν το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διερευνήθηκε παραπάνω είναι καλώς ορισμένο όταν η συνάρτηση ωφέλειας είναι η <img class="latex" title="\sum_{t=0}^{\infty}\beta^{t}\ln (c_{t}+1)" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bt%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cbeta%5E%7Bt%7D%5Cln+%28c_%7Bt%7D%2B1%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{t=0}^{\infty}\beta^{t}\ln (c_{t}+1)" />.</li> <li>Για το προηγούμενο να βρεθούν αν υπάρχουν εφικτές διαχρονικές καταναλώσεις με σχεδόν όλους τους όρους θετικούς για τις οποίες η συνάρτηση ωφέλειας συγκλίνει όταν <img class="latex" title="\beta=1" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cbeta%3D1&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\beta=1" />.</li> <li>Εξηγήστε το γιατί η συνάρτηση ωφέλειας είναι σειρά πραγματικών συναρτήσεων η κάθε μία εκ των οποίων ορίζεται επί του εφικτού συνόλου.</li> <li>Προσπαθείστε να διερευνήσετε ότι έχει γίνει και ότι έχει ζητηθεί στην εφαρμογή μας όταν αντί του μετασχηματισμού <img class="latex" title="k\rightarrow k^{a}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=k%5Crightarrow+k%5E%7Ba%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="k\rightarrow k^{a}" /> ισχύει ο μετασχηματισμός (δηλ. ο στιγμιαίος ανατοκισμός του διαθέσιμου πόρου με στιγμιαίο σταθερό στον χρόνο επιτόκιο r)</li> <li>Να δειχθεί ότι οι παρακάτω είναι δυναμοσειρές και να βρεθεί το εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης αυτών:</li> <li> <ol> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Di%28x-5%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="72" height="38" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bi%21%7D%7Bi%5E%7Bi%7D%7D%20%28x-2%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="66" height="32" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B2%7D%7B%28i&amp;plus;1%29%5E%7B2%7D%7D%20%28x-1%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="93" height="31" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D2%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%28i%29%7D%20%28x-1%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="89" height="35" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D2000%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cexp%28i%29%7D%20%28x-100%21%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="110" height="31" /></li> </ol> </li> <li>Να βρεθούν οι παράγωγοι 1ης τάξης για όσες από τις παρακάτω δυναμοσειρές είναι καλώς ορισμένες: <ol> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Di%21%28x-4%29%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bi&amp;plus;1%7D%28x-2%29%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bi&amp;plus;2%7D%28x-7%29%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bi%5E2%7Dx%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bi%21%7D%7B%5Cexp%28i%29%7Dx%5E%7Bi%7D" alt="" />.</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Di%28x-5%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="72" height="38" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bi%21%7D%7Bi%5E%7Bi%7D%7D%20%28x-2%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="66" height="32" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B2%7D%7B%28i&amp;plus;1%29%5E%7B2%7D%7D%20%28x-1%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="93" height="31" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D2%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%28i%29%7D%20%28x-1%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="89" height="35" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D2000%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cexp%28i%29%7D%20%28x-100%21%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="110" height="31" /></li> </ol> </li> </ol>Fri, 10 Jan 2025 01:28:12 +0300Fri, 10 Jan 2025 01:28:12 +0300560https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=556&course=OIK228<p>Προκειμένου να μπορούμε να ασχοληθούμε με πολυπλοκότερα παραδείγματα αλλά και με την έννοια της δυναμοσειράς και τις συνακόλουθες εφαρμογές, ξεκινήσαμε την γενίκευση των έννοιών που έχουμε δει μέχρι τώρα εισάγωντας και την έννοια της ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού. Παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν να αντιληφθούμε μια ακολουθία πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού με τουλάχιστον δύο ισοδύναμους τρόπους. Ο δεύτερος την αναπαριστά ως "λίστα" πραγματικών ακολουθιών, μία για καθε σημείο του κοινού πεδίου ορισμού. Αυτός μαζί με την έννοια του ορίου πραγματικής ακολουθίας μας οδήγησε "φυσικά" στην έννοια του <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Pointwise_convergence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">σημειακού ορίου</a> ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων, το οποίο εξ'ορισμού είναι πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού υποσύνολο του κοινού πεδίου ορισμού των όρων της ακολουθίας. (Και) μέσω παραδειγμάτων παρατηρήσαμε ότι αυτή η έννοια ορίου είναι αρκετά ασθενής ώστε <em>είναι δυνατόν</em> η συνάρτηση όριο να μην έχει ιδιότητες που έχουν όλα τα μέλη της ακολουθίας όπως π.χ. η συνέχεια, και πως είναι δυνατόν να οριστούν <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_convergence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">ισχυρότερες μορφές ορίου</a> που να διατηρούν κάποιες από αυτές τις ιδιότητες.</p> <p>Ξεκινήσαμε την πραγμάτευση της έννοιας της σειράς πραγματικών συναρτήσεων, παρατηρώντας ότι μπορούμε να την διαχειριστούμε αναλόγως με τις πραγματικές σειρές, έχοντας στην διάθεση μας την διαδικασία της κατά σημείο μερικής άθροισης και την έννοια του σημειακού ορίου. Έτσι, ορίσαμε την έννοια της σειράς πραγματικών συναρτήσεων ως σημειακό όριο κατάλληλης ακολουθίας μερικών αθροισμάτων. Προκειμένου να εντοπίζουμε μέρος του πεδίου ορισμού μιας τέτοιας σειράς διατυπώσαμε αλγόριθμο που βασίζεται στο κριτήριο του πηλίκου και είδαμε παραδείγματα. Παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν σε μέρος του πεδίου ορισμού της μια τέτοια σειρά να συγκλίνει απολύτως και σε άλλο μέρος κατά συνθήκη (προφανώς το τελευταίο δεν είναι δυνατόν να εντοπισθεί από το κριτήριο του πηλίκου-γιατί;). Εξετάσαμε παραδείγματα, μεταξύ των οποίων και διμεταβλητής συνάρτησης.</p> <p>Ξεκινήσαμε την πραγμάτευση παραδείγματος που επισκοπεί μεγάλο μέρος της μέχρι τώρα ύλης, και αφορά στην βέλτιστη επιλογή διαχρονικής κατανάλωσης σε κατάλληλο υπόβαθρο. Σε αυτό παρατηρήσαμε ότι διαχρονική ροή κατανάλωσης είναι όποια πραγματική ακολουθία από μη αρνητικούς όρους, ενώ αρχίσαμε να εργαζόμαστε στην κατασκευή εφικτού συνόλου από διαχρονικές ροές κατανάλωσης δεδομένης εξωγενούς αρχικής προικοδότησης και τεχνολογίας μετασχηματισμού πόρων. </p> <p>Ασχοληθήκαμε με την περιγραφή εφικτού συνόλου που προσδιορίζεται από εξωγενή προικοδότηση και σταθερή στον χρόνο τεχνολογία μετασχηματισμού των πόρων. Παρατηρήσαμε ότι το εφικτό σύνολο από διαχρονικές ροές κατανάλωσης δεδομένων των παραπάνω, προσδιορίζεται από ακολουθία ανισοτικών περιορισμών ("διαχρονικοί εισοδηματικοί περιορισμοί"). Δείξαμε ότι είναι μη κένο και ότι <span>αποτελείται από (</span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_boundedness" target="_blank" rel="noreferrer noopener">ομοιόμορφα</a><span>) φραγμένες ακολουθίες. </span>.</p> <p>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Genseqser_cor.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>, <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Example.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/BoundedFeasSet.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Τους πίνακες των από απόστασης διαλέξεων του Ακ. Έτους 2020-21 που περιλαμβάνουν σχετικές με τις παραπάνω έννοιες, μπορείτε να βρείτε<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%2019.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%2020-21-22-23-24-25.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις</strong></p> <ol> <li>Όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> να βρεθεί το <img class="latex" title="X^{*}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%5E%7B%2A%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X^{*}" width="21" height="12" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} x/i!" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+x%2Fi%21&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} x/i!" width="67" height="18" />.</li> <li>Όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> να βρεθεί το <img class="latex" title="X^{*}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%5E%7B%2A%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X^{*}" width="21" height="12" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}x^{3i}/i!" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dx%5E%7B3i%7D%2Fi%21&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}x^{3i}/i!" width="78" height="19" /> .</li> <li>Όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> να βρεθεί το <img class="latex" title="X^{*}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%5E%7B%2A%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X^{*}" width="21" height="12" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} x/(i+1)" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+x%2F%28i%2B1%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} x/(i+1)" width="102" height="19" />.</li> <li>Όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> να βρεθεί το <img class="latex" title="X^{*}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%5E%7B%2A%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X^{*}" width="21" height="12" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} x^{2i}/(i+1)" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+x%5E%7B2i%7D%2F%28i%2B1%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} x^{2i}/(i+1)" width="113" height="19" />.</li> <li>Να επαναλάβετε τα προηγούμενα για το <img class="latex" title="X=(0,1)" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%280%2C1%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=(0,1)" width="71" height="18" />.</li> <li>Υπάρχουν στα παραπάνω περιπτώσεις που γνωρίζουμε βάσει και των όσων έχουμε κάνει προηγουμένως και ποιό είναι το όριο;</li> <li>Όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> να βρεθεί το <img class="latex" title="X^{*}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%5E%7B%2A%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X^{*}" width="21" height="12" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} \sin(ix)/i!" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Csin%28ix%29%2Fi%21&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} \sin(ix)/i!" width="105" height="19" /> χωρίς την χρήση του κριτηρίου.</li> <li>Προσπαθήστε να επαναλάβετε το παραπάνω χρησιμοποιώντας το κριτήριο.</li> <li>Να επαναλάβετε το ζητούμενο στην 8 όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} \cos(ix)/i" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Ccos%28ix%29%2Fi&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} \cos(ix)/i" width="102" height="19" />.</li> <li>Ερμηνεύστε οικονομικά τον μετασχηματισμό <img class="latex" title="k\rightarrow k^{a}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=k%5Crightarrow+k%5E%7Ba%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="k\rightarrow k^{a}" />.</li> </ol> <p> </p>Mon, 23 Dec 2024 01:58:48 +0300Mon, 23 Dec 2024 01:58:48 +0300556https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=555&course=OIK228<p>Συνεχίσαμε την διερεύνηση της συμπεριφοράς του κριτηρίου μέσω παραδειγμάτων.</p> <p><span>Παρατηρήσαμε ότι επί της ουσίας λειτουργεί μέσω της σύγκρισης με γεωμετρική σειρά ο συντελεστής της οποίας σχετίζεται με το όριο της βοηθητικής ακολουθίας των πηλίκων των απολύτων τιμών των διαδοχικών όρων. Συνεπώς είναι αναμενόμενο ότι όταν τέτοια σύγκριση είναι αδύνατη (π.χ. σε υπεραρμονικές σειρές) το κριτήριο θα είναι να είναι μη πληροφοριακό όταν υπάρχει το σχετικό όριο.</span></p> <p>Μέσω παραδειγμάτων, είδαμε ότι η περίπτωση της μη πληροφοριακότητας είναι δυνατόν να αφορά κατά συνθήκη σύγκλιση, κάτι αναμενόμενο, απόκλιση αλλά και απόλυτη σύγκλιση. Συνεπώς είναι γενικά αδύνατο να συνάγουμε κάτι για την συμπεριφορά σειράς για την οποία το κριτήριο είναι μη πληροφοριακό χρησιμοποιώντας μόνο το κριτήριο. Σημειώνεται επίσης ότι υπάρχουν εκλεπτύνσεις του κριτηρίου που είναι δυνατόν να μας πληροφορούν για την συμπεριφορά δεδομένης σειράς<span> </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test#The_test" target="_blank" rel="noreferrer noopener">είτε όταν το όριο της βοηθητικής ακολουθίας δεν υπάρχει</a>, <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test#Extensions_for_L_.3D_1" target="_blank" rel="noreferrer noopener">είτε όταν αυτό ισούται με ένα</a>.</p> <p>Ξεκινήσαμε να εργαζόμαστε σε απλά παραδείγματα εμφάνισης των εννοιών των πραγματικών ακολουθιών, της διαδικασίας μερικής άθροισης και των πραγματικών σειρών στα οικονομικά.</p> <p>Το πρώτο παράδειγμα αφορά σε περιοριστικό ορισμό και <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Valuation_(finance)">τιμολόγηση χρηματοοικονομικού τίτλου</a>. <span>Σε αυτό, εκφράσαμε υπό προϋποθέσεις την τιμή ως σειρά των κατάλληλα προεξοφλημένων αποδόσεων. Διερευνήσαμε παραδείγματα της προσέγγισής μας, ένα εκ των οποίων αφορούσε στην μη σύγκλιση κατάλληλης σειράς, ως σχετικό με την έννοια της </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Economic_bubble" target="_blank" rel="noreferrer noopener">χρηματοοικονομικής φούσκας</a><span>. Η περιορισμένη εκφραστικότητα του υποδείγματος συνεπάγονταν στο εν λόγω παράδειγμα τον απειρισμό της τιμής (εξαιτίας της απόκλισης της σειράς των παρουσών αξιών των αποδόσεων), κάτι που προφανώς δεν παρατηρείται στην πραγματικότητα.</span></p> <p>Το δεύτερο, εμπίπτει στα πλαίσια της νομισματικής θεωρίας όπου συναντάμε τις έννοιες της πραγματικής ακολουθίας και της πραγματικής σειράς. Αυτό αφορά στην δημιουργία χρήματος από τις θεμελιώδεις λειτουργίες του τραπεζικού συστήματος, το οποίο αποτελείται από την κεντρική και τις εμπορικές τράπεζες και στο οποίο υπάρχει η <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Fractional-reserve_banking" target="_blank" rel="noreferrer noopener">τεχνολογία των κλασματικών διαθεσίμων</a>.</p> <p><span>Η κατασκευή πιο εκφραστικών υποδειγμάτων, αλλά και η εξέταση της έννοιας της δυναμοσειράς και των συνακόλουθων εφαρμογών, διευκολύνεται από την γενίκευση των έννοιών που έχουμε δει μέχρι τώρα εισάγωντας και την έννοια της ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού.</span></p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Absconrt.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ,</a> <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/FinancialSeqSer.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>, και <span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Genseqser_cor.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a><span>.</span> Ένα γενικότερο υπόδειγμα αποτίμησης σε υπόβαθρο αβεβαιότητας (το οποίο προφανώς είναι εκτός της ύλης του μαθήματος) μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202019-20/%CE%93%CE%B5%CE%BD%CE%B9%CE%BA%CF%8C%20%CE%A5%CF%80%CF%8C%CE%B4%CE%B5%CE%B9%CE%B3%CE%BC%CE%B1%20%CE%91%CF%80%CE%BF%CF%84%CE%AF%CE%BC%CE%B7%CF%83%CE%B7%CF%82%20%CE%A7%CF%81%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%BF%CE%BF%CE%B9%CE%BA%CE%BF%CE%BD%CE%BF%CE%BC%CE%B9%CE%BA%CE%BF%CF%8D%20%CE%A4%CE%AF%CF%84%CE%BB%CE%BF%CF%85/cap_notes_2_0809.pdf">εδώ</a> <span>(και περισσότερες λεπτομέρειες για αυτό μπορείτε να βρείτε στο </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%A0%CE%B1%CE%BB%CE%B1%CE%B9%CF%8C%CF%84%CE%B5%CF%81%CE%B1%20%CE%88%CF%84%CE%B7/9789606355387_deigma.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">κεφ. 9</a><span>του εγχειριδίου που ενδεχομένως έχετε επιλέξει στο μάθημα της Στατιστικής ΙΙ).</span></p> <p>Τους πίνακες των από απόστασης διαλέξεων του Ακ. Έτους 2020-21, που μεταξύ άλλων, αναφέρονται και στα παραπάνω να βρείτε<span> </span><span></span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%2016-17.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a><span> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%2019.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</span></p> <p><strong>Άσκηση (ίσως λίγο δύσκολη)</strong>: Έστω η αρμονική σειρά. Να δειχθεί ότι είναι δυνατόν να επιλεγεί άπειρο πλήθος συνετελεστών της το οποίο σχηματίζει συγκλίνουσα σειρά (μπορείτε να χρησιμποποιήσετε το πως λειτουργεί το κριτήριο του πηλίκου για να το δείξετε).</p>Sun, 15 Dec 2024 21:02:09 +0300Sun, 15 Dec 2024 21:02:09 +0300555https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=554&course=OIK228<p>Συνεχίσαμε την διερεύνηση του ζητήματος σύγκλισης της υπεραρμονικής σειράς.  Στα πλαίσια αυτού του παραδείγματος, είδαμε ότι είναι δυνατόν η φραγή της σχετικής ΑΜΑ να προκύπτει μέσω της επιλογής κατάλληλης βοηθητικής πραγματικής ακολουθίας η οποία δεν είναι γενικά προφανής. Κατανοήσαμε έτσι την ανάγκη ύπαρξης "υπολογιστικά απλού" τρόπου διαπίστωσης της σύγκλισης σε κάποιες τουλάχιστον περιπτώσεις.</p> <p>Μέσω περαιτέρω παραδείγματος παρατηρήσαμε ότι σε κάποιες περιπτώσεις η φραγή της ΑΜΑ είναι δυνατόν να προκύψει μέσω της κατά σημείο σύγκρισης της παραπάνω με κατάλληλα επιλεγμένη συγκλίνουσα γεωμετρική. Αυτό τελικά μας οδήγησε στην κατασκευή γενικού κριτηρίου το οποίο θα μας πληροφορεί σε κάποιες περιπτώσεις για το αν δεδομένη σειρά υπάρχει μέσω μιας υπολογιστικά "λιγότερο περίπλοκης" διαδιακασίας.</p> <p>Ξεκινήσαμε να χρησιμοποιούμε την καταχρηστική ορολογία που χρησιμοποιείται γενικότερα στις σχετικές βιβλιογραφίες περί "σύγκλισης σειρών".</p> <p>Προκειμένου για την διατύπωση του κριτηρίου του πηλίκου ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με  εκλέπτυνση της έννοιας σύγκλισης σειρών, εν προκειμένω με την έννοια της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_convergence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">απόλυτης σύγκλισης</a>.</p> <p>Αποδείξαμε ότι η απόλυτη σύγκλιση αποτελεί γνήσια εκλέπτυνση της συνήθους σύγκλισης, ενώ αναφέραμε εν συντομία το<span> </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_series_theorem" target="_blank" rel="noreferrer noopener">Θεώρημα Σειρών του Riemann</a><span> </span>και το ότι ανν έχουμε απόλυτη σύγκλιση η αναδιάταξη των όρων της σειράς δεν επηρεάζει την άθροιση. </p> <p>Μέσω του παραπάνω μπορέσαμε και διατυπώσαμε το <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test" target="_blank" rel="noreferrer noopener">Κριτήριο του Πηλίκου</a> το οποίο (σε κάποιες περιπτώσεις) αποφαίνεται για το αν δεδομένη σειρά συγκλίνει απολύτως ή αποκλίνει  και ξεκινήσαμε να εργαζόμαστε με αυτό.</p> <p>Παρατηρήσαμε ότι επί της ουσίας λειτουργεί μέσω της σύγκρισης με γεωμετρική σειρά ο συντελεστής της οποίας σχετίζεται με το όριο της βοηθητικής ακολουθίας των πηλίκων των απολύτων τιμών των διαδοχικών όρων. Συνεπώς είναι αναμενόμενο ότι όταν τέτοια σύγκριση είναι αδύνατη (π.χ. σε υπεραρμονικές σειρές) το κριτήριο θα είναι να είναι μη πληροφοριακό όταν υπάρχει το σχετικό όριο.</p> <p>Μέσω παραδειγμάτων, είδαμε ότι η περίπτωση της μη πληροφοριακότητας είναι δυνατόν να αφορά κατά συνθήκη σύγκλιση, κάτι αναμενόμενο, απόκλιση αλλά και απόλυτη σύγκλιση. Συνεπώς είναι γενικά αδύνατο να συνάγουμε κάτι για την συμπεριφορά σειράς για την οποία το κριτήριο είναι μη πληροφοριακό χρησιμοποιώντας μόνο το κριτήριο. Παρατηρήσαμε επίσης ότι υπάρχουν εκλεπτύνσεις του κριτηρίου που είναι δυνατόν να μας πληροφορούν για την συμπεριφορά δεδομένης σειράς<span> </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test#The_test" target="_blank" rel="noreferrer noopener">είτε όταν το όριο της βοηθητικής ακολουθίας δεν υπάρχει</a>, <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test#Extensions_for_L_.3D_1" target="_blank" rel="noreferrer noopener">είτε όταν αυτό ισούται με ένα</a></p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε<span> </span><span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Series2.pdf">εδώ</a>,<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/hyperharmonic.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>,  και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Absconrt.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>. </p> <p>Τους πίνακες των από απόστασης διαλέξεων του Ακ. Έτους 2020-21, που μεταξύ άλλων, αναφέρονται και στα παραπάνω να βρείτε<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%2012-13.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>,  <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%A3%CF%85%CE%BD%CE%AD%CF%87%CE%B5%CE%B9%CE%B1%20%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%CF%82%2013.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και<span> </span><span></span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%2016-17.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a><span>.</span>Αντίστοιχους σχετικούς πίνακες από απόστασης διάλεξης από το Ακ. Έτος 2021-22 μπορείτε να βρείτε<a href="https://auebgr.sharepoint.com/:b:/s/2021-22448/EZwB6iT803BPvOWW33aod9ABoALi3enJkdSNN0wdte1tsw?e=Oheqmn" target="_blank" rel="noreferrer noopener"><span> εδώ</span></a>.</p> <p> </p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις</strong> (προσπαθήστε να λύσετε τις 1-4 τόσο χρησιμοποιώντας αποκλειστικά το κριτήριο του πηλίκου όσο και χωρίς να το χρησιμοποίησετε).</p> <ol> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i!}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bx%5E%7Bi%7D%7D%7Bi%21%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i!}" /> συγκλίνει για κάθε <img class="latex" title="x\geq 0" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=x%5Cgeq+0&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="x\geq 0" />.</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(i+1)^m},\: 0\leq m &lt;1" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%28i%2B1%29%5Em%7D%2C%5C%3A+0%5Cleq+m+%3C1&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(i+1)^m},\: 0\leq m &lt;1" /> αποκλίνει.</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i^{m}))" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cexp%28-%28i%5E%7Bm%7D%29%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i^{m}))" /> για όποιο <img class="latex" style="border:medium;vertical-align:middle;height:auto;" title="m&gt;1" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=m%3E1&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="m&gt;1" /> συγκλίνει. Υπόδειξη: Μπορείτε να συσχετίσετε την συμπεριφορά της εν λόγω σειράς με την ανάλογη υπεραρμονική. Μπορείτε για μεγαλύτερη ευκολία να ασχοληθείτε με την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i+1)^{m}))" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cexp%28-%28i%2B1%29%5E%7Bm%7D%29%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i+1)^{m}))" /> ή/και να δείτε την προηγούμενη μόνο για m=2).</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(i)+1}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%28i%29%2B1%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(i)+1}" /> αποκλίνει.</li> <li>Επινοήστε όσο το δυνατόν περισσότερες σειρές και προσπαθήστε να διαπιστώσετε το αν συγκλίνουν χρησιμοποιώντας πλέον αποκλειστικά το κριτήριο. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε και αυτές που αναφέρονται σε παλαιότερες αναρτήσεις.</li> <li>Προσπαθήστε να ερμηνεύσετε στα πλαίσια της οικονομικής θεωρίας το τι θα συνέβαινε  στο άνω φράγμα της συνολικής προσφοράς χρήματος αν οι εμπορικές τράπεζες δεν είχαν υποχρέωση διακράτησης ρευστών διαθεσίμων (<img class="latex" title="a=0" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=a%3D0&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="a=0" />);</li> </ol>Sun, 08 Dec 2024 02:19:25 +0300Sun, 08 Dec 2024 02:19:25 +0300554https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=550&course=OIK228<p><span>Στα πλαίσια των γενικών ερωτημάτων πέρι ύπαρξης και εύρεσης δεδομένης σειράς, εξετάσαμε το παράδειγμα της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">γεωμετρικής σειράς</a>. Παρατηρήσαμε ότι σε αυτό είναι δυνατόν με στοιχειώδεις τρόπους να επιλυθεί η έκφραση του γενικού όρου της σχετικής ΑΜΑ και στην συνέχεια αυτός να εξεταστεί ως προς την σύγκλιση. </span></p> <p><span>Συνεχίσαμε με το παράδειγμα</span><span> της </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)" target="_blank" rel="noreferrer noopener">αρμονικής</a> σειράς και εκμεταλλευόμενοι την προεργασία που είχαμε κάνει για την προσέγγιση του γενικού όρου της αρμονικής ΑΜΑ από ολοκλήρωμα, δείξαμε ότι η εν λόγω σειρά δεν υπάρχει επειδή η ΑΜΑ αυτής δεν είναι φραγμένη.</p> <p><span>Αναφερθήκαμε στο παράδειγμα της </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)#Alternating_harmonic_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εναλλάσουσας αρμονικής</a> η οποία υπάρχει και ισούται με ln(2), και σημειώσαμε ότι τα εννοιολογικά εργαλεία που έχουμε συγκεντρώσει μέχρι τώρα δεν επαρκούν για να εξετάσουμε το τι συμβάινει με αυτό το παράδειγμα•θα μας χρησιμεύσουν οι δυναμοσειρές. Επιφυλαχθήκαμε με το παράδειγμα της<span> </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)#p-series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">υπεραρμονικής</a><span> σειράς.</span></p> <p>Παρατηρήσαμε ότι με την εξαίρεση παραδειγμάτων όπως αυτό της γεωμετρικής σειράς, όπου ήταν "εύκολο" να βρεθεί και να ελεγχθεί ως προς την σύγκλιση γενικός τύπος για την μερική άθροιση, γενικά τα ζητήματα i) της ύπαρξης δεδομένης σειράς και ii) της εύρεσης του με τι ισούται όταν υπάρχει, εμφανίζουν δυσκολίες στην γενική τους επίλυση ανάλογες με αυτές των διαδικασιών ολοκλήρωσης.</p> <p>Εστιάζοντας κυρίως στο ζήτημα της διακρίβωσης του εάν δεδομένη σειρά υπάρχει, ξεκινήσαμε την διατύπωση θεμελιώδους λογισμού σειρών που βασίζεται στον λογισμό που έχουμε αναπτύξει για τα όρια. Έτσι καταρχάς είδαμε ότι όταν η αρχική ακολουθία αποτελείται από ομόσημους όρους τότε, και επειδή η ακολουθία μερικών αθροισμάτων αυτής είναι μονότονη, η σχετική σειρά θα υπάρχει ανν η ακολουθία μερικών αθροισμάτων είναι φραγμένη.</p> <p>Το παραπάνω χρησιμοποιήθηκε προκειμένου να δείξουμε ότι η υπεραρμονική σειρά υπάρχει. Στα πλαίσια αυτού του παραδείγματος,είδαμε ότι είναι δυνατόν η φραγή της σχετικής ΑΜΑ να προκύπτει μέσω της επιλογής κατάλληλης βοηθητικής πραγματικής ακολουθίας η οποία δεν είναι γενικά προφανής. Κατανοήσαμε έτσι την ανάγκη ύπαρξης "υπολογιστικά απλού" τρόπου διαπίστωσης της σύγκλισης σε κάποιες τουλάχιστον περιπτώσεις.</p> <p>Εξετάσαμε στοιχεία του λογισμού σειρών που άπτονται άλγεβρας συγκλινουσών σειρών, σχετίσαμε το ζήτημα της σύγκλισης σειράς με την σύγκλισης της σειράς που προκύπτει αν από την αρχική εξαιρέσουμε πεπερασμένο πλήθος των αρχικών της όρων.</p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limser.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Στοιχεία των παραπάνω μπορείτε να βρείτε και στους πίνακες των από απόσταση διαλέξεων του Έτους 2020-21, <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%A3%CF%84%CE%BF%CE%B9%CF%87%CE%B5%CE%AF%CE%B1%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%2010-11.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%2012-13.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <h3>Περαιτέρω Ασκήσεις</h3> <ol> <li>Ισχύει ότι <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}b_{i}=\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}\sum_{i=0}^{\infty}b_{i}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Da_%7Bi%7Db_%7Bi%7D%3D%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Da_%7Bi%7D%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Db_%7Bi%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}b_{i}=\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}\sum_{i=0}^{\infty}b_{i}" />; Υπάρχει περίπτωση να μην υπάρχει κάποια από τις δύο σειρές στην δεξιά πλευρά και να υπάρχει η σειρά στην αριστερή πλευρά της εν λόγω ισότητας;</li> <li>Να δείξετε ότι <img class="latex" title="\lim_{k\rightarrow\infty}\sum_{i=k}^{\infty}x_{i}=0" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Clim_%7Bk%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Csum_%7Bi%3Dk%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dx_%7Bi%7D%3D0&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\lim_{k\rightarrow\infty}\sum_{i=k}^{\infty}x_{i}=0" /> όταν η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}x_{i}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dx_%7Bi%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}x_{i}" /> υπάρχει.</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i!}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bx%5E%7Bi%7D%7D%7Bi%21%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i!}" /> υπάρχει για κάθε <img class="latex" title="x\geq 0" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=x%5Cgeq+0&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="x\geq 0" />.</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(i+1)^m},\: 0\leq m &lt;1" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%28i%2B1%29%5Em%7D%2C%5C%3A+0%5Cleq+m+%3C1&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(i+1)^m},\: 0\leq m &lt;1" /> δεν υπάρχει.</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i^{m}))" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cexp%28-%28i%5E%7Bm%7D%29%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i^{m}))" /> για όποιο <img class="latex" style="border:medium;vertical-align:middle;height:auto;" title="m&gt;1" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=m%3E1&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="m&gt;1" /> υπάρχει. Υπόδειξη: Μπορείτε να συσχετίσετε την συμπεριφορά της εν λόγω σειράς με την ανάλογη υπεραρμονική. Μπορείτε για μεγαλύτερη ευκολία να ασχοληθείτε με την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i+1)^{m}))" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cexp%28-%28i%2B1%29%5E%7Bm%7D%29%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i+1)^{m}))" /> ή/και να δείτε την προηγούμενη μόνο για m=2).</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(i)+1}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%28i%29%2B1%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(i)+1}" /> δεν υπάρχει.</li> <li>Χρησιμοποιώντας την γεωμετρική σειρά, και χωρίς να ασχοληθείτε με το αν μπορείτε να την «παραγωγίσετε» ως προς <img class="latex" title="a" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=a&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="a" /> προσπαθήστε να βρείτε την <img class="latex" title="\sum_{i=1}^{\infty}i a^{i}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7Di+a%5E%7Bi%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=1}^{\infty}i a^{i}" /> όταν <img class="latex" title="|a|&lt;1,\: a\neq 0" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%7Ca%7C%3C1%2C%5C%3A+a%5Cneq+0&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="|a|&lt;1,\: a\neq 0" />.</li> <li>Αν  <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} \alpha^{i},\: \sum_{i=0}^{\infty}\beta^{i}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Calpha%5E%7Bi%7D%2C%5C%3A+%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cbeta%5E%7Bi%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} \alpha^{i},\: \sum_{i=0}^{\infty}\beta^{i}" /> υπάρχουσες γεωμετρικές σειρές τότε με τι ισούται η <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} (\alpha^{i}-\beta^{i})" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%28%5Calpha%5E%7Bi%7D-%5Cbeta%5E%7Bi%7D%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} (\alpha^{i}-\beta^{i})" /> και γιατί;</li> <li>Έστω ακολουθία με αυστηρά θετικούς όρους. Δείξτε ότι η ακολουθία μερικών αθροισμάτων αυτής είναι γνησίως αύξουσα. Το αντίστροφο ισχύει;</li> </ol>Sun, 01 Dec 2024 02:41:10 +0300Sun, 01 Dec 2024 02:41:10 +0300550https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=547&course=OIK228<p><span><strong>Συνεχίζοντας</strong> την χρήση του γεωμετρικού ορισμού, είδαμε ότι αφού μια συγκλίνουσα ακολουθία έχει όρους φραγμένους από πάνω (κάτω) από πραγματικό αριθμό, τότε και το όριο αυτής δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο (αντ. μικρότερο) του φράγματος, ότι ακολουθία που βρίσκεται κατά σημείο μεταξύ συγκλινουσών ακολουθίων στο ίδιο όριο, συγκλίνει και αυτή εκεί, και ότι το ζήτημα της σύγκλισης της ακολουθίας δεν επηρεάζεται καθόλου από την συμπεριφορά όποιου πεπερασμένου μέρους της ακολουθίας.</span></p> <p><span>Παρατηρήσαμε ότι η διατύπωση στοιχείων αυτού του λογισμού θα είναι πιο ευχερής μεταγράφοντας τον αρχικό γεωμετρικό ορισμό του ορίου σε ισοδύναμο αναλυτικό ορισμό, χρησιμοποιώντας τους <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Universal_quantification" target="_blank" rel="noreferrer noopener">ποσοδείκτες</a> ("υπάρχει" και "για κάθε" ) και ανισότητες.</span></p> <p><span>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω και ασκήσεις μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limits.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limser.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</span></p> <p><span>Τους πίνακες των διαλέξεων του Ακ. Έτους 2020-21 που εμπεριέχουν και μέρος των παραπάνω, μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%A3%CF%84%CE%BF%CE%B9%CF%87%CE%B5%CE%AF%CE%B1%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%207-8_b.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%209.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>. </span></p> <p><strong>Στην συνέχεια</strong>, μ<span>εταγράψαμε τον αρχικό γεωμετρικό ορισμό του ορίου στον ισοδύναμο του αναλυτικό ορισμό, και είδαμε πως ο τελευταίος εφαρμόζεται σε παραδείγματα και αντιπαραδείγματα. Προχωρήσαμε μέσω της χρήσης του στην διακρίβωση της σχέσης της σύγκλισης με τις αλγεβρικές πράξεις που έχουμε μελετήσει για πραγματικές ακολουθίες.</span></p> <p>Παρατηρώντας ότι η χρήση μέρους του λογισμού των ορίων έχει να κάνει με την διευκόλυνση της εξακρίβωσης του ζητήματος σύγκλισης (και ενδεχομένως της συνακόλουθης εύρεσης του ορίου) για ακολουθίες που απατελούν κατάλληλους μετασχηματισμούς ακολουθιών των οποίων η ασυμπτωτική συμπεριφορά είναι γνωστή, αναφερθήκαμε  στον μετασχηματισμό ακολουθιών μέσω σύνθεσης με κατάλληλες συναρτήσεις, και συνακόλουθα στην<span> </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Continuous_mapping_theorem">αρχή της μεταφοράς</a>. Χρησιμοποιήσαμε πολλές από τις έννοιες που έχουμε μέχρι τώρα εξάγει στην μελέτη της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς χρήσιμων στα παρακάτω παραδειγμάτων που σχετίζονται με την γεωμετρική σειρά.</p> <p><span>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω και ασκήσεις μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limits.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limser.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</span></p> <p><span>Τους πίνακες των διαλέξεων του Ακ. Έτους 2020-21 που εμπεριέχουν και μέρος των παραπάνω, μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%A3%CF%84%CE%BF%CE%B9%CF%87%CE%B5%CE%AF%CE%B1%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%207-8_b.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%209.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>. </span></p> <p><span><strong>Ξεκινώντας</strong> την ενασχόληση μας με τις </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Series_(mathematics)#Convergent_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">πραγματικές σειρές</a><span>, και προσπαθώντας να εννοιολογήσουμε το απειροπληθές άθροισμα είδαμε ότι γενικά αυτό είναι γενικά αδύνατο μέσω της άλγεβρας. Ξεκινήσαμε την εννοιολόγηση ορίζοντας την έννοια της ακολουθίας μερικών αθροισμάτων δεδομένης πραγματικής ακολουθίας που περικλείει του συντελεστές του αθροίσματος. Αυτή μπορεί να θεωρηθεί ως διαδικασία "ολοκλήρωσης ", ενώ η ζητούμενη έννοια της σειράς ως προς την ακολουθία των συντελεστών είναι το όριο αυτής όταν αυτό υπάρχει. Εξετάσαμε παραδείγματα μεταξύ των οποίων αυτά της </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">γεωμετρικής</a><span>, της </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)" target="_blank" rel="noreferrer noopener">αρμονικής</a><span>, της </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)#Alternating_harmonic_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εναλλάσουσας αρμονικής</a><span> και της </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)#p-series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">υπεραρμονικής</a><span> ακολουθίας μερικών αθροισμάτων. Ορίσαμε την έννοια της σειράς ως το όριο της ακολουθίας μερικών αθροισμάτων των συντελεστών.</span></p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limser.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Στοιχεία των παραπάνω μπορείτε να βρείτε και στους πίνακες των από απόσταση διαλέξεων του Έτους 2020-21, <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%A3%CF%84%CE%BF%CE%B9%CF%87%CE%B5%CE%AF%CE%B1%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%2010-11.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%2012-13.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <h3>Περαιτέρω Ασκήσεις</h3> <ol> <li>Να οριστεί αυστηρά η αντίστροφη της διαδικασίας μερικής άθροισης.</li> <li>Να δείξετε ότι κάθε άθροισμα πεπερασμένου πλήθους όρων είναι δυνατόν να γραφεί ως κάταλληλη σειρά.</li> </ol>Sat, 23 Nov 2024 02:05:40 +0300Sat, 23 Nov 2024 02:05:40 +0300547https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=544&course=OIK228<p>Προοικονομώντας την έννοια του ορίου, δείξαμε ότι όταν μια ακολουθία συνδυάζει τις ιδιότητες της μονοτονίας και της φραγής τότε διαθέτει ένα ενδιαφέρον<span> </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Monotone_convergence_theorem" target="_blank" rel="noreferrer noopener">χαρακτηριστικό</a> συγκέντρωσης. Ξεκινήσαμε την ανάπτυξη της έννοιας χρησιμοποιώντας το γενικό παράδειγμα φραγμένης και αύξουσας ακολουθίας όπου και είδαμε ότι θα εμφανίζει μορφή "ασυμπτωτικής συγκέντρωσης" "γύρω από" το sypremum της. Δυικά ισχύει  "ασυμπτωτικής συγκέντρωσης" όποιας φραγμένης και φθίνουσας ακολουθίας "γύρω από" το infimum της.</p> <p>Τα παραπάνω μας οδήγησε στην ακριβή (καταρχάς γεωμετρική) διατύπωση της έννοιας του ορίου πραγματικής ακολουθίας. Μέσω αυτής διαπιστώσαμε ότι υπάρχουν τόσο συγκλίνουσες (π.χ. οι φραγμένες και μονότονες) όσο και αποκλίνουσες ακολουθίες (π.χ. εναλλάσουσες).<span> </span></p> <p><span>Ξεκινήσαμε την εξαγωγή μιας σειρά από αποτελέσματα που συγκροτούν ένα μικρό μέρος του (ατελούς) λογισμού που χρησιμεύει στην διακρίβωση του αν μια ακολουθία είναι συγκλίνουσα, ή/και όταν είναι, στην εύρεση του ορίου αυτής. Έπι παραδείγματι, μέσω της χρήσης του γεωμετρικού ορισμού είδαμε ότι το όριο όταν υπάρχει είναι μοναδικό. </span></p> <p><span>Είδαμε ότι αν μια ακολουθία είναι συγκλίνουσα είναι και φραγμένη οπότε ισοδύναμα αν μια ακολουθία είναι μη φραγμένη τότε αναγκαστικά είναι αποκλίνουσα, ότι όταν μια συγκλίνουσα ακολουθία έχει όρους φραγμένους από πάνω (κάτω) από πραγματικό αριθμό, τότε και το όριο αυτής δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο (αντ. μικρότερο) του φράγματος, ότι ακολουθία που βρίσκεται κατά σημείο μεταξύ συγκλινουσών ακολουθίων στο ίδιο όριο, συγκλίνει και αυτή εκεί, και ότι το ζήτημα της σύγκλισης της ακολουθίας δεν επηρεάζεται καθόλου από την συμπεριφορά όποιου πεπερασμένου μέρους της ακολουθίας.</span></p> <p><span>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω και ασκήσεις μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limits.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limser.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</span></p> <p><span>Τους πίνακες διαλέξεων προηγούμενων ακαδημαϊκών ετών που εμπεριέχουν και μέρος των παραπάνω, μπορείτε να βρείτε  <a href="https://auebgr.sharepoint.com/:b:/s/2021-22448/EcEFRl1V5YhGi9NW0QA8vrIB1qwTjgj8k0tsN8R415aY0Q?e=WKqj1D" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>, <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%A3%CF%84%CE%BF%CE%B9%CF%87%CE%B5%CE%AF%CE%B1%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%207-8_b.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>, <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%209.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>, και <a href="https://auebgr.sharepoint.com/:b:/s/2021-22448/EaXKgOvByCZJg5U5VpUV4HkB1XrIJYymFbygzwBMbiunyA?e=6FGnVR" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>. Περαιτέρω σχόλια μπορείτε να βρείτε <a href="https://auebgr.sharepoint.com/sites/2021-22448/Shared%20Documents/General/STYLIANOS%20ARVANITIS-%CE%A3%CF%87%CE%BF%CC%81%CE%BB%CE%B9%CE%B1%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%B5%CC%81%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%206-7.mp4" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</span></p> <h3><span>Περαιτέρω Ασκήσεις</span></h3> <ol> <li><span>Έστω συγκλίνουσα ακολουθία όπου κάθε όρος της οποίας είναι αυτηρά μεγαλύτερος (αντ. μικρότερος) του πραγματικού αριθμού C. Να δειχθεί ότι το όριο είναι επίσης μεγαλύτερο (αντ. μικρότερο) ή ίσο του C. Γιατί είναι δυνατόν να είναι ίσο;</span><span></span></li> <li><span>'Εστω ακολουθία για την οποία οι απόλυτες τιμές σχεδόν όλων των όρων είναι μεγαλύτερες ή ίσες των απολύτων τιμών των αντίστοιχων όρων ακολουθίας που δεν είναι φραγμένη. Να δειχθεί ότι η αρχική ακολουθία είναι αποκλίνουσα.</span></li> <li><span>Δείξτε ότι συγκλίνουσα ακολουθία με κάτω φράγμα το 1 δεν μπορεί να έχει όριο μικρότερο του 1.</span></li> <li><span>Δείξτε ότι συγκλίνουσα ακολουθία με άνω φράγμα το 1 δεν μπορεί να έχει όριο μεγαλύτερο του 1.</span></li> <li><span>Δείξτε ότι το όριο συγκλίνουσας ακολουθίας δεν μπορεί να είναι μικρότερο από το inf και μεγαλύτερο από το sup αυτής.</span></li> <li>Χρησιμοποιώντας τον γεωμετρικό ορισμό του ορίου να δειχθεί ότι κάθε<span> </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Subsequence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">υπακολουθία</a> συγκλίνουσας ακολουθίας συγκλίνει επίσης στο ίδιο όριο.</li> </ol>Sat, 09 Nov 2024 22:20:07 +0300Sat, 09 Nov 2024 22:20:07 +0300544https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=543&course=OIK228<p>Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με το ζήτημα της φραγής ως προς τις πραγματικές ακολουθίες εξετάζοντας παραδείγματα και άντιπαραδείγματα. Παρατηρήσαμε ότι ως προς το ερώτημα του αν δεδομένη ακολουθία είναι φραγμένη, η άμεση χρήση του ορισμού είναι γενικά δυσχερής. Προσπαθήσαμε να το αντιμετωπίσουμε, τουλάχιστον ως προς το ότι θα μας απασχολήσει στην συνέχεια, μέσω της ανάπτυξης ενός μικρού σχετικού λογισμού. Έτσι ασχοληθήκαμε με την εξαγωγή αποτελεσμάτων που π.χ. αποδίδουν την ιδιότητα της φραγής σε πραγματική ακολουθία μέσω κατάλληλης (σχεδόν παντού) σύγκρισης με φραγμένη ακολουθία, μέσω της εύρεσης απολύτων φραγμάτων, και μέσω της διαπίστωσης της ύπαρξης φραγμάτων που καλύπτουν σχεδόν όλη την ακολουθία, όπως και με τις δυικές εκδοχές αυτών των αποτελεσμάτνω. Αντιστοίχως, δείξαμε π.χ. ότι οι αλγεβρικές πράξεις διατηρούν την φραγή (έτσι π.χ. το σύνολο των φραγμένων πραγματικών ακολουθιών είδαμε ότι αποτελεί<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK269/LinAlg2.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">διανυσματικό υποχώρο</a><span> </span>του συνόλου των πραγματικών ακολουθιών ως προς τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτου πολλαπλασιασμού). Ολοκληρώσαμε την καταρχάς διερεύνηση της φραγής δείχνοντας ότι το άθροισμα φραγμένης με μη φραγμένη ακολουθία είναι μη φραγμένη ακολουθία.</p> <p>Παρατηρήσαμε ότι η διάταξη με την οποία εμφανίζονται οι όροι μιας πραγματικής ακολουθίας μέσα σε αυτή δεν συμφωνεί αναγκαστικά με την διάταξη τους στην πραγματική ευθεία. Όταν οι δύο αυτές διατάξεις σχετίζονται μονότονα αποκτούμε την έννοια της μονότονης ακολουθίας. Διατυπώσαμε τον ορισμό ο οποίος βασίζεται στην έννοια <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Monotonic_function" target="_blank" rel="noreferrer noopener">μονότονης πραγματικής συνάρτησης</a>, και στην συναρτησιακή μορφή των ακολουθιών.</p> <p>Δείξαμε ότι η μονοτονία προκύπτει ισοδύναμα από την σύγκριση μεταξύ των όρων σε κάθε ζεύγος διαδοχικών όρων της ακολουθίας. Παρατηρήσαμε ότι οι (γνησίως) αύξουσες ακολουθίες είναι αναγκαστικά φραγμένες από κάτω, ενώ δυικά οι (γνησίως) φθίνουσες ακολουθίες είναι αναγκαστικά φραγμένες από πάνω. Παρόλα αυτά υπάρχουν μονότονες ακολουθίες που δεν είναι φραγμένες ακριβώς επειδή τους λείπει η ύπαρξη του έτερου φράγματος, ενώ υπάρχουν και ακολουθίες που δεν είναι ούτε μονότονες ούτε και φραγμένες.</p> <p>Παρατηρήσαμε τέλος ότι όταν  μια ακολουθία συνδυάζει και τις δύο ανωτέρω ιδιότητες τότε διαθέτει ένα ενδιαφέρον<span> </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Monotone_convergence_theorem" target="_blank" rel="noreferrer noopener">χαρακτηριστικό</a><span> </span>το οποίο μας βοηθάει στην νοηματοδότηση της έννοιας του ορίου.<span></span></p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω όπως και κάποιες ασκήσεις μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq3.pdf">εδώ</a>.</p> <p>Τους πίνακες διαλέξεων <span>που εμπεριέχουν την πραγμάτευση αντίστοιχων εννοιών στο Ακ. Έτος 2020-21 </span>μπορείτε να βρείτε<span> </span><a href="https://auebgr.sharepoint.com/:b:/s/2021-22448/EcEFRl1V5YhGi9NW0QA8vrIB1qwTjgj8k0tsN8R415aY0Q?e=WKqj1D" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>,<span> </span><a href="https://auebgr.sharepoint.com/:b:/s/2021-22448/EQp5J5QIVVhBhmC65X8O-DgBa6ZQtQBEAGcirmNv6F979w?e=z9AKLI" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> (σελ. 1-9),  <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq3.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limits.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Περαιτέρω σχόλια μπορείτε να βρείτε<span> </span><a href="https://auebgr.sharepoint.com/sites/2021-22448/Shared%20Documents/General/STYLIANOS%20ARVANITIS-%CE%A3%CF%87%CE%BF%CC%81%CE%BB%CE%B9%CE%B1%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%B5%CC%81%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%206-7.mp4" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις:</strong></p> <ol> <li>Να δειχθεί ότι αν η<span> </span><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28y_%7Bn%7D%29" alt="gif.latex?%28y_%7Bn%7D%29" /> φραγμένη ανν κάθε <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Subsequence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">υπακολουθία</a> της επίσης φραγμένη.</li> <li>Να δειχθεί ότι για κάθε μονότοτονη ακολουθία, κάθε υπακολουθία αυτής έχει την ίδια ή ισχυρότερη μονοτονία.</li> <li>Nα δειχθεί ότι αν οι<span> </span><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28x_%7Bn%7D%29%2C%5C%3A%28y_%7Bn%7D%29" alt="gif.latex?%28x_%7Bn%7D%29%2C%5C%3A%28y_%7Bn%7D%29" /> είναι αύξουσες, τότε και η<span> </span><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cmax%28x_%7Bn%7D%2Cy_%7Bn%7D%29%20%5Cright%20%29" alt="gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cmax%28x_%7Bn%7D%2Cy_%7Bn%7D%29%20%5Cright%20%29" /><span> </span>είναι (ενδεχομένως γνησίως) αύξουσα.</li> </ol>Sun, 03 Nov 2024 22:33:59 +0300Sun, 03 Nov 2024 22:33:59 +0300543https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=542&course=OIK228<p>Συνεχίσαμε με την διερεύνηση της έννοιας της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Bounded_function" target="_blank" rel="noreferrer noopener">φραγμένης πραγματικής συνάρτησης</a>, εκκινώντας από την έννοια της<span> </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Infimum_and_supremum" target="_blank" rel="noreferrer noopener">φραγής από πάνω</a>, εξετάζοντας παραδείγματα και άντι-παραδείγματα. Ασχοληθήκαμε αντιστοίχως με την δυική έννοια της φραγής από κάτω. Συνδυάζοντας τα προηγούμενα αποκτήσαμε τελικά την έννοια της φραγής για πραγματικές συναρτήσεις.</p> <p>Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω διατυπώσαμε τελικά τον ορισμό της φραγμένης πραγματικής ακολουθίας χρησιμοποιώντας καταρχάς την συνάρτησιακή της μορφή. Είδαμε παραδείγματα και αντί παραδείγματα.</p> <p>Ξεκινήσαμε την διατύπωση και απόδειξη βοηθητικών αποτελεσμάτων. Το πρώτο αφορά στην διατύπωση ισοδύναμου ορισμού χρησιμοποιώντας την έννοια του απολύτου φράγματος∙ αυτό επιτρέπει την ενασχόληση με την εύρεση ενός αντί για δύο φράγματα, και επομένως μπορεί να διαυκολύνει την ανάλυση σε κάποιες περιπτώσεις.</p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq1.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>,<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq2.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ,</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq3.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Τους πίνακες των σχετικών από απόσταση διαλέξεων του Ακ. Έτους 2020-21 μπορείτε να βρείτε<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%204-5.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Περαιτέρω σχόλια μπορείτε να βρείτε<span> </span><a href="https://auebgr.sharepoint.com/sites/2021-22448/Shared%20Documents/General/STYLIANOS%20ARVANITIS-%CE%A3%CF%87%CE%BF%CC%81%CE%BB%CE%B9%CE%B1%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%B5%CC%81%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%206-7.mp4" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p> </p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις:</strong></p> <ol> <li>Να δειχθεί ότι αν οι <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28x_%7Bn%7D%29%2C%5C%3A%28y_%7Bn%7D%29" alt="gif.latex?%28x_%7Bn%7D%29%2C%5C%3A%28y_%7Bn%7D%29" /> φραγμένες τότε και η<span> </span><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cmax%28x_%7Bn%7D%2Cy_%7Bn%7D%29%20%5Cright%20%29" alt="gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cmax%28x_%7Bn%7D%2Cy_%7Bn%7D%29%20%5Cright%20%29" /> φραγμένη.</li> <li>Να δειχθεί ότι η ακολουθία <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bn%7Dx%5E%7B2%7Ddx%20%5Cright%20%29" alt="gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bn%7Dx%5E%7B2%7Ddx%20%5Cright%20%29" /> δεν είναι φραγμένη.</li> <li>Να δειχθεί ότι αν η<span> </span><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28y_%7Bn%7D%29" alt="gif.latex?%28y_%7Bn%7D%29" /> φραγμένη και<span> </span><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%7C%20x_%20%7Bn%7D%20%5Cright%20%7C%20%3C%20%5Csup%5Cleft%20%7Cy_%7Bn%7D%5Cright%20%7C%2C%5C%3A%5Cforall%20n%5Cgeq%20%5Cmathbb%7BN%7D" alt="gif.latex?%5Cleft%20%7C%20x_%20%7Bn%7D%20%5Cright%20%7C%20%3C%20%5Csup%5Cleft%20%7Cy_%7Bn%7D%5Cright%20%7C%2C%5C%3A%5Cforall%20n%5Cgeq%20%5Cmathbb%7BN%7D" /> , τότε υπάρχει κάποιος φυσικός<span> </span><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?n%5E%7B%5Cstar%7D" alt="gif.latex?n%5E%7B%5Cstar%7D" />, τέτοιος ώστε<span> </span><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%7C%20x_%20%7Bn%7D%20%5Cright%20%7C%20%5Cleq%20%5Cleft%20%7Cy_%7Bn%7D%5Cright%20%7C%2C%5C%3A%5Cforall%20n%5Cgeq%20n%5E%7B%5Cstar%7D" alt="gif.latex?%5Cleft%20%7C%20x_%20%7Bn%7D%20%5Cright%20%7C%20%5Cleq%20%5Cleft%20%7Cy_%7Bn%7D%5Cright%20%7C%2C%5C%3A%5Cforall%20n%5Cgeq%20n%5E%7B%5Cstar%7D" />.</li> </ol>Tue, 29 Oct 2024 17:37:58 +0300Tue, 29 Oct 2024 17:37:58 +0300542https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=539&course=OIK228<p>Παρουσιάσαμε περαιτέρω παραδείγματα πραγματικών ακολουθιών, κάποια εκ των οποίων άπτονται της της θεωρίας πιθανοτήτων. Εξετάσαμε ζητήματα περιγραφής και συμβολισμών. Χρησιμοποιώντας τον διανυσματικό ορισμό εξετάσαμε την έννοια της ισότητας πραγματικών ακολουθιών η οποία και αποτελεί κατά "φυσικό τρόπο" επέκταση της έννοιας της ισότητας πραγματικών διανυσμάτων. Εξετάσαμε συνοπτικά μια γενίκευση αυτής, η οποία επιτρέπει την συσχέτιση δύο πραγματικών ακολουθιών ως σχεδόν παντού ίσες ακόμη και όταν έχουν διαφορετικές συνιστώσες σε πεπερασμένο πλήθος θέσεων.</p> <p>Χρησιμοποιώντας τον διανυσματικό ορισμό εξετάσαμε παραδείγματα αλγεβρικών πράξεων μεταξύ ακολουθιών όπως η κατά σημείο πρόσθεση και ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός (ως προς αυτές το σύνολο των πραγματικών ακολουθιών είναι <a href="/modules/document/file.php/OIK269/LinAlg1.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">διανυσματικός χώρος</a>) καθώς και την πράξη του σημειακού πολλαπλασιασμού.</p> <p>Στην συνέχεια και χρησιμοποιώντας τον συναρτησιακό ορισμό ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με αναλυτικές ιδιότητες που μπορεί να έχουν πραγματικές ακολουθίες. Ξεκινήσαμε την διερεύνηση της έννοιας της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Bounded_function" target="_blank" rel="noreferrer noopener">φραγμένης πραγματικής συνάρτησης</a>, εκκινώντας από την έννοια της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Infimum_and_supremum" target="_blank" rel="noreferrer noopener">φραγής από πάνω</a>.</p> <p>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq1.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και<a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq1.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener"> </a><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq2.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>. </p> <p>Τους πίνακες των διαλέξεων που εμπεριέχουν την πραγμάτευση αντίστοιχων εννοιών στο Ακ. Έτος 2020-21 μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%202-%CE%9F%CF%81%CE%B9%CF%83%CE%BC%CE%BF%CE%AF.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>, <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%203.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> (υπάρχει λάθος σε υπόδειξη που δίνεται για την μεταβατική ιδιότητα της σχεδόν παντού ισότητας-ποιό και πως μπορεί να αναταχθεί;),  και<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%204-5.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> (σελ. 2).</p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις</strong></p> <p>1. Να δειχθεί ότι αν για τρείς ακολουθίες, η πρώτη είναι σχεδόν παντού ίση με την δεύτερη, και η δεύτερη είναι σχεδόν παντού ίση με την τρίτη, τότε το πλήθος των θέσεων που μπορεί να έχουν διαφορετικούς όρους η πρώτη και η τρίτη είναι μικρότερο ίσο από το άθροισμα του αντίστοιχου πλήθους μεταξύ πρώτης και δεύτερης και αυτού μεταξύ δεύτερης και τρίτης.</p> <p>2. Ως προς την παραπάνω άσκηση, να βρεθούν παραδείγματα όπου το πλήθος των θέσεων που μπορεί να έχουν διαφορετικούς όρους η πρώτη και η τρίτη, α) είναι μηδέν, β) είναι θετικό αλλά αυστηρά μικρότερο του παραπάνω αθροίσματος, γ) είναι θετικό και ίσο με το παραπάνω άθροισμα.</p> <p>3. Να δειχθεί ότι η σχεδόν παντού ισότητα είναι μεταβατική.</p> <p>4. Τι συμπεραίνετε από την χρήση της έννοιας της σχεδόν παντού ισότητας σε n-διάστατα πραγματικά διανύσματα;</p> <p>5.  Να βρεθεί παράδειγμα πραγματικής ακολουθίας όπου η ιδιότητα P δεν ισχύει για θετικό αλλά πεπερασμένο πλήθος όρων, όταν α) P="ο πραγματικός x είναι άρτιος φυσικός", β) α) P="ο πραγματικός x είναι άρρητός".</p> <p>6. Για P όπως στην προηγούμενη άσκηση, να βρεθεί παράδειγμα πραγματικής ακολουθίας όπου η ιδιότητα P ισχύει για άπειρο πλήθος όρων, και ταυτόγχρονα δεν ισχύει για άπειρο πλήθος όρων.</p>Sun, 20 Oct 2024 03:39:42 +0300Sun, 20 Oct 2024 03:39:42 +0300539https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=538&course=OIK228<p>Η πρώτη διάλεξη είχε καταρχάς τον χαρακτήρα ενημέρωσης για ζητήματα που άπτονται της διεξαγωγής του μαθήματος. Τα παραπάνω εν μέρει περιγράφονται στην σύνοψη του μαθήματος η οποία βρίσκεται <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202024-25/%CE%A3%CF%8D%CE%BD%CE%BF%CF%88%CE%B7%20%CE%9C%CE%B1%CE%B8%CE%AE%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%BF%CF%82/Math_%CE%99%CE%99%CE%99_2425_syllabus.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Επίσης, έγινε σύντομη περιγραφή και κινητροδότηση βασικών εννοιών που θα παρουσιαστούν κατά την διάρκεια του μαθήματος. Πρόχειρες σημειώσεις για αυτά όπως και<span> </span><strong>ασκήσεις</strong> για επανάληψη προγενέστερων εννοιών που είναι δυνατόν να χρειαστούν βρίσκονται <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Motiv1.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>. </p> <p><span>Προκειμένου για την κατανόηση της έννοιας του ορίου, ξεκινήσαμε την πραγμάτευση της έννοιας της πραγματικής </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Sequence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">ακολουθίας</a><span>. Εξετάσαμε δύο ισοδύναμους ορισμούς, ο πρώτος εκ των οποίων είναι βολικός για την πραγμάτευση αλγεβρικών ιδιοτήτων ενώ ο δεύτερος για την πραγμάτευση αναλυτικών ιδιοτήτων και την γενίκευση της έννοιας. Παρουσιάσαμε παραδείγματα πραγματικών ακολουθιών, κάποια εκ των οποίων άπτονται της Οικονομικής θεωρίας.</span></p> <p><span>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq1.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p>Mon, 14 Oct 2024 01:28:23 +0300Mon, 14 Oct 2024 01:28:23 +0300538https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=506&course=OIK228<p>Μετά από μια σύντομη υπενθύμιση των εννοιών της ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων και του σημειακού ορίου, ασχοληθήκαμε την πραγμάτευση της έννοιας της σειράς πραγματικών συναρτήσεων. Παρατηρήσαμε ότι μπορούμε να την διαχειριστούμε αναλόγως με τις πραγματικές σειρές, έχοντας στην διάθεση μας την διαδικασία της κατά σημείο μερικής άθροισης και την έννοια του σημειακού ορίου. Έτσι, ορίσαμε την έννοια της σειράς πραγματικών συναρτήσεων ως σημειακό όριο κατάλληλης ακολουθίας μερικών αθροισμάτων. Προκειμένου να εντοπίζουμε μέρος του πεδίου ορισμού μιας τέτοιας σειράς διατυπώσαμε αλγόριθμο που βασίζεται (μεταξύ άλλων) στο κριτήριο του πηλίκου και εξετάσαμε παραδείγματα. Παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν σε μέρος του πεδίου ορισμού της μια τέτοια σειρά να συγκλίνει απολύτως και σε άλλο μέρος κατά συνθήκη (προφανώς το τελευταίο δεν είναι δυνατόν να εντοπισθεί από το κριτήριο του πηλίκου-γιατί;). </p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Genseqser_cor.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Τους πίνακες των από απόστασης διαλέξεων του Ακ. Έτους 2020-21 που περιλαμβάνουν σχετικές με τις παραπάνω έννοιες, μπορείτε να βρείτε<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%2019.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%2020-21-22-23-24-25.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> (στο τελευταίο αρχείο οι σχετικές σημειώσεις αφορούν μέχρι και το σημείο που αναφέρεται ως "Τέλος Διάλεξης 21").</p>Fri, 19 Jan 2024 18:31:56 +0300Fri, 19 Jan 2024 18:31:56 +0300506https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=504&course=OIK228<p><span>Ολοκληρώσαμε το υπόδειγμα </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Valuation_(finance)">τιμολόγησης χρηματοοικονομικού τίτλου</a><span>. Εκφράσαμε υπό προϋποθέσεις την τιμή ως σειρά των κατάλληλα προεξοφλημένων αποδόσεων. Διερευνήσαμε παραδείγματα της προσέγγισής μας, ένα εκ των οποίων αφορούσε στην μη σύγκλιση κατάλληλης σειράς, ως σχετικό με την έννοια της </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Economic_bubble" target="_blank" rel="noreferrer noopener">χρηματοοικονομικής φούσκας</a><span>. Η περιορισμένη εκφραστικότητα του υποδείγματος συνεπάγονταν στο εν λόγω παράδειγμα τον απειρισμό της τιμής (εξαιτίας της απόκλισης της σειράς των παρουσών αξιών των αποδόσεων), κάτι που προφανώς δεν παρατηρείται στην πραγματικότητα.</span></p> <p><span>Η κατασκευή πιο εκφραστικών υποδειγμάτων, αλλά και η εξέταση της έννοιας της δυναμοσειράς και των συνακόλουθων εφαρμογών, διευκολύνεται από την γενίκευση των έννοιών που έχουμε δει μέχρι τώρα εισάγωντας και την έννοια της ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού. Παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν να αντιληφθούμε μια ακολουθία πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού με τουλάχιστον δύο ισοδύναμους τρόπους. Ο δεύτερος την αναπαριστά ως "λίστα" πραγματικών ακολουθιών, μία για καθε σημείο του κοινού πεδίου ορισμού. Αυτός μαζί με την έννοια του ορίου πραγματικής ακολουθίας μας οδήγησε "φυσικά" στην έννοια του <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Pointwise_convergence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">σημειακού ορίου</a> ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων, το οποίο εξ' ορισμού είναι πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού υποσύνολο του κοινού πεδίου ορισμού των όρων της ακολουθίας. Μέσω παραδειγμάτων παρατηρήσαμε ότι αυτή η έννοια ορίου είναι αρκετά ασθενής ώστε <em>είναι δυνατόν</em> η συνάρτηση όριο να μην έχει ιδιότητες που έχουν όλα τα μέλη της ακολουθίας όπως π.χ. η συνέχεια, και πως είναι δυνατόν να οριστούν <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_convergence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">ισχυρότερες μορφές ορίου</a> που να διατηρούν κάποιες από αυτές τις ιδιότητες. </span><span></span><span></span></p> <p><span>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/FinancialSeqSer.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Genseqser_cor.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>. Ένα γενικότερο υπόδειγμα αποτίμησης σε υπόβαθρο αβεβαιότητας (το οποίο προφανώς είναι εκτός της ύλης του μαθήματος) μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202019-20/%CE%93%CE%B5%CE%BD%CE%B9%CE%BA%CF%8C%20%CE%A5%CF%80%CF%8C%CE%B4%CE%B5%CE%B9%CE%B3%CE%BC%CE%B1%20%CE%91%CF%80%CE%BF%CF%84%CE%AF%CE%BC%CE%B7%CF%83%CE%B7%CF%82%20%CE%A7%CF%81%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%BF%CE%BF%CE%B9%CE%BA%CE%BF%CE%BD%CE%BF%CE%BC%CE%B9%CE%BA%CE%BF%CF%8D%20%CE%A4%CE%AF%CF%84%CE%BB%CE%BF%CF%85/cap_notes_2_0809.pdf">εδώ</a> (και περισσότερες λεπτομέρειες για αυτό μπορείτε να βρείτε στο <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%A0%CE%B1%CE%BB%CE%B1%CE%B9%CF%8C%CF%84%CE%B5%CF%81%CE%B1%20%CE%88%CF%84%CE%B7/9789606355387_deigma.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">κεφ. 9</a> του εγχειριδίου που ενδεχομένως έχετε επιλέξει στο μάθημα της Στατιστικής ΙΙ).</span></p> <p><span>Σχετικούς πίνακες από απόσταση διαλέξεων από προηγούμενα ακαδημαϊκά έτη μπορείτε να βρείτε<a href="https://auebgr.sharepoint.com/:b:/s/2021-22448/EZwB6iT803BPvOWW33aod9ABoALi3enJkdSNN0wdte1tsw?e=Oheqmn" target="_blank" rel="noreferrer noopener"> εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%2019.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</span><span></span></p> <p><span><strong>Άσκηση: </strong>Η έννοια του σημειακού όριου δεν επιτρέπει στο x να εξαρτάται από το n εντός των πραγματικών ακολουθιών που συναπαρτίζουν τις ακολουθίες συναρτήσεων. Προσπαθήστε να κατασκευάσετε έννοια ορίου για τις ακολουθίες συναρτήσεων που μελετούμε, στην οποία θα επιτρέπεται η προαναφερθείσα εξάρτηση. </span></p> <p><strong>Υ.γ.: </strong>Ενδιαφέρον υλικό για επανάληψη στα των πραγματικών ακολουθίων και σειρών, αλλά και εισαγωγή σε περαιτέρω έννοιες (όπως του πως θα ήταν δυνατόν να τροποποιείται η διαδιακασία μερικής άθροισης ώστε αποκλίνουσες σειρές να μετατρέπονται σε συγκλίνουσες) μπορείτε να βρείτε (εφόσον ενδιαφέρεστε) <a href="https://inference-review.com/article/strangely-convergent-sequences" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p><span> </span></p> <p> </p>Fri, 22 Dec 2023 16:28:35 +0300Fri, 22 Dec 2023 16:28:35 +0300504https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=503&course=OIK228<p>Μέσω παραδείγματος παρατηρήσαμε ότι σε κάποιες περιπτώσεις η φραγή της ΑΜΑ είναι δυνατόν να προκύψει μέσω της κατά σημείο σύγκρισης της παραπάνω με κατάλληλα επιλεγμένη συγκλίνουσα γεωμετρική. Αυτό τελικά μας οδήγησε στην κατασκευή γενικού κριτηρίου το οποίο θα μας πληροφορεί σε κάποιες περιπτώσεις για το αν δεδομένη σειρά υπάρχει μέσω μιας υπολογιστικά "λιγότερο περίπλοκης" διαδιακασίας.</p> <p>Ξεκινήσαμε να χρησιμοποιούμε την καταχρηστική ορολογία που χρησιμοποιείται γενικότερα στις σχετικές βιβλιογραφίες περί "σύγκλισης σειρών".</p> <p>Προκειμένου για την διατύπωση του κριτηρίου του πηλίκου ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με  εκλέπτυνση της έννοιας σύγκλισης σειρών, εν προκειμένω με την έννοια της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_convergence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">απόλυτης σύγκλισης</a>.</p> <p>Αποδείξαμε ότι η απόλυτη σύγκλιση αποτελεί γνήσια εκλέπτυνση της συνήθους σύγκλισης, ενώ αναφέραμε εν συντομία το<span> </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_series_theorem" target="_blank" rel="noreferrer noopener">Θεώρημα Σειρών του Riemann</a><span> </span>και το ότι ανν έχουμε απόλυτη σύγκλιση η αναδιάταξη των όρων της σειράς δεν επηρεάζει την άθροιση. </p> <p>Μέσω του παραπάνω μπορέσαμε και διατυπώσαμε το <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test" target="_blank" rel="noreferrer noopener">Κριτήριο του Πηλίκου</a> το οποίο (σε κάποιες περιπτώσεις) αποφαίνεται για το αν δεδομένη σειρά συγκλίνει απολύτως ή αποκλίνει  και ξεκινήσαμε να εργαζόμαστε με αυτό.</p> <p>Παρατηρήσαμε ότι επί της ουσίας λειτουργεί μέσω της σύγκρισης με γεωμετρική σειρά ο συντελεστής της οποίας σχετίζεται με το όριο της βοηθητικής ακολουθίας των πηλίκων των απολύτων τιμών των διαδοχικών όρων. Συνεπώς είναι αναμενόμενο ότι όταν τέτοια σύγκριση είναι αδύνατη (π.χ. σε υπεραρμονικές σειρές) το κριτήριο θα είναι να είναι μη πληροφοριακό όταν υπάρχει το σχετικό όριο.</p> <p>Μέσω παραδειγμάτων, είδαμε ότι η περίπτωση της μη πληροφοριακότητας είναι δυνατόν να αφορά κατά συνθήκη σύγκλιση, κάτι αναμενόμενο, απόκλιση αλλά και απόλυτη σύγκλιση. Συνεπώς είναι γενικά αδύνατο να συνάγουμε κάτι για την συμπεριφορά σειράς για την οποία το κριτήριο είναι μη πληροφοριακό χρησιμοποιώντας μόνο το κριτήριο. Παρατηρήσαμε επίσης ότι υπάρχουν εκλεπτύνσεις του κριτηρίου που είναι δυνατόν να μας πληροφορούν για την συμπεριφορά δεδομένης σειράς<span> </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test#The_test" target="_blank" rel="noreferrer noopener">είτε όταν το όριο της βοηθητικής ακολουθίας δεν υπάρχει</a>, <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test#Extensions_for_L_.3D_1" target="_blank" rel="noreferrer noopener">είτε όταν αυτό ισούται με ένα</a>.</p> <p>Ξεκινήσαμε να εργαζόμαστε σε απλά παραδείγματα εμφάνισης των εννοιών των πραγματικών ακολουθιών, της διαδικασίας μερικής άθροισης και των πραγματικών σειρών στα οικονομικά.</p> <p>Το πρώτο εμπίπτει στα πλαίσια της νομισματικής θεωρίας όπου συναντάμε τις έννοιες της πραγματικής ακολουθίας και της πραγματικής σειράς. Αυτό αφορά στην δημιουργία χρήματος από τις θεμελιώδεις λειτουργίες του τραπεζικού συστήματος, το οποίο αποτελείται από την κεντρική και τις εμπορικές τράπεζες και στο οποίο υπάρχει η <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Fractional-reserve_banking" target="_blank" rel="noreferrer noopener">τεχνολογία των κλασματικών διαθεσίμων</a>.</p> <p>Το δεύτερο παράδειγμα αφορά σε περιοριστικό ορισμό και <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Valuation_(finance)">τιμολόγηση χρηματοοικονομικού τίτλου</a>. </p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limser.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>,<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Series2.pdf">εδώ</a>,<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/hyperharmonic.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>, <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Absconrt.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ, </a>και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/FinancialSeqSer.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>. Ένα γενικότερο υπόδειγμα αποτίμησης σε υπόβαθρο αβεβαιότητας (το οποίο προφανώς είναι εκτός της ύλης του μαθήματος) μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202019-20/%CE%93%CE%B5%CE%BD%CE%B9%CE%BA%CF%8C%20%CE%A5%CF%80%CF%8C%CE%B4%CE%B5%CE%B9%CE%B3%CE%BC%CE%B1%20%CE%91%CF%80%CE%BF%CF%84%CE%AF%CE%BC%CE%B7%CF%83%CE%B7%CF%82%20%CE%A7%CF%81%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%BF%CE%BF%CE%B9%CE%BA%CE%BF%CE%BD%CE%BF%CE%BC%CE%B9%CE%BA%CE%BF%CF%8D%20%CE%A4%CE%AF%CF%84%CE%BB%CE%BF%CF%85/cap_notes_2_0809.pdf">εδώ</a>.</p> <p>Τους πίνακες των από απόστασης διαλέξεων του Ακ. Έτους 2020-21, που μεταξύ άλλων, αναφέρονται και στα παραπάνω να βρείτε<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%2012-13.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>,  <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%A3%CF%85%CE%BD%CE%AD%CF%87%CE%B5%CE%B9%CE%B1%20%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%CF%82%2013.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και<span> </span><span></span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%2016-17.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a><span>.</span> Αντίστοιχους σχετικούς πίνακες από απόστασης διάλεξης από το Ακ. Έτος 2021-22 μπορείτε να βρείτε<a href="https://auebgr.sharepoint.com/:b:/s/2021-22448/EZwB6iT803BPvOWW33aod9ABoALi3enJkdSNN0wdte1tsw?e=Oheqmn" target="_blank" rel="noreferrer noopener"><span> εδώ</span></a>.</p> <p> </p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις</strong> (προσπαθήστε να λύσετε τις 1-4 τόσο χρησιμοποιώντας αποκλειστικά το κριτήριο του πηλίκου όσο και χωρίς να το χρησιμοποίησετε).</p> <ol> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i!}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bx%5E%7Bi%7D%7D%7Bi%21%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i!}" /> συγκλίνει για κάθε <img class="latex" title="x\geq 0" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=x%5Cgeq+0&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="x\geq 0" />.</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(i+1)^m},\: 0\leq m &lt;1" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%28i%2B1%29%5Em%7D%2C%5C%3A+0%5Cleq+m+%3C1&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(i+1)^m},\: 0\leq m &lt;1" /> αποκλίνει.</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i^{m}))" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cexp%28-%28i%5E%7Bm%7D%29%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i^{m}))" /> για όποιο <img class="latex" style="border:none;vertical-align:middle;height:auto;" title="m&gt;1" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=m%3E1&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="m&gt;1" /> συγκλίνει. Υπόδειξη: Μπορείτε να συσχετίσετε την συμπεριφορά της εν λόγω σειράς με την ανάλογη υπεραρμονική. Μπορείτε για μεγαλύτερη ευκολία να ασχοληθείτε με την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i+1)^{m}))" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cexp%28-%28i%2B1%29%5E%7Bm%7D%29%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i+1)^{m}))" /> ή/και να δείτε την προηγούμενη μόνο για m=2).</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(i)+1}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%28i%29%2B1%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(i)+1}" /> αποκλίνει.</li> <li>Επινοήστε όσο το δυνατόν περισσότερες σειρές και προσπαθήστε να διαπιστώσετε το αν συγκλίνουν χρησιμοποιώντας πλέον αποκλειστικά το κριτήριο. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε και αυτές που αναφέρονται σε παλαιότερες αναρτήσεις.</li> <li>Προσπαθήστε να ερμηνεύσετε στα πλαίσια της οικονομικής θεωρίας το τι θα συνέβαινε  στο άνω φράγμα της συνολικής προσφοράς χρήματος αν οι εμπορικές τράπεζες δεν είχαν υποχρέωση διακράτησης ρευστών διαθεσίμων (<img class="latex" title="a=0" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=a%3D0&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="a=0" />);</li> </ol> <p> </p>Mon, 11 Dec 2023 17:56:24 +0300Mon, 11 Dec 2023 17:56:24 +0300503https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=502&course=OIK228<p><span>Συνεχίσαμε με το παράδειγμα</span><span> της </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)" target="_blank" rel="noreferrer noopener">αρμονικής</a> σειράς και εκμεταλλευόμενοι την προεργασία που είχαμε κάνει για την προσέγγιση του γενικού όρου της αρμονικής ΑΜΑ από ολοκλήρωμα, δείξαμε ότι η εν λόγω σειρά δεν υπάρχει επειδή η ΑΜΑ αυτής δεν είναι φραγμένη.</p> <p><span>Αναφερθήκαμε στο παράδειγμα της </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)#Alternating_harmonic_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εναλλάσουσας αρμονικής</a> η οποία υπάρχει και ισούται με ln(2), και σημειώσαμε ότι τα εννοιολογικά εργαλεία που έχουμε συγκεντρώσει μέχρι τώρα δεν επαρκούν για να εξετάσουμε το τι συμβάινει με αυτό το παράδειγμα•θα μας χρησιμεύσουν οι δυναμοσειρές. Επιφυλαχθήκαμε με το παράδειγμα της<span> </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)#p-series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">υπεραρμονικής</a><span> σειράς.</span></p> <p>Παρατηρήσαμε ότι με την εξαίρεση παραδειγμάτων όπως αυτό της γεωμετρικής σειράς, όπου ήταν "εύκολο" να βρεθεί και να ελεγχθεί ως προς την σύγκλιση γενικός τύπος για την μερική άθροιση, γενικά τα ζητήματα i) της ύπαρξης δεδομένης σειράς και ii) της εύρεσης του με τι ισούται όταν υπάρχει, εμφανίζουν δυσκολίες στην γενική τους επίλυση ανάλογες με αυτές των διαδικασιών ολοκλήρωσης.</p> <p>Εστιάζοντας κυρίως στο ζήτημα της διακρίβωσης του εάν δεδομένη σειρά υπάρχει, ξεκινήσαμε την διατύπωση θεμελιώδους λογισμού σειρών που βασίζεται στον λογισμό που έχουμε αναπτύξει για τα όρια. Έτσι καταρχάς είδαμε ότι όταν η αρχική ακολουθία αποτελείται από ομόσημους όρους τότε, και επειδή η ακολουθία μερικών αθροισμάτων αυτής είναι μονότονη, η σχετική σειρά θα υπάρχει ανν η ακολουθία μερικών αθροισμάτων είναι φραγμένη.</p> <p>Το παραπάνω χρησιμοποιήθηκε προκειμένου να δείξουμε ότι η υπεραρμονική σειρά υπάρχει. Στα πλαίσια αυτού του παραδείγματος,είδαμε ότι είναι δυνατόν η φραγή της σχετικής ΑΜΑ να προκύπτει μέσω της επιλογής κατάλληλης βοηθητικής πραγματικής ακολουθίας η οποία δεν είναι γενικά προφανής. Κατανοήσαμε έτσι την ανάγκη ύπαρξης "υπολογιστικά απλού" τρόπου διαπίστωσης της σύγκλισης σε κάποιες τουλάχιστον περιπτώσεις.</p> <p>Εξετάσαμε στοιχεία του λογισμού σειρών που άπτονται άλγεβρας συγκλινουσών σειρών, σχετίσαμε το ζήτημα της σύγκλισης σειράς με την σύγκλισης της σειράς που προκύπτει αν από την αρχική εξαιρέσουμε πεπερασμένο πλήθος των αρχικών της όρων.</p> <h3>Περαιτέρω Ασκήσεις</h3> <ol> <li>Ισχύει ότι <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}b_{i}=\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}\sum_{i=0}^{\infty}b_{i}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Da_%7Bi%7Db_%7Bi%7D%3D%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Da_%7Bi%7D%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Db_%7Bi%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}b_{i}=\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}\sum_{i=0}^{\infty}b_{i}" />; Υπάρχει περίπτωση να μην υπάρχει κάποια από τις δύο σειρές στην δεξιά πλευρά και να υπάρχει η σειρά στην αριστερή πλευρά της εν λόγω ισότητας;</li> <li>Να δείξετε ότι <img class="latex" title="\lim_{k\rightarrow\infty}\sum_{i=k}^{\infty}x_{i}=0" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Clim_%7Bk%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Csum_%7Bi%3Dk%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dx_%7Bi%7D%3D0&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\lim_{k\rightarrow\infty}\sum_{i=k}^{\infty}x_{i}=0" /> όταν η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}x_{i}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dx_%7Bi%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}x_{i}" /> υπάρχει.</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i!}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bx%5E%7Bi%7D%7D%7Bi%21%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i!}" /> υπάρχει για κάθε <img class="latex" title="x\geq 0" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=x%5Cgeq+0&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="x\geq 0" />.</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(i+1)^m},\: 0\leq m &lt;1" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%28i%2B1%29%5Em%7D%2C%5C%3A+0%5Cleq+m+%3C1&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(i+1)^m},\: 0\leq m &lt;1" /> δεν υπάρχει.</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i^{m}))" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cexp%28-%28i%5E%7Bm%7D%29%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i^{m}))" /> για όποιο <img class="latex" style="border:none;vertical-align:middle;height:auto;" title="m&gt;1" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=m%3E1&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="m&gt;1" /> υπάρχει. Υπόδειξη: Μπορείτε να συσχετίσετε την συμπεριφορά της εν λόγω σειράς με την ανάλογη υπεραρμονική. Μπορείτε για μεγαλύτερη ευκολία να ασχοληθείτε με την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i+1)^{m}))" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cexp%28-%28i%2B1%29%5E%7Bm%7D%29%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i+1)^{m}))" /> ή/και να δείτε την προηγούμενη μόνο για m=2).</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(i)+1}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%28i%29%2B1%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(i)+1}" /> δεν υπάρχει.</li> </ol> <p> </p> <p> </p>Sun, 03 Dec 2023 16:18:16 +0300Sun, 03 Dec 2023 16:18:16 +0300502https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=501&course=OIK228<p><span>Στα πλαίσια των γενικών ερωτημάτων πέρι ύπαρξης και εύρεσης δεδομένης σειράς, εξετάσαμε το παράδειγμα της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">γεωμετρικής σειράς</a>. Παρατηρήσαμε ότι σε αυτό είναι δυνατόν με στοιχειώδεις τρόπους να επιλυθεί η έκφραση του γενικού όρου της σχετικής ΑΜΑ και στην συνέχεια αυτός να εξεταστεί ως προς την σύγκλιση. </span></p> <p><span>Ξεκινήσαμε την διερεύνηση του παραδείγματος της αρμονικής σειράς συσχετίζοντας τον γενικό όρο της αρμονικής ΑΜΑ με κατάλληλο ολοκλήρωμα.</span><span> </span></p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limser.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Στοιχεία των παραπάνω μπορείτε να βρείτε και στους πίνακες των από απόσταση διαλέξεων του Έτους 2020-21, <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%A3%CF%84%CE%BF%CE%B9%CF%87%CE%B5%CE%AF%CE%B1%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%2010-11.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%2012-13.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <h3>Περαιτέρω Ασκήσεις</h3> <ol> <li>Χρησιμοποιώντας την γεωμετρική σειρά, και χωρίς να ασχοληθείτε με το αν μπορείτε να την «παραγωγίσετε» ως προς <img class="latex" title="a" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=a&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="a" /> προσπαθήστε να βρείτε την <img class="latex" title="\sum_{i=1}^{\infty}i a^{i}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7Di+a%5E%7Bi%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=1}^{\infty}i a^{i}" /> όταν <img class="latex" title="|a|&lt;1,\: a\neq 0" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%7Ca%7C%3C1%2C%5C%3A+a%5Cneq+0&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="|a|&lt;1,\: a\neq 0" />.</li> <li>Αν  <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} \alpha^{i},\: \sum_{i=0}^{\infty}\beta^{i}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Calpha%5E%7Bi%7D%2C%5C%3A+%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cbeta%5E%7Bi%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} \alpha^{i},\: \sum_{i=0}^{\infty}\beta^{i}" /> υπάρχουσες γεωμετρικές σειρές τότε με τι ισούται η <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} (\alpha^{i}-\beta^{i})" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%28%5Calpha%5E%7Bi%7D-%5Cbeta%5E%7Bi%7D%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} (\alpha^{i}-\beta^{i})" /> και γιατί;</li> <li>Έστω ακολουθία με αυστηρά θετικούς όρους. Δείξτε ότι η ακολουθία μερικών αθροισμάτων αυτής είναι γνησίως αύξουσα. Το αντίστροφο ισχύει;</li> </ol>Sun, 03 Dec 2023 16:15:25 +0300Sun, 03 Dec 2023 16:15:25 +0300501https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=500&course=OIK228<p><span>Mεταγράψαμε τον αρχικό γεωμετρικό ορισμό του ορίου στον ισοδύναμο του αναλυτικό ορισμό, και είδαμε πως ο τελευταίος εφαρμόζεται σε παραδείγματα και αντιπαραδείγματα. Προχωρήσαμε μέσω της χρήσης του στην διακρίβωση της σχέσης της σύγκλισης με τις αλγεβρικές πράξεις που έχουμε μελετήσει για πραγματικές ακολουθίες.</span></p> <p>Παρατηρώντας ότι η χρήση μέρους του λογισμού των ορίων έχει να κάνει με την διευκόλυνση της εξακρίβωσης του ζητήματος σύγκλισης (και ενδεχομένως της συνακόλουθης εύρεσης του ορίου) για ακολουθίες που απατελούν κατάλληλους μετασχηματισμούς ακολουθιών των οποίων η ασυμπτωτική συμπεριφορά είναι γνωστή, αναφερθήκαμε  στον μετασχηματισμό ακολουθιών μέσω σύνθεσης με κατάλληλες συναρτήσεις, και συνακόλουθα στην<span> </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Continuous_mapping_theorem">αρχή της μεταφοράς</a>. Χρησιμοποιήσαμε πολλές από τις έννοιες που έχουμε μέχρι τώρα εξάγει στην μελέτη της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς χρήσιμων στα παρακάτω παραδειγμάτων που σχετίζονται με την γεωμετρική σειρά.</p> <p><span>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω και ασκήσεις μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limits.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limser.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</span></p> <p><span>Τους πίνακες των διαλέξεων του Ακ. Έτους 2020-21 που εμπεριέχουν και μέρος των παραπάνω, μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%A3%CF%84%CE%BF%CE%B9%CF%87%CE%B5%CE%AF%CE%B1%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%207-8_b.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%209.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>. </span></p> <p><span>Ξεκινώντας την ενασχόληση μας με τις </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Series_(mathematics)#Convergent_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">πραγματικές σειρές</a><span>, και προσπαθώντας να εννοιολογήσουμε το απειροπληθές άθροισμα είδαμε ότι γενικά αυτό είναι γενικά αδύνατο μέσω της άλγεβρας. Ξεκινήσαμε την εννοιολόγηση ορίζοντας την έννοια της ακολουθίας μερικών αθροισμάτων δεδομένης πραγματικής ακολουθίας που περικλείει του συντελεστές του αθροίσματος. Αυτή μπορεί να θεωρηθεί ως διαδικασία "ολοκλήρωσης ", ενώ η ζητούμενη έννοια της σειράς ως προς την ακολουθία των συντελεστών είναι το όριο αυτής όταν αυτό υπάρχει. Εξετάσαμε παραδείγματα μεταξύ των οποίων αυτά της </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">γεωμετρικής</a><span>, της </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)" target="_blank" rel="noreferrer noopener">αρμονικής</a><span>, της </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)#Alternating_harmonic_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εναλλάσουσας αρμονικής</a><span> και της </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)#p-series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">υπεραρμονικής</a><span> ακολουθίας μερικών αθροισμάτων. Ορίσαμε την έννοια της σειράς ως το όριο της ακολουθίας μερικών αθροισμάτων των συντελεστών.</span></p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limser.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Στοιχεία των παραπάνω μπορείτε να βρείτε και στους πίνακες των από απόσταση διαλέξεων του Έτους 2020-21, <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%A3%CF%84%CE%BF%CE%B9%CF%87%CE%B5%CE%AF%CE%B1%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%2010-11.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%2012-13.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <h3>Περαιτέρω Ασκήσεις</h3> <ol> <li>Να οριστεί αυστηρά η αντίστροφη της διαδικασίας μερικής άθροισης.</li> <li>Να δείξετε ότι κάθε άθροισμα πεπερασμένου πλήθους όρων είναι δυνατόν να γραφεί ως κάταλληλη σειρά.</li> </ol> <p> </p>Fri, 17 Nov 2023 03:35:24 +0300Fri, 17 Nov 2023 03:35:24 +0300500https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=495&course=OIK228<p><span>Ξεκινήσαμε την εξαγωγή μιας σειρά από αποτελέσματα που συγκροτούν ένα μικρό μέρος του (ατελούς) λογισμού που χρησιμεύει στην διακρίβωση του αν μια ακολουθία είναι συγκλίνουσα, ή/και όταν είναι, στην εύρεση του ορίου αυτής. Έπι παραδείγματι, μέσω της χρήσης του γεωμετρικού ορισμού είδαμε ότι το όριο όταν υπάρχει είναι μοναδικό. </span></p> <p><span>Είδαμε ότι αν μια ακολουθία είναι συγκλίνουσα είναι και φραγμένη οπότε ισοδύναμα αν μια ακολουθία είναι μη φραγμένη τότε αναγκαστικά είναι αποκλίνουσα, ότι όταν μια συγκλίνουσα ακολουθία έχει όρους φραγμένους από πάνω (κάτω) από πραγματικό αριθμό, τότε και το όριο αυτής δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο (αντ. μικρότερο) του φράγματος, ότι ακολουθία που βρίσκεται κατά σημείο μεταξύ συγκλινουσών ακολουθίων στο ίδιο όριο, συγκλίνει και αυτή εκεί, και ότι το ζήτημα της σύγκλισης της ακολουθίας δεν επηρεάζεται καθόλου από την συμπεριφορά όποιου πεπερασμένου μέρους της ακολουθίας.</span></p> <p><span>Παρατηρήσαμε ότι η διατύπωση στοιχείων αυτού του λογισμού θα είναι πιο ευχερής μεταγράφοντας τον αρχικό γεωμετρικό ορισμό του ορίου σε ισοδύναμο αναλυτικό ορισμό, χρησιμοποιώντας τους <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Universal_quantification" target="_blank" rel="noreferrer noopener">ποσοδείκτες</a> ("υπάρχει" και "για κάθε" ) και ανισότητες.</span></p> <p><span>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω και ασκήσεις μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limits.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limser.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</span></p> <p><span>Τους πίνακες των διαλέξεων του Ακ. Έτους 2020-21 που εμπεριέχουν και μέρος των παραπάνω, μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%A3%CF%84%CE%BF%CE%B9%CF%87%CE%B5%CE%AF%CE%B1%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%207-8_b.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%209.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>. Τους πίνακες της φετινής 10ης διάλεξης μπορείτε να βρείτε <a href="https://auebgr.sharepoint.com/:b:/s/2021-22448/EaXKgOvByCZJg5U5VpUV4HkB1XrIJYymFbygzwBMbiunyA?e=6FGnVR" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</span></p> <h3><span>Περαιτέρω Ασκήσεις</span></h3> <ol> <li><span>Έστω συγκλίνουσα ακολουθία όπου κάθε όρος της οποίας είναι αυτηρά μεγαλύτερος (αντ. μικρότερος) του πραγματικού αριθμού C. Να δειχθεί ότι το όριο είναι επίσης μεγαλύτερο (αντ. μικρότερο) ή ίσο του C. Γιατί είναι δυνατόν να είναι ίσο;</span><span></span></li> <li><span>'Εστω ακολουθία για την οποία οι απόλυτες τιμές σχεδόν όλων των όρων είναι μεγαλύτερες ή ίσες των απολύτων τιμών των αντίστοιχων όρων ακολουθίας που δεν είναι φραγμένη. Να δειχθεί ότι η αρχική ακολουθία είναι αποκλίνουσα.</span></li> <li><span>Δείξτε ότι συγκλίνουσα ακολουθία με κάτω φράγμα το 1 δεν μπορεί να έχει όριο μικρότερο του 1.</span></li> <li><span>Δείξτε ότι συγκλίνουσα ακολουθία με άνω φράγμα το 1 δεν μπορεί να έχει όριο μεγαλύτερο του 1.</span></li> <li><span>Δείξτε ότι το όριο συγκλίνουσας ακολουθίας δεν μπορεί να είναι μικρότερο από το inf και μεγαλύτερο από το sup αυτής.</span></li> </ol> <p> </p>Mon, 06 Nov 2023 01:32:45 +0300Mon, 06 Nov 2023 01:32:45 +0300495https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=494&course=OIK228<p>Ασχοληθήκαμε με την εξαγωγή αποτελεσμάτων που π.χ. αποδίδουν την ιδιότητα της φραγής σε πραγματική ακολουθία μέσω κατάλληλης (σχεδόν παντού) σύγκρισης με φραγμένη ακολουθία, κ.ο.κ.</p> <p>Δείξαμε π.χ. ότι οι αλγεβρικές πράξεις διατηρούν την φραγή (έτσι π.χ. το σύνολο των φραγμένων πραγματικών ακολουθιών είδαμε ότι αποτελεί<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK269/LinAlg2.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">διανυσματικό υποχώρο</a><span> </span>του συνόλου των πραγματικών ακολουθιών ως προς τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτου πολλαπλασιασμού)</p> <p>Ολοκληρώσαμε την καταρχάς διερεύνηση της φραγής δείχνοντας ότι το άθροισμα φραγμένης με μη φραγμένη ακολουθία είναι μη φραγμένη ακολουθία.</p> <p>Παρατηρήσαμε ότι η διάταξη με την οποία εμφανίζονται οι όροι μιας πραγματικής ακολουθίας μέσα σε αυτή δεν συμφωνεί αναγκαστικά με την διάταξη τους στην πραγματική ευθεία. Όταν οι δύο αυτές διατάξεις σχετίζονται μονότονα αποκτούμε την έννοια της μονότονης ακολουθίας. Διατυπώσαμε τον ορισμό ο οποίος βασίζεται στην έννοια <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Monotonic_function" target="_blank" rel="noreferrer noopener">μονότονης πραγματικής συνάρτησης</a>, και στην συναρτησιακή μορφή των ακολουθιών.</p> <p>Δείξαμε ότι η μονοτονία προκύπτει ισοδύναμα από την σύγκριση μεταξύ των όρων σε κάθε ζεύγος διαδοχικών όρων της ακολουθίας. Παρατηρήσαμε ότι οι (γνησίως) αύξουσες ακολουθίες είναι αναγκαστικά φραγμένες από κάτω, ενώ δυικά οι (γνησίως) φθίνουσες ακολουθίες είναι αναγκαστικά φραγμένες από πάνω. Παρόλα αυτά υπάρχουν μονότονες ακολουθίες που δεν είναι φραγμένες ακριβώς επειδή τους λείπει η ύπαρξη του έτερου φράγματος, ενώ υπάρχουν και ακολουθίες που δεν είναι ούτε μονότονες ούτε και φραγμένες.</p> <p>Όταν όμως μια ακολουθία συνδυάζει και τις δύο ανωτέρω ιδιότητες τότε διαθέτει ένα ενδιαφέρον<span> </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Monotone_convergence_theorem" target="_blank" rel="noreferrer noopener">χαρακτηριστικό</a><span> </span>το οποίο μας βοηθάει στην νοηματοδότηση της έννοιας του ορίου. Ξεκινήσαμε την ανάπτυξη της έννοιας χρησιμοποιώντας το γενικό παράδειγμα φραγμένης και αύξουσας ακολουθίας όπου και είδαμε ότι θα εμφανίζει μορφή "ασυμπτωτικής συγκέντρωσης" "γύρω από" το sypremum της. Δυικά ισχύει  "ασυμπτωτικής συγκέντρωσης" όποιας φραγμένης και φθίνουσας ακολουθίας "γύρω από" το infimum της.</p> <p>Τα παραπάνω μας οδήγησε στην ακριβή (καταρχάς γεωμετρική) διατύπωση της έννοιας του ορίου πραγματικής ακολουθίας. Μέσω αυτής διαπιστώσαμε ότι υπάρχουν τόσο συγκλίνουσες (π.χ. οι φραγμένες και μονότονες) όσο και αποκλίνουσες ακολουθίες (π.χ. εναλλάσουσες).<span> </span></p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω όπως και κάποιες ασκήσεις μπορείτε να βρείτε.</p> <p>Τους πίνακες των διαλέξεων μπορείτε να βρείτε<span> </span><a href="https://auebgr.sharepoint.com/:b:/s/2021-22448/EcEFRl1V5YhGi9NW0QA8vrIB1qwTjgj8k0tsN8R415aY0Q?e=WKqj1D" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>,<span> </span><a href="https://auebgr.sharepoint.com/:b:/s/2021-22448/EQp5J5QIVVhBhmC65X8O-DgBa6ZQtQBEAGcirmNv6F979w?e=z9AKLI" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> (σελ. 1-9),  <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq3.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limits.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Περαιτέρω σχόλια μπορείτε να βρείτε<span> </span><a href="https://auebgr.sharepoint.com/sites/2021-22448/Shared%20Documents/General/STYLIANOS%20ARVANITIS-%CE%A3%CF%87%CE%BF%CC%81%CE%BB%CE%B9%CE%B1%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%B5%CC%81%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%206-7.mp4" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις:</strong></p> <ol> <li>Να δειχθεί ότι αν η<span> </span><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28y_%7Bn%7D%29" alt="gif.latex?%28y_%7Bn%7D%29" /> φραγμένη και<span> <img src="https://latex.codecogs.com/svg.image?%5Cvert%20x_%7Bn%7D%5Cvert%5Cleq%5Csup(%5Cvert%20y_%7Bn%7D%5Cvert),%5C:%5Cforall%20n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D" alt="equation" /></span>, τότε υπάρχει κάποιος φυσικός<span> </span><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?n%5E%7B%5Cstar%7D" alt="gif.latex?n%5E%7B%5Cstar%7D" />, τέτοιος ώστε<span> </span><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%7C%20x_%20%7Bn%7D%20%5Cright%20%7C%20%5Cleq%20%5Cleft%20%7Cy_%7Bn%7D%5Cright%20%7C%2C%5C%3A%5Cforall%20n%5Cgeq%20n%5E%7B%5Cstar%7D" alt="gif.latex?%5Cleft%20%7C%20x_%20%7Bn%7D%20%5Cright%20%7C%20%5Cleq%20%5Cleft%20%7Cy_%7Bn%7D%5Cright%20%7C%2C%5C%3A%5Cforall%20n%5Cgeq%20n%5E%7B%5Cstar%7D" />.</li> <li>Να δειχθεί ότι για κάθε μονότοτονη ακολουθία, κάθε υπακολουθία αυτής έχει την ίδια ή ισχυρότερη μονοτονία.</li> <li>Nα δειχθεί ότι αν οι<span> </span><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28x_%7Bn%7D%29%2C%5C%3A%28y_%7Bn%7D%29" alt="gif.latex?%28x_%7Bn%7D%29%2C%5C%3A%28y_%7Bn%7D%29" /> είναι αύξουσες, τότε και η<span> </span><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cmax%28x_%7Bn%7D%2Cy_%7Bn%7D%29%20%5Cright%20%29" alt="gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cmax%28x_%7Bn%7D%2Cy_%7Bn%7D%29%20%5Cright%20%29" /><span> </span>είναι (ενδεχομένως γνησίως) αύξουσα.</li> <li>Να δειχθεί ότι αν μια ακολουθία είναι φθίνουσα και φραγμένη, τότε σε κάθε ανοικτό διάστημα με κέντρο το infimum της θα περιέχει σχεδόν όλη την ακολουθία, με το πλήθος των όρων που βρίσκονται εκτός αυτού να μπορεί να εξαρτάται από το διάστημα. Θα άλλαζε το συμπέρασμα αν χρησιμοποιούσαμε τα κλειστά αντι των ανοικτών διαστήμάτων.</li> <li>Χρησιμοποιώντας τον γεωμετρικό ορισμό του ορίου να δειχθεί ότι κάθε<span> </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Subsequence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">υπακολουθία</a> συγκλίνουσας ακολουθίας συγκλίνει επίσης στο ίδιο όριο.</li> </ol>Mon, 30 Oct 2023 00:41:15 +0300Mon, 30 Oct 2023 00:41:15 +0300494https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=492&course=OIK228<p>Ασχοληθήκαμε περαιτέρω με την έννοια της φραγής. Διατυπώσαμε τον ορισμό της φραγμένης πραγματικής ακολουθίας χρησιμοποιώντας καταρχάς την συνάρτησιακή της μορφή. Είδαμε παραδείγματα και αντί παραδείγματα.</p> <p>Συνεχίσαμε με την διατύπωση και απόδειξη βοηθητικών αποτελεσμάτων. Το πρώτο αφορά στην διατύπωση ισοδύναμου ορισμού χρησιμοποιώντας την έννοια του απολύτου φράγματος∙ αυτό επιτρέπει την ενασχόληση με την εύρεση ενός αντί για δύο φράγματα, και επομένως μπορεί να διαυκολύνει την ανάλυση σε κάποιες περιπτώσεις. Στο δεύτερο δείξαμε ότι η ιδιότητα της φραγής δεν προσδιορίζεται από κανένα πεπερασμένο υποσύνολο της ακολουθίας αλλά εξαρτάται από την συμπεριφορά του υπόλοιπου απειροπληθούς μέρους της. Το τρίτο αφορά στην διακρίβωση της φραγής μέσω της κατα σημείο σύγκρισης με κατάλληλη βοηθητική ακολουθία. Παρατηρήσαμε μέσω άσκησης, ότι τα παραπάνω μπορεί να είναι χρήσιμα στην εξαγωγή αποτελεσμάτων που π.χ. αποδίδουν την ιδιότητα της φραγής σε πραγματική ακολουθία μέσω κατάλληλης (σχεδόν παντού) σύγκρισης με φραγμένη ακολουθία, κ.ο.κ.</p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω όπως και κάποιες ασκήσεις μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq2.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq3.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Τους πίνακες των σχετικών από απόσταση διαλέξεων του Ακ. Έτους 2020-21 μπορείτε να βρείτε<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%204-5.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a><span> </span>(σελ. 5-9) και<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%205-6.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a><span> </span>(σελ. 1-8).</p> <p>Περαιτέρω σχόλια μπορείτε να βρείτε<span> </span><a href="https://auebgr.sharepoint.com/sites/2021-22448/Shared%20Documents/General/STYLIANOS%20ARVANITIS-%CE%A3%CF%87%CE%BF%CC%81%CE%BB%CE%B9%CE%B1%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%B5%CC%81%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%206-7.mp4" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p> </p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις:</strong></p> <ol> <li>Να δειχθεί ότι αν οι <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28x_%7Bn%7D%29%2C%5C%3A%28y_%7Bn%7D%29" alt="gif.latex?%28x_%7Bn%7D%29%2C%5C%3A%28y_%7Bn%7D%29" /> φραγμένες τότε και η<span> </span><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cmax%28x_%7Bn%7D%2Cy_%7Bn%7D%29%20%5Cright%20%29" alt="gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cmax%28x_%7Bn%7D%2Cy_%7Bn%7D%29%20%5Cright%20%29" /> φραγμένη.</li> <li>Να δειχθεί ότι η ακολουθία <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bn%7Dx%5E%7B2%7Ddx%20%5Cright%20%29" alt="gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bn%7Dx%5E%7B2%7Ddx%20%5Cright%20%29" /> δεν είναι φραγμένη.</li> <li>Να δειχθεί ότι αν η<span> </span><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28y_%7Bn%7D%29" alt="gif.latex?%28y_%7Bn%7D%29" /> φραγμένη και<span> </span><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%7C%20x_%20%7Bn%7D%20%5Cright%20%7C%20%3C%20%5Csup%5Cleft%20%7Cy_%7Bn%7D%5Cright%20%7C%2C%5C%3A%5Cforall%20n%5Cgeq%20%5Cmathbb%7BN%7D" alt="gif.latex?%5Cleft%20%7C%20x_%20%7Bn%7D%20%5Cright%20%7C%20%3C%20%5Csup%5Cleft%20%7Cy_%7Bn%7D%5Cright%20%7C%2C%5C%3A%5Cforall%20n%5Cgeq%20%5Cmathbb%7BN%7D" /> , τότε υπάρχει κάποιος φυσικός<span> </span><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?n%5E%7B%5Cstar%7D" alt="gif.latex?n%5E%7B%5Cstar%7D" />, τέτοιος ώστε<span> </span><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%7C%20x_%20%7Bn%7D%20%5Cright%20%7C%20%5Cleq%20%5Cleft%20%7Cy_%7Bn%7D%5Cright%20%7C%2C%5C%3A%5Cforall%20n%5Cgeq%20n%5E%7B%5Cstar%7D" alt="gif.latex?%5Cleft%20%7C%20x_%20%7Bn%7D%20%5Cright%20%7C%20%5Cleq%20%5Cleft%20%7Cy_%7Bn%7D%5Cright%20%7C%2C%5C%3A%5Cforall%20n%5Cgeq%20n%5E%7B%5Cstar%7D" />.</li> </ol>Mon, 23 Oct 2023 02:50:10 +0300Mon, 23 Oct 2023 02:50:10 +0300492https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=491&course=OIK228<p>Παρουσιάσαμε περαιτέρω παραδείγματα πραγματικών ακολουθιών, κάποια εκ των οποίων άπτονται της Οικονομικής θεωρίας και της θεωρίας πιθανοτήτων. Εξετάσαμε ζητήματα περιγραφής και συμβολισμών. Χρησιμοποιώντας τον διανυσματικό ορισμό εξετάσαμε την έννοια της ισότητας πραγματικών ακολουθιών η οποία και αποτελεί κατά "φυσικό τρόπο" επέκταση της έννοιας της ισότητας πραγματικών διανυσμάτων. Εξετάσαμε συνοπτικά μια γενίκευση αυτής, η οποία επιτρέπει την συσχέτιση δύο πραγματικών ακολουθιών ως σχεδόν παντού ίσες ακόμη και όταν έχουν διαφορετικές συνιστώσες σε πεπερασμένο πλήθος θέσεων.</p> <p>Χρησιμοποιώντας τον διανυσματικό ορισμό εξετάσαμε παραδείγματα αλγεβρικών πράξεων μεταξύ ακολουθιών όπως η κατά σημείο πρόσθεση και ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός (ως προς αυτές το σύνολο των πραγματικών ακολουθιών είναι <a href="/modules/document/file.php/OIK269/LinAlg1.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">διανυσματικός χώρος</a>) καθώς και την πράξη του σημειακού πολλαπλασιασμού.</p> <p>Στην συνέχεια και χρησιμοποιώντας τον συναρτησιακό ορισμό ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με αναλυτικές ιδιότητες που μπορεί να έχουν πραγματικές ακολουθίες. Ξεκινήσαμε την διερεύνηση της έννοιας της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Bounded_function" target="_blank" rel="noreferrer noopener">φραγμένης πραγματικής συνάρτησης</a>, εκκινώντας από την έννοια της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Infimum_and_supremum" target="_blank" rel="noreferrer noopener">φραγής από πάνω</a>.</p> <p>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq1.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και<a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq1.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener"> </a><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq2.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>. </p> <p>Τους πίνακες των διαλέξεων που εμπεριέχουν την πραγμάτευση αντίστοιχων εννοιών στο Ακ. Έτος 2020-21 μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%202-%CE%9F%CF%81%CE%B9%CF%83%CE%BC%CE%BF%CE%AF.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>, <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%203.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> (υπάρχει λάθος σε υπόδειξη που δίνεται για την μεταβατική ιδιότητα της σχεδόν παντού ισότητας-ποιό και πως μπορεί να αναταχθεί;),  και<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%204-5.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> (σελ. 2).</p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις</strong></p> <p>1. Να δειχθεί ότι αν για τρείς ακολουθίες, η πρώτη είναι σχεδόν παντού ίση με την δεύτερη, και η δεύτερη είναι σχεδόν παντού ίση με την τρίτη, τότε το πλήθος των θέσεων που μπορεί να έχουν διαφορετικούς όρους η πρώτη και η τρίτη είναι μικρότερο ίσο από το άθροισμα του αντίστοιχου πλήθους μεταξύ πρώτης και δεύτερης και αυτού μεταξύ δεύτερης και τρίτης.</p> <p>2. Ως προς την παραπάνω άσκηση, να βρεθούν παραδείγματα όπου το πλήθος των θέσεων που μπορεί να έχουν διαφορετικούς όρους η πρώτη και η τρίτη, α) είναι μηδέν, β) είναι θετικό αλλά αυστηρά μικρότερο του παραπάνω αθροίσματος, γ) είναι θετικό και ίσο με το παραπάνω άθροισμα.</p> <p>3. Να δειχθεί ότι η σχεδόν παντού ισότητα είναι μεταβατική.</p> <p>4. Τι συμπεραίνετε από την χρήση της έννοιας της σχεδόν παντού ισότητας σε n-διάστατα πραγματικά διανύσματα;</p> <p>5.  Να βρεθεί παράδειγμα πραγματικής ακολουθίας όπου η ιδιότητα P δεν ισχύει για θετικό αλλά πεπερασμένο πλήθος όρων, όταν α) P="ο πραγματικός x είναι άρτιος φυσικός", β) α) P="ο πραγματικός x είναι άρρητός".</p> <p>6. Για P όπως στην προηγούμενη άσκηση, να βρεθεί παράδειγμα πραγματικής ακολουθίας όπου η ιδιότητα P ισχύει για άπειρο πλήθος όρων, και ταυτόγχρονα δεν ισχύει για άπειρο πλήθος όρων.</p>Mon, 16 Oct 2023 00:52:13 +0300Mon, 16 Oct 2023 00:52:13 +0300491https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=490&course=OIK228<p>Η πρώτη διάλεξη είχε καταρχάς τον χαρακτήρα ενημέρωσης για ζητήματα που άπτονται της διεξαγωγής του μαθήματος. Τα παραπάνω εν μέρει περιγράφονται στην σύνοψη του μαθήματος η οποία βρίσκεται <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202023-24/Syllabus/Math_%CE%99%CE%99%CE%99_2324_syllabus.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Επίσης, έγινε σύντομη περιγραφή και κινητροδότηση βασικών εννοιών που θα παρουσιαστούν κατά την διάρκεια του μαθήματος. Πρόχειρες σημειώσεις για αυτά όπως και<span> </span><strong>ασκήσεις</strong> για επανάληψη προγενέστερων εννοιών που είναι δυνατόν να χρειαστούν βρίσκονται <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Motiv1.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>. </p> <p><span>Προκειμένου για την κατανόηση της έννοιας του ορίου, ξεκινήσαμε την πραγμάτευση της έννοιας της πραγματικής </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Sequence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">ακολουθίας</a><span>. Εξετάσαμε δύο ισοδύναμους ορισμούς, ο πρώτος εκ των οποίων είναι βολικός για την πραγμάτευση αλγεβρικών ιδιοτήτων ενώ ο δεύτερος για την πραγμάτευση αναλυτικών ιδιοτήτων και την γενίκευση της έννοιας. Παρουσιάσαμε παραδείγματα πραγματικών ακολουθιών, κάποια εκ των οποίων άπτονται της Οικονομικής θεωρίας και της θεωρίας πιθανοτήτων. Εξετάσαμε ζητήματα περιγραφής και συμβολισμών. Χρησιμοποιώντας τον διανυσματικό ορισμό εξετάσαμε την έννοια της ισότητας πραγματικών ακολουθιών η οποία και αποτελεί κατά "φυσικό τρόπο" επέκταση της έννοιας της ισότητας πραγματικών διανυσμάτων. Εξετάσαμε συνοπτικά μια γενίκευση αυτής, η οποία επιτρέπει την συσχέτιση δύο πραγματικών ακολουθιών ως σχεδόν παντού ίσες ακόμη και όταν έχουν διαφορετικές συνιστώσες σε πεπερασμένο πλήθος θέσεων.</span></p> <p><span>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq1.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p> </p>Mon, 09 Oct 2023 02:40:21 +0300Mon, 09 Oct 2023 02:40:21 +0300490https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=468&course=OIK228<p>Η εξεταστέα ύλη του μαθήματος συγκροτείται από ότι πραγματευτήκαμε στις διαλέξεις,<span> </span><strong>μέχρι και</strong><span> </span>την διάλεξη της 19/01/2022, όπως και από ότι αναφέρεται στις σχετικές αναρτήσεις του<span> </span><a href="/modules/blog/?course=OIK228" target="_blank" rel="noreferrer noopener">ιστολογίου</a><span> </span>και στους εκεί συνδέσμους. Εξαιρέσεις αποτελούν i) η έννοια του εκθετικού μήτρας η οποία αναφέρεται<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/DifIntPser_cor.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>, ii) οι τύποι που εξάγονται για τις υψηλότερης (πέραν της πρώτης) τάξης παραγώγους δυναμοσειρών με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης που βρίσκονται<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/DifIntPser_cor.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>-<strong>προσπαθήστε όμως να εξάγετε τον σχετικό τύπο για την δεύτερης τάξης παράγωγο</strong>!<span></span>, iii)  το ζήτημα ολοκληρωσιμότητας δυναμοσειρών που ανεφέρεται<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/DifIntPser_cor.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>, και iv)  η εφαρμογή των λύσεων της γραμμικής ΣΔΕ με σταθερους συντελεστές και σταθερό όρο σε παράδειγμα δυναμικής αγοράς που βρίσκεται<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/PSerODE.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>. Αντιστοίχως περιορίζονται και οι ασκήσεις που μπορείτε να παραδώσετε-δηλαδή, δεν χρειάζεται να παραδώσετε ασκήσεις που αφορούν στα i), ii), iii), και iv) (αν ενδιαφέρεστε να προσπαθήσετε να λύσετε και τέτοιες ασκήσεις προφανώς και είμαι διατεθειμένος να ελέγξω τις λύσεις σας, χωρίς όμως αυτές να βαθμολογηθούν).</p>Wed, 25 Jan 2023 00:48:04 +0300Wed, 25 Jan 2023 00:48:04 +0300468https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=467&course=OIK228<p>Aσχοληθήκαμε περαιτέρω με το <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2%80%93Hadamard_theorem" target="_blank" rel="noreferrer noopener">θεώρημα Cauchy-Hadamard</a><span> </span>που μας πληροφορεί ότι το σύνολο σύγκλισης έχει πάντοτε την μορφή διαστήματος (έστω εκφυλισμένου, ή γενικευμένου), με κατάλληλο κέντρο και ακτίνα, μια πρώτη ένδειξη της καλής συμπεριφοράς αυτών. Σκιαγραφήσαμε (και) μέσω του κριτηρίου του πηλίκου την απόδειξη του θεωρήματος, ενώ είδαμε ότι στο εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης η σύγκλιση της δυναμοσειράς είναι απόλυτη, το διάστημα σύγκλισης είναι δυνατόν να περιέχει κάποιο ή και τα δύο άκρα του (εφόσον υπάρχουν), αυτό είναι αδύνατο να διερευνηθεί μέσω του κριτηρίου του πηλίκου, ενώ η σύγκλιση σε κάποιο από αυτά ή και στα δύο (εφόσον ισχύει) μπορεί να είναι κατά συνθήκη. Στην συνέχεια διερευνήσαμε παραδείγματα ως προς το θεώρημα Cauchy-Hadamard.</p> <p>Ξαναελέγξαμε στοιχεία της άλγεβρας μεταξύ δυναμοσειρών με κοινό κέντρο, με αναφορά στα διαστήματα σύγκλισής τους. Παρατηρήσαμε π.χ. ότι το διάστημα σύγκλισης του αθροίσματος δυναμοσειρών με κοινό κέντρο είναι είναι υπερσύνολο της τομής των διαστημάτων σύγκλισης των δύο δυναμοσειρών, κ.ο.κ.  </p> <p>Ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με αναλυτικές ιδιότητες των δυναμοσειρών. Καταρχάς διατυπώσαμε το θεώρημα συνέχειας που μας πληροφορεί ότι οι δυναμοσειρές είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα συγκλισής τους. Η απόδειξη αυτού είναι δυνατόν να προκύπτει από έννοιες εκτός του εύρους του μαθήματος (δείτε π.χ. <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Compact_convergence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Abel%27s_theorem" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>), αλλά επί της ουσίας μας πληροφορεί ότι για της δυναμοσειρές επιτρέπεται κάποιου είδους <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Interchange_of_limiting_operations" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εναλλαγή ορίων</a>.</p> <p>Εντυπωσιακότερο είναι το θεώρημα παραγωγισιμότητας δυναμοσειράς με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης, στο εσωτερικό αυτού, που επιτρέπει επίσης κάποιου εναλλαγή ορίου, και συνεπάγεται ότι η παράγωγος είναι επίσης δυναμοσειρά με το ίδιο κέντρο και εσωτερικό διαστήματος σύγκλισης που ταυτίζεται με το εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης της αρχικής, ενώ υπολογίζεται πολύ εύκολα από την αρχική δυναμοσειρά. Ξεκινήσαμε να ασχολούμαστε με διάφορες εφαρμογές του. </p> <p>Χρησιμοποιώντας την παραγωγισιμότητα, εργαστήκαμε με παραδείγματα που προέκυψαν στα πλαίσια της γεωμετρικής σειράς όποτε είδαμε ότι είναι δυνατόν να χρησιμοποιείται η εν λόγω αναλυτική ιδιότητα προκειμένου να βρίσκουμε πραγματικές σειρές.</p> <p>Παραγωγίζοντας κατάλληλη δυναμοσειρά και βρίσκοντας την μοναδική λύση <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Initial_value_problem" target="_blank" rel="noreferrer noopener">προβλήματος αρχικών τιμών</a> δείξαμε το πως αναπαρίσταται από δυναμοσειρά η εκθετική συνάρτηση, ενώ είδαμε ότι η αναπαράσταση αυτή δεν είναι μοναδική όπως και άλλα συναφή ζητήματα. Οι λόγοι που ισχύουν αυτές οι αναπαραστάσεις αφορούν στην θεωρία των <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Analytic_function" target="_blank" rel="noreferrer noopener">αναλυτικών συναρτήσεων</a>.</p> <p>Περνώντας σε εφαρμογές δυναμοσειρών είδαμε εν συντομία κάποιες βασικές έννοιες που αφορούν στις <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinary_differential_equation" target="_blank" rel="noreferrer noopener">Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις</a>. Παρατηρήσαμε ότι συνήθως λύσεις αυτών βρίσκονται μέσω περίπλοκων διαδικασιών ολοκλήρωσης (που συνδυάζονται με κατάλληλους μετασχηματισμούς) και ότι εφόσον η ολοκλήρωση είναι γενικά υπολογιστικά πολύπλοκη, προκύπτει εύλογα το ερώτημα αν είναι δυνατόν σε κάποιες περιπτώσεις να αποφευχθεί μέσω διαδικασίών εύρεσης λύσεων ενδεχομένως μικρότερης πολυπλοκότητας. Οδηγηθήκαμε έτσι σε μια εισαγωγή στην Μέθοδο των Δυναμοσειρών για την εύρεση λύσεων.</p> <p>Η μέθοδος ανάγεται στην επίλυση απειροπληθούς συστήματος από αναδρομικές σχέσεις για την εύρεση των άγνωστων συντελεστών της δυναμοσειράς. Αυτό προκύπτει από την μορφή της εξίσωσης, την μορφή που έχουν οι παράγωγοι δυναμοσειράς με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης, και από την έννοια της ισότητας δυναμοσειρών. Είναι δε δυνατόν να είναι ευκολότερα επιλύσιμο από την ολοκλήρωση. Το σύστημα δεν θα εμπεριέχει εξ'ορισμού πληροφορία για κάποιους από τους συντελεστές της εξίσωσης το πλήθος των οποίων θα ταυτίζεται με την τάξη της, και οι οποίοι θα αναπαριστούν τις σχετικές σταθερές ολοκλήρωσης. Ασχοληθήκαμε με την εφαρμογή της μεθόδου στην κατηγορία των γραμμικών εξισώσεων πρώτης τάξης, με σταθερούς συντελεστές και σταθερό όρο</p> <p>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Powser1.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>,<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/DifIntPser_cor.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ, </a><span>και </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/PSerODE.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a><span>.</span></p> <p><span>Πίνακες των εξ' αποστάσεως διαλέξεων του προηγούμενων ακαδημαϊκών ετών που αφορούν σε έννοιες που σχετίζονται με τα παραπάνω</span> μπορείτε να βρείτε<span> </span><a href="https://auebgr.sharepoint.com/:b:/s/2021-22448/EbGoBA-WcuNHtV5UINXDsuYBERVI5YMp6ic7aRDlikzOZA?e=afwSMo" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ,</a><span> </span><a href="https://auebgr.sharepoint.com/:b:/s/2021-22448/EVwpLZZltF1MtQjRQtsZDZMBJIf2mhhqOwNqVAcymEmM_Q?e=BMf8u5" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ, </a><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%2027-28.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a><span> και </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%A3%CF%85%CE%BD%CE%AD%CF%87%CE%B5%CE%B9%CE%B1%20%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%CF%82%2028.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a><span>.   </span>.</p> <p> </p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις</strong></p> <p> </p> <ol><li>Να δειχθεί ότι οι παρακάτω είναι δυναμοσειρές και να βρεθεί το εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης αυτών: <ol><li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Di%28x-5%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="72" height="38" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bi%21%7D%7Bi%5E%7Bi%7D%7D%20%28x-2%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="66" height="32" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B2%7D%7B%28i&amp;plus;1%29%5E%7B2%7D%7D%20%28x-1%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="93" height="31" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D2%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%28i%29%7D%20%28x-1%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="89" height="35" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D2000%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cexp%28i%29%7D%20%28x-100%21%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="110" height="31" /></li> </ol></li> <li> <p>Να βρεθούν οι παράγωγοι 1ης τάξης για όσες από τις παρακάτω δυναμοσειρές είναι καλώς ορισμένες:</p> <ol><li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Di%21%28x-4%29%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bi&amp;plus;1%7D%28x-2%29%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bi&amp;plus;2%7D%28x-7%29%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bi%5E2%7Dx%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bi%21%7D%7B%5Cexp%28i%29%7Dx%5E%7Bi%7D" alt="" />.</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Di%28x-5%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="72" height="38" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bi%21%7D%7Bi%5E%7Bi%7D%7D%20%28x-2%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="66" height="32" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B2%7D%7B%28i&amp;plus;1%29%5E%7B2%7D%7D%20%28x-1%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="93" height="31" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D2%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%28i%29%7D%20%28x-1%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="89" height="35" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D2000%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cexp%28i%29%7D%20%28x-100%21%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="110" height="31" /></li> </ol></li> </ol>Wed, 25 Jan 2023 00:43:28 +0300Wed, 25 Jan 2023 00:43:28 +0300467https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=464&course=OIK228<p>Συνεχίσαμε την διερεύνση ιδιοτήτων του εφικτού συνόλου. Δείξαμε ότι αποτελείται από (<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_boundedness" target="_blank" rel="noreferrer noopener">ομοιόμορφα</a>) φραγμένες ακολουθίες. </p> <p>Δεδομένης της διερεύνησης μας για το παράδειγμα εφικτού συνόλου, περιγράφοντας σε αδρές γραμμές την σύνδεση μεταξύ σχέσης προτίμησεων επί του εφικτού συνόλου και (όταν υπάρχει) συνάρτησης ωφέλειας που την αναπαριστά, ασχοληθήκαμε με παράδειγμα συνάρτησης ωφέλειας <em>επί του εφικτού συνόλου</em> και με το ζήτημα του αν αυτή (και συνακόλουθα το πρόβλημα της βέλτιστης επιλογής διαχρονικής ροής κατανάλωσης) είναι καλώς ορισμένη. Αυτή είχε την <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Discounted_utility" target="_blank" rel="noreferrer noopener">μορφή σειράς συναρτήσεων</a> και εμφάνιζε τα χαρακτηριστικά της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Discount_function" target="_blank" rel="noreferrer noopener">χρονικής διαχωρισιμότητας</a> (time separability) και της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_discounting" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εκθετικής χρονικής προεξόφλησης</a> (exponential discounting). Το να είναι καλώς ορισμένη ισοδυναμεί με το να συγκλίνει για κάθε εφικτή διαχρονική κατανάλωση. Δεδομένων των τιμών που επιτρέψαμε στον συντελεστή χρονικής προτίμησης, και χρησιμοποιώντας μια σειρά από συλλογισμούς που άπτονται σημαντικού μέρους της μέχρι τώρα μας ύλης, δείξαμε το καλώς ορισμένο. </p> <p>Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με το πρόβλημα του καλώς ορισμένου, βρήκαμε εφικτές διαχρονικές ροές κατανάλωσης για τις οποίες η συνάρτηση ωφέλειας συγκλίνει ακόμη και όταν β=1. Στην συνέχεια, υποθέτωντας υπεραρμονική προεξόφληση, προκειμένου να αναφερθούμε σε προτιμήσεις όπου αποδίδεται μεγαλύτερη σημασία στις απομακρυσμένες χρονικά καταναλώσεις, δείξαμε επίσης το καλώς όρισμένο του αντίστοιχου προβλήματος δυναμικής βελτιστοποίησης.</p> <p>Στην συνέχεια ξεκινήσαμε την εισαγωγή μας στην <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Power_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">θεωρία των δυναμοσειρών</a>. Παρατηρώντας ότι μπορούν τυπικά να ειδωθούν ως κατάλληλα <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Formal_power_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">αλγεβρικά συμπληρώματα</a> των πολυωνύμων εφόσον αγνοήσουμε αναλυτικές ιδιότητες τους (ενώ η αλγεβρική αυτή θέαση είναι προφανώς εκτός του εύρους του μαθήματος), και ότι ως έννοιες της ανάλυσης (που είναι εντός του εύρους του μαθήματος) και εξαιτίας των "καλών ιδιοτήτων τους" έχουν ποικίλες εφαρμογές, ασχοληθήκαμε με τον ορισμό τους, και είδαμε παραδείγματα, και αντιπαράδειγμα.</p> <p>Δεδομένων των παραπάνω, ασχοληθήκαμε καταρχάς με το ζήτημα της συγκλισής τους, οπότε και διατυπώσαμε το <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2%80%93Hadamard_theorem" target="_blank" rel="noreferrer noopener">θεώρημα Cauchy-Hadamard</a> που μας πληροφορεί ότι το σύνολο σύγκλισης έχει πάντοτε την μορφή διαστήματος (έστω εκφυλισμένου, ή γενικευμένου), με κατάλληλο κέντρο και ακτίνα, μια πρώτη ένδειξη της καλής συμπεριφοράς αυτών.</p> <p>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Example.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>, <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/BoundedFeasSet.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Powser1.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Τους πίνακες των από διαλέξεων του προηγούμενου ακαδημαϊκού έτους που αφορούν σε έννοιες που σχετίζονται με τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε<span><a href="https://auebgr.sharepoint.com/:b:/s/2021-22448/EfT6Lir0l75BmY1lELH4JBsB6mSlv709sNF8Fk-neDuXpA?e=pa9Dcw" target="_blank" rel="noreferrer noopener"> εδώ</a>, <a href="https://auebgr.sharepoint.com/:b:/s/2021-22448/EWEkgFbnFi5KqpmkEWej7f0B4eMnOV8CRgKaZ3cXZnGIrw?e=x6nvLm" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="https://auebgr.sharepoint.com/:b:/s/2021-22448/EaqbUGqPNGNMjigsEJyFfZkBq5LsQjYqM16ySkRjpbOsuQ?e=DJewfa" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a></span>.</p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις</strong></p> <ol><li>Ερμηνεύστε οικονομικά τον μετασχηματισμό <img class="latex" title="k\rightarrow k^{a}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=k%5Crightarrow+k%5E%7Ba%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="k\rightarrow k^{a}" />.</li> <li>Προσπαθήστε να δείξετε αν το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διερευνήθηκε παραπάνω είναι καλώς ορισμένο όταν η συνάρτηση ωφέλειας είναι η <img class="latex" title="\sum_{t=0}^{\infty}\beta^{t}\ln (c_{t}+1)" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bt%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cbeta%5E%7Bt%7D%5Cln+%28c_%7Bt%7D%2B1%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{t=0}^{\infty}\beta^{t}\ln (c_{t}+1)" />.</li> <li>Για το προηγούμενο να βρεθούν αν υπάρχουν εφικτές διαχρονικές καταναλώσεις με σχεδόν όλους τους όρους θετικούς για τις οποίες η συνάρτηση ωφέλειας συγκλίνει όταν <img class="latex" title="\beta=1" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cbeta%3D1&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\beta=1" />.</li> <li>Εξηγήστε το γιατί η συνάρτηση ωφέλειας είναι σειρά πραγματικών συναρτήσεων η κάθε μία εκ των οποίων ορίζεται επί του εφικτού συνόλου.</li> <li>Προσπαθείστε να διερευνήσετε ότι έχει γίνει και ότι έχει ζητηθεί στην εφαρμογή μας όταν αντί του μετασχηματισμού <img class="latex" title="k\rightarrow k^{a}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=k%5Crightarrow+k%5E%7Ba%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="k\rightarrow k^{a}" /> ισχύει ο μετασχηματισμός (δηλ. ο στιγμιαίος ανατοκισμός του διαθέσιμου πόρου με στιγμιαίο σταθερό στον χρόνο επιτόκιο r)</li> <li>Να δειχθεί ότι οι παρακάτω είναι δυναμοσειρές και να βρεθεί το εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης αυτών:</li> <li> <ol><li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Di%28x-5%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="72" height="38" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bi%21%7D%7Bi%5E%7Bi%7D%7D%20%28x-2%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="66" height="32" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B2%7D%7B%28i&amp;plus;1%29%5E%7B2%7D%7D%20%28x-1%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="93" height="31" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D2%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%28i%29%7D%20%28x-1%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="89" height="35" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D2000%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cexp%28i%29%7D%20%28x-100%21%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="110" height="31" /></li> </ol></li> </ol>Mon, 16 Jan 2023 01:08:23 +0300Mon, 16 Jan 2023 01:08:23 +0300464https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=463&course=OIK228<p>Ολοκληρώσαμε το παράδειγμα της διμεταβλητής σειράς.</p> <p>Ξεκινήσαμε την πραγμάτευση παραδείγματος που επισκοπεί μεγάλο μέρος της μέχρι τώρα ύλης, και αφορά στην βέλτιστη επιλογή διαχρονικής κατανάλωσης σε κατάλληλο υπόβαθρο. Σε αυτό παρατηρήσαμε ότι διαχρονική ροή κατανάλωσης είναι όποια πραγματική ακολουθία από μη αρνητικούς όρους, ενώ αρχίσαμε να εργαζόμαστε στην κατασκευή εφικτού συνόλου από διαχρονικές ροές κατανάλωσης δεδομένης εξωγενούς αρχικής προικοδότησης και τεχνολογίας μετασχηματισμού πόρων. </p> <p>Ασχοληθήκαμε με την περιγραφή εφικτού συνόλου που προσδιορίζεται από εξωγενή προικοδότηση και σταθερή στον χρόνο τεχνολογία μετασχηματισμού των πόρων. Παρατηρήσαμε ότι το εφικτό σύνολο από διαχρονικές ροές κατανάλωσης δεδομένων των παραπάνω, προσδιορίζεται από ακολουθία ανισοτικών περιορισμών ("διαχρονικοί εισοδηματικοί περιορισμοί"). Δείξαμε ότι είναι μη κένο.</p> <p>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Example.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/BoundedFeasSet.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p><span>Τους πίνακες των από απόστασης διαλέξεων του Ακ. Έτους 2020-21 που περιλαμβάνουν σχετικές με τις παραπάνω έννοιες, μπορείτε να βρείτε</span><span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%2020-21-22-23-24-25.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a><span></span><span></span>.</p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις</strong></p> <ol><li>Όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> να βρεθεί το <img class="latex" title="X^{*}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%5E%7B%2A%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X^{*}" width="21" height="12" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} x/i!" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+x%2Fi%21&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} x/i!" width="67" height="18" />.</li> <li>Όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> να βρεθεί το <img class="latex" title="X^{*}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%5E%7B%2A%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X^{*}" width="21" height="12" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}x^{3i}/i!" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dx%5E%7B3i%7D%2Fi%21&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}x^{3i}/i!" width="78" height="19" /> .</li> <li>Όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> να βρεθεί το <img class="latex" title="X^{*}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%5E%7B%2A%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X^{*}" width="21" height="12" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} x/(i+1)" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+x%2F%28i%2B1%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} x/(i+1)" width="102" height="19" />.</li> <li>Όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> να βρεθεί το <img class="latex" title="X^{*}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%5E%7B%2A%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X^{*}" width="21" height="12" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} x^{2i}/(i+1)" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+x%5E%7B2i%7D%2F%28i%2B1%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} x^{2i}/(i+1)" width="113" height="19" />.</li> <li>Να επαναλάβετε τα προηγούμενα για το <img class="latex" title="X=(0,1)" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%280%2C1%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=(0,1)" width="71" height="18" />.</li> <li>Υπάρχουν στα παραπάνω περιπτώσεις που γνωρίζουμε βάσει και των όσων έχουμε κάνει προηγουμένως και ποιό είναι το όριο;</li> <li>Όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> να βρεθεί το <img class="latex" title="X^{*}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%5E%7B%2A%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X^{*}" width="21" height="12" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} \sin(ix)/i!" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Csin%28ix%29%2Fi%21&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} \sin(ix)/i!" width="105" height="19" /> χωρίς την χρήση του κριτηρίου.</li> <li>Προσπαθήστε να επαναλάβετε το παραπάνω χρησιμοποιώντας το κριτήριο.</li> <li>Να επαναλάβετε το ζητούμενο στην 8 όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} \cos(ix)/i" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Ccos%28ix%29%2Fi&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} \cos(ix)/i" width="102" height="19" />.</li> <li>Ερμηνεύστε οικονομικά τον μετασχηματισμό <img class="latex" title="k\rightarrow k^{a}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=k%5Crightarrow+k%5E%7Ba%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="k\rightarrow k^{a}" />.</li> </ol>Wed, 28 Dec 2022 18:05:42 +0300Wed, 28 Dec 2022 18:05:42 +0300463https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=461&course=OIK228<p><span>Συνεχίσαμε και ολοκληρώσαμε το παράδειγμα στα πλαίσια της θεωρίας χρήματος που αφορά στην δημιουργία χρήματος από τις θεμελιώδεις λειτουργίες του τραπεζικού συστήματος• αυτό αποτελείται από την κεντρική και τις εμπορικές τράπεζες και στο οποίο υπάρχει η </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Fractional-reserve_banking" target="_blank" rel="noreferrer noopener">τεχνολογία των κλασματικών διαθεσίμων</a><span>.</span></p> <p>Προκειμένου να μπορούμε να ασχοληθούμε με πολυπλοκότερα παραδείγματα αλλά και με την έννοια της δυναμοσειράς και τις συνακόλουθες εφαρμογές, ξεκινήσαμε την γενίκευση των έννοιών που έχουμε δει μέχρι τώρα εισάγωντας και την έννοια της ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού. Παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν να αντιληφθούμε μια ακολουθία πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού με τουλάχιστον δύο ισοδύναμους τρόπους. Ο δεύτερος την αναπαριστά ως "λίστα" πραγματικών ακολουθιών, μία για καθε σημείο του κοινού πεδίου ορισμού. Αυτός μαζί με την έννοια του ορίου πραγματικής ακολουθίας μας οδήγησε "φυσικά" στην έννοια του <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Pointwise_convergence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">σημειακού ορίου</a> ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων, το οποίο εξ'ορισμού είναι πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού υποσύνολο του κοινού πεδίου ορισμού των όρων της ακολουθίας. (Και) μέσω παραδειγμάτων παρατηρήσαμε ότι αυτή η έννοια ορίου είναι αρκετά ασθενής ώστε <em>είναι δυνατόν</em> η συνάρτηση όριο να μην έχει ιδιότητες που έχουν όλα τα μέλη της ακολουθίας όπως π.χ. η συνέχεια, και πως είναι δυνατόν να οριστούν <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_convergence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">ισχυρότερες μορφές ορίου</a> που να διατηρούν κάποιες από αυτές τις ιδιότητες.</p> <p>Ξεκινήσαμε την πραγμάτευση της έννοιας της σειράς πραγματικών συναρτήσεων, παρατηρώντας ότι μπορούμε να την διαχειριστούμε αναλόγως με τις πραγματικές σειρές, έχοντας στην διάθεση μας την διαδικασία της κατά σημείο μερικής άθροισης και την έννοια του σημειακού ορίου. Έτσι, ορίσαμε την έννοια της σειράς πραγματικών συναρτήσεων ως σημειακό όριο κατάλληλης ακολουθίας μερικών αθροισμάτων. Προκειμένου να εντοπίζουμε μέρος του πεδίου ορισμού μιας τέτοιας σειράς διατυπώσαμε αλγόριθμο που βασίζεται στο κριτήριο του πηλίκου και είδαμε παραδείγματα. Παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν σε μέρος του πεδίου ορισμού της μια τέτοια σειρά να συγκλίνει απολύτως και σε άλλο μέρος κατά συνθήκη (προφανώς το τελευταίο δεν είναι δυνατόν να εντοπισθεί από το κριτήριο του πηλίκου-γιατί;). Εξετάσαμε παραδείγματα, μεταξύ των οποίων και διμεταβλητής συνάρτησης.</p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Genseqser_cor.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Τους πίνακες των από απόστασης διαλέξεων του Ακ. Έτους 2020-21 που περιλαμβάνουν σχετικές με τις παραπάνω έννοιες, μπορείτε να βρείτε<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%2019.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%2020-21-22-23-24-25.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p> </p> <p> </p>Sun, 11 Dec 2022 23:42:48 +0300Sun, 11 Dec 2022 23:42:48 +0300461https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=459&course=OIK228<p>Αποδείξαμε ότι η απόλυτη σύγκλιση αποτελεί γνήσια εκλέπτυνση της συνήθους σύγκλισης, ενώ αναφέραμε εν συντομία το <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_series_theorem" target="_blank" rel="noreferrer noopener">Θεώρημα Σειρών του Riemann</a> και το ότι ανν έχουμε απόλυτη σύγκλιση η αναδιάταξη των όρων της σειράς δεν επηρεάζει την άθροιση. </p> <p>Μέσω του παραπάνω μπορέσαμε και διατυπώσαμε το <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test" target="_blank" rel="noreferrer noopener">Κριτήριο του Πηλίκου</a> το οποίο (σε κάποιες περιπτώσεις) αποφαίνεται για το αν δεδομένη σειρά συγκλίνει απολύτως ή αποκλίνει  και ξεκινήσαμε να εργαζόμαστε με αυτό.</p> <p>Παρατηρήσαμε ότι επί της ουσίας λειτουργεί μέσω της σύγκρισης με γεωμετρική σειρά ο συντελεστής της οποίας σχετίζεται με το όριο της βοηθητικής ακολουθίας των πηλίκων των απολύτων τιμών των διαδοχικών όρων. Συνεπώς είναι αναμενόμενο ότι όταν τέτοια σύγκριση είναι αδύνατη (π.χ. σε υπεραρμονικές σειρές) το κριτήριο θα είναι να είναι μη πληροφοριακό όταν υπάρχει το σχετικό όριο.</p> <p>Μέσω παραδειγμάτων, είδαμε ότι η περίπτωση της μη πληροφοριακότητας είναι δυνατόν να αφορά κατά συνθήκη σύγκλιση, κάτι αναμενόμενο, απόκλιση αλλά και απόλυτη σύγκλιση. Συνεπώς είναι γενικά αδύνατο να συνάγουμε κάτι για την συμπεριφορά σειράς για την οποία το κριτήριο είναι μη πληροφοριακό χρησιμοποιώντας μόνο το κριτήριο. Παρατηρήσαμε επίσης ότι υπάρχουν εκλεπτύνσεις του κριτηρίου που είναι δυνατόν να μας πληροφορούν για την συμπεριφορά δεδομένης σειράς <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test#The_test" target="_blank" rel="noreferrer noopener">είτε όταν το όριο της βοηθητικής ακολουθίας δεν υπάρχει</a>, <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test#Extensions_for_L_.3D_1" target="_blank" rel="noreferrer noopener">είτε όταν αυτό ισούται με ένα</a>.</p> <p>Ξεκινήσαμε να εργαζόμαστε σε απλά παραδείγματα εμφάνισης των εννοιών των πραγματικών ακολουθιών, της διαδικασίας μερικής άθροισης και των πραγματικών σειρών στα οικονομικά. Το πρώτο παράδειγμα αφορά σε περιοριστικό ορισμό και <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Valuation_(finance)">τιμολόγηση χρηματοοικονομικού τίτλου</a>. Εκφράσαμε υπό προϋποθέσεις την τιμή ως σειρά των κατάλληλα προεξοφλημένων αποδόσεων. Θεωρήσαμε υποπαράδειγμα της προσέγγισής μας που αφορούσε στην μη σύγκλιση κατάλληλης σειράς, ως σχετικό με την έννοια της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Economic_bubble" target="_blank" rel="noreferrer noopener">χρηματοοικονομικής φούσκας</a>.</p> <p>Συνεχίσαμε με δεύτερο παράδειγμα στα πλαίσια της νομισματικής θεωρίας όπου συναντάμε τις έννοιες της πραγματικής ακολουθίας και της πραγματικής σειράς. Αυτό αφορά στην δημιουργία χρήματος από τις θεμελιώδεις λειτουργίες του τραπεζικού συστήματος, το οποίο αποτελείται από την κεντρική και τις εμπορικές τράπεζες και στο οποίο υπάρχει η <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Fractional-reserve_banking" target="_blank" rel="noreferrer noopener">τεχνολογία των κλασματικών διαθεσίμων</a>.</p> <p>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Absconrt.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>, και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/FinancialSeqSer.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>. Ένα γενικότερο υπόδειγμα αποτίμησης σε υπόβαθρο αβεβαιότητας (το οποίο προφανώς είναι εκτός της ύλης του μαθήματος) μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202019-20/%CE%93%CE%B5%CE%BD%CE%B9%CE%BA%CF%8C%20%CE%A5%CF%80%CF%8C%CE%B4%CE%B5%CE%B9%CE%B3%CE%BC%CE%B1%20%CE%91%CF%80%CE%BF%CF%84%CE%AF%CE%BC%CE%B7%CF%83%CE%B7%CF%82%20%CE%A7%CF%81%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%BF%CE%BF%CE%B9%CE%BA%CE%BF%CE%BD%CE%BF%CE%BC%CE%B9%CE%BA%CE%BF%CF%8D%20%CE%A4%CE%AF%CF%84%CE%BB%CE%BF%CF%85/cap_notes_2_0809.pdf">εδώ</a>.</p> <p>Τους πίνακες των από απόσταση διαλέξεων του Ακ. Έτους 2020-21 που μεταξύ άλλων σχετίζονται με τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%2016-17.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%2018.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>, καθώς καιι αντίστοιχους σχετικούς πίνακες από απόστασης διάλεξης από το Ακ. Έτος 2021-22 μπορείτε να βρείτε<a href="https://auebgr.sharepoint.com/:b:/s/2021-22448/EZwB6iT803BPvOWW33aod9ABoALi3enJkdSNN0wdte1tsw?e=Oheqmn" target="_blank" rel="noreferrer noopener"><span> εδώ</span></a>.</p> <p><strong>Ασκήσεις</strong> (προσπαθήστε να λύσετε τις 1-4 χρησιμοποιώντας αποκλειστικά το κριτήριο του πηλίκου).</p> <ol><li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i!}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bx%5E%7Bi%7D%7D%7Bi%21%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i!}" /> συγκλίνει για κάθε <img class="latex" title="x\geq 0" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=x%5Cgeq+0&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="x\geq 0" />.</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(i+1)^m},\: 0\leq m &lt;1" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%28i%2B1%29%5Em%7D%2C%5C%3A+0%5Cleq+m+%3C1&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(i+1)^m},\: 0\leq m &lt;1" /> αποκλίνει.</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i^{m}))" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cexp%28-%28i%5E%7Bm%7D%29%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i^{m}))" /> για όποιο <img class="latex" style="border:none;vertical-align:middle;height:auto;" title="m&gt;1" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=m%3E1&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="m&gt;1" /> συγκλίνει. Υπόδειξη: Μπορείτε να συσχετίσετε την συμπεριφορά της εν λόγω σειράς με την ανάλογη υπεραρμονική. Μπορείτε για μεγαλύτερη ευκολία να ασχοληθείτε με την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i+1)^{m}))" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cexp%28-%28i%2B1%29%5E%7Bm%7D%29%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i+1)^{m}))" /> ή/και να δείτε την προηγούμενη μόνο για m=2).</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(i)+1}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%28i%29%2B1%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(i)+1}" /> αποκλίνει.</li> <li>Επινοήστε όσο το δυνατόν περισσότερες σειρές και προσπαθήστε να διαπιστώσετε το αν συγκλίνουν χρησιμοποιώντας πλέον αποκλειστικά το κριτήριο. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε και αυτές που αναφέρονται σε παλαιότερες αναρτήσεις.</li> <li>Προσπαθήστε να ερμηνεύσετε στα πλαίσια της οικονομικής θεωρίας το τι συμβαίνει με την τιμή του τίτλου όταν δεν ισχύει η συνθήκη μη ύπαρξης φούσκας στο παράδειγμα που μας απασχόλησε.</li> <li>Προσπαθήστε να ερμηνεύσετε στα πλαίσια της οικονομικής θεωρίας το τι θα συνέβαινε  στο άνω φράγμα της συνολικής προσφοράς χρήματος αν οι εμπορικές τράπεζες δεν είχαν υποχρέωση διακράτησης ρευστών διαθεσίμων (<img class="latex" title="a=0" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=a%3D0&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="a=0" />);</li> </ol>Sat, 03 Dec 2022 18:43:37 +0300Sat, 03 Dec 2022 18:43:37 +0300459https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=458&course=OIK228<p><span>Συνεχίσαμε με το παράδειγμα</span><span> της </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)" target="_blank" rel="noreferrer noopener">αρμονικής</a> σειράς και εκμεταλλευόμενοι την προεργασία που είχαμε κάνει για την προσέγγιση του γενικού όρου της αρμονικής ΑΜΑ από ολοκλήρωμα, δείξαμε ότι η εν λόγω σειρά δεν υπάρχει επειδή η ΑΜΑ αυτής δεν είναι φραγμένη.</p> <p><span>Αναφερθήκαμε στο παράδειγμα της </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)#Alternating_harmonic_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εναλλάσουσας αρμονικής</a> η οποία υπάρχει και ισούται με ln(2), και σημειώσαμε ότι τα εννοιολογικά εργαλεία που έχουμε συγκεντρώσει μέχρι τώρα δεν επαρκούν για να εξετάσουμε το τι συμβάινει με αυτό το παράδειγμα•θα μας χρησιμεύσουν οι δυναμοσειρές. Επιφυλαχθήκαμε με το παράδειγμα της<span> </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)#p-series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">υπεραρμονικής</a><span> σειράς.</span></p> <p>Παρατηρήσαμε ότι με την εξαίρεση παραδειγμάτων όπως αυτό της γεωμετρικής σειράς, όπου ήταν "εύκολο" να βρεθεί και να ελεγχθεί ως προς την σύγκλιση γενικός τύπος για την μερική άθροιση, γενικά τα ζητήματα i) της ύπαρξης δεδομένης σειράς και ii) της εύρεσης του με τι ισούται όταν υπάρχει, εμφανίζουν δυσκολίες στην γενική τους επίλυση ανάλογες με αυτές των διαδικασιών ολοκλήρωσης.</p> <p>Εστιάζοντας κυρίως στο ζήτημα της διακρίβωσης του εάν δεδομένη σειρά υπάρχει, ξεκινήσαμε την διατύπωση θεμελιώδους λογισμού σειρών που βασίζεται στον λογισμό που έχουμε αναπτύξει για τα όρια. Έτσι καταρχάς είδαμε ότι όταν η αρχική ακολουθία αποτελείται από ομόσημους όρους τότε, και επειδή η ακολουθία μερικών αθροισμάτων αυτής είναι μονότονη, η σχετική σειρά θα υπάρχει ανν η ακολουθία μερικών αθροισμάτων είναι φραγμένη.</p> <p>Το παραπάνω χρησιμοποιήθηκε προκειμένου να δείξουμε ότι η υπεραρμονική σειρά υπάρχει. Στα πλαίσια αυτού του παραδείγματος,είδαμε ότι είναι δυνατόν η φραγή της σχετικής ΑΜΑ να προκύπτει μέσω της επιλογής κατάλληλης βοηθητικής πραγματικής ακολουθίας η οποία δεν είναι γενικά προφανής. Κατανοήσαμε έτσι την ανάγκη ύπαρξης "υπολογιστικά απλού" τρόπου διαπίστωσης της σύγκλισης σε κάποιες τουλάχιστον περιπτώσεις.</p> <p>Εξετάσαμε στοιχεία του λογισμού σειρών που άπτονται άλγεβρας συγκλινουσών σειρών, σχετίσαμε το ζήτημα της σύγκλισης σειράς με την σύγκλισης της σειράς που προκύπτει αν από την αρχική εξαιρέσουμε πεπερασμένο πλήθος των αρχικών της όρων.</p> <p>Μέσω παραδείγματος παρατηρήσαμε ότι σε κάποιες περιπτώσεις η φραγή της ΑΜΑ είναι δυνατόν να προκύψει μέσω της κατά σημείο σύγκρισης της παραπάνω με κατάλληλα επιλεγμένη συγκλίνουσα γεωμετρική. Αυτό τελικά μας οδήγησε στην κατασκευή γενικού κριτηρίου το οποίο θα μας πληροφορεί σε κάποιες περιπτώσεις για το αν δεδομένη σειρά υπάρχει μέσω μιας υπολογιστικά "λιγότερο περίπλοκης" διαδιακασίας.</p> <p>Ξεκινήσαμε να χρησιμοποιούμε την καταχρηστική ορολογία που χρησιμοποιείται γενικότερα στις σχετικές βιβλιογραφίες περί "σύγκλισης σειρών".</p> <p>Προκειμένου για την διατύπωση του κριτηρίου του πηλίκου ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με  εκλέπτυνση της έννοιας σύγκλισης σειρών, εν προκειμένω με την έννοια της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_convergence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">απόλυτης σύγκλισης</a>.</p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limser.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>, <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Series2.pdf">εδώ</a>, <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/hyperharmonic.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>, και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Absconrt.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Τους πίνακες των από απόστασης διαλέξεων του Ακ. Έτους 2020-21, που μεταξύ άλλων, αναφέρονται και στα παραπάνω να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%2012-13.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>,  <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%A3%CF%85%CE%BD%CE%AD%CF%87%CE%B5%CE%B9%CE%B1%20%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%CF%82%2013.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <span></span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%2016-17.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a><span>.</span> </p> <h3>Περαιτέρω Ασκήσεις</h3> <ol><li>Χρησιμοποιώντας την γεωμετρική σειρά, και χωρίς να ασχοληθείτε με το αν μπορείτε να την «παραγωγίσετε» ως προς <img class="latex" title="a" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=a&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="a" /> προσπαθήστε να βρείτε την <img class="latex" title="\sum_{i=1}^{\infty}i a^{i}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7Di+a%5E%7Bi%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=1}^{\infty}i a^{i}" /> όταν <img class="latex" title="|a|&lt;1,\: a\neq 0" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%7Ca%7C%3C1%2C%5C%3A+a%5Cneq+0&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="|a|&lt;1,\: a\neq 0" />.</li> <li>Αν  <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} \alpha^{i},\: \sum_{i=0}^{\infty}\beta^{i}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Calpha%5E%7Bi%7D%2C%5C%3A+%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cbeta%5E%7Bi%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} \alpha^{i},\: \sum_{i=0}^{\infty}\beta^{i}" /> υπάρχουσες γεωμετρικές σειρές τότε με τι ισούται η <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} (\alpha^{i}-\beta^{i})" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%28%5Calpha%5E%7Bi%7D-%5Cbeta%5E%7Bi%7D%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} (\alpha^{i}-\beta^{i})" /> και γιατί;</li> <li>Να δείξετε ότι κάθε άθροισμα πεπερασμένου πλήθους όρων είναι δυνατόν να γραφεί ως κάταλληλη σειρά.</li> <li>Ισχύει ότι <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}b_{i}=\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}\sum_{i=0}^{\infty}b_{i}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Da_%7Bi%7Db_%7Bi%7D%3D%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Da_%7Bi%7D%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Db_%7Bi%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}b_{i}=\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}\sum_{i=0}^{\infty}b_{i}" />; Υπάρχει περίπτωση να μην υπάρχει κάποια από τις δύο σειρές στην δεξιά πλευρά και να υπάρχει η σειρά στην αριστερή πλευρά της εν λόγω ισότητας;</li> <li>Να δείξετε ότι <img class="latex" title="\lim_{k\rightarrow\infty}\sum_{i=k}^{\infty}x_{i}=0" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Clim_%7Bk%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Csum_%7Bi%3Dk%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dx_%7Bi%7D%3D0&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\lim_{k\rightarrow\infty}\sum_{i=k}^{\infty}x_{i}=0" /> όταν η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}x_{i}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dx_%7Bi%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}x_{i}" /> υπάρχει.</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i!}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bx%5E%7Bi%7D%7D%7Bi%21%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i!}" /> συγκλίνει για κάθε <img class="latex" title="x\geq 0" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=x%5Cgeq+0&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="x\geq 0" />.</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(i+1)^m},\: 0\leq m &lt;1" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%28i%2B1%29%5Em%7D%2C%5C%3A+0%5Cleq+m+%3C1&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(i+1)^m},\: 0\leq m &lt;1" /> αποκλίνει.</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i^{m}))" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cexp%28-%28i%5E%7Bm%7D%29%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i^{m}))" /> για όποιο <img class="latex" style="border:none;vertical-align:middle;height:auto;" title="m&gt;1" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=m%3E1&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="m&gt;1" /> συγκλίνει. Υπόδειξη: Μπορείτε να συσχετίσετε την συμπεριφορά της εν λόγω σειράς με την ανάλογη υπεραρμονική. Μπορείτε για μεγαλύτερη ευκολία να ασχοληθείτε με την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i+1)^{m}))" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cexp%28-%28i%2B1%29%5E%7Bm%7D%29%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i+1)^{m}))" /> ή/και να δείτε την προηγούμενη μόνο για m=2).</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(i)+1}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%28i%29%2B1%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(i)+1}" /> αποκλίνει.</li> </ol>Mon, 28 Nov 2022 14:51:22 +0300Mon, 28 Nov 2022 14:51:22 +0300458https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=454&course=OIK228<p>Παρατηρώντας ότι η χρήση μέρους του λογισμού έχει να κάνει με την διευκόλυνση της εξακρίβωσης του ζητήματος σύγκλισης (και ενδεχομένως της συνακόλουθης εύρεσης του ορίου) για ακολουθίες που απατελούν κατάλληλους μετασχηματισμούς ακολουθιών των οποίων η ασυμπτωτική συμπεριφορά είναι γνωστή, αναφερθήκαμε καταλήγωντας στον μετασχηματισμό ακολουθιών μέσω σύνθεσης με κατάλληλες συναρτήσεις, και συνακόλουθα στην<span> </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Continuous_mapping_theorem">αρχή της μεταφοράς</a>. Χρησιμοποιήσαμε πολλές από τις έννοιες που έχουμε μέχρι τώρα εξάγει στην μελέτη της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς χρήσιμων στα παρακάτω παραδειγμάτων που σχετίζονται με την γεωμετρική σειρά.</p> <p><span>Ξεκινώντας την ενασχόληση μας με τις </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Series_(mathematics)#Convergent_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">πραγματικές σειρές</a><span>, και προσπαθώντας να εννοιολογήσουμε το απειροπληθές άθροισμα είδαμε ότι γενικά αυτό είναι αδύνατο μέσω της άλγεβρας. Ξεκινήσαμε την εννοιολόγηση ορίζοντας την έννοια της ακολουθίας μερικών αθροισμάτων δεδομένης πραγματικής ακολουθίας που περικλείει του συντελεστές του αθροίσματος. Αυτή μπορεί να θεωρηθεί ως διαδικασία "ολοκλήρωσης ", ενώ η ζητούμενη έννοια της σειράς ως προς την ακολουθία των συντελεστών είναι το όριο αυτής όταν αυτό υπάρχει. Εξετάσαμε παραδείγματα μεταξύ των οποίων αυτά της </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">γεωμετρικής</a><span>, της </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)" target="_blank" rel="noreferrer noopener">αρμονικής</a><span>, της </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)#Alternating_harmonic_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εναλλάσουσας αρμονικής</a><span> και της </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)#p-series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">υπεραρμονικής</a><span> ακολουθίας μερικών αθροισμάτων. Ορίσαμε την έννοια της σειράς ως το όριο της ακολουθίας μερικών αθροισμάτων των συντελεστών, και εξετάσαμε παραδείγματα μεταξύ των οποίων αυτά της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">γεωμετρικής σειράς</a>.</span></p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limser.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Στοιχεία των παραπάνω μπορείτε να βρείτε και στους πίνακες των από απόσταση διαλέξεων του Έτους 2020-21, <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%A3%CF%84%CE%BF%CE%B9%CF%87%CE%B5%CE%AF%CE%B1%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%2010-11.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%2012-13.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <h3>Περαιτέρω Ασκήσεις</h3> <ol><li>Να οριστεί αυστηρά η αντίστροφη της διαδικασίας μερικής άθροισης.</li> <li>Έστω ακολουθία με αυστηρά θετικούς όρους. Δείξτε ότι η ακολουθία μερικών αθροισμάτων αυτής είναι γνησίως αύξουσα. Το αντίστροφο ισχύει;</li> <li>Χρησιμοποιώντας την γεωμετρική σειρά, και χωρίς να ασχοληθείτε με το αν μπορείτε να την «παραγωγίσετε» ως προς <img class="latex" title="a" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=a&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="a" /> προσπαθήστε να βρείτε την <img class="latex" title="\sum_{i=1}^{\infty}i a^{i}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7Di+a%5E%7Bi%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=1}^{\infty}i a^{i}" /> όταν <img class="latex" title="|a|&lt;1,\: a\neq 0" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%7Ca%7C%3C1%2C%5C%3A+a%5Cneq+0&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="|a|&lt;1,\: a\neq 0" />.</li> <li>Αν  <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} \alpha^{i},\: \sum_{i=0}^{\infty}\beta^{i}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Calpha%5E%7Bi%7D%2C%5C%3A+%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cbeta%5E%7Bi%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} \alpha^{i},\: \sum_{i=0}^{\infty}\beta^{i}" /> υπάρχουσες γεωμετρικές σειρές τότε με τι ισούται η <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} (\alpha^{i}-\beta^{i})" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%28%5Calpha%5E%7Bi%7D-%5Cbeta%5E%7Bi%7D%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} (\alpha^{i}-\beta^{i})" /> και γιατί;</li> <li>Να δείξετε ότι κάθε άθροισμα πεπερασμένου πλήθους όρων είναι δυνατόν να γραφεί ως κάταλληλη σειρά.</li> <li> </li> </ol>Mon, 21 Nov 2022 22:41:47 +0300Mon, 21 Nov 2022 22:41:47 +0300454https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=453&course=OIK228<p><span>Συνεχίσαμε την εξαγωγή σειράς από αποτελέσματα που συγκροτούν ένα μικρό μέρος του (ατελούς) λογισμού που χρησιμεύει στην διακρίβωση του αν μια ακολουθία είναι συγκλίνουσα, ή/και όταν είναι, στην εύρεση του ορίου αυτής. Είδαμε ότι αν μια ακολουθία είναι συγκλίνουσα είναι και φραγμένη οπότε ισοδύναμα αν μια ακολουθία είναι μη φραγμένη τότε αναγκαστικά είναι αποκλίνουσα, ότι όταν μια συγκλίνουσα ακολουθία έχει όρους φραγμένους από πάνω (κάτω) από πραγματικό αριθμό, τότε και το όριο αυτής δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο (αντ. μικρότερο) του φράγματος, ότι ακολουθία που βρίσκεται κατά σημείο μεταξύ συγκλινουσών ακολουθίων στο ίδιο όριο, συγκλίνει και αυτή εκεί, και ότι το ζήτημα της σύγκλισης της ακολουθίας δεν επηρεάζεται καθόλου από την συμπεριφορά όποιου πεπερασμένου μέρους της ακολουθίας.</span></p> <p><span>Παρατηρήσαμε ότι η διατύπωση στοιχείων αυτού του λογισμού θα είναι πιο ευχερής μεταγράφοντας τον αρχικό γεωμετρικό ορισμό του ορίου σε ισοδύναμο αναλυτικό ορισμό, χρησιμοποιώντας τους <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Universal_quantification" target="_blank" rel="noreferrer noopener">ποσοδείκτες</a> ("υπάρχει" και "για κάθε" ) και ανισότητες. Τον εξάγαμε και είδαμε πως εφαρμόζεται σε παραδείγματα και αντιπαραδείγματα. Προχωρήσαμε μέσω της χρήσης του στην διακρίβωση της σχέσης της σύγκλισης με τις αλγεβρικές πράξεις που έχουμε μελετήσει για πραγματικές ακολουθίες.</span></p> <p><span>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω και ασκήσεις μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limits.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limser.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</span></p> <p><span>Τους πίνακες των διαλέξεων του Ακ. Έτους 2020-21 που εμπεριέχουν και μέρος των παραπάνω, μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%A3%CF%84%CE%BF%CE%B9%CF%87%CE%B5%CE%AF%CE%B1%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%207-8_b.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%209.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>. Τους πίνακες της φετινής 10ης διάλεξης μπορείτε να βρείτε <a href="https://auebgr.sharepoint.com/:b:/s/2021-22448/EaXKgOvByCZJg5U5VpUV4HkB1XrIJYymFbygzwBMbiunyA?e=6FGnVR" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</span></p> <h3><span>Περαιτέρω Ασκήσεις</span></h3> <ol><li><span>Έστω συγκλίνουσα ακολουθία όπου κάθε όρος της οποίας είναι αυτηρά μεγαλύτερος (αντ. μικρότερος) του πραγματικού αριθμού C. Να δειχθεί ότι το όριο είναι επίσης μεγαλύτερο (αντ. μικρότερο) ή ίσο του C. Γιατί είναι δυνατόν να είναι ίσο;</span><span></span></li> <li><span>'Εστω ακολουθία για την οποία οι απόλυτες τιμές σχεδόν όλων των όρων είναι μεγαλύτερες ή ίσες των απολύτων τιμών των αντίστοιχων όρων ακολουθίας που δεν είναι φραγμένη. Να δειχθεί ότι η αρχική ακολουθία είναι αποκλίνουσα.</span></li> <li><span>Δείξτε το Λήμμα (Μοναδικότητα) αποκλειστικά μέσω του αναλυτικού ορισμού.</span></li> <li><span>Δείξτε ότι συγκλίνουσα ακολουθία με κάτω φράγμα το 1 δεν μπορεί να έχει όριο μικρότερο του 1.</span></li> <li><span>Δείξτε ότι συγκλίνουσα ακολουθία με άνω φράγμα το 1 δεν μπορεί να έχει όριο μεγαλύτερο του 1.</span></li> <li><span>Δείξτε ότι το όριο συγκλίνουσας ακολουθίας δεν μπορεί να είναι μικρότερο από το inf και μεγαλύτερο από το sup αυτής.</span></li> <li><span>Να δείξετε μόνο μέσω του αναλυτικού ορισμού ότι η <img class="latex" title="(\exp(\frac{1}{n+1}))" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%28%5Cexp%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%2B1%7D%29%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="(\exp(\frac{1}{n+1}))" /> συγκλίνει στο 1.</span></li> <li><span>Να δείξετε μόνο μέσω του αναλυτικού ορισμού ότι η <img class="latex" title="(\exp(\frac{1}{n+1}))" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%28%5Cexp%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%2B1%7D%29%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="(\exp(\frac{1}{n+1}))" /> δεν συγκλίνει σε όποιον πραγματικό διάφορο του </span></li> <li><span>Να δείξετε ότι το γινόμενο φραγμένης με συγκλίνουσα στο μηδέν ακολουθία είναι ακολουθία που επίσης συγκλίνει στο μηδέν. Θα ήταν δυνατόν να συμβαίνει κάτι τέτοιο ακόμη και αν η πρώτη δεν ήταν φραγμένη αλλά αποκλίνουσα;</span></li> </ol>Sun, 06 Nov 2022 17:21:50 +0300Sun, 06 Nov 2022 17:21:50 +0300453https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=450&course=OIK228<p>Ολοκληρώσαμε την καταρχάς διερεύνηση της φραγής δείχνοντας ότι το άθροισμα φραγμένης με μη φραγμένη ακολουθία είναι μη φραγμένη ακολουθία.</p> <p>Παρατηρήσαμε ότι η διάταξη με την οποία εμφανίζονται οι όροι μιας πραγματικής ακολουθίας μέσα σε αυτή δεν συμφωνεί αναγκαστικά με την διάταξη τους στην πραγματική ευθεία. Όταν οι δύο αυτές διατάξεις σχετίζονται μονότονα αποκτούμε την έννοια της μονότονης ακολουθίας. Διατυπώσαμε τον ορισμό ο οποίος βασίζεται στην έννοια <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Monotonic_function" target="_blank" rel="noreferrer noopener">μονότονης πραγματικής συνάρτησης</a>, και στην συναρτησιακή μορφή των ακολουθιών.</p> <p>Δείξαμε ότι η μονοτονία προκύπτει ισοδύναμα από την σύγκριση μεταξύ των όρων σε κάθε ζεύγος διαδοχικών όρων της ακολουθίας. Παρατηρήσαμε ότι οι (γνησίως) αύξουσες ακολουθίες είναι αναγκαστικά φραγμένες από κάτω, ενώ δυικά οι (γνησίως) φθίνουσες ακολουθίες είναι αναγκαστικά φραγμένες από πάνω. Παρόλα αυτά υπάρχουν μονότονες ακολουθίες που δεν είναι φραγμένες ακριβώς επειδή τους λείπει η ύπαρξη του έτερου φράγματος, ενώ υπάρχουν και ακολουθίες που δεν είναι ούτε μονότονες ούτε και φραγμένες.</p> <p>Όταν όμως μια ακολουθία συνδυάζει και τις δύο ανωτέρω ιδιότητες τότε διαθέτει ένα ενδιαφέρον<span> </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Monotone_convergence_theorem" target="_blank" rel="noreferrer noopener">χαρακτηριστικό</a><span> </span>το οποίο μας βοηθάει στην νοηματοδότηση της έννοιας του ορίου. Ξεκινήσαμε την ανάπτυξη της έννοιας χρησιμοποιώντας το γενικό παράδειγμα φραγμένης και αύξουσας ακολουθίας όπου και είδαμε ότι θα εμφανίζει μορφή "ασυμπτωτικής συγκέντρωσης" "γύρω από" το sypremum της. Δυικά ισχύει  "ασυμπτωτικής συγκέντρωσης" όποιας φραγμένης και φθίνουσας ακολουθίας "γύρω από" το infimum της.</p> <p>Τα παραπάνω μας οδήγησε στην ακριβή (καταρχάς γεωμετρική) διατύπωση της έννοιας του ορίου πραγματικής ακολουθίας. Μέσω αυτής διαπιστώσαμε ότι υπάρχουν τόσο συγκλίνουσες (π.χ. οι φραγμένες και μονότονες) όσο και αποκλίνουσες ακολουθίες (π.χ. εναλλάσουσες).<span> </span><span>Ξεκινήσαμε την εξαγωγή μιας σειρά από αποτελέσματα που συγκροτούν ένα μικρό μέρος του (ατελούς) λογισμού που χρησιμεύει στην διακρίβωση του αν μια ακολουθία είναι συγκλίνουσα, ή/και όταν είναι, στην εύρεση του ορίου αυτής. Έπι παραδείγματι, μέσω της χρήσης του γεωμετρικού ορισμού είδαμε ότι το όριο όταν υπάρχει είναι μοναδικό.</span></p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω όπως και κάποιες ασκήσεις μπορείτε να βρείτε.</p> <p>Τους πίνακες των διαλέξεων μπορείτε να βρείτε<span> </span><a href="https://auebgr.sharepoint.com/:b:/s/2021-22448/EcEFRl1V5YhGi9NW0QA8vrIB1qwTjgj8k0tsN8R415aY0Q?e=WKqj1D" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>,<span> </span><a href="https://auebgr.sharepoint.com/:b:/s/2021-22448/EQp5J5QIVVhBhmC65X8O-DgBa6ZQtQBEAGcirmNv6F979w?e=z9AKLI" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> (σελ. 1-9),  <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq3.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limits.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Περαιτέρω σχόλια μπορείτε να βρείτε<span> </span><a href="https://auebgr.sharepoint.com/sites/2021-22448/Shared%20Documents/General/STYLIANOS%20ARVANITIS-%CE%A3%CF%87%CE%BF%CC%81%CE%BB%CE%B9%CE%B1%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%B5%CC%81%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%206-7.mp4" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις:</strong></p> <ol><li>Να δειχθεί ότι για κάθε μονότοτονη ακολουθία, κάθε υπακολουθία αυτής έχει την ίδια ή ισχυρότερη μονοτονία.</li> <li>Nα δειχθεί ότι αν οι<span> </span><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28x_%7Bn%7D%29%2C%5C%3A%28y_%7Bn%7D%29" alt="gif.latex?%28x_%7Bn%7D%29%2C%5C%3A%28y_%7Bn%7D%29" /> είναι αύξουσες, τότε και η<span> </span><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cmax%28x_%7Bn%7D%2Cy_%7Bn%7D%29%20%5Cright%20%29" alt="gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cmax%28x_%7Bn%7D%2Cy_%7Bn%7D%29%20%5Cright%20%29" /><span> </span>είναι (ενδεχομένως γνησίως) αύξουσα.</li> <li>Να δειχθεί ότι αν μια ακολουθία είναι φθίνουσα και φραγμένη, τότε σε κάθε ανοικτό διάστημα με κέντρο το infimum της θα περιέχει σχεδόν όλη την ακολουθία, με το πλήθος των όρων που βρίσκονται εκτός αυτού να μπορεί να εξαρτάται από το διάστημα. Θα άλλαζε το συμπέρασμα αν χρησιμοποιούσαμε τα κλειστά αντι των ανοικτών διαστήμάτων.</li> <li>Χρησιμοποιώντας τον γεωμετρικό ορισμό του ορίου να δειχθεί ότι κάθε<span> </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Subsequence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">υπακολουθία</a> συγκλίνουσας ακολουθίας συγκλίνει επίσης στο ίδιο όριο.</li> <li><span>Εξάγετε τις αποδείξεις όλων των αποτελεσμάτων αντικαθιστώντας στον ορισμό του ορίου τα ανοικτά με κλειστά διαστήματα.</span></li> </ol>Sun, 30 Oct 2022 13:46:39 +0300Sun, 30 Oct 2022 13:46:39 +0300450https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=448&course=OIK228<p>Ασχοληθήκαμε περαιτέρω με την έννοια της φραγής. Διατυπώσαμε τον ορισμό της φραγμένης πραγματικής ακολουθίας χρησιμοποιώντας καταρχάς την συνάρτησιακή της μορφή. Είδαμε παραδείγματα και αντί παραδείγματα.</p> <p>Συνεχίσαμε με την διατύπωση και απόδειξη βοηθητικών αποτελεσμάτων. Το πρώτο αφορά στην διατύπωση ισοδύναμου ορισμού χρησιμοποιώντας την έννοια του απολύτου φράγματος∙ αυτό επιτρέπει την ενασχόληση με την εύρεση ενός αντί για δύο φράγματα, και επομένως μπορεί να διαυκολύνει την ανάλυση σε κάποιες περιπτώσεις. Το δεύτερο αφορά στην διακρίβωση της φραγής μέσω της κατα σημείο σύγκρισης με κατάλληλη βοηθητική ακολουθία. Στο τρίτο δείξαμε ότι η ιδιότητα της φραγής δεν προσδιορίζεται από κανένα πεπερασμένο υποσύνολο της ακολουθίας αλλά εξαρτάται από την συμπεριφορά του υπόλοιπου απειροπληθούς μέρους της. Παρατηρήσαμε μέσω άσκησης, ότι τα παραπάνω μπορεί να είναι χρήσιμα στην εξαγωγή αποτελεσμάτων που π.χ. αποδίδουν την ιδιότητα της φραγής σε πραγματική ακολουθία μέσω κατάλληλης (σχεδόν παντού) σύγκρισης με φραγμένη ακολουθία, κ.ο.κ.</p> <p>Δείξαμε π.χ. ότι οι αλγεβρικές πράξεις διατηρούν την φραγή (έτσι π.χ. το σύνολο των φραγμένων πραγματικών ακολουθιών είδαμε ότι αποτελεί<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK269/LinAlg2.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">διανυσματικό υποχώρο</a><span> </span>του συνόλου των πραγματικών ακολουθιών ως προς τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτου πολλαπλασιασμού), ενώ ισχυριστήκαμε ότι το άθροισμα φραγμένης με μη φραγμένη ακολουθία είναι μη φραγμένη ακολουθία.</p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω όπως και κάποιες ασκήσεις μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq2.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq3.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Τους πίνακες των σχετικών από απόσταση διαλέξεων του Ακ. Έτους 2020-21 μπορείτε να βρείτε<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%204-5.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a><span> </span>(σελ. 5-9) και<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%205-6.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a><span> </span>(σελ. 1-8).</p> <p>Περαιτέρω σχόλια μπορείτε να βρείτε<span> </span><a href="https://auebgr.sharepoint.com/sites/2021-22448/Shared%20Documents/General/STYLIANOS%20ARVANITIS-%CE%A3%CF%87%CE%BF%CC%81%CE%BB%CE%B9%CE%B1%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%B5%CC%81%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%206-7.mp4" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p> </p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις:</strong></p> <ol><li>Να δειχθεί ότι αν οι <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28x_%7Bn%7D%29%2C%5C%3A%28y_%7Bn%7D%29" alt="gif.latex?%28x_%7Bn%7D%29%2C%5C%3A%28y_%7Bn%7D%29" /> φραγμένες τότε και η<span> </span><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cmax%28x_%7Bn%7D%2Cy_%7Bn%7D%29%20%5Cright%20%29" alt="gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cmax%28x_%7Bn%7D%2Cy_%7Bn%7D%29%20%5Cright%20%29" /> φραγμένη.</li> <li>Να δειχθεί ότι η ακολουθία <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bn%7Dx%5E%7B2%7Ddx%20%5Cright%20%29" alt="gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bn%7Dx%5E%7B2%7Ddx%20%5Cright%20%29" /> δεν είναι φραγμένη.</li> <li>Να δειχθεί ότι αν η<span> </span><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28y_%7Bn%7D%29" alt="gif.latex?%28y_%7Bn%7D%29" /> φραγμένη και<span> </span><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%7C%20x_%20%7Bn%7D%20%5Cright%20%7C%20%3C%20%5Csup%5Cleft%20%7Cy_%7Bn%7D%5Cright%20%7C%2C%5C%3A%5Cforall%20n%5Cgeq%20%5Cmathbb%7BN%7D" alt="gif.latex?%5Cleft%20%7C%20x_%20%7Bn%7D%20%5Cright%20%7C%20%3C%20%5Csup%5Cleft%20%7Cy_%7Bn%7D%5Cright%20%7C%2C%5C%3A%5Cforall%20n%5Cgeq%20%5Cmathbb%7BN%7D" /> (ορθή επανάληψη), τότε υπάρχει κάποιος φυσικός<span> </span><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?n%5E%7B%5Cstar%7D" alt="gif.latex?n%5E%7B%5Cstar%7D" />, τέτοιος ώστε<span> </span><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%7C%20x_%20%7Bn%7D%20%5Cright%20%7C%20%5Cleq%20%5Cleft%20%7Cy_%7Bn%7D%5Cright%20%7C%2C%5C%3A%5Cforall%20n%5Cgeq%20n%5E%7B%5Cstar%7D" alt="gif.latex?%5Cleft%20%7C%20x_%20%7Bn%7D%20%5Cright%20%7C%20%5Cleq%20%5Cleft%20%7Cy_%7Bn%7D%5Cright%20%7C%2C%5C%3A%5Cforall%20n%5Cgeq%20n%5E%7B%5Cstar%7D" />.</li> </ol>Tue, 25 Oct 2022 18:16:52 +0300Tue, 25 Oct 2022 18:16:52 +0300448https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=447&course=OIK228<div class="panel-body"> <p>Προκειμένου για την κατανόηση της έννοιας του ορίου, ξεκινήσαμε την πραγμάτευση της έννοιας της πραγματικής <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Sequence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">ακολουθίας</a>. Εξετάσαμε δύο ισοδύναμους ορισμούς, ο πρώτος εκ των οποίων είναι βολικός για την πραγμάτευση αλγεβρικών ιδιοτήτων ενώ ο δεύτερος για την πραγμάτευση αναλυτικών ιδιοτήτων και την γενίκευση της έννοιας. Παρουσιάσαμε παραδείγματα πραγματικών ακολουθιών, κάποια εκ των οποίων άπτονται της Οικονομικής θεωρίας και της θεωρίας πιθανοτήτων. Εξετάσαμε ζητήματα περιγραφής και συμβολισμών. Χρησιμοποιώντας τον διανυσματικό ορισμό εξετάσαμε την έννοια της ισότητας πραγματικών ακολουθιών η οποία και αποτελεί κατά "φυσικό τρόπο" επέκταση της έννοιας της ισότητας πραγματικών διανυσμάτων. Εξετάσαμε συνοπτικά μια γενίκευση αυτής, η οποία επιτρέπει την συσχέτιση δύο πραγματικών ακολουθιών ως σχεδόν παντού ίσες ακόμη και όταν έχουν διαφορετικές συνιστώσες σε πεπερασμένο πλήθος θέσεων.</p> <p>Χρησιμοποιώντας τον διανυσματικό ορισμό εξετάσαμε παραδείγματα αλγεβρικών πράξεων μεταξύ ακολουθιών όπως η κατά σημείο πρόσθεση και ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός (ως προς αυτές το σύνολο των πραγματικών ακολουθιών είναι <a href="/modules/document/file.php/OIK269/LinAlg1.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">διανυσματικός χώρος</a>) καθώς και την πράξη του σημειακού πολλαπλασιασμού.</p> <p>Στην συνέχεια και χρησιμοποιώντας τον συναρτησιακό ορισμό ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με αναλυτικές ιδιότητες που μπορεί να έχουν πραγματικές ακολουθίες. Αρχίσαμε, διερευνώντας με λεπτομέρεια τον ορισμό του <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Bounded_set" target="_blank" rel="noreferrer noopener">φραγμένου υποσυνόλου των πραγματικών</a>, και συνακόλουθα της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Bounded_function" target="_blank" rel="noreferrer noopener">φραγμένης πραγματικής συνάρτησης</a>.</p> <p>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq1.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και<a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq1.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener"> </a><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq2.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>. </p> <p>Τους πίνακες των διαλέξεων που εμπεριέχουν την πραγμάτευση αντίστοιχων εννοιών στο Ακ. Έτος 2020-21 μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%202-%CE%9F%CF%81%CE%B9%CF%83%CE%BC%CE%BF%CE%AF.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>, <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%203.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> (υπάρχει λάθος σε υπόδειξη που δίνεται για την μεταβατική ιδιότητα της σχεδόν παντού ισότητας-ποιό και πως μπορεί να αναταχθεί;),  και<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%204-5.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> (σελ. 2).</p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις</strong></p> <p>1. Να δειχθεί ότι αν για τρείς ακολουθίες, η πρώτη είναι σχεδόν παντού ίση με την δεύτερη, και η δεύτερη είναι σχεδόν παντού ίση με την τρίτη, τότε το πλήθος των θέσεων που μπορεί να έχουν διαφορετικούς όρους η πρώτη και η τρίτη είναι μικρότερο ίσο από το άθροισμα του αντίστοιχου πλήθους μεταξύ πρώτης και δεύτερης και αυτού μεταξύ δεύτερης και τρίτης.</p> <p>2. Ως προς την παραπάνω άσκηση, να βρεθούν παραδείγματα όπου το πλήθος των θέσεων που μπορεί να έχουν διαφορετικούς όρους η πρώτη και η τρίτη, α) είναι μηδέν, β) είναι θετικό αλλά αυστηρά μικρότερο του παραπάνω αθροίσματος, γ) είναι θετικό και ίσο με το παραπάνω άθροισμα.</p> <p>3. Να δειχθεί ότι η σχεδόν παντού ισότητα είναι μεταβατική.</p> <p>4. Τι συμπεραίνετε από την χρήση της έννοιας της σχεδόν παντού ισότητας σε n-διάστατα πραγματικά διανύσματα;</p> <p>5.  Να βρεθεί παράδειγμα πραγματικής ακολουθίας όπου η ιδιότητα P δεν ισχύει για θετικό αλλά πεπερασμένο πλήθος όρων, όταν α) P="ο πραγματικός x είναι άρτιος φυσικός", β) α) P="ο πραγματικός x είναι άρρητός".</p> <p>6. Για P όπως στην προηγούμενη άσκηση, να βρεθεί παράδειγμα πραγματικής ακολουθίας όπου η ιδιότητα P ισχύει για άπειρο πλήθος όρων, και ταυτόγχρονα δεν ισχύει για άπειρο πλήθος όρων.</p> </div>Sun, 16 Oct 2022 23:12:23 +0300Sun, 16 Oct 2022 23:12:23 +0300447https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=446&course=OIK228<p>Η πρώτη διάλεξη είχε καταρχάς τον χαρακτήρα ενημέρωσης για ζητήματα που άπτονται της διεξαγωγής του μαθήματος. Τα παραπάνω εν μέρει περιγράφονται στην σύνοψη του μαθήματος η οποία βρίσκεται <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202022-23/Syllabus/Math_%CE%99%CE%99%CE%99_2223_syllabus.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Επίσης, έγινε σύντομη περιγραφή και κινητροδότηση βασικών εννοιών που θα παρουσιαστούν κατά την διάρκεια του μαθήματος. Πρόχειρες σημειώσεις για αυτά όπως και<span> </span><strong>ασκήσεις</strong> για επανάληψη προγενέστερων εννοιών που είναι δυνατόν να χρειαστούν βρίσκονται <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Motiv1.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>. </p>Sun, 16 Oct 2022 22:52:02 +0300Sun, 16 Oct 2022 22:52:02 +0300446https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=415&course=OIK228<p> </p> <ol><li>Η εξεταστέα ύλη του μαθήματος περιγράφεται από ότι πραγματευτήκαμε στις διαλέξεις, <strong>μέχρι και</strong> την διάλεξη της 28/01/2022, όπως και από ότι αναφέρεται στις σχετικές αναρτήσεις του<span> </span><a href="/modules/blog/?course=OIK228" target="_blank" rel="noreferrer noopener">ιστολογίου</a> και στους εκεί συνδέσμους, και στις<span> </span><a href="/modules/document/index.php?course=OIK228&amp;openDir=/615edc05MzIS/616c9fc6GVCU" target="_blank" rel="noreferrer noopener">σημειώσεις του μαθήματος</a><span> </span>για το τρέχον ακαδημαϊκό έτος (σχετικές σημειώσεις υπάρχουν και στην ομάδα του MS Teams του μαθήματος). Εξαιρέσεις αποτελούν i) η έννοια του εκθετικού μήτρας η οποία αναφέρεται <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/DifIntPser_cor.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>, ii) οι τύποι που εξάγονται για τις υψηλότερης (πέραν της πρώτης) τάξης παραγώγους δυναμοσειρών με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης που βρίσκονται<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/DifIntPser_cor.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>-προσπαθήστε όμως να εξάγετε τον σχετικό τύπο για την δεύτερης τάξης παράγωγο!<span></span>, iii)  το ζήτημα ολοκληρωσιμότητας δυναμοσειρών που ανεφέρεται<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/DifIntPser_cor.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>, και iv) η μεθοδολογία εύρεσης λύσεων ΣΔΕ με την χρήση δυναμοσειρών και η εφαρμογή σε δυναμική αγορά που βρίσκεται <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/PSerODE.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ </a>(έτσι και αλλιώς οι σημειώσεις του iv) δεν έχουν μεταφερθεί στον φάκελο των φετινών σημειώσεων του μαθήματος). Τα i), ii), iii) και iv) βρίσκονται εκτός της εξεταστέας ύλης (τα i), ii) και iii) είχαν εξαιρεθεί και στο περυσινό ακδημαϊκό έτος. Το iv) δυστυχώς εξαιρείται στο φετινό επειδή δεν προλάβαμε να πραγματευτούμε τις σχετικές σημαντικές έννοιες). Αντιστοίχως περιορίζονται και οι ασκήσεις που μπορείτε να παραδώσετε-δηλαδή, δεν χρειάζεται να παραδώσετε ασκήσεις που αφορούν στα i), ii), iii) και iv) (αν ενδιαφέρεστε να προσπαθήσετε να λύσετε και τέτοιες ασκήσεις προφανώς και είμαι διατεθειμένος να ελέγξω τις λύσεις σας, χωρίς όμως αυτές να βαθμολογηθούν).</li> <li>Υπενθυμίζεται ότι οι σχετικές λεπτομέρειες για την παράδοση ασκήσεων αναφέρονται <a href="/modules/document/index.php?course=OIK228&amp;openDir=/615edc05MzIS/61e45af8Mo5n" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</li> <li>Συνίσταται ισχυρά να παρακολουθείτε συστηματικά το eclass του μαθήματος για τυχόν περαιτέρω αναρτήσεις, διορθώσεις, κ.ο.κ.</li> <li>Κοινές (και εξ αποστάσεως) ώρες γραφείου θα υπάρξουν και κατά την διάρκεια της εξεταστικής περιόδου καθώς οδεύουμε προς την ημερομηνία της εξέτασης. Σε αυτές θα διατρέξουμε σε αδρές γραμμές τον σκελετό των εννοιών που πραγματευτήκαμε στο μάθημα, οπότε είναι χρήσιμο να είστε έτοιμοι να εκφράσετε και να συζητήσουμε με λεπτομέρειες, τυχόν απορίες σας. Ο ακριβής χρόνος αυτών των ωρών γραφείου θα ανακοινωθεί εγκαίρως μέσω του eclass. </li> <li>Μιά σύνοψη κάποιων από τα ζητήματα στα οποία αναφερθήκαμε στις σημερινές (2/2/22) ώρες γραφείου μπορείτε να βρείτε <a href="https://auebgr.sharepoint.com/:b:/s/2021-22448/EYI9kkPq0JtJu0ltsW_SRO8BZYnr4mRuSAmHxsUXdUXThQ?e=8bv5ye" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>. </li> </ol>Wed, 02 Feb 2022 22:04:47 +0300Wed, 02 Feb 2022 22:04:47 +0300415https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=414&course=OIK228<p>Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με το πρόβλημα του καλώς ορισμένου, βρήκαμε εφικτές διαχρονικές ροές κατανάλωσης για τις οποίες η συνάρτηση ωφέλειας συγκλίνει ακόμη και όταν β=1. Στην συνέχεια, υποθέτωντας υπεραρμονική προεξόφληση, προκειμένου να αναφερθούμε σε προτιμήσεις όπου αποδίδεται μεγαλύτερη σημασία στις απομακρυσμένες χρονικά καταναλώσεις, δείξαμε επίσης το καλώς όρισμένο του αντίστοιχου προβλήματος δυναμικής βελτιστοποίησης.</p> <p>Στην συνέχεια ξεκινήσαμε την εισαγωγή μας στην <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Power_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">θεωρία των δυναμοσειρών</a>. Παρατηρώντας ότι μπορούν τυπικά να ειδωθούν ως κατάλληλα <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Formal_power_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">αλγεβρικά συμπληρώματα</a> των πολυωνύμων εφόσον αγνοήσουμε αναλυτικές ιδιότητες τους (ενώ η αλγεβρική αυτή θέαση είναι προφανώς εκτός του εύρους του μαθήματος), και ότι ως έννοιες της ανάλυσης (που είναι εντός του εύρους του μαθήματος) και εξαιτίας των "καλών ιδιοτήτων τους" έχουν ποικίλες εφαρμογές, ασχοληθήκαμε με τον ορισμό τους, και είδαμε παραδείγματα, και αντιπαράδειγμα.</p> <p>Δεδομένων των παραπάνω, ασχοληθήκαμε καταρχάς με το ζήτημα της συγκλισής τους, οπότε και διατυπώσαμε το <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2%80%93Hadamard_theorem" target="_blank" rel="noreferrer noopener">θεώρημα Cauchy-Hadamard</a> που μας πληροφορεί ότι το σύνολο σύγκλισης έχει πάντοτε την μορφή διαστήματος (έστω εκφυλισμένου, ή γενικευμένου), με κατάλληλο κέντρο και ακτίνα, μια πρώτη ένδειξη της καλής συμπεριφοράς αυτών. Σκιαγραφήσαμε (και) μέσω του κριτηρίου του πηλίκου την απόδειξη του θεωρήματος, ενώ είδαμε ότι στο εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης η σύγκλιση της δυναμοσειράς είναι απόλυτη, το διάστημα σύγκλισης είναι δυνατόν να περιέχει κάποιο ή και τα δύο άκρα του (εφόσον υπάρχουν), αυτό είναι αδύνατο να διερευνηθεί μέσω του κριτηρίου του πηλίκου, ενώ η σύγκλιση σε κάποιο από αυτά ή και στα δύο (εφόσον ισχύει) μπορεί να είναι κατά συνθήκη. Στην συνέχεια διερευνήσαμε παραδείγματα ως προς το θεώρημα Cauchy-Hadamard.</p> <p>Συνεχίσαμε με στοιχεία της άλγεβρας μεταξύ δυναμοσειρών με κοινό κέντρο, με αναφορά στα διαστήματα σύγκλισής τους. Παρατηρήσαμε π.χ. ότι δύο δυναμοσειρές με το ίδιο κέντρο είναι ίσες ανν οι συντελεστές τους είναι κατά σημείο ίσοι, ενώ περισσότερο περίπλοκες σχέσεις μεταξύ των συντελεστών είναι δυνατόν να χρειάζονται για την διατύπωση ισότητας μεταξύ δυναμοσειρών με διαφορετικά κέντρα. Αναλόγως το άθροισμα δυναμοσειρών με κοινό κέντρο είναι δυναμοσειρά με το ίδιο κέντρο και διάστημα σύγκλισης υπερσύνολο της τομής των διαστημάτων σύγκλισης των δύο δυναμοσειρών, κ.ο.κ.  </p> <p>Ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με αναλυτικές ιδιότητες των δυναμοσειρών. Καταρχάς διατυπώσαμε το θεώρημα συνέχειας που μας πληροφορεί ότι οι δυναμοσειρές είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα συγκλισής τους. Η απόδειξη αυτού είναι δυνατόν να προκύπτει από έννοιες εκτός του εύρους του μαθήματος (δείτε π.χ. <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Compact_convergence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Abel%27s_theorem" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>), αλλά επί της ουσίας μας πληροφορεί ότι για της δυναμοσειρές επιτρέπεται κάποιου είδους <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Interchange_of_limiting_operations" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εναλλαγή ορίων</a>.</p> <p>Εντυπωσιακότερο είναι το θεώρημα παραγωγισιμότητας δυναμοσειράς με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης, στο εσωτερικό αυτού, που επιτρέπει επίσης κάποιου εναλλαγή ορίου, και συνεπάγεται ότι η παράγωγος είναι επίσης δυναμοσειρά με το ίδιο κέντρο και εσωτερικό διαστήματος σύγκλισης που ταυτίζεται με το εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης της αρχικής, ενώ υπολογίζεται πολύ εύκολα από την αρχική δυναμοσειρά. Ξεκινήσαμε να ασχολούμαστε με διάφορες εφαρμογές του. </p> <p>Χρησιμοποιώντας την παραγωγισιμότητα, εργαστήκαμε με παραδείγματα που προέκυψαν στα πλαίσια της γεωμετρικής σειράς όποτε είδαμε ότι είναι δυνατόν να χρησιμοποιείται η εν λόγω αναλυτική ιδιότητα προκειμένου να βρίσκουμε πραγματικές σειρές.</p> <p>Ολοκληρώσαμε την διδαχθείσα ύλη με την εξής εφαρμογή:  παραγωγίζοντας κατάλληλη δυναμοσειρά και βρίσκοντας την μοναδική λύση <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Initial_value_problem" target="_blank" rel="noreferrer noopener">προβλήματος αρχικών τιμών</a> δείξαμε το πως αναπαρίσταται από δυναμοσειρά η εκθετική συνάρτηση, ενώ είδαμε ότι η αναπαράσταση αυτή δεν είναι μοναδική όπως και άλλα συναφή ζητήματα. Οι λόγοι που ισχύουν αυτές οι αναπαραστάσεις αφορούν στην θεωρία των <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Analytic_function" target="_blank" rel="noreferrer noopener">αναλυτικών συναρτήσεων</a>.</p> <p>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Powser1.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/DifIntPser_cor.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Τους πίνακες των εξ' αποστάσεως διαλέξεων για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε<span> </span><a href="https://auebgr.sharepoint.com/:b:/s/2021-22448/EbGoBA-WcuNHtV5UINXDsuYBERVI5YMp6ic7aRDlikzOZA?e=afwSMo" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a><span> </span>και<span> </span><a href="https://auebgr.sharepoint.com/:b:/s/2021-22448/EVwpLZZltF1MtQjRQtsZDZMBJIf2mhhqOwNqVAcymEmM_Q?e=BMf8u5" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p> </p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις</strong></p> <p> </p> <ol><li>Προσπαθήστε να δείξετε αν το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διερευνήθηκε παραπάνω είναι καλώς ορισμένο όταν η συνάρτηση ωφέλειας είναι η <img class="latex" title="\sum_{t=0}^{\infty}\beta^{t}\ln (c_{t}+1)" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bt%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cbeta%5E%7Bt%7D%5Cln+%28c_%7Bt%7D%2B1%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{t=0}^{\infty}\beta^{t}\ln (c_{t}+1)" />.</li> <li>Για το προηγούμενο να βρεθούν αν υπάρχουν εφικτές διαχρονικές καταναλώσεις με σχεδόν όλους τους όρους θετικούς για τις οποίες η συνάρτηση ωφέλειας συγκλίνει όταν <img class="latex" title="\beta=1" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cbeta%3D1&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\beta=1" />.</li> <li>Εξηγήστε το γιατί η συνάρτηση ωφέλειας είναι σειρά πραγματικών συναρτήσεων η κάθε μία εκ των οποίων ορίζεται επί του εφικτού συνόλου.</li> <li>Προσπαθείστε να διερευνήσετε ότι έχει γίνει και ότι έχει ζητηθεί στην εφαρμογή μας όταν αντί του μετασχηματισμού <img class="latex" title="k\rightarrow k^{a}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=k%5Crightarrow+k%5E%7Ba%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="k\rightarrow k^{a}" /> ισχύει ο μετασχηματισμός (δηλ. ο στιγμιαίος ανατοκισμός του διαθέσιμου πόρου με στιγμιαίο σταθερό στον χρόνο επιτόκιο r)<img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ckappa_%7Bt%7D%5Crightarrow%20%281&amp;plus;r%29k_%7Bt%7D%2C%5C%3At%5Cin%5Cmathbb%20N%2C%5C%3A%20r%3E0." alt="" /></li> <li>Να δειχθεί ότι οι παρακάτω είναι δυναμοσειρές και να βρεθεί το εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης αυτών:</li> <li> <ol><li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Di%28x-5%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="72" height="38" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bi%21%7D%7Bi%5E%7Bi%7D%7D%20%28x-2%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="66" height="32" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B2%7D%7B%28i&amp;plus;1%29%5E%7B2%7D%7D%20%28x-1%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="93" height="31" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D2%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%28i%29%7D%20%28x-1%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="89" height="35" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D2000%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cexp%28i%29%7D%20%28x-100%21%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="110" height="31" /></li> </ol></li> <li> <p>Να βρεθούν οι παράγωγοι 1ης τάξης για όσες από τις παρακάτω δυναμοσειρές είναι καλώς ορισμένες:</p> <ol><li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Di%21%28x-4%29%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bi&amp;plus;1%7D%28x-2%29%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bi&amp;plus;2%7D%28x-7%29%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bi%5E2%7Dx%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bi%21%7D%7B%5Cexp%28i%29%7Dx%5E%7Bi%7D" alt="" />.</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Di%28x-5%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="72" height="38" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bi%21%7D%7Bi%5E%7Bi%7D%7D%20%28x-2%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="66" height="32" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B2%7D%7B%28i&amp;plus;1%29%5E%7B2%7D%7D%20%28x-1%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="93" height="31" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D2%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%28i%29%7D%20%28x-1%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="89" height="35" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D2000%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cexp%28i%29%7D%20%28x-100%21%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="110" height="31" /></li> </ol></li> </ol>Mon, 31 Jan 2022 04:22:31 +0300Mon, 31 Jan 2022 04:22:31 +0300414https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=413&course=OIK228<p>Δεδομένων των όσων μελετήσαμε για τα σημειακά όρια, της δυνατότητας κατα σημείο πρόσθεσης πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού, και των όσων ξέρουμε για τις πραγματικές σειρές, ορίσαμε την έννοια της σειράς πραγματικών συναρτήσεων ως σημειακό όριο κατάλληλης ακολουθίας μερικών αθροισμάτων. Προκειμένου να εντοπίζουμε μέρος του πεδίου ορισμού μιας τέτοιας σειράς διατυπώσαμε αλγόριθμο που βασίζεται στο κριτήριο του πηλίκου και είδαμε παραδείγματα. Παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν σε μέρος του πεδίου ορισμού της μια τέτοια σειρά να συγκλίνει απολύτως και σε άλλο μέρος κατά συνθήκη (προφανώς το τελευταίο δεν είναι δυνατόν να εντοπισθεί από το κριτήριο του πηλίκου-γιατί;).</p> <p>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Genseqser_cor.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Ξεκινήσαμε την πραγμάτευση παραδείγματος που επισκοπεί μεγάλο μέρος της μέχρι τώρα ύλης, και αφορά στην βέλτιστη επιλογή διαχρονικής κατανάλωσης σε κατάλληλο υπόβαθρο. Σε αυτό παρατηρήσαμε ότι διαχρονική ροή κατανάλωσης είναι όποια πραγματική ακολουθία από μη αρνητικούς όρους, ενώ αρχίσαμε να εργαζόμαστε στην κατασκευή εφικτού συνόλου από διαχρονικές ροές κατανάλωσης δεδομένης εξωγενούς αρχικής προικοδότησης και τεχνολογίας μετασχηματισμού πόρων. </p> <p>Ασχοληθήκαμε με την περιγραφή εφικτού συνόλου που προσδιορίζεται από εξωγενή προικοδότηση και σταθερή στον χρόνο τεχνολογία μετασχηματισμού των πόρων. Παρατηρήσαμε ότι το εφικτό σύνολο από διαχρονικές ροές κατανάλωσης δεδομένων των παραπάνω, προσδιορίζεται από ακολουθία ανισοτικών περιορισμών ("διαχρονικοί εισοδηματικοί περιορισμοί"). Δείξαμε ότι είναι μη κένο, και ότι αποτελείται από (<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_boundedness" target="_blank" rel="noreferrer noopener">ομοιόμορφα</a>) φραγμένες ακολουθίες. </p> <p>Δεδομένης της διερεύνησης μας για το παράδειγμα εφικτού συνόλου, περιγράφοντας σε αδρές γραμμές την σύνδεση μεταξύ σχέσης προτίμησεων επί του εφικτού συνόλου και (όταν υπάρχει) συνάρτησης ωφέλειας που την αναπαριστά, ασχοληθήκαμε με παράδειγμα συνάρτησης ωφέλειας <em>επί του εφικτού συνόλου</em> και με το ζήτημα του αν αυτή (και συνακόλουθα το πρόβλημα της βέλτιστης επιλογής διαχρονικής ροής κατανάλωσης) είναι καλώς ορισμένη. Αυτή είχε την <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Discounted_utility" target="_blank" rel="noreferrer noopener">μορφή σειράς συναρτήσεων</a> και εμφάνιζε τα χαρακτηριστικά της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Discount_function" target="_blank" rel="noreferrer noopener">χρονικής διαχωρισιμότητας</a> (time separability) και της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_discounting" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εκθετικής χρονικής προεξόφλησης</a> (exponential discounting). Το να είναι καλώς ορισμένη ισοδυναμεί με το να συγκλίνει για κάθε εφικτή διαχρονική κατανάλωση. Δεδομένων των τιμών που επιτρέψαμε στον συντελεστή χρονικής προτίμησης, και χρησιμοποιώντας μια σειρά από συλλογισμούς που άπτονται σημαντικού μέρους της μέχρι τώρα μας ύλης, δείξαμε το καλώς ορισμένο. </p> <p>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Example.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/BoundedFeasSet.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Τους πίνακες των από διαλέξεων μπορείτε να βρείτε<span><a href="https://auebgr.sharepoint.com/:b:/s/2021-22448/EfT6Lir0l75BmY1lELH4JBsB6mSlv709sNF8Fk-neDuXpA?e=pa9Dcw" target="_blank" rel="noreferrer noopener"> εδώ</a>, <a href="https://auebgr.sharepoint.com/:b:/s/2021-22448/EWEkgFbnFi5KqpmkEWej7f0B4eMnOV8CRgKaZ3cXZnGIrw?e=x6nvLm" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="https://auebgr.sharepoint.com/:b:/s/2021-22448/EaqbUGqPNGNMjigsEJyFfZkBq5LsQjYqM16ySkRjpbOsuQ?e=DJewfa" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a></span>.</p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις</strong></p> <ol><li>Όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> να βρεθεί το <img class="latex" title="X^{*}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%5E%7B%2A%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X^{*}" width="21" height="12" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} x/i!" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+x%2Fi%21&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} x/i!" width="67" height="18" />.</li> <li>Όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> να βρεθεί το <img class="latex" title="X^{*}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%5E%7B%2A%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X^{*}" width="21" height="12" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}x^{3i}/i!" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dx%5E%7B3i%7D%2Fi%21&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}x^{3i}/i!" width="78" height="19" /> .</li> <li>Όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> να βρεθεί το <img class="latex" title="X^{*}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%5E%7B%2A%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X^{*}" width="21" height="12" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} x/(i+1)" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+x%2F%28i%2B1%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} x/(i+1)" width="102" height="19" />.</li> <li>Όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> να βρεθεί το <img class="latex" title="X^{*}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%5E%7B%2A%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X^{*}" width="21" height="12" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} x^{2i}/(i+1)" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+x%5E%7B2i%7D%2F%28i%2B1%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} x^{2i}/(i+1)" width="113" height="19" />.</li> <li>Να επαναλάβετε τα προηγούμενα για το <img class="latex" title="X=(0,1)" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%280%2C1%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=(0,1)" width="71" height="18" />.</li> <li>Υπάρχουν στα παραπάνω περιπτώσεις που γνωρίζουμε βάσει και των όσων έχουμε κάνει προηγουμένως και ποιό είναι το όριο;</li> <li>Όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> να βρεθεί το <img class="latex" title="X^{*}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%5E%7B%2A%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X^{*}" width="21" height="12" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} \sin(ix)/i!" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Csin%28ix%29%2Fi%21&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} \sin(ix)/i!" width="105" height="19" /> χωρίς την χρήση του κριτηρίου.</li> <li>Προσπαθήστε να επαναλάβετε το παραπάνω χρησιμοποιώντας το κριτήριο.</li> <li>Να επαναλάβετε το ζητούμενο στην 8 όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} \cos(ix)/i" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Ccos%28ix%29%2Fi&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} \cos(ix)/i" width="102" height="19" />.</li> <li>Ερμηνεύστε οικονομικά τον μετασχηματισμό <img class="latex" title="k\rightarrow k^{a}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=k%5Crightarrow+k%5E%7Ba%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="k\rightarrow k^{a}" />.</li> <li>Προσπαθήστε να δείξετε αν το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διερευνήθηκε παραπάνω είναι καλώς ορισμένο όταν η συνάρτηση ωφέλειας είναι η <img class="latex" title="\sum_{t=0}^{\infty}\beta^{t}\ln (c_{t}+1)" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bt%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cbeta%5E%7Bt%7D%5Cln+%28c_%7Bt%7D%2B1%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{t=0}^{\infty}\beta^{t}\ln (c_{t}+1)" />.</li> <li>Για το προηγούμενο να βρεθούν αν υπάρχουν εφικτές διαχρονικές καταναλώσεις με σχεδόν όλους τους όρους θετικούς για τις οποίες η συνάρτηση ωφέλειας συγκλίνει όταν <img class="latex" title="\beta=1" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cbeta%3D1&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\beta=1" />.</li> <li>Εξηγήστε το γιατί η συνάρτηση ωφέλειας είναι σειρά πραγματικών συναρτήσεων η κάθε μία εκ των οποίων ορίζεται επί του εφικτού συνόλου.</li> <li>Προσπαθείστε να διερευνήσετε ότι έχει γίνει και ότι έχει ζητηθεί στην εφαρμογή μας όταν αντί του μετασχηματισμού <img class="latex" title="k\rightarrow k^{a}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=k%5Crightarrow+k%5E%7Ba%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="k\rightarrow k^{a}" /> ισχύει ο μετασχηματισμός (δηλ. ο στιγμιαίος ανατοκισμός του διαθέσιμου πόρου με στιγμιαίο σταθερό στον χρόνο επιτόκιο r)<img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ckappa_%7Bt%7D%5Crightarrow%20%281&amp;plus;r%29k_%7Bt%7D%2C%5C%3At%5Cin%5Cmathbb%20N%2C%5C%3A%20r%3E0." alt="" /></li> </ol>Sun, 23 Jan 2022 02:57:02 +0300Sun, 23 Jan 2022 02:57:02 +0300413https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=412&course=OIK228<p>Προκειμένου να μπορούμε να ασχοληθούμε με πολυπλοκότερα παραδείγματα αλλά και με την έννοια της δυναμοσειράς και τις συνακόλουθες εφαρμογές, ξεκινήσαμε την γενίκευση των έννοιών που έχουμε δει μέχρι τώρα εισάγωντας και την έννοια της ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού. Παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν να αντιληφθούμε μια ακολουθία πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού με τρεις ισοδύναμους τρόπους. Ο δεύτερος την αναπαριστά ως "λίστα" πραγματικών ακολουθιών, μία για καθε σημείο του κοινού πεδίου ορισμού. Αυτός μαζί με την έννοια του ορίου πραγματικής ακολουθίας μας οδήγησε "φυσικά" στην έννοια του <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Pointwise_convergence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">σημειακού ορίου</a> ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων, το οποίο εξ'ορισμού είναι πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού υποσύνολο του κοινού πεδίου ορισμού των όρων της ακολουθίας. (Και) μέσω παραδειγμάτων παρατηρήσαμε ότι αυτή η έννοια ορίου είναι αρκετά ασθενής ώστε <em>είναι δυνατόν</em> η συνάρτηση όριο να μην έχει ιδιότητες που έχουν όλα τα μέλη της ακολουθίας όπως π.χ. η συνέχεια, και πως είναι δυνατόν να οριστούν <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_convergence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">ισχυρότερες μορφές ορίου</a> που να διατηρούν κάποιες από αυτές τις ιδιότητες. Ξεκινήσαμε την πραγμάτευση της έννοιας της σειράς πραγματικών συναρτήσεων, παρατηρώντας ότι μπορούμε να την διαχειριστούμε αναλόγως με τις πραγματικές σειρές, έχοντας στην διάθεση μας την διαδικασία της κατά σημείο μερικής άθροισης και την έννοια του σημειακού ορίου. </p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Genseqser_cor.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Τους πίνακες των από απόστασης διαλέξεων του Ακ. Έτους 2020-21 που περιλαμβάνουν σχετικές με τις παραπάνω έννοιες, μπορείτε να βρείτε<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%2019.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%2020-21-22-23-24-25.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p>Mon, 27 Dec 2021 04:33:03 +0300Mon, 27 Dec 2021 04:33:03 +0300412https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=411&course=OIK228<p>Αποδείξαμε ότι η απόλυτη σύγκλιση αποτελεί γνήσια εκλέπτυνση της συνήθους σύγκλισης, ενώ αναφέραμε εν συντομία το <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_series_theorem" target="_blank" rel="noreferrer noopener">Θεώρημα Σειρών του Riemann</a> και το ότι ανν έχουμε απόλυτη σύγκλιση η αναδιάταξη των όρων της σειράς δεν επηρεάζει την άθροιση. </p> <p>Μέσω του παραπάνω μπορέσαμε και διατυπώσαμε το <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test" target="_blank" rel="noreferrer noopener">Κριτήριο του Πηλίκου</a> το οποίο (σε κάποιες περιπτώσεις) αποφαίνεται για το αν δεδομένη σειρά συγκλίνει απολύτως ή αποκλίνει  και ξεκινήσαμε να εργαζόμαστε με αυτό.</p> <p>Παρατηρήσαμε ότι επί της ουσίας λειτουργεί μέσω της σύγκρισης με γεωμετρική σειρά ο συντελεστής της οποίας σχετίζεται με το όριο της βοηθητικής ακολουθίας των πηλίκων των απολύτων τιμών των διαδοχικών όρων. Συνεπώς είναι αναμενόμενο ότι όταν τέτοια σύγκριση είναι αδύνατη (π.χ. σε υπεραρμονικές σειρές) το κριτήριο θα είναι να είναι μη πληροφοριακό όταν υπάρχει το σχετικό όριο.</p> <p>Μέσω παραδειγμάτων, είδαμε ότι η περίπτωση της μη πληροφοριακότητας είναι δυνατόν να αφορά κατά συνθήκη σύγκλιση, κάτι αναμενόμενο, απόκλιση αλλά και απόλυτη σύγκλιση. Συνεπώς είναι γενικά αδύνατο να συνάγουμε κάτι για την συμπεριφορά σειράς για την οποία το κριτήριο είναι μη πληροφοριακό χρησιμοποιώντας μόνο το κριτήριο. Παρατηρήσαμε επίσης ότι υπάρχουν εκλεπτύνσεις του κριτηρίου που είναι δυνατόν να μας πληροφορούν για την συμπεριφορά δεδομένης σειράς <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test#The_test" target="_blank" rel="noreferrer noopener">είτε όταν το όριο της βοηθητικής ακολουθίας δεν υπάρχει</a>, <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test#Extensions_for_L_.3D_1" target="_blank" rel="noreferrer noopener">είτε όταν αυτό ισούται με ένα</a>.</p> <p>Ξεκινήσαμε να εργαζόμαστε σε απλά παραδείγματα εμφάνισης των εννοιών των πραγματικών ακολουθιών, της διαδικασίας μερικής άθροισης και των πραγματικών σειρών στα οικονομικά. Το πρώτο παράδειγμα αφορά σε περιοριστικό ορισμό και <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Valuation_(finance)">τιμολόγηση χρηματοοικονομικού τίτλου</a>. Εκφράσαμε υπό προϋποθέσεις την τιμή ως σειρά των κατάλληλα προεξοφλημένων αποδόσεων. Θεωρήσαμε υποπαράδειγμα της προσέγγισής μας που αφορούσε στην μη σύγκλιση κατάλληλης σειράς, ως σχετικό με την έννοια της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Economic_bubble" target="_blank" rel="noreferrer noopener">χρηματοοικονομικής φούσκας</a>.</p> <p>Συνεχίσαμε με δεύτερο παράδειγμα στα πλαίσια της νομισματικής θεωρίας όπου συναντάμε τις έννοιες της πραγματικής ακολουθίας και της πραγματικής σειράς. Αυτό αφορά στην δημιουργία χρήματος από τις θεμελιώδεις λειτουργίες του τραπεζικού συστήματος, το οποίο αποτελείται από την κεντρική και τις εμπορικές τράπεζες και στο οποίο υπάρχει η <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Fractional-reserve_banking" target="_blank" rel="noreferrer noopener">τεχνολογία των κλασματικών διαθεσίμων</a>.</p> <p>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Absconrt.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>, και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/FinancialSeqSer.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>. Ένα γενικότερο υπόδειγμα αποτίμησης σε υπόβαθρο αβεβαιότητας (το οποίο προφανώς είναι εκτός της ύλης του μαθήματος) μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202019-20/%CE%93%CE%B5%CE%BD%CE%B9%CE%BA%CF%8C%20%CE%A5%CF%80%CF%8C%CE%B4%CE%B5%CE%B9%CE%B3%CE%BC%CE%B1%20%CE%91%CF%80%CE%BF%CF%84%CE%AF%CE%BC%CE%B7%CF%83%CE%B7%CF%82%20%CE%A7%CF%81%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%BF%CE%BF%CE%B9%CE%BA%CE%BF%CE%BD%CE%BF%CE%BC%CE%B9%CE%BA%CE%BF%CF%8D%20%CE%A4%CE%AF%CF%84%CE%BB%CE%BF%CF%85/cap_notes_2_0809.pdf">εδώ</a>.</p> <p>Τους πίνακες των από απόσταση διαλέξεων του Ακ. Έτους 2020-21 που μεταξύ άλλων σχετίζονται με τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%2016-17.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%2018.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Τους πίνακες της 3ης αναπληρωτικής διάλεξης μπορείτε να βρείτε<a href="https://auebgr.sharepoint.com/:b:/s/2021-22448/EZwB6iT803BPvOWW33aod9ABoALi3enJkdSNN0wdte1tsw?e=Oheqmn" target="_blank" rel="noreferrer noopener"><span> εδώ</span></a>.</p> <p><strong>Ασκήσεις</strong> (προσπαθήστε να λύσετε τις 1-4 χρησιμοποιώντας αποκλειστικά το κριτήριο του πηλίκου).</p> <ol><li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i!}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bx%5E%7Bi%7D%7D%7Bi%21%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i!}" /> συγκλίνει για κάθε <img class="latex" title="x\geq 0" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=x%5Cgeq+0&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="x\geq 0" />.</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(i+1)^m},\: 0\leq m &lt;1" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%28i%2B1%29%5Em%7D%2C%5C%3A+0%5Cleq+m+%3C1&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(i+1)^m},\: 0\leq m &lt;1" /> αποκλίνει.</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i^{m}))" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cexp%28-%28i%5E%7Bm%7D%29%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i^{m}))" /> για όποιο <img class="latex" style="border:none;vertical-align:middle;height:auto;" title="m&gt;1" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=m%3E1&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="m&gt;1" /> συγκλίνει. Υπόδειξη: Μπορείτε να συσχετίσετε την συμπεριφορά της εν λόγω σειράς με την ανάλογη υπεραρμονική. Μπορείτε για μεγαλύτερη ευκολία να ασχοληθείτε με την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i+1)^{m}))" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cexp%28-%28i%2B1%29%5E%7Bm%7D%29%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i+1)^{m}))" /> ή/και να δείτε την προηγούμενη μόνο για m=2).</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(i)+1}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%28i%29%2B1%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(i)+1}" /> αποκλίνει.</li> <li>Επινοήστε όσο το δυνατόν περισσότερες σειρές και προσπαθήστε να διαπιστώσετε το αν συγκλίνουν χρησιμοποιώντας πλέον αποκλειστικά το κριτήριο. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε και αυτές που αναφέρονται σε παλαιότερες αναρτήσεις.</li> <li>Προσπαθήστε να ερμηνεύσετε στα πλαίσια της οικονομικής θεωρίας το τι συμβαίνει με την τιμή του τίτλου όταν δεν ισχύει η συνθήκη μη ύπαρξης φούσκας στο παράδειγμα που μας απασχόλησε.</li> <li>Προσπαθήστε να ερμηνεύσετε στα πλαίσια της οικονομικής θεωρίας το τι θα συνέβαινε  στο άνω φράγμα της συνολικής προσφοράς χρήματος αν οι εμπορικές τράπεζες δεν είχαν υποχρέωση διακράτησης ρευστών διαθεσίμων (<img class="latex" title="a=0" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=a%3D0&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="a=0" />);</li> </ol>Sun, 19 Dec 2021 01:22:39 +0300Sun, 19 Dec 2021 01:22:39 +0300411https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=410&course=OIK228<p>Εξετάσαμε παραδείγματα μεταξύ των οποίων αυτά της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">γεωμετρικής</a>, της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)" target="_blank" rel="noreferrer noopener">αρμονικής</a>, της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)#Alternating_harmonic_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εναλλάσουσας αρμονικής</a> και της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)#p-series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">υπεραρμονικής</a> ακολουθίας μερικών αθροισμάτων (και συνακόλουθα σειρών όπου αυτές υπάρχουν). Παρατηρήσαμε ότι με την εξαίρεση παραδειγμάτων όπως αυτό της γεωμετρικής σειράς, όπου ήταν "εύκολο" να βρεθεί και να ελεγχθεί ως προς την σύγκλιση γενικός τύπος για την μερική άθροιση, και κάπως δυσκολότερα αυτό της αρμονικής σειράς, όπου βρήκαμε μέσω ολοκλήρωσης μη φραγμένη ακολουθία που φράσσει "από κάτω" την ακολουθία μερικών αθροισμάτων δείχνοντας τελικά ότι η αρμονική σειρά δεν υπάρχει, γενικά τα ζητήματα i) της ύπαρξης δεδομένης σειράς και ii) της εύρεσης του με τι ισούται όταν υπάρχει, εμφανίζουν δυσκολίες στην γενική τους επίλυση ανάλογες με αυτές των διαδικασιών ολοκλήρωσης.</p> <p>Εστιάζοντας κυρίως στο ζήτημα της διακρίβωσης του εάν δεδομένη σειρά υπάρχει, ξεκινήσαμε την διατύπωση θεμελιώδους λογισμού σειρών που βασίζεται στον λογισμό που έχουμε αναπτύξει για τα όρια. Έτσι καταρχάς είδαμε ότι όταν η αρχική ακολουθία αποτελείται από ομόσημους όρους τότε, και επειδή η ακολουθία μερικών αθροισμάτων αυτής είναι μονότονη, η σχετική σειρά θα υπάρχει ανν η ακολουθία μερικών αθροισμάτων είναι φραγμένη.</p> <p>Το παραπάνω χρησιμοποιήθηκε προκειμένου να δείξουμε ότι η υπεραρμονική σειρά υπάρχει. Στα πλαίσια αυτού του παραδείγματος,είδαμε ότι είναι δυνατόν η φραγή της σχετικής Α.Μ.Α. να προκύπτει μέσω της επιλογής κατάλληλης βοηθητικής πραγματικής ακολουθίας η οποία δεν είναι γενικά προφανής. Κατανοήσαμε έτσι την ανάγκη ύπαρξης "υπολογιστικά απλού" τρόπου διαπίστωσης της σύγκλισης σε κάποιες τουλάχιστον περιπτώσεις.</p> <p>Εξετάσαμε στοιχεία του λογισμού σειρών που άπτονται άλγεβρας συγκλινουσών σειρών, σχετίσαμε το ζήτημα της σύγκλισης σειράς με την σύγκλισης της σειράς που προκύπτει αν από την αρχική εξαιρέσουμε πεπερασμένο πλήθος των αρχικών της όρων, ενώ αφήσαμε για αργότερα το χρήσιμο ζήτημα του πως μπορούμε να μετασχηματίζουμε δείκτες άθροισης σε σειρές χρησιμοποιώντας γνησίως αύξοντες μετασχηματισμούς.</p> <p>Μέσω παραδείγματος παρατηρήσαμε ότι σε κάποιες περιπτώσεις η φραγή της ΑΜΑ είναι δυνατόν να προκύψει μέσω της κατά σημείο σύγκρισης της παραπάνω με κατάλληλα επιλεγμένη συγκλίνουσα γεωμετρική. Αυτό τελικά μας οδήγησε στην κατασκευή γενικού κριτηρίου το οποίο θα μας πληροφορεί σε κάποιες περιπτώσεις για το αν δεδομένη σειρά υπάρχει μέσω μιας υπολογιστικά "λιγότερο περίπλοκης" διαδιακασίας.</p> <p>Ξεκινήσαμε να χρησιμοποιούμε την καταχρηστική ορολογία που χρησιμοποιείται γενικότερα στις σχετικές βιβλιογραφίες περί "σύγκλισης σειρών".</p> <p>Προκειμένου για την διατύπωση του κριτηρίου του πηλίκου ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με  εκλέπτυνση της έννοιας σύγκλισης σειρών, εν προκειμένω με την έννοια της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_convergence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">απόλυτης σύγκλισης</a>.</p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limser.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>, <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Series2.pdf">εδώ</a>, <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/hyperharmonic.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>, και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Absconrt.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Τους πίνακες των από απόστασης διαλέξεων του Ακ. Έτους 2020-21, που μεταξύ άλλων, αναφέρονται και στα παραπάνω να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%2012-13.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>,  <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%A3%CF%85%CE%BD%CE%AD%CF%87%CE%B5%CE%B9%CE%B1%20%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%CF%82%2013.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%2016-17.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a><span>.</span> </p> <p>Τους πίνακες της 2ης αναπληρωτικής διάλεξης μπορείτε να βρείτε <a href="https://auebgr.sharepoint.com/:b:/s/2021-22448/EaXKgOvByCZJg5U5VpUV4HkB1XrIJYymFbygzwBMbiunyA?e=iraWgm" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p> </p> <h3>Περαιτέρω Ασκήσεις</h3> <ol><li>Χρησιμοποιώντας την γεωμετρική σειρά, και χωρίς να ασχοληθείτε με το αν μπορείτε να την «παραγωγίσετε» ως προς <img class="latex" title="a" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=a&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="a" /> προσπαθήστε να βρείτε την <img class="latex" title="\sum_{i=1}^{\infty}i a^{i}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7Di+a%5E%7Bi%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=1}^{\infty}i a^{i}" /> όταν <img class="latex" title="|a|&lt;1,\: a\neq 0" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%7Ca%7C%3C1%2C%5C%3A+a%5Cneq+0&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="|a|&lt;1,\: a\neq 0" />.</li> <li>Αν  <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} \alpha^{i},\: \sum_{i=0}^{\infty}\beta^{i}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Calpha%5E%7Bi%7D%2C%5C%3A+%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cbeta%5E%7Bi%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} \alpha^{i},\: \sum_{i=0}^{\infty}\beta^{i}" /> υπάρχουσες γεωμετρικές σειρές τότε με τι ισούται η <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} (\alpha^{i}-\beta^{i})" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%28%5Calpha%5E%7Bi%7D-%5Cbeta%5E%7Bi%7D%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} (\alpha^{i}-\beta^{i})" /> και γιατί;</li> <li>Να δείξετε ότι κάθε άθροισμα πεπερασμένου πλήθους όρων είναι δυνατόν να γραφεί ως κάταλληλη σειρά.</li> <li>Ισχύει ότι <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}b_{i}=\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}\sum_{i=0}^{\infty}b_{i}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Da_%7Bi%7Db_%7Bi%7D%3D%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Da_%7Bi%7D%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Db_%7Bi%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}b_{i}=\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}\sum_{i=0}^{\infty}b_{i}" />; Υπάρχει περίπτωση να μην υπάρχει κάποια από τις δύο σειρές στην δεξιά πλευρά και να υπάρχει η σειρά στην αριστερή πλευρά της εν λόγω ισότητας;</li> <li>Να δείξετε ότι <img class="latex" title="\lim_{k\rightarrow\infty}\sum_{i=k}^{\infty}x_{i}=0" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Clim_%7Bk%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Csum_%7Bi%3Dk%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dx_%7Bi%7D%3D0&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\lim_{k\rightarrow\infty}\sum_{i=k}^{\infty}x_{i}=0" /> όταν η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}x_{i}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dx_%7Bi%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}x_{i}" /> υπάρχει.</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i!}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bx%5E%7Bi%7D%7D%7Bi%21%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i!}" /> συγκλίνει για κάθε <img class="latex" title="x\geq 0" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=x%5Cgeq+0&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="x\geq 0" />.</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(i+1)^m},\: 0\leq m &lt;1" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%28i%2B1%29%5Em%7D%2C%5C%3A+0%5Cleq+m+%3C1&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(i+1)^m},\: 0\leq m &lt;1" /> αποκλίνει.</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i^{m}))" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cexp%28-%28i%5E%7Bm%7D%29%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i^{m}))" /> για όποιο <img class="latex" style="border:none;vertical-align:middle;height:auto;" title="m&gt;1" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=m%3E1&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="m&gt;1" /> συγκλίνει. Υπόδειξη: Μπορείτε να συσχετίσετε την συμπεριφορά της εν λόγω σειράς με την ανάλογη υπεραρμονική. Μπορείτε για μεγαλύτερη ευκολία να ασχοληθείτε με την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i+1)^{m}))" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cexp%28-%28i%2B1%29%5E%7Bm%7D%29%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i+1)^{m}))" /> ή/και να δείτε την προηγούμενη μόνο για m=2).</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(i)+1}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%28i%29%2B1%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(i)+1}" /> αποκλίνει.</li> </ol><p> </p> <p> </p> <p> </p> <p> </p>Sun, 12 Dec 2021 17:25:33 +0300Sun, 12 Dec 2021 17:25:33 +0300410https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=409&course=OIK228<p>Προχωρήσαμε περαιτέρω στην διακρίβωση της σχέσης της σύγκλισης με τις αλγεβρικές πράξεις που έχουμε μελετήσει για πραγματικές ακολουθίες. Παρατηρώντας ότι η χρήση μέρους του λογισμού έχει να κάνει με την διευκόλυνση της εξακρίβωσης του ζητήματος σύγκλισης (και ενδεχομένως της συνακόλουθης εύρεσης του ορίου) για ακολουθίες που απατελούν κατάλληλους μετασχηματισμούς ακολουθιών των οποίων η ασυμπτωτική συμπεριφορά είναι γνωστή, αναφερθήκαμε καταλήγωντας στον μετασχηματισμό ακολουθιών μέσω σύνθεσης με κατάλληλες συναρτήσεις, και συνακόλουθα στην<span> </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Continuous_mapping_theorem">αρχή της μεταφοράς</a>. Χρησιμοποιήσαμε πολλές από τις έννοιες που έχουμε μέχρι τώρα εξάγει στην μελέτη της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς χρήσιμων στα παρακάτω παραδειγμάτων που σχετίζονται με την γεωμετρική σειρά.</p> <p><span>Ξεκινώντας την ενασχόληση μας με τις </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Series_(mathematics)#Convergent_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">πραγματικές σειρές</a><span>, και προσπαθώντας να εννοιολογήσουμε το απειροπληθές άθροισμα είδαμε ότι γενικά αυτό είναι αδύνατο μέσω της άλγεβρας. Ξεκινήσαμε την εννοιολόγηση ορίζοντας την έννοια της ακολουθίας μερικών αθροισμάτων δεδομένης πραγματικής ακολουθίας που περικλείει του συντελεστές του αθροίσματος. Αυτή μπορεί να θεωρηθεί ως διαδικασία "ολοκλήρωσης ", ενώ η ζητούμενη έννοια της σειράς ως προς την ακολουθία των συντελεστών είναι το όριο αυτής όταν αυτό υπάρχει. Εξετάσαμε παραδείγματα μεταξύ των οποίων αυτά της </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">γεωμετρικής</a><span>, της </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)" target="_blank" rel="noreferrer noopener">αρμονικής</a><span>, της </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)#Alternating_harmonic_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εναλλάσουσας αρμονικής</a><span> και της </span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)#p-series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">υπεραρμονικής</a><span> ακολουθίας μερικών αθροισμάτων.</span></p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε<span> </span><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limser.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Στοιχεία των παραπάνω μπορείτε να βρείτε και στους πίνακες των από απόσταση διαλέξεων του Έτους 2020-21, <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%A3%CF%84%CE%BF%CE%B9%CF%87%CE%B5%CE%AF%CE%B1%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%2010-11.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%2012-13.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <h3>Περαιτέρω Ασκήσεις</h3> <ol><li>Να οριστεί αυστηρά η αντίστροφη της διαδικασίας μερικής άθροισης.</li> <li>Έστω ακολουθία με αυστηρά θετικούς όρους. Δείξτε ότι η ακολουθία μερικών αθροισμάτων αυτής είναι γνησίως αύξουσα. Το αντίστροφο ισχύει;</li> </ol>Mon, 06 Dec 2021 15:27:47 +0300Mon, 06 Dec 2021 15:27:47 +0300409https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=408&course=OIK228<p><span style="font-family:'trebuchet ms', geneva;">Συνεχίσαμε την εξαγωγή σειράς από αποτελέσματα που συγκροτούν ένα μικρό μέρος του (ατελούς) λογισμού που χρησιμεύει στην διακρίβωση του αν μια ακολουθία είναι συγκλίνουσα, ή/και όταν είναι, στην εύρεση του ορίου αυτής. Είδαμε ότι αν μια ακολουθία είναι συγκλίνουσα είναι και φραγμένη οπότε ισοδύναμα αν μια ακολουθία είναι μη φραγμένη τότε αναγκαστικά είναι αποκλίνουσα,  ότι όταν μια συγκλίνουσα ακολουθία έχει μη αρνητικούς όρους,τότε το όριο της δεν μπορείνα είναι αρνητικό, και ότι το ζήτημα της σύγκλισης της ακολουθίας δεν επηρεάζεται καθόλου από την συμπεριφορά όποιου πεπερασμένου μέρους της ακολουθίας.</span></p> <p><span style="font-family:'trebuchet ms', geneva;">Παρατηρήσαμε ότι η διατύπωση στοιχείων αυτού του λογισμού θα είναι πιο ευχερής μεταγράφοντας τον αρχικό γεωμετρικό ορισμό του ορίου σε ισοδύναμο αναλυτικό ορισμό, χρησιμοποιώντας τους <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Universal_quantification" target="_blank" rel="noreferrer noopener">ποσοδείκτες</a> ("υπάρχει" και "για κάθε" ) και ανισότητες. Τον εξάγαμε και είδαμε πως εφαρμόζεται σε παραδείγματα και αντιπαραδείγματα. Προχωρήσαμε μέσω της χρήσης του στην διακρίβωση της σχέσης της σύγκλισης με τις αλγεβρικές πράξεις που έχουμε μελετήσει για πραγματικές ακολουθίες.</span></p> <p><span style="font-family:'trebuchet ms', geneva;">Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω και ασκήσεις μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limits.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limser.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</span></p> <p><span style="font-family:'trebuchet ms', geneva;">Τους πίνακες των διαλέξεων του Ακ. Έτους 2020-21 που εμπεριέχουν και μέρος των παραπάνω, μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%A3%CF%84%CE%BF%CE%B9%CF%87%CE%B5%CE%AF%CE%B1%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%207-8_b.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%209.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>. Τους πίνακες της φετινής 10ης διάλεξης μπορείτε να βρείτε <a href="https://auebgr.sharepoint.com/:b:/s/2021-22448/EaXKgOvByCZJg5U5VpUV4HkB1XrIJYymFbygzwBMbiunyA?e=6FGnVR" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</span></p> <h3><span style="font-size:14pt;font-family:'trebuchet ms', geneva;">Περαιτέρω Ασκήσεις</span></h3> <ol><li><span style="font-family:'trebuchet ms', geneva;">Έστω συγκλίνουσα ακολουθία όπου κάθε όρος της οποίας είναι μεγαλύτερος ή ίσος του πραγματικού αριθμού C. Να δειχθεί ότι το όριο είναι επίσης μεγαλύτερο ή ίσο του C.</span></li> <li><span style="font-family:'trebuchet ms', geneva;">Έστω συγκλίνουσα ακολουθία όπου κάθε όρος της οποίας είναι μικρότερος ή ίσος του πραγματικού αριθμού C. Να δειχθεί ότι το όριο είναι επίσης μικρότερο ή ίσο του C.</span></li> <li><span style="font-family:'trebuchet ms', geneva;">'Εστω ακολουθία για την οποία οι απόλυτες τιμές σχεδόν όλων των όρων είναι μεγαλύτερες ή ίσες των απολύτων τιμών των αντίστοιχων όρων ακολουθίας που δεν είναι φραγμένη. Να δειχθεί ότι η αρχική ακολουθία είναι αποκλίνουσα.</span></li> <li><span style="font-family:'trebuchet ms', geneva;">Δείξτε το Λήμμα (Μοναδικότητα) αποκλειστικά μέσω του αναλυτικού ορισμού.</span></li> <li><span style="font-family:'trebuchet ms', geneva;">Δείξτε ότι συγκλίνουσα ακολουθία με κάτω φράγμα το 1 δεν μπορεί να έχει όριο μικρότερο του 1.</span></li> <li><span style="font-family:'trebuchet ms', geneva;">Δείξτε ότι συγκλίνουσα ακολουθία με άνω φράγμα το 1 δεν μπορεί να έχει όριο μεγαλύτερο του 1.</span></li> <li><span style="font-family:'trebuchet ms', geneva;">Δείξτε ότι το όριο συγκλίνουσας ακολουθίας δεν μπορεί να είναι μικρότερο από το inf και μεγαλύτερο από το sup αυτής.</span></li> <li><span style="font-family:'trebuchet ms', geneva;">Να δείξετε μόνο μέσω του αναλυτικού ορισμού ότι η <img class="latex" title="(\exp(\frac{1}{n+1}))" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%28%5Cexp%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%2B1%7D%29%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="(\exp(\frac{1}{n+1}))" /> συγκλίνει στο 1.</span></li> <li><span style="font-family:'trebuchet ms', geneva;">Να δείξετε μόνο μέσω του αναλυτικού ορισμού ότι η <img class="latex" title="(\exp(\frac{1}{n+1}))" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%28%5Cexp%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%2B1%7D%29%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="(\exp(\frac{1}{n+1}))" /> δεν συγκλίνει σε όποιον πραγματικό διάφορο του </span></li> <li><span style="font-family:'trebuchet ms', geneva;">Να δείξετε ότι το γινόμενο φραγμένης με συγκλίνουσα στο μηδέν ακολουθία είναι ακολουθία που επίσης συγκλίνει στο μηδέν. Θα ήταν δυνατόν να συμβαίνει κάτι τέτοιο ακόμη και αν η πρώτη δεν ήταν φραγμένη αλλά αποκλίνουσα;</span></li> </ol><p> </p> <p> </p>Sun, 28 Nov 2021 18:08:03 +0300Sun, 28 Nov 2021 18:08:03 +0300408https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=406&course=OIK228<p>Συνεχίσαμε την διερεύνηση ζητημάτων μονοτονίας για τις πραγματικές ακολουθίες. Δείξαμε ότι η μονοτονία προκύπτει ισοδύναμα από την σύγκριση μεταξύ των όρων σε κάθε ζεύγος διαδοχικών όρων της ακολουθίας. Παρατηρήσαμε ότι οι (γνησίως) αύξουσες ακολουθίες είναι αναγκαστικά φραγμένες από κάτω, ενώ δυικά οι (γνησίως) φθίνουσες ακολουθίες είναι αναγκαστικά φραγμένες από πάνω. Παρόλα αυτά υπάρχουν μονότονες ακολουθίες που δεν είναι φραγμένες ακριβώς επειδή τους λείπει η ύπαρξη του έτερου φράγματος, ενώ υπάρχουν και ακολουθίες που δεν είναι ούτε μονότονες ούτε και φραγμένες.</p> <p>Όταν όμως μια ακολουθία συνδυάζει και τις δύο ανωτέρω ιδιότητες τότε διαθέτει ένα ενδιαφέρον <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Monotone_convergence_theorem" target="_blank" rel="noreferrer noopener">χαρακτηριστικό</a> το οποίο θα μας βοηθήσει στην νοηματοδότηση του ορίου. Ξεκινήσαμε να το αναπτύσσουμε χρησιμοποιώντας το γενικό παράδειγμα φραγμένης και αύξουσας ακολουθίας όπου και είδαμε ότι θα εμφανίζει μορφή "ασυμπτωτικής συγκέντρωσης" "γύρω από" το sypremum της. Δυικά ισχύει  "ασυμπτωτικής συγκέντρωσης" όποιας φραγμένης και φθίνουσας ακολουθίας "γύρω από" το infimum της.</p> <p>Τα παραπάνω μας οδήγησε στην ακριβή (καταρχάς γεωμετρική) διατύπωση της έννοιας του ορίου πραγματικής ακολουθίας. Μέσω αυτής διαπιστώσαμε ότι υπάρχουν τόσο συγκλίνουσες (π.χ. οι φραγμένες και μονότονες) όσο και αποκλίνουσες ακολουθίες (π.χ. εναλλάσουσες). <span>Εξετάσαμε περαιτέρω παραδείγματα, και ξεκινήσαμε την εξαγωγή μιας σειρά από αποτελέσματα που συγκροτούν ένα μικρό μέρος του (ατελούς) λογισμού που χρησιμεύει στην διακρίβωση του αν μια ακολουθία είναι συγκλίνουσα, ή/και όταν είναι, στην εύρεση του ορίου αυτής. Έπι παραδείγματι, μέσω της χρήσης του γεωμετρικού ορισμού είδαμε ότι το όριο όταν υπάρχει είναι μοναδικό.</span></p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω όπως και κάποιες ασκήσεις μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq3.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limits.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Τους πίνακες των διαλέξεων μπορείτε να βρείτε <a href="https://auebgr.sharepoint.com/:b:/s/2021-22448/EcEFRl1V5YhGi9NW0QA8vrIB1qwTjgj8k0tsN8R415aY0Q?e=WKqj1D" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="https://auebgr.sharepoint.com/:b:/s/2021-22448/EQp5J5QIVVhBhmC65X8O-DgBa6ZQtQBEAGcirmNv6F979w?e=z9AKLI" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> (σελ. 1-9).</p> <p> </p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις:</strong></p> <ol><li>Να δειχθεί ότι για κάθε μονότοτονη ακολουθία, κάθε υπακολουθία αυτής έχει την ίδια ή ισχυρότερη μονοτονία.</li> <li>Nα δειχθεί ότι αν οι <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28x_%7Bn%7D%29%2C%5C%3A%28y_%7Bn%7D%29" alt="gif.latex?%28x_%7Bn%7D%29%2C%5C%3A%28y_%7Bn%7D%29" /> είναι αύξουσες, τότε και η <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cmax%28x_%7Bn%7D%2Cy_%7Bn%7D%29%20%5Cright%20%29" alt="gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cmax%28x_%7Bn%7D%2Cy_%7Bn%7D%29%20%5Cright%20%29" /> είναι (ενδεχομένως γνησίως) αύξουσα.</li> <li>Να δειχθεί ότι αν μια ακολουθία είναι φθίνουσα και φραγμένη, τότε σε κάθε ανοικτό διάστημα με κέντρο το infimum της θα περιέχει σχεδόν όλη την ακολουθία, με το πλήθος των όρων που βρίσκονται εκτός αυτού να μπορεί να εξαρτάται από το διάστημα. Θα άλλαζε το συμπέρασμα αν χρησιμοποιούσαμε τα κλειστά αντι των ανοικτών διαστήμάτων.</li> <li>Χρησιμοποιώντας τον γεωμετρικό ορισμό του ορίου να δειχθεί ότι κάθε <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Subsequence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">υπακολουθία</a> συγκλίνουσας ακολουθίας συγκλίνει επίσης στο ίδιο όριο.</li> <li><span>Εξάγετε τις αποδείξεις όλων των αποτελεσμάτων αντικαθιστώντας στον ορισμό του ορίου τα ανοικτά με κλειστά διαστήματα.</span></li> </ol>Sun, 21 Nov 2021 23:19:09 +0300Sun, 21 Nov 2021 23:19:09 +0300406https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=405&course=OIK228<p>Ασχοληθήκαμε περαιτέρω με την έννοια της φραγής. Διατυπώσαμε τον ορισμό της φραγμένης πραγματικής ακολουθίας χρησιμοποιώντας την συνάρτηση ακή της μορφή. Είδαμε παραδείγματα και αντί παραδείγματα.</p> <p>Συνεχίσαμε με την διατύπωση και απόδειξη βοηθητικών αποτελεσμάτων. Το πρώτο αφορά στην διακρίβωση της φραγής μέσω της κατα σημείο σύγκρισης με κατάλληλη βοηθητική ακολουθία. Στο δεύτερο δείξαμε ότι η ιδιότητα της φραγής δεν προσδιορίζεται από κανένα πεπερασμένο υποσύνολο της ακολουθίας αλλά εξαρτάται από την συμπεριφορά του υπόλοιπου απειροπληθούς μέρους της. Αυτό μας επέτρεψε να "γενικεύσουμε" την έννοια στην σχεδόν παντού φραγή με τον προφανή τρόπο και να δείξουμε την ισοδυναμία των δύο εννοιών. Είδαμε μέσω παραδείγματος, ότι αυτό μπορεί να είναι χρήσιμο στην εξαγωγή αποτελεσμάτων που π.χ. αποδίδουν την ιδιότητα της φραγής σε πραγματική ακολουθία μέσω κατάλληλης (σχεδόν παντού) σύγκρισης με φραγμένη ακολουθία, κ.ο.κ.</p> <p>Δείξαμε π.χ. ότι οι αλγεβρικές πράξεις διατηρούν την φραγή (έτσι π.χ. το σύνολο των φραγμένων πραγματικών ακολουθιών είδαμε ότι αποτελεί <a href="/modules/document/file.php/OIK269/LinAlg2.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">διανυσματικό υποχώρο</a> του συνόλου των πραγματικών ακολουθιών ως προς τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτου πολλαπλασιασμού), ενώ το άθροισμα φραγμένης με μη φραγμένη ακολουθία είναι μη φραγμένη ακολουθία.</p> <p>Παρατηρήσαμε ότι η διάταξη με την οποία εμφανίζονται οι όροι μιας πραγματικής ακολουθίας μέσα σε αυτή δεν συμφωνεί αναγκαστικά με την διάταξη τους στην πραγματική ευθεία. Όταν οι δύο αυτές διατάξεις σχετίζονται μονότονα αποκτούμε την έννοια της μονότονης ακολουθίας. Διατυπώσαμε τον ορισμό ο οποίος βασίζεται στην έννοια <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Monotonic_function" target="_blank" rel="noreferrer noopener">μονότονης πραγματικής συνάρτησης</a>, και στην συναρτησιακή μορφή των ακολουθιών.</p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω όπως και κάποιες ασκήσεις μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq2.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq3.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Τους πίνακες των σχετικών από απόσταση διαλέξεων του Ακ. Έτους 2020-21 μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%204-5.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> (σελ. 5-9) και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%205-6.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> (σελ. 1-8).</p> <p>Περαιτέρω σχόλια μπορείτε να βρείτε <a href="https://auebgr.sharepoint.com/sites/2021-22448/Shared%20Documents/General/STYLIANOS%20ARVANITIS-%CE%A3%CF%87%CE%BF%CC%81%CE%BB%CE%B9%CE%B1%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%B5%CC%81%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%206-7.mp4" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p> </p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις:</strong></p> <ol><li>Να δειχθεί ότι αν οι <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28x_%7Bn%7D%29%2C%5C%3A%28y_%7Bn%7D%29" alt="gif.latex?%28x_%7Bn%7D%29%2C%5C%3A%28y_%7Bn%7D%29" /> φραγμένες τότε και η <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cmax%28x_%7Bn%7D%2Cy_%7Bn%7D%29%20%5Cright%20%29" alt="gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cmax%28x_%7Bn%7D%2Cy_%7Bn%7D%29%20%5Cright%20%29" /> φραγμένη.</li> <li>Να δειχθεί ότι η ακολουθία <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bn%7Dx%5E%7B2%7Ddx%20%5Cright%20%29" alt="gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bn%7Dx%5E%7B2%7Ddx%20%5Cright%20%29" /> δεν είναι φραγμένη.</li> <li>Να δειχθεί ότι αν η <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28y_%7Bn%7D%29" alt="gif.latex?%28y_%7Bn%7D%29" /> φραγμένη και <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%7C%20x_%20%7Bn%7D%20%5Cright%20%7C%20%3C%20%5Csup%5Cleft%20%7Cy_%7Bn%7D%5Cright%20%7C%2C%5C%3A%5Cforall%20n%5Cgeq%20%5Cmathbb%7BN%7D" alt="gif.latex?%5Cleft%20%7C%20x_%20%7Bn%7D%20%5Cright%20%7C%20%3C%20%5Csup%5Cleft%20%7Cy_%7Bn%7D%5Cright%20%7C%2C%5C%3A%5Cforall%20n%5Cgeq%20%5Cmathbb%7BN%7D" /> (ορθή επανάληψη), τότε υπάρχει κάποιος φυσικός <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?n%5E%7B%5Cstar%7D" alt="gif.latex?n%5E%7B%5Cstar%7D" />, τέτοιος ώστε <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%7C%20x_%20%7Bn%7D%20%5Cright%20%7C%20%5Cleq%20%5Cleft%20%7Cy_%7Bn%7D%5Cright%20%7C%2C%5C%3A%5Cforall%20n%5Cgeq%20n%5E%7B%5Cstar%7D" alt="gif.latex?%5Cleft%20%7C%20x_%20%7Bn%7D%20%5Cright%20%7C%20%5Cleq%20%5Cleft%20%7Cy_%7Bn%7D%5Cright%20%7C%2C%5C%3A%5Cforall%20n%5Cgeq%20n%5E%7B%5Cstar%7D" />.</li> </ol>Sun, 14 Nov 2021 19:06:32 +0300Sun, 14 Nov 2021 19:06:32 +0300405https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=404&course=OIK228<p><a href="https://auebgr.sharepoint.com/sites/2021-22448/Shared%20Documents/General/STYLIANOS%20ARVANITIS-%CE%95%CF%80%CE%B9%CF%83%CE%BA%CE%BF%CC%81%CF%80%CE%B7%CF%83%CE%B7%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CC%81%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%CF%82%205%20%CE%BA%CE%B1%CE%B9%20%CF%83%CF%87%CE%BF%CC%81%CE%BB%CE%B9%CE%B1%20%CF%80%CE%B5%CF%81%CE%B9%CC%81%20%CE%B2%CE%B9%CE%B2%CE%BB%CE%B9%CE%BF%CE%B3%CF%81%CE%B1%CF%86%CE%B9%CC%81%CE%B1%CF%82%20%CE%BA%CE%B1%CE%B9%20%CE%B1%CE%BD%CE%B1%CF%80%CE%BB%CE%B7%CF%81%CF%89%CC%81%CF%83%CE%B5%CF%89%CE%BD.mp4" target="_blank" rel="noreferrer noopener">Εδώ</a> μπορείτε να βρείτε σύνοψη της 5ης διάλεξεις όπως και σχόλια περί της βιβλιογραφίας και των αναπληρώσεων.</p>Sun, 07 Nov 2021 21:07:21 +0300Sun, 07 Nov 2021 21:07:21 +0300404https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=403&course=OIK228<p>Χρησιμοποιώντας τον διανυσματικό ορισμό εξετάσαμε παραδείγματα αλγεβρικών πράξεων μεταξύ ακολουθιών όπως η κατά σημείο πρόσθεση και ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός (ως προς αυτές το σύνολο των πραγματικών ακολουθιών είναι <a href="/modules/document/file.php/OIK269/LinAlg1.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">διανυσματικός χώρος</a>) καθώς και την πράξη του σημειακού πολλαπλασιασμού.</p> <p>Στην συνέχεια και χρησιμοποιώντας τον συναρτησιακό ορισμό ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με αναλυτικές ιδιότητες που μπορεί να έχουν πραγματικές ακολουθίες. Αρχίσαμε, διερευνώντας με λεπτομέρεια τον ορισμό του <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Bounded_set" target="_blank" rel="noreferrer noopener">φραγμένου υποσυνόλου των πραγματικών</a>. </p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq2.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Τους πίνακες των διαλέξεων που κάλυψαν αντίστοιχες έννοιες στο Ακ. Έτος 2020-21 μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%203.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> (σελ. 5-9) και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%204-5.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> (σελ. 2).</p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις</strong></p> <p>1.  Να βρεθεί παράδειγμα πραγματικής ακολουθίας όπου η ιδιότητα P δεν ισχύει για θετικό αλλά πεπερασμένο πλήθος όρων, όταν α) P="ο πραγματικός x είναι άρτιος φυσικός", β) α) P="ο πραγματικός x είναι άρρητός".</p> <p>2. Για P όπως στην προηγούμενη άσκηση, να βρεθεί παράδειγμα πραγματικής ακολουθίας όπου η ιδιότητα P ισχύει για άπειρο πλήθος όρων, και ταυτόγχρονα δεν ισχύει για άπειρο πλήθος όρων.</p> <p> </p>Sun, 31 Oct 2021 16:27:15 +0300Sun, 31 Oct 2021 16:27:15 +0300403https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=402&course=OIK228<p>Προκειμένου για την κατανόηση της έννοιας του ορίου, ξεκινήσαμε την πραγμάτευση της έννοιας της πραγματικής <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Sequence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">ακολουθίας</a>. Εξετάσαμε δύο ισοδύναμους ορισμούς, ο πρώτος εκ των οποίων είναι βολικός για την πραγμάτευση αλγεβρικών ιδιοτήτων ενώ ο δεύτερος για την πραγμάτευση αναλυτικών ιδιοτήτων και την γενίκευση της έννοιας. Παρουσιάσαμε παραδείγματα πραγματικών ακολουθιών.</p> <p>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq1.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Τους πίνακες της από απόστασης 2ης διάλεξης από το Ακ. Έτος 2020-21 μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%202-%CE%9F%CF%81%CE%B9%CF%83%CE%BC%CE%BF%CE%AF.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Συνεχίσαμε με παραδείγματα πραγματικών ακολουθιών που άπτονται των οικονομικών και της θεωρίας πιθανοτήτων. Εξετάσαμε ζητήματα περιγραφής και συμβολισμών. Χρησιμοποιώντας τον διανυσματικό ορισμό εξετάσαμε την έννοια της ισότητας πραγματικών ακολουθιών η οποία και αποτελεί κατά "φυσικό τρόπο" επέκταση της έννοιας της ισότητας πραγματικών διανυσμάτων. Εξετάσαμε συνοπτικά μια γενίκευση αυτής, η οποία επιτρέπει την συσχέτιση δύο πραγματικών ακολουθιών ως σχεδόν παντού ίσες ακόμη και όταν έχουν διαφορετικές συνιστώσες σε πεπερασμένο πλήθος θέσεων.</p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq2.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Τους πίνακες της από απόστασης 3ης διάλεξης του Ακ. Έτους 2020-21 μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%203.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> (οι σχετικές με την φετινή 3η διάλεξης σελίδες είναι οι μέχρι και το ήμιση της 7ης-παρατηρήστε ότι στο εν λόγω αρχείο και στην άσκηση που αφορά στην μεταβατική ιδιότητα της σχεδόν παντού ισότητας (στο τέλος της σελ. 6) δίνεται ως υπόδειξη μια ανισότητα η οποία δεν είναι γενικά σωστή (δείτε και την άσκηση 1 παρακάτω)-<strong>Άσκηση</strong>: μήπως η ορθότητα αυτής της ανισότητας αποκαθίσταται αν η δεξιά της πλευρά πολλαπλασιαστεί με επαρκώς μεγάλο αριθμό;).</p> <p> </p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις</strong></p> <p>1. Να δειχθεί ότι αν για τρείς ακολουθίες, η πρώτη είναι σχεδόν παντού ίση με την δεύτερη, και η δεύτερη είναι σχεδόν παντού ίση με την τρίτη, τότε το πλήθος των θέσεων που μπορεί να έχουν διαφορετικούς όρους η πρώτη και η τρίτη είναι μικρότερο ίσο από το άθροισμα του αντίστοιχου πλήθους μεταξύ πρώτης και δεύτερης και αυτού μεταξύ δεύτερης και τρίτης.</p> <p>2. Ως προς την παραπάνω άσκηση, να βρεθούν παραδείγματα όπου το πλήθος των θέσεων που μπορεί να έχουν διαφορετικούς όρους η πρώτη και η τρίτη, α) είναι μηδέν, β) είναι θετικό αλλά αυστηρά μικρότερο του παραπάνω αθροίσματος, γ) είναι θετικό και ίσο με το παραπάνω άθροισμα.</p> <p>3. Να δειχθεί ότι η σχεδόν παντού ισότητα είναι μεταβατική.</p> <p>4. Τι συμπεραίνετε από την χρήση της έννοιας της σχεδόν παντού ισότητας σε n-διάστατα πραγματικά διανύσματα;</p>Mon, 25 Oct 2021 00:40:27 +0300Mon, 25 Oct 2021 00:40:27 +0300402https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=399&course=OIK228<p>Η πρώτη διάλεξη είχε καταρχάς τον χαρακτήρα ενημέρωσης για ζητήματα που άπτονται της διεξαγωγής του μαθήματος. Τα παραπάνω εν μέρει περιγράφονται στην σύνοψη του μαθήματος η οποία βρίσκεται <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/Syllabus/Math_%CE%99%CE%99%CE%99_21_22_syllabus.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Επίσης, έγινε σύντομη περιγραφή και κινητροδότηση βασικών εννοιών που θα παρουσιαστούν κατά την διάρκεια του μαθήματος. Πρόχειρες σημειώσεις για αυτά όπως και <strong>ασκήσεις</strong> για επανάληψη προγενέστερων εννοιών που είναι δυνατόν να χρειαστούν βρίσκονται <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202021-22/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Motiv1.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>. </p> <p>Τους πίνακες της από απόστασης αντίστοιχης περυσινής διάλεξης (Ακ. Έτος 2020-21), που προφανώς έχει διαφορές σε σχέση με την φετινή ως προς διαδικαστικά ζητήματα-όπως π.χ. τον τρόπο διαξαγωγής των διαλέξεων, μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%201-%CE%95%CE%BD%CE%B7%CE%BC%CE%AD%CF%81%CF%89%CF%83%CE%B7.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p>Mon, 18 Oct 2021 01:17:28 +0300Mon, 18 Oct 2021 01:17:28 +0300399https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=344&course=OIK228<p>Συνεχίσαμε με στοιχεία της άλγεβρας μεταξύ δυναμοσειρών με κοινό κέντρο, με αναφορά στα διαστήματα σύγκλισής τους. Παρατηρήσαμε π.χ. ότι δύο δυναμοσειρές με το ίδιο κέντρο είναι ίσες ανν οι συντελεστές τους είναι κατά σημείο ίσοι, ενώ περισσότερο περίπλοκες σχέσεις μεταξύ των συντελεστών είναι δυνατόν να χρειάζονται για την διατύπωση ισότητας μεταξύ δυναμοσειρών με διαφορετικά κέντρα. Αναλόγως το άθροισμα δυναμοσειρών με κοινό κέντρο είναι δυναμοσειρά με το ίδιο κέντρο και διάστημα σύγκλισης υπερσύνολο της τομής των διαστημάτων σύγκλισης των δύο δυναμοσειρών, κ.ο.κ.  </p> <p>Ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με αναλυτικές ιδιότητες των δυναμοσειρών. Καταρχάς διατυπώσαμε το θεώρημα συνέχειας που μας πληροφορεί ότι οι δυναμοσειρές είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα συγκλισής τους. Η απόδειξη αυτού είναι δυνατόν να προκύπτει από έννοιες εκτός του εύρους του μαθήματος (δείτε π.χ. <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Compact_convergence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Abel%27s_theorem" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>), αλλά επί της ουσίας μας πληροφορεί ότι για της δυναμοσειρές επιτρέπεται κάποιου είδους <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Interchange_of_limiting_operations" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εναλλαγή ορίων</a>.</p> <p>Εντυπωσιακότερο είναι το θεώρημα παραγωγισιμότητας δυναμοσειράς με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης, στο εσωτερικό αυτού, που επιτρέπει επίσης κάποιου εναλλαγή ορίου, και συνεπάγεται ότι η παράγωγος είναι επίσης δυναμοσειρά με το ίδιο κέντρο και εσωτερικό διαστήματος σύγκλισης που ταυτίζεται με το εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης της αρχικής, ενώ υπολογίζεται πολύ εύκολα από την αρχική δυναμοσειρά. Ξεκινήσαμε να ασχολούμαστε με διάφορες εφαρμογές του. Έτσι, παραγωγίζοντας κατάλληλη δυναμοσειρά και βρίσκοντας την μοναδική λύση <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Initial_value_problem" target="_blank" rel="noreferrer noopener">προβλήματος αρχικών τιμών</a> δείξαμε το πως αναπαρίσταται από δυναμοσειρά η εκθετική συνάρτηση, ενώ είδαμε ότι η αναπαράσταση αυτή δεν είναι μοναδική όπως και άλλα συναφή ζητήματα. Οι λόγοι που ισχύουν αυτές οι αναπαραστάσεις αφορούν στην θεωρία των <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Analytic_function" target="_blank" rel="noreferrer noopener">αναλυτικών συναρτήσεων</a>.</p> <p>Χρησιμοποιώντας την παραγωγισιμότητα, εργαστήκαμε με παραδείγματα που προέκυψαν στα πλαίσια της γεωμετρικής σειράς όποτε είδαμε ότι είναι δυνατόν να χρησιμοποιείται η εν λόγω αναλυτική ιδιότητα προκειμένου να βρίσκουμε πραγματικές σειρές.</p> <p>Περνώντας σε εφαρμογές δυναμοσειρών είδαμε εν συντομία κάποιες βασικές έννοιες που αφορούν στις <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinary_differential_equation" target="_blank" rel="noreferrer noopener">Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις</a>. Παρατηρήσαμε ότι συνήθως λύσεις αυτών βρίσκονται μέσω περίπλοκων διαδικασιών ολοκλήρωσης (που συνδυάζονται με κατάλληλους μετασχηματισμούς) και ότι εφόσον η ολοκλήρωση είναι γενικά υπολογιστικά πολύπλοκη, προκύπτει εύλογα το ερώτημα αν είναι δυνατόν σε κάποιες περιπτώσεις να αποφευχθεί μέσω διαδικασίών εύρεσης λύσεων ενδεχομένως μικρότερης πολυπλοκότητας. Οδηγηθήκαμε έτσι σε μια εισαγωγή στην Μέθοδο των Δυναμοσειρών για την εύρεση λύσεων.</p> <p>Η μέθοδος ανάγεται στην επίλυση απειροπληθούς συστήματος από αναδρομικές σχέσεις για την εύρεση των άγνωστων συντελεστών της δυναμοσειράς. Αυτό προκύπτει από την μορφή της εξίσωσης, την μορφή που έχουν οι παράγωγοι δυναμοσειράς με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης, και από την έννοια της ισότητας δυναμοσειρών. Είναι δε δυνατόν να είναι ευκολότερα επιλύσιμο από την ολοκλήρωση. Το σύστημα δεν θα εμπεριέχει εξ'ορισμού πληροφορία για κάποιους από τους συντελεστές της εξίσωσης το πλήθος των οποίων θα ταυτίζεται με την τάξη της, και οι οποίοι θα αναπαριστούν τις σχετικές σταθερές ολοκλήρωσης. Ασχοληθήκαμε με την εφαρμογή της μεθόδου στην κατηγορία των γραμμικών εξισώσεων πρώτης τάξης, με σταθερούς συντελεστές και όρο, και χρησιμοποιήσαμε τα ευρήματά μας σε εφαρμογή για την <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Steady_state" target="_blank" rel="noreferrer noopener">ασυμπτωτική ευστάθεια αγοράς</a> με σχετικά απλή δυναμική συμπεριφορά. Ασχοληθήκαμε επίσης, και με παράδειγμα γραμμικής πρώτης τάξης με σταθερούς συντελεστές και γραμμικό όρο όπως και με παράδειγμα ομογενούς γραμμικής δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές.</p> <p>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Powser1.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>, <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/DifIntPser_cor.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>, και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/PSerODE.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Τους πίνακες των από απόσταση διαλέξων μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%2026.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>, <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%2027-28.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%A3%CF%85%CE%BD%CE%AD%CF%87%CE%B5%CE%B9%CE%B1%20%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%CF%82%2028.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.    </p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις</strong>.</p> <p>Α. Να βρεθούν οι παράγωγοι 1ης τάξης για όσες από τις παρακάτω δυναμοσειρές είναι καλώς ορισμένες:</p> <ol><li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Di%21%28x-4%29%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bi&amp;plus;1%7D%28x-2%29%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bi&amp;plus;2%7D%28x-7%29%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bi%5E2%7Dx%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bi%21%7D%7B%5Cexp%28i%29%7Dx%5E%7Bi%7D" alt="" />.</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Di%28x-5%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="72" height="38" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bi%21%7D%7Bi%5E%7Bi%7D%7D%20%28x-2%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="66" height="32" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B2%7D%7B%28i&amp;plus;1%29%5E%7B2%7D%7D%20%28x-1%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="93" height="31" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D2%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%28i%29%7D%20%28x-1%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="89" height="35" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D2000%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cexp%28i%29%7D%20%28x-100%21%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="110" height="31" /></li> </ol>Mon, 01 Feb 2021 01:12:05 +0300Mon, 01 Feb 2021 01:12:05 +0300344https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=342&course=OIK228<p>Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με το παράδειγμα εφικτού συνόλου αποδεικνύοντας ότι αποτελείται από (<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_boundedness" target="_blank" rel="noreferrer noopener">ομοιόμορφα</a>) φραγμένες ακολουθίες. Δεδομένης της διερεύνησης μας για το παράδειγμα εφικτού συνόλου, περιγράφοντας σε αδρές γραμμές την σύνδεση μεταξύ σχέσης προτίμησεων επί του εφικτού συνόλου και (όταν υπάρχει) συνάρτησης ωφέλειας που την αναπαριστά, ασχοληθήκαμε με παράδειγμα συνάρτησης ωφέλειας <em>επί του εφικτού συνόλου</em> και με το ζήτημα του αν αυτή (και συνακόλουθα το πρόβλημα της βέλτιστης επιλογής διαχρονικής ροής κατανάλωσης) είναι καλώς ορισμένη. Αυτή είχε την <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Discounted_utility" target="_blank" rel="noreferrer noopener">μορφή σειράς συναρτήσεων</a> και εμφάνιζε τα χαρακτηριστικά της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Discount_function" target="_blank" rel="noreferrer noopener">χρονικής διαχωρισιμότητας</a> (time separability) και της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_discounting" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εκθετικής χρονικής προεξόφλησης</a> (exponential discounting). Το να είναι καλώς ορισμένη ισοδυναμεί με το να συγκλίνει για κάθε εφικτή διαχρονική κατανάλωση. Δεδομένων των τιμών που επιτρέψαμε στον συντελεστή χρονικής προτίμησης, και χρησιμοποιώντας μια σειρά από συλλογισμούς που άπτονται σημαντικού μέρους της μέχρι τώρα μας ύλης, δείξαμε το καλώς ορισμένο. Υποθέτωντας υπεραρμονική προεξόφληση, προκειμένου να αναφερθούμε σε προτιμήσεις όπου αποδίδεται μεγαλύτερη σημασία στις απομακρυσμένες χρονικά καταναλώσεις, δείξαμε επίσης το καλώς όρισμένο.</p> <p>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Example.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/BoundedFeasSet.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Στην συνέχεια ξεκινήσαμε την εισαγωγή μας στην <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Power_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">θεωρία των δυναμοσειρών</a>. Παρατηρώντας ότι μπορούν τυπικά να ειδωθούν ως κατάλληλα <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Formal_power_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">αλγεβρικά συμπληρώματα</a> των πολυωνύμων εφόσον αγνοήσουμε αναλυτικές ιδιότητες τους (ενώ η αλγεβρική αυτή θέαση είναι προφανώς εκτός του εύρους του μαθήματος), και ότι ως έννοιες της ανάλυσης (που είναι εντός του εύρους του μαθήματος) και εξαιτίας των "καλών ιδιοτήτων τους" έχουν ποικίλες εφαρμογές, ασχοληθήκαμε με τον ορισμό τους, και είδαμε παραδείγματα, και αντιπαράδειγμα.</p> <p>Δεδομένων των παραπάνω, ασχοληθήκαμε καταρχάς με το ζήτημα της συγκλισής τους, οπότε και διατυπώσαμε το <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2%80%93Hadamard_theorem" target="_blank" rel="noreferrer noopener">θεώρημα Cauchy-Hadamard</a> που μας πληροφορεί ότι το σύνολο σύγκλισης έχει πάντοτε την μορφή διαστήματος (έστω εκφυλισμένου, ή γενικευμένου), με κατάλληλο κέντρο και ακτίνα, μια πρώτη ένδειξη της καλής συμπεριφοράς αυτών. Σκιαγραφήσαμε (και) μέσω του κριτηρίου του πηλίκου την απόδειξη του θεωρήματος, ενώ είδαμε ότι στο εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης η σύγκλιση της δυναμοσειράς είναι απόλυτη, το διάστημα σύγκλισης είναι δυνατόν να περιέχει κάποιο ή και τα δύο άκρα του (εφόσον υπάρχουν), αυτό είναι αδύνατο να διερευνηθεί μέσω του κριτηρίου του πηλίκου, ενώ η σύγκλιση σε κάποιο από αυτά ή και στα δύο (εφόσον ισχύει) μπορεί να είναι κατά συνθήκη.</p> <p>Στην συνέχεια διερευνήσαμε παραδείγματα ως προς το θεώρημα Cauchy-Hadamard.</p> <p>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Powser1.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Τους πίνακες των εξ' αποστάσεως διαλέξεων για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%2020-21-22-23-24-25.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%A3%CF%85%CE%BD%CE%AD%CF%87%CE%B5%CE%B9%CE%B1%20%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%CF%82%2025.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p> </p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις</strong></p> <p> </p> <ol><li>Προσπαθήστε να δείξετε αν το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διερευνήθηκε παραπάνω είναι καλώς ορισμένο όταν η συνάρτηση ωφέλειας είναι η <img class="latex" title="\sum_{t=0}^{\infty}\beta^{t}\ln (c_{t}+1)" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bt%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cbeta%5E%7Bt%7D%5Cln+%28c_%7Bt%7D%2B1%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{t=0}^{\infty}\beta^{t}\ln (c_{t}+1)" />.</li> <li>Για το προηγούμενο να βρεθούν αν υπάρχουν εφικτές διαχρονικές καταναλώσεις με σχεδόν όλους τους όρους θετικούς για τις οποίες η συνάρτηση ωφέλειας συγκλίνει όταν <img class="latex" title="\beta=1" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cbeta%3D1&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\beta=1" />.</li> <li>Εξηγήστε το γιατί η συνάρτηση ωφέλειας είναι σειρά πραγματικών συναρτήσεων η κάθε μία εκ των οποίων ορίζεται επί του εφικτού συνόλου.</li> <li>Προσπαθείστε να διερευνήσετε ότι έχει γίνει και ότι έχει ζητηθεί στην εφαρμογή μας όταν αντί του μετασχηματισμού <img class="latex" title="k\rightarrow k^{a}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=k%5Crightarrow+k%5E%7Ba%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="k\rightarrow k^{a}" /> ισχύει ο μετασχηματισμός (δηλ. ο στιγμιαίος ανατοκισμός του διαθέσιμου πόρου με στιγμιαίο σταθερό στον χρόνο επιτόκιο r)<img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ckappa_%7Bt%7D%5Crightarrow%20%281&amp;plus;r%29k_%7Bt%7D%2C%5C%3At%5Cin%5Cmathbb%20N%2C%5C%3A%20r%3E0." alt="" /></li> <li>Να δειχθεί ότι οι παρακάτω είναι δυναμοσειρές και να βρεθεί το εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης αυτών:</li> <li style="list-style-type:none;"> <ol><li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Di%28x-5%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="72" height="38" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bi%21%7D%7Bi%5E%7Bi%7D%7D%20%28x-2%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="66" height="32" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B2%7D%7B%28i&amp;plus;1%29%5E%7B2%7D%7D%20%28x-1%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="93" height="31" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D2%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%28i%29%7D%20%28x-1%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="89" height="35" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D2000%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cexp%28i%29%7D%20%28x-100%21%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="110" height="31" /></li> </ol></li> </ol><p> </p>Sun, 24 Jan 2021 18:49:37 +0300Sun, 24 Jan 2021 18:49:37 +0300342https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=341&course=OIK228<p>Δεδομένων των όσων μελετήσαμε για τα σημειακά όρια, της δυνατότητας κατα σημείο πρόσθεσης πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού, και των όσων ξέρουμε για τις πραγματικές σειρές, ορίσαμε την έννοια της σειράς πραγματικών συναρτήσεων ως σημειακό όριο κατάλληλης ακολουθίας μερικών αθροισμάτων. Προκειμένου να εντοπίζουμε μέρος του πεδίου ορισμού μιας τέτοιας σειράς διατυπώσαμε αλγόριθμο που βασίζεται στο κριτήριο του πηλίκου και είδαμε παραδείγματα. Παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν σε μέρος του πεδίου ορισμού της μια τέτοια σειρά να συγκλίνει απολύτως και σε άλλο μέρος κατά συνθήκη (προφανώς το τελευταίο δεν είναι δυνατόν να εντοπισθεί από το κριτήριο του πηλίκου-γιατί;).</p> <p>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Genseqser_cor.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Ξεκινήσαμε την πραγμάτευση παραδείγματος που επισκοπεί μεγάλο μέρος της μέχρι τώρα ύλης, και αφορά στην βέλτιστη επιλογή διαχρονικής κατανάλωσης σε κατάλληλο υπόβαθρο. Σε αυτό παρατηρήσαμε ότι διαχρονική ροή κατανάλωσης είναι όποια πραγματική ακολουθία από μη αρνητικούς όρους, ενώ αρχίσαμε να εργαζόμαστε στην κατασκευή εφικτού συνόλου από διαχρονικές ροές κατανάλωσης δεδομένης εξωγενούς αρχικής προικοδότησης και τεχνολογίας μετασχηματισμού πόρων. </p> <p>Ασχοληθήκαμε με την περιγραφή εφικτού συνόλου που προσδιορίζεται από εξωγενή προικοδότηση και σταθερή στον χρόνο τεχνολογία μετασχηματισμού των πόρων. Παρατηρήσαμε ότι το εφικτό σύνολο από διαχρονικές ροές κατανάλωσης δεδομένων των παραπάνω, προσδιορίζεται από ακολουθία ανισοτικών περιορισμών ("διαχρονικοί εισοδηματικοί περιορισμοί"), είναι μη κένο.</p> <p>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Example.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Τους πίνακες των από απόσταση διαλέξεων μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%2020-21-22-23-24-25.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις</strong></p> <ol><li>Όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> να βρεθεί το <img class="latex" title="X^{*}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%5E%7B%2A%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X^{*}" width="21" height="12" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} x/i!" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+x%2Fi%21&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} x/i!" width="67" height="18" />.</li> <li>Όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> να βρεθεί το <img class="latex" title="X^{*}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%5E%7B%2A%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X^{*}" width="21" height="12" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}x^{3i}/i!" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dx%5E%7B3i%7D%2Fi%21&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}x^{3i}/i!" width="78" height="19" /> .</li> <li>Όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> να βρεθεί το <img class="latex" title="X^{*}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%5E%7B%2A%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X^{*}" width="21" height="12" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} x/(i+1)" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+x%2F%28i%2B1%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} x/(i+1)" width="102" height="19" />.</li> <li>Όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> να βρεθεί το <img class="latex" title="X^{*}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%5E%7B%2A%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X^{*}" width="21" height="12" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} x^{2i}/(i+1)" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+x%5E%7B2i%7D%2F%28i%2B1%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} x^{2i}/(i+1)" width="113" height="19" />.</li> <li>Να επαναλάβετε τα προηγούμενα για το <img class="latex" title="X=(0,1)" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%280%2C1%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=(0,1)" width="71" height="18" />.</li> <li>Υπάρχουν στα παραπάνω περιπτώσεις που γνωρίζουμε βάσει και των όσων έχουμε κάνει προηγουμένως και ποιό είναι το όριο;</li> <li>Όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> να βρεθεί το <img class="latex" title="X^{*}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%5E%7B%2A%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X^{*}" width="21" height="12" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} \sin(ix)/i!" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Csin%28ix%29%2Fi%21&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} \sin(ix)/i!" width="105" height="19" /> χωρίς την χρήση του κριτηρίου.</li> <li>Προσπαθήστε να επαναλάβετε το παραπάνω χρησιμοποιώντας το κριτήριο.</li> <li>Να επαναλάβετε το ζητούμενο στην 8 όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} \cos(ix)/i" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Ccos%28ix%29%2Fi&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} \cos(ix)/i" width="102" height="19" />.</li> <li>Ερμηνεύστε οικονομικά τον μετασχηματισμό <img class="latex" title="k\rightarrow k^{a}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=k%5Crightarrow+k%5E%7Ba%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="k\rightarrow k^{a}" />.</li> <li>Προσπαθείστε να διερευνήσετε ότι έχει γίνει και ότι έχει ζητηθεί μέχρι στιγμής στην εφαρμογή μας όταν αντί του μετασχηματισμού <img class="latex" title="k\rightarrow k^{a}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=k%5Crightarrow+k%5E%7Ba%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="k\rightarrow k^{a}" /> ισχύει ο μετασχηματισμός (δηλ. ο στιγμιαίος ανατοκισμός του διαθέσιμου πόρου με στιγμιαίο σταθερό στον χρόνο επιτόκιο r) <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ckappa_%7Bt%7D%5Crightarrow%20%281&amp;plus;r%29k_%7Bt%7D%2C%5C%3At%5Cin%5Cmathbb%20N%2C%5C%3A%20r%3E0." alt="" /></li> </ol>Mon, 18 Jan 2021 01:43:40 +0300Mon, 18 Jan 2021 01:43:40 +0300341https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=340&course=OIK228<p>Προκειμένου να μπορούμε να ασχοληθούμε με πολυπλοκότερα παραδείγματα αλλά και με την έννοια της δυναμοσειράς και τις συνακόλουθες εφαρμογές, ξεκινήσαμε την γενίκευση των έννοιών που έχουμε δει μέχρι τώρα εισάγωντας και την έννοια της ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού. Παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν να αντιληφθούμε μια ακολουθία πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού με τρεις ισοδύναμους τρόπους. Ο δεύτερος την αναπαριστά ως "λίστα" πραγματικών ακολουθιών, μία για καθε σημείο του κοινού πεδίου ορισμού. Αυτός μαζί με την έννοια του ορίου πραγματικής ακολουθίας μας οδήγησε "φυσικά" στην έννοια του <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Pointwise_convergence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">σημειακού ορίου</a> ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων, το οποίο εξ'ορισμού είναι πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού υποσύνολο του κοινού πεδίου ορισμού των όρων της ακολουθίας. (Και) μέσω παραδειγμάτων παρατηρήσαμε ότι αυτή η έννοια ορίου είναι αρκετά ασθενής ώστε <em>είναι δυνατόν</em> η συνάρτηση όριο να μην έχει ιδιότητες που έχουν όλα τα μέλη της ακολουθίας όπως π.χ. η συνέχεια, και πως είναι δυνατόν να οριστούν <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_convergence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">ισχυρότερες μορφές ορίου</a> που να διατηρούν κάποιες από αυτές τις ιδιότητες.</p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Genseqser_cor.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Τους πίνακες της από απόστασης διάλεξης μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%2019.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p>Sun, 10 Jan 2021 17:55:49 +0300Sun, 10 Jan 2021 17:55:49 +0300340https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=339&course=OIK228<p>Σε ότι αφορά στο κριτήριο του πηλίκου,και μέσω παραδειγμάτων, είδαμε ότι η περίπτωση της μη πληροφοριακότητας είναι δυνατόν να αφορά κατά συνθήκη σύγκλιση, κάτι αναμενόμενο, απόκλιση αλλά και απόλυτη σύγκλιση. Συνεπώς είναι γενικά αδύνατο να συνάγουμε κάτι για την συμπεριφορά σειράς για την οποία το κριτήριο είναι μη πληροφοριακό χρησιμοποιώντας μόνο το κριτήριο. Παρατηρήσαμε επίσης ότι υπάρχουν εκλεπτύνσεις του κριτηρίου που είναι δυνατόν να μας πληροφορούν για την συμπεριφορά δεδομένης σειράς <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test#The_test" target="_blank" rel="noreferrer noopener">είτε όταν το όριο της βοηθητικής ακολουθίας δεν υπάρχει</a>, <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test#Extensions_for_L_.3D_1" target="_blank" rel="noreferrer noopener">είτε όταν αυτό ισούται με ένα</a>.</p> <p>Ξεκινήσαμε να εργαζόμαστε σε απλά παραδείγματα εμφάνισης των εννοιών των πραγματικών ακολουθιών, της διαδικασίας μερικής άθροισης και των πραγματικών σειρών στα οικονομικά. Το πρώτο παράδειγμα αφορά σε περιοριστικό ορισμό και <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Valuation_(finance)">τιμολόγηση χρηματοοικονομικού τίτλου</a>. Εκφράσαμε υπό προϋποθέσεις την τιμή ως σειρά των κατάλληλα προεξοφλημένων αποδόσεων. Θεωρήσαμε υποπαράδειγμα της προσέγγισής μας που αφορούσε στην μη σύγκλιση κατάλληλης σειράς, ως σχετικό με την έννοια της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Economic_bubble" target="_blank" rel="noreferrer noopener">χρηματοοικονομικής φούσκας</a>.</p> <p>Συνεχίσαμε με δεύτερο παράδειγμα στα πλαίσια της νομισματικής θεωρίας όπου συναντάμε τις έννοιες της πραγματικής ακολουθίας και της πραγματικής σειράς. Αυτό αφορά στην δημιουργία χρήματος από τις θεμελιώδεις λειτουργίες του τραπεζικού συστήματος, το οποίο αποτελείται από την κεντρική και τις εμπορικές τράπεζες και στο οποίο υπάρχει η <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Fractional-reserve_banking" target="_blank" rel="noreferrer noopener">τεχνολογία των κλασματικών διαθεσίμων</a>.</p> <p>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Absconrt.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/FinancialSeqSer.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>. Ένα γενικότερο υπόδειγμα αποτίμησης σε υπόβαθρο αβεβαιότητας (το οποίο προφανώς είναι εκτός της ύλης του μαθήματος) μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202019-20/%CE%93%CE%B5%CE%BD%CE%B9%CE%BA%CF%8C%20%CE%A5%CF%80%CF%8C%CE%B4%CE%B5%CE%B9%CE%B3%CE%BC%CE%B1%20%CE%91%CF%80%CE%BF%CF%84%CE%AF%CE%BC%CE%B7%CF%83%CE%B7%CF%82%20%CE%A7%CF%81%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%BF%CE%BF%CE%B9%CE%BA%CE%BF%CE%BD%CE%BF%CE%BC%CE%B9%CE%BA%CE%BF%CF%8D%20%CE%A4%CE%AF%CF%84%CE%BB%CE%BF%CF%85/cap_notes_2_0809.pdf">εδώ</a>.</p> <p>Τους πίνακες των από απόσταση διαλέξεων μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%2018.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p> </p>Thu, 24 Dec 2020 05:01:06 +0300Thu, 24 Dec 2020 05:01:06 +0300339https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=338&course=OIK228<p>Μέσω παραδείγματος παρατηρήσαμε ότι σε κάποιες περιπτώσεις η φραγή της ΑΜΑ είναι δυνατόν να προκύψει μέσω της κατά σημείο σύγκρισης της παραπάνω με κατάλληλα επιλεγμένη συγκλίνουσα γεωμετρική. Αυτό τελικά μας οδήγησε στην κατασκευή γενικού κριτηρίου το οποίο θα μας πληροφορεί σε κάποιες περιπτώσεις για το αν δεδομένη σειρά υπάρχει μέσω μιας υπολογιστικά "λιγότερο περίπλοκης" διαδιακασίας.</p> <p>Ξεκινήσαμε να χρησιμοποιούμε την καταχρηστική ορολογία που χρησιμοποιείται γενικότερα στις σχετικές βιβλιογραφίες περί "σύγκλισης σειρών".</p> <p>Προκειμένου για την διατύπωση του κριτηρίου του πηλίκου ασχοληθήκαμε με  εκλέπτυνση της σύγκλισης σειρών, εν προκειμένω με την έννοια της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_convergence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">απόλυτης σύγκλισης</a>. Δείξαμε ότι πρόκειται περί γνήσιας εκλέπτυνσης, ενώ αναφέραμε εν συντομία το <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_series_theorem" target="_blank" rel="noreferrer noopener">Θεώρημα Σειρών του Riemann</a> και το ότι ανν έχουμε απόλυτη σύγκλιση η αναδιάταξη των όρων της σειράς δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα. </p> <p>Μέσω του παραπάνω μπορέσαμε και διατυπώσαμε το <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test" target="_blank" rel="noreferrer noopener">Κριτήριο του Πηλίκου</a> το οποίο (σε κάποιες περιπτώσεις) αποφαίνεται για το αν δεδομένη σειρά συγκλίνει απολύτως ή αποκλίνει  και ξεκινήσαμε να εργαζόμαστε με αυτό.</p> <p>Παρατηρήσαμε ότι επί της ουσίας λειτουργεί μέσω της σύγκρισης με γεωμετρική σειρά ο συντελεστής της οποίας σχετίζεται με το όριο της βοηθητικής ακολουθίας των πηλίκων των απολύτων τιμών των διαδοχικών όρων. Συνεπώς αναμένουμε ότι όταν τέτοια σύγκριση είναι αδύνατη (π.χ. σε υπεραρμονικές σειρές) το κριτήριο αναμένεται να είναι μη πληροφοριακό.</p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις (και κάποιες ασκήσεις) για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Series2.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>, και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Absconrt.pdf">εδώ</a>.</p> <p>Τους πίνακες των από απόσταση διαλέξεων μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%2016-17.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p><strong>Ασκήσεις</strong> (προσπαθήστε να λύσετε τις 1-4 χρησιμοποιώντας αποκλειστικά το κριτήριο του πηλίκου).</p> <ol><li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i!}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bx%5E%7Bi%7D%7D%7Bi%21%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i!}" /> συγκλίνει για κάθε <img class="latex" title="x\geq 0" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=x%5Cgeq+0&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="x\geq 0" />.</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(i+1)^m},\: 0\leq m &lt;1" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%28i%2B1%29%5Em%7D%2C%5C%3A+0%5Cleq+m+%3C1&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(i+1)^m},\: 0\leq m &lt;1" /> αποκλίνει.</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i^{m}))" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cexp%28-%28i%5E%7Bm%7D%29%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i^{m}))" /> για όποιο <img class="latex" style="border:none;vertical-align:middle;height:auto;" title="m&gt;1" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=m%3E1&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="m&gt;1" /> συγκλίνει. Υπόδειξη: Μπορείτε να συσχετίσετε την συμπεριφορά της εν λόγω σειράς με την ανάλογη υπεραρμονική. Μπορείτε για μεγαλύτερη ευκολία να ασχοληθείτε με την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i+1)^{m}))" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cexp%28-%28i%2B1%29%5E%7Bm%7D%29%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i+1)^{m}))" /> ή/και να δείτε την προηγούμενη μόνο για m=2).</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(i)+1}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%28i%29%2B1%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(i)+1}" /> αποκλίνει.</li> <li>Επινοήστε όσο το δυνατόν περισσότερες σειρές και προσπαθήστε να διαπιστώσετε το αν συγκλίνουν χρησιμοποιώντας πλέον αποκλειστικά το κριτήριο. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε και αυτές που αναφέρονται σε παλαιότερες αναρτήσεις.</li> </ol><p> </p>Sat, 19 Dec 2020 15:42:48 +0300Sat, 19 Dec 2020 15:42:48 +0300338https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=336&course=OIK228<p>Εστιάζοντας κυρίως στο ζήτημα της διακρίβωσης του εάν δεδομένη σειρά υπάρχει, ξεκινήσαμε την διατύπωση θεμελιώδους λογισμού σειρών που βασίζεται στον λογισμό που έχουμε αναπτύξει για τα όρια. Έτσι καταρχάς είδαμε ότι όταν η αρχική ακολουθία αποτελείται από ομόσημους όρους τότε και επειδή η ακολουθία μερικών αθροισμάτων αυτής είναι μονότονη, η σχετική σειρά θα υπάρχει ανν η ακολουθία μερικών αθροισμάτων είναι φραγμένη.</p> <p>Το παραπάνω χρησιμοποιήθηκε προκειμένου να δείξουμε ότι η υπεραρμονική σειρά υπάρχει. Στα πλαίσια αυτού του παραδείγματος,είδαμε ότι είναι δυνατόν η φραγή της σχετικής Α.Μ.Α. να προκύπτει μέσω της επιλογής κατάλληλης βοηθητικής πραγματικής ακολουθίας η οποία δεν είναι γενικά προφανής. Κατανοήσαμε έτσι την ανάγκη ύπαρξης "υπολογιστικά απλού" τρόπου διαπίστωσης της σύγκλισης σε κάποιες τουλάχιστον περιπτώσεις.</p> <p>Εξετάσαμε στοιχεία του λογισμού σειρών που άπτονται άλγεβρας συγκλινουσών σειρών, σχετίσαμε το ζήτημα της σύγκλισης σειράς με την σύγκλισης της σειράς που προκύπτει αν από την αρχική εξαιρέσουμε πεπερασμένο πλήθος των αρχικών της όρων, ενώ αφήσαμε για αργότερα το χρήσιμο ζήτημα του πως μπορούμε να μετασχηματίζουμε δείκτες άθροισης σε σειρές χρησιμοποιώντας γνησίως αύξοντες μετασχηματισμούς.</p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limser.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>, <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Series2.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/hyperharmonic.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Τους πίνακες των από απόσταση διαλέξεων μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%A3%CF%85%CE%BD%CE%AD%CF%87%CE%B5%CE%B9%CE%B1%20%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%CF%82%2013-%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%2014-%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%2015.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p> </p> <h3>Περαιτέρω Ασκήσεις</h3> <ol><li>Αν  <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} \alpha^{i},\: \sum_{i=0}^{\infty}\beta^{i}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Calpha%5E%7Bi%7D%2C%5C%3A+%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cbeta%5E%7Bi%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} \alpha^{i},\: \sum_{i=0}^{\infty}\beta^{i}" /> υπάρχουσες γεωμετρικές σειρές τότε με τι ισούται η <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} (\alpha^{i}-\beta^{i})" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%28%5Calpha%5E%7Bi%7D-%5Cbeta%5E%7Bi%7D%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} (\alpha^{i}-\beta^{i})" /> και γιατί;</li> <li>Ισχύει ότι <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}b_{i}=\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}\sum_{i=0}^{\infty}b_{i}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Da_%7Bi%7Db_%7Bi%7D%3D%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Da_%7Bi%7D%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Db_%7Bi%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}b_{i}=\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}\sum_{i=0}^{\infty}b_{i}" />; Υπάρχει περίπτωση να μην υπάρχει κάποια από τις δύο σειρές στην δεξιά πλευρά και να υπάρχει η σειρά στην αριστερή πλευρά της εν λόγω ισότητας;</li> <li>Να δείξετε ότι <img class="latex" title="\lim_{k\rightarrow\infty}\sum_{i=k}^{\infty}x_{i}=0" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Clim_%7Bk%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Csum_%7Bi%3Dk%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dx_%7Bi%7D%3D0&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\lim_{k\rightarrow\infty}\sum_{i=k}^{\infty}x_{i}=0" /> όταν η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}x_{i}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dx_%7Bi%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}x_{i}" /> υπάρχει.</li> </ol>Sat, 12 Dec 2020 18:52:22 +0300Sat, 12 Dec 2020 18:52:22 +0300336https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=335&course=OIK228<p>Ξεκινώντας την ενασχόληση μας με τις <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Series_(mathematics)#Convergent_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">πραγματικές σειρές</a>, και προσπαθώντας να εννοιολογήσουμε το απειροπληθές άθροισμα είδαμε ότι γενικά αυτό είναι αδύνατο μέσω της άλγεβρας. Ξεκινήσαμε την εννοιολόγηση ορίζοντας την έννοια της ακολουθίας μερικών αθροισμάτων δεδομένης πραγματικής ακολουθίας που περικλείει του συντελεστές του αθροίσματος. Αυτή μπορεί να θεωρηθεί ως διαδικασία "ολοκλήρωσης ", ενώ η ζητούμενη έννοια της σειράς ως προς την ακολουθία των συντελεστών είναι το όριο αυτής όταν αυτό υπάρχει. Εξετάσαμε παραδείγματα μεταξύ των οποίων αυτά της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">γεωμετρικής</a>, της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)" target="_blank" rel="noreferrer noopener">αρμονικής</a>, της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)#Alternating_harmonic_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εναλλάσουσας αρμονικής</a> και της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)#p-series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">υπεραρμονικής</a> ακολουθίας μερικών αθροισμάτων (και συνακόλουθα σειρών όπου αυτές υπάρχουν). Παρατηρήσαμε ότι με την εξαίρεση παραδειγμάτων όπως αυτό της γεωμετρικής σειράς, όπου ήταν "εύκολο" να βρεθεί και να ελεγχθεί ως προς την σύγκλιση γενικός τύπος για την μερική άθροιση, και κάπως δυσκολότερα αυτό της αρμονικής σειράς, όπου βρήκαμε μέσω ολοκλήρωσης μη φραγμένη ακολουθία που φράσσει "από κάτω" την ακολουθία μερικών αθροισμάτων δείχνοντας τελικά ότι η αρμονική σειρά δεν υπάρχει, γενικά τα ζητήματα i) της ύπαρξης δεδομένης σειράς και ii) της εύρεσης του με τι ισούται όταν υπάρχει, εμφανίζουν δυσκολίες στην γενική τους επίλυση ανάλογες με αυτές των διαδικασιών ολοκλήρωσης.</p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limser.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Τους πίνακες των από απόστασης διαλέξεων μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%2012-13.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%A3%CF%85%CE%BD%CE%AD%CF%87%CE%B5%CE%B9%CE%B1%20%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%CF%82%2013.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <h3>Ασκήσεις</h3> <ol><li>Να οριστεί αυστηρά η αντίστροφη της διαδικασίας μερικής άθροισης.</li> <li>Έστω ακολουθία με αυστηρά θετικούς όρους. Δείξτε ότι η ακολουθία μερικών αθροισμάτων αυτής είναι γνησίως αύξουσα. Το αντίστροφο ισχύει;</li> <li>Χρησιμοποιώντας την γεωμετρική σειρά, και χωρίς να ασχοληθείτε με το αν μπορείτε να την «παραγωγίσετε» ως προς <img class="latex" title="a" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=a&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="a" /> προσπαθήστε να βρείτε την <img class="latex" title="\sum_{i=1}^{\infty}i a^{i}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7Di+a%5E%7Bi%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=1}^{\infty}i a^{i}" /> όταν <img class="latex" title="|a|&lt;1,\: a\neq 0" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%7Ca%7C%3C1%2C%5C%3A+a%5Cneq+0&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="|a|&lt;1,\: a\neq 0" />.</li> <li>Αν  <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} \alpha^{i},\: \sum_{i=0}^{\infty}\beta^{i}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Calpha%5E%7Bi%7D%2C%5C%3A+%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cbeta%5E%7Bi%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} \alpha^{i},\: \sum_{i=0}^{\infty}\beta^{i}" /> υπάρχουσες γεωμετρικές σειρές τότε με τι ισούται η <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} (\alpha^{i}-\beta^{i})" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%28%5Calpha%5E%7Bi%7D-%5Cbeta%5E%7Bi%7D%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} (\alpha^{i}-\beta^{i})" /> και γιατί;</li> <li>Να δείξετε ότι κάθε άθροισμα πεπερασμένου πλήθους όρων είναι δυνατόν να γραφεί ως κάταλληλη σειρά.</li> </ol>Sat, 05 Dec 2020 23:53:39 +0300Sat, 05 Dec 2020 23:53:39 +0300335https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=334&course=OIK228<p>Είδαμε πως εφαρμόζεται ο αναλυτικός ορισμός του ορίου σε παραδείγματα και αντιπαραδείγματα και προχωρήσαμε μέσω της χρήσης του στην διακρίβωση της σχέσης της σύγκλισης με τις αλγεβρικές πράξεις που έχουμε μελετήσει για πραγματικές ακολουθίες. Παρατηρώντας ότι η χρήση μέρους του λογισμού έχει να κάνει με την διευκόλυνση της εξακρίβωσης του ζητήματος σύγκλισης (και ενδεχομένως της συνακόλουθης εύρεσης του ορίου) για ακολουθίες που απατελούν κατάλληλους μετασχηματισμούς ακολουθιών των οποίων η ασυμπτωτική συμπεριφορά είναι γνωστή, αναφερθήκαμε καταλήγωντας στον μετασχηματισμό ακολουθιών μέσω σύνθεσης με κατάλληλες συναρτήσεις, και συνακόλουθα στην <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Continuous_mapping_theorem">αρχή της μεταφοράς</a>. Χρησιμοποιήσαμε πολλές από τις έννοιες που έχουμε μέχρι τώρα εξάγει στην μελέτη της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς χρήσιμων στα παρακάτω παραδειγμάτων που σχετίζονται με την γεωμετρική σειρά.</p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limser.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Τους πίνακες των από απόσταση διαλέξεων μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%A3%CF%84%CE%BF%CE%B9%CF%87%CE%B5%CE%AF%CE%B1%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%2010-11.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <h3>Ασκήσεις</h3> <ol><li>Δείξτε το Λήμμα (Μοναδικότητα) αποκλειστικά μέσω του αναλυτικού ορισμού.</li> <li>Δείξτε ότι συγκλίνουσα ακολουθία με κάτω φράγμα το 1 δεν μπορεί να έχει όριο μικρότερο του 1.</li> <li>Δείξτε ότι συγκλίνουσα ακολουθία με άνω φράγμα το 1 δεν μπορεί να έχει όριο μεγαλύτερο του 1.</li> <li>Δείξτε ότι το όριο συγκλίνουσας ακολουθίας δεν μπορεί να είναι μικρότερο από το inf και μεγαλύτερο από το sup αυτής.</li> <li>Να δείξετε μόνο μέσω του αναλυτικού ορισμού ότι η <img class="latex" title="(\exp(\frac{1}{n+1}))" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%28%5Cexp%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%2B1%7D%29%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="(\exp(\frac{1}{n+1}))" /> συγκλίνει στο 1.</li> <li>Να δείξετε μόνο μέσω του αναλυτικού ορισμού ότι η <img class="latex" title="(\exp(\frac{1}{n+1}))" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%28%5Cexp%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%2B1%7D%29%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="(\exp(\frac{1}{n+1}))" /> δεν συγκλίνει σε όποιον πραγματικό διάφορο του 1.</li> <li>Να δείξετε ότι το γινόμενο φραγμένης με συγκλίνουσα στο μηδέν ακολουθία είναι ακολουθία που επίσης συγκλίνει στο μηδέν. Θα ήταν δυνατόν να συμβαίνει κάτι τέτοιο ακόμη και αν η πρώτη δεν ήταν φραγμένη αλλά αποκλίνουσα;</li> </ol>Mon, 30 Nov 2020 00:58:03 +0300Mon, 30 Nov 2020 00:58:03 +0300334https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=333&course=OIK228<p>Χρησιμοποιώντας τον γεωμετρικό ορισμό του ορίου, εξετάσαμε περαιτέρω παραδείγματα, και εξάγαμε μιας σειρά από αποτελέσματα που συγκροτούν ένα μικρό μέρος του (ατελούς) λογισμού που χρησιμεύει στην διακρίβωση του αν μια ακολουθία είναι συγκλίνουσα, ή/και όταν είναι, στην εύρεση του ορίου αυτής. Έπι παραδείγματι, μέσω της χρήσης του γεωμετρικού ορισμού είδαμε ότι το όριο όταν υπάρχει είναι μοναδικό, ότι αν μια ακολουθία είναι συγκλίνουσα είναι και φραγμένη οπότε ισοδύναμα αν μια ακολουθία είναι μη φραγμένη τότε αναγκαστικά είναι αποκλίνουσα, ή ότι όταν μια συγκλίνουσα ακολουθία έχει μη αρνητικούς όρους,τότε το όριο της δεν μπορείνα είναι αρνητικό, ή ότι το ζήτημα της σύγκλισης της ακολουθίας δεν επηρεάζεται καθόλου από την συμπεριφορά όποιου πεπερασμένου μέρους της ακολουθίας.</p> <p>Παρατηρήσαμε ότι η διατύπωση στοιχείων αυτού του λογισμού θα είναι πιο ευχερής μεταγράφοντας τον αρχικό γεωμετρικό ορισμό του ορίου σε ισοδύναμο αναλυτικό ορισμό, χρησιμοποιώντας τους <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Universal_quantification" target="_blank" rel="noreferrer noopener">ποσοδείκτες</a> ("υπάρχει" και "για κάθε" ) και ανισότητες. Τον διατυπώσαμε και θα εξηγήσουμε στις επόμενες διαλέξεις.</p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω και ασκήσεις μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limits.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limser.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Τους πίνακες των από απόσταση διαλέξεων μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%A3%CF%84%CE%BF%CE%B9%CF%87%CE%B5%CE%AF%CE%B1%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%207-8_b.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> (σελ. 5-9 για την δ.7) και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%209.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις:</strong></p> <ol><li>Να δειχθεί ότι αν μια ακολουθία είναι φθίνουσα και φραγμένη, τότε σε κάθε ανοικτό διάστημα με κέντρο το infimum της θα περιέχει σχεδόν όλη την ακολουθία, με το πλήθος των όρων που βρίσκονται εκτός αυτού να μπορεί να εξαρτάται από το διάστημα. Θα άλλαζε το συμπέρασμα αν χρησιμοποιούσαμε τα κλειστά αντι των ανοικτών διαστήματα;</li> <li>Χρησιμοποιώντας τον γεωμετρικό ορισμό του ορίου να δειχθεί ότι κάθε <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Subsequence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">υπακολουθία</a> συγκλίνουσας ακολουθίας συγκλίνει επίσης στο ίδιο όριο.</li> <li>Έστω συγκλίνουσα ακολουθία όπου κάθε όρος της οποίας είναι μεγαλύτερος ή ίσος του πραγματικού αριθμού C. Να δειχθεί ότι το όριο είναι επίσης μεγαλύτερο ή ίσο του C.</li> <li>Έστω συγκλίνουσα ακολουθία όπου κάθε όρος της οποίας είναι μικρότερος ή ίσος του πραγματικού αριθμού C. Να δειχθεί ότι το όριο είναι επίσης μικρότερο ή ίσο του C.</li> <li>'Εστω ακολουθία για την οποία οι απόλυτες τιμές σχεδόν όλων των όρων είναι μεγαλύτερες ή ίσες των απολύτων τιμών των αντίστοιχων όρων ακολουθίας που δεν είναι φραγμένη. Να δειχθεί ότι η αρχική ακολουθία είναι αποκλίνουσα.</li> <li>Εξάγετε τις αποδείξεις όλων των αποτελεσμάτων αντικαθιστώντας στον ορισμό του ορίου τα ανοικτά με κλειστά διαστήματα. </li> </ol>Sat, 21 Nov 2020 23:17:28 +0300Sat, 21 Nov 2020 23:17:28 +0300333https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=332&course=OIK228<p>Ασχοληθήκαμε με την έννοια της μονότονης ακολουθίας. Έτσι, και χρησιμοποιώντας τον ορισμό της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Monotonic_function" target="_blank" rel="noreferrer noopener">μονότονης πραγματικής συνάρτησης</a>, διερευνήσαμε ζητήματα μονοτονίας για τις πραγματικές ακολουθίες. Δείξαμε επίσης ότι η μονοτονία προκύπτει ισοδύναμα από την σύγκριση μεταξύ των όρων σε κάθε ζεύγος διαδοχικών όρων της ακολουθίας. Παρατηρήσαμε ότι οι (γνησίως) αύξουσες ακολουθίες είναι αναγκαστικά φραγμένες από κάτω, ενώ δυικά οι (γνησίως) φθίνουσες ακολουθίες είναι αναγκαστικά φραγμένες από πάνω. Παρόλα αυτά υπάρχουν μονότονες ακολουθίες που δεν είναι φραγμένες ακριβώς επειδή τους λείπει η ύπαρξη του έτερου φράγματος, ενώ υπάρχουν και ακολουθίες που δεν είναι ούτε μονότονες ούτε και φραγμένες.</p> <p>Όταν όμως μια ακολουθία συνδυάζει και τις δύο ανωτέρω ιδιότητες τότε διαθέτει ένα ενδιαφέρον <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Monotone_convergence_theorem" target="_blank" rel="noreferrer noopener">χαρακτηριστικό</a> το οποίο θα μας βοηθήσει στην νοηματοδότηση του ορίου. Ξεκινήσαμε να το αναπτύσσουμε χρησιμοποιώντας το γενικό παράδειγμα φραγμένης και αύξουσας ακολουθίας όπου και είδαμε ότι θα εμφανίζει μορφή "ασυμπτωτικής συγκέντρωσης" "γύρω από" το sypremum της. Δυικά ισχύει  "ασυμπτωτικής συγκέντρωσης" όποιας φραγμένης και φθίνουσας ακολουθίας "γύρω από" το infimum της.</p> <p>Τα παραπάνω μας οδήγησε στην ακριβή (καταρχάς γεωμετρική) διατύπωση της έννοιας του ορίου πραγματικής ακολουθίας. Μέσω αυτής διαπιστώσαμε ότι υπάρχουν τόσο συγκλίνουσες (π.χ. οι φραγμένες και μονότονες) όσο και αποκλίνουσες ακολουθίες (π.χ. εναλλάσουσες).</p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω όπως και κάποιες ασκήσεις μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq3.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limits.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Τους πίνακες των από απόσταση διαλέξεων μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%A3%CF%84%CE%BF%CE%B9%CF%87%CE%B5%CE%AF%CE%B1%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%205-6-7.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> (σελ. 7-15 για την δ.6 και 16-19 για την δ.7) και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%A3%CF%84%CE%BF%CE%B9%CF%87%CE%B5%CE%AF%CE%B1%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%207-8.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> (σελ. 1-4).</p> <p> </p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις:</strong></p> <ol><li>Να δειχθεί ότι για κάθε μονότοτονη ακολουθία, κάθε υπακολουθία αυτής έχει την ίδια ή ισχυρότερη μονοτονία.</li> <li>Nα δειχθεί ότι αν οι <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28x_%7Bn%7D%29%2C%5C%3A%28y_%7Bn%7D%29" alt="gif.latex?%28x_%7Bn%7D%29%2C%5C%3A%28y_%7Bn%7D%29" /> είναι αύξουσες, τότε και η <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cmax%28x_%7Bn%7D%2Cy_%7Bn%7D%29%20%5Cright%20%29" alt="gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cmax%28x_%7Bn%7D%2Cy_%7Bn%7D%29%20%5Cright%20%29" /> είναι (ενδεχομένως γνησίως) αύξουσα.</li> <li>Να δειχθεί ότι αν μια ακολουθία είναι φθίνουσα και φραγμένη, τότε σε κάθε ανοικτό διάστημα με κέντρο το infimum της θα περιέχει σχεδόν όλη την ακολουθία, με το πλήθος των όρων που βρίσκονται εκτός αυτού να μπορεί να εξαρτάται από το διάστημα. Θα άλλαζε το συμπέρασμα αν χρησιμοποιούσαμε τα κλειστά αντι των ανοικτών διαστήμάτων.</li> <li>Χρησιμοποιώντας τον γεωμετρικό ορισμό του ορίου να δειχθεί ότι κάθε <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Subsequence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">υπακολουθία</a> συγκλίνουσας ακολουθίας συγκλίνει επίσης στο ίδιο όριο.</li> </ol>Sat, 14 Nov 2020 23:08:56 +0300Sat, 14 Nov 2020 23:08:56 +0300332https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=330&course=OIK228<p>Ασχοληθήκαμε περαιτέρω με την έννοια της φραγής. Συνεχίσαμε με την διατύπωση και απόδειξη βοηθητικών αποτελεσμάτων. Το πρώτο αφορά στην διακρίβωση της φραγής μέσω της κατα σημείο σύγκρισης με κατάλληλη βοηθητική ακολουθία. Στο δεύτερο δείξαμε ότι η ιδιότητα της φραγής δεν προσδιορίζεται από κανένα πεπερασμένο υποσύνολο της ακολουθίας αλλά εξαρτάται από την συμπεριφορά του υπόλοιπου απειροπληθούς μέρους της. Αυτό μας επέτρεψε να "γενικεύσουμε" την έννοια στην σχεδόν παντού φραγή με τον προφανή τρόπο και να δείξουμε την ισοδυναμία των δύο εννοιών. Είδαμε μέσω παραδείγματος, ότι αυτό μπορεί να είναι χρήσιμο στην εξαγωγή αποτελεσμάτων που π.χ. αποδίδουν την ιδιότητα της φραγής σε πραγματική ακολουθία μέσω κατάλληλης (σχεδόν παντού) σύγκρισης με φραγμένη ακολουθία, κ.ο.κ.</p> <p>Δείξαμε π.χ. ότι οι αλγεβρικές πράξεις διατηρούν την φραγή (έτσι π.χ. το σύνολο των φραγμένων πραγματικών ακολουθιών είδαμε ότι αποτελεί <a href="/modules/document/file.php/OIK269/LinAlg2.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">διανυσματικό υποχώρο</a> του συνόλου των πραγματικών ακολουθιών ως προς τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτου πολλαπλασιασμού), ενώ το άθροισμα φραγμένης με μη φραγμένη ακολουθία είναι μη φραγμένη ακολουθία.</p> <p>Παρατηρήσαμε ότι η διάταξη με την οποία εμφανίζονται οι όροι μιας πραγματικής ακολουθίας μέσα σε αυτή δεν συμφωνεί αναγκαστικά με την διάταξη τους στην πραγματική ευθεία. Όταν οι δύο αυτές διατάξεις σχετίζονται μονότονα αποκτούμε την έννοια της μονότονης ακολουθίας. Ξεκινήσαμε να την εξετάζουμε χρησιμοποιώντας τον ορισμό της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Monotonic_function" target="_blank" rel="noreferrer noopener">μονότονης πραγματικής συνάρτησης</a>,</p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω όπως και κάποιες ασκήσεις μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq2.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq3.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Τους πίνακες της από απόσταση διάλεξης μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%204-5.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> (σελ. 7-9) και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%205-6.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> (σελ. 1-5).</p> <p> </p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις:</strong></p> <ol><li>Να δειχθεί ότι αν οι <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28x_%7Bn%7D%29%2C%5C%3A%28y_%7Bn%7D%29" alt="gif.latex?%28x_%7Bn%7D%29%2C%5C%3A%28y_%7Bn%7D%29" /> φραγμένες τότε και η <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cmax%28x_%7Bn%7D%2Cy_%7Bn%7D%29%20%5Cright%20%29" alt="gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cmax%28x_%7Bn%7D%2Cy_%7Bn%7D%29%20%5Cright%20%29" /> φραγμένη.</li> <li>Να δειχθεί ότι η ακολουθία <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bn%7Dx%5E%7B2%7Ddx%20%5Cright%20%29" alt="gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bn%7Dx%5E%7B2%7Ddx%20%5Cright%20%29" /> δεν είναι φραγμένη.</li> </ol>Sun, 01 Nov 2020 03:40:24 +0300Sun, 01 Nov 2020 03:40:24 +0300330https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=329&course=OIK228<p><a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%94%CE%B9%CE%BF%CF%81%CE%B8%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/%CE%94%CE%B9%CE%BF%CF%81%CE%B8%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82%201.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">Εδώ</a> μπορείτε να βρείτε σχετικές διορθώσεις.</p>Tue, 27 Oct 2020 14:53:50 +0300Tue, 27 Oct 2020 14:53:50 +0300329https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=328&course=OIK228<p>Χρησιμοποιώντας τον διανυσματικό ορισμό εξετάσαμε την έννοια της ισότητας πραγματικών ακολουθιών η οποία και αποτελεί κατά "φυσικό τρόπο" επέκταση της έννοιας της ισότητας πραγματικών διανυσμάτων. Εξετάσαμε συνοπτικά μια γενίκευση αυτής, η οποία επιτρέπει την συσχέτιση δύο πραγματικών ακολουθιών ως σχεδόν παντού ίσες ακόμη και όταν έχουν διαφορετικές συνιστώσες σε πεπερασμένο πλήθος θέσεων. Γενικεύοντας θεωρήσαμε ότι μια ιδιότητα P θα ικανοποιείται σχεδόν παντού από μια πραγματική ακολουθία αν και μόνο αν όλοι οι όροι αυτής ικανοποιούν την P εκτός από πεπερασμένο πλήθος αυτών.</p> <p>Εξετάσαμε παραδείγματα αλγεβρικών πράξεων μεταξύ ακολουθιών όπως η κατά σημείο πρόσθεση και ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός (ως προς αυτές το σύνολο των πραγματικών ακολουθιών είναι <a href="/modules/document/file.php/OIK269/LinAlg1.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">διανυσματικός χώρος</a>) καθώς και την πράξη του σημειακού πολλαπλασιασμού.</p> <p>Στην συνέχεια και χρησιμοποιώντας τον συναρτησιακό ορισμό ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με αναλυτικές ιδιότητες που μπορεί να έχουν πραγματικές ακολουθίες. Έτσι, διερευνώντας με λεπτομέρεια τον ορισμό του <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Bounded_set" target="_blank" rel="noreferrer noopener">φραγμένου υποσυνόλου των πραγματικών</a>, συνακόλουθα της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Bounded_function" target="_blank" rel="noreferrer noopener">φραγμένης πραγματικής συνάρτησης</a> και παραλλαγών αυτού, καταλήξαμε στο πότε μια πραγματική ακολουθία έχει την ιδιότητα της φραγής, και ασχοληθήκαμε με παραδείγματα και άντι-παραδείγματα. </p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq2.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq3.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Τους πίνακες των διαλέξεων μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%201-%CE%95%CE%BD%CE%B7%CE%BC%CE%AD%CF%81%CF%89%CF%83%CE%B7.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82%204-5.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> (σελ. 1-7).</p> <p> </p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις</strong></p> <p>1. Να δειχθεί ότι αν για τρείς ακολουθίες, η πρώτη είναι σχεδόν παντού ίση με την δεύτερη, και η δεύτερη είναι σχεδόν παντού ίση με την τρίτη, τότε το πλήθος των θέσεων που μπορεί να έχουν διαφορετικούς όρους η πρώτη και η τρίτη είναι μικρότερο ίσο από το άθροισμα του αντίστοιχου πλήθους μεταξύ πρώτης και δεύτερης και αυτού μεταξύ δεύτερης και τρίτης.</p> <p>2. Ως προς την παραπάνω άσκηση, να βρεθούν παραδείγματα όπου το πλήθος των θέσεων που μπορεί να έχουν διαφορετικούς όρους η πρώτη και η τρίτη, α) είναι μηδέν, β) είναι θετικό αλλά αυστηρά μικρότερο του παραπάνω αθροίσματος, γ) είναι θετικό και ίσο με το παραπάνω άθροισμα.</p> <p>3. Να δειχθεί ότι η σχεδόν παντού ισότητα είναι μεταβατική.</p> <p>4. Να βρεθεί παράδειγμα πραγματικής ακολουθίας όπου η ιδιότητα P δεν ισχύει για θετικό αλλά πεπερασμένο πλήθος όρων, όταν α) P="ο πραγματικός x είναι άρτιος φυσικός", β) α) P="ο πραγματικός x είναι άρρητός".</p> <p>5. Για P όπως στην προηγούμενη άσκηση, να βρεθεί παράδειγμα πραγματικής ακολουθίας όπου η ιδιότητα P ισχύει για άπειρο πλήθος όρων, και ταυτόγχρονα δεν ισχύει για άπειρο πλήθος όρων.</p> <p>6. Τι συμπεραίνετε από την χρήση της έννοιας της σχεδόν παντού ισότητας σε n-διάστατα πραγματικά διανύσματα;</p> <p>7. Να βρεθεί πραγματική ακολουθία που είναι φραγμένη από πάνω αλλά όχι από κάτω.</p> <p>8. Να δειχθεί ότι όποια πραγματική ακολουθία έχει όρους που ανήκουν σε σύνολο πεπερασμένου πλήθους είναι φραγμένη.</p> <p>9. Να βρεθεί μη φραγμένη πραγματική ακολουθία η οποία να έχει φραγμένη <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Subsequence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">υπακολουθία</a> (για τον ορισμό δείτε την Άσκηση 1 <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202018-19/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq3.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>).</p> <p><strong>Σημειώση</strong>: Η 5 μας επισημαίνει ότι το να ικανοποιείται κάποια ιδιότητα P σχεδόν παντού από μια πραγματική ακολουθία είναι ισχυρότερο από το να ικανοποιείται "απλώς" από άπειρο πλήθος όρων αυτής.</p>Tue, 27 Oct 2020 14:52:47 +0300Tue, 27 Oct 2020 14:52:47 +0300328https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=327&course=OIK228<p>Η πρώτη διάλεξη είχε καταρχάς τον χαρακτήρα ενημέρωσης για ζητήματα που άπτονται της διεξαγωγής του μαθήματος. Τα παραπάνω εν μέρει περιγράφονται στην σύνοψη του μαθήματος η οποία βρίσκεται <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A3%CF%8D%CE%BD%CE%BF%CF%88%CE%B7%20%CE%9C%CE%B1%CE%B8%CE%AE%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%BF%CF%82/Math_%CE%99%CE%99%CE%99_20_21_syllabus.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Επίσης, έγινε σύντομη περιγραφή και κινητροδότηση βασικών εννοιών που θα παρουσιαστούν κατά την διάρκεια του μαθήματος. Πρόχειρες σημειώσεις για αυτά όπως και ασκήσεις για επανάληψη προγενέστερων εννοιών που είναι δυνατόν να χρειαστούν βρίσκονται <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Motiv1.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>. </p> <p>Τους πίνακες της από απόστασης εν λόγω διάλεξης μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%201-%CE%95%CE%BD%CE%B7%CE%BC%CE%AD%CF%81%CF%89%CF%83%CE%B7.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Στην δεύτερη διάλεξη, και προκειμένου για την κατανόηση της έννοιας του ορίου, ξεκινήσαμε την πραγμάτευση της έννοιας της πραγματικής <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Sequence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">ακολουθίας</a>. Εξετάσαμε δύο ισοδύναμους ορισμούς, ο πρώτος εκ των οποίων είναι βολικός για την πραγμάτευση αλγεβρικών ιδιοτήτων ενώ ο δεύτερος για την πραγμάτευση αναλυτικών ιδιοτήτων και την γενίκευση της έννοιας. Παρουσιάσαμε παραδείγματα πραγματικών ακολουθιών. Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq1.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Τους πίνακες της από απόστασης εν λόγω διάλεξης μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202020-21/%CE%A0%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%BA%CE%B5%CF%82%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BB%CE%AD%CE%BE%CE%B5%CF%89%CE%BD%20%CE%B1%CF%80%CF%8C%20%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7/%CE%94%CE%B9%CE%AC%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B7%202-%CE%9F%CF%81%CE%B9%CF%83%CE%BC%CE%BF%CE%AF.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p> </p>Sun, 18 Oct 2020 15:38:01 +0300Sun, 18 Oct 2020 15:38:01 +0300327https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=281&course=OIK228<ul><li>Στην σελίδα 1 των αναρτημένων σημειώσεων που βρίσκονται <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%A4%CF%81%CE%AD%CF%87%CE%BF%CE%BD%20%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Series2.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> αναφέρεται η πρόταση "επειδη το όριο συγκλίνουσας ακολουθίας μη αρνητικών όρων δεν μπορεί να είναι θετικό" αντί του ορθού (γιατί;) "επειδη το όριο συγκλίνουσας ακολουθίας μη θετικών όρων δεν μπορεί να είναι αυστηρά θετικό".</li> <li>Στην σελίδα 5 των αναρτημένων σημειώσεων που βρίσκονται <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%A4%CF%81%CE%AD%CF%87%CE%BF%CE%BD%20%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limser.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> στην περίπτωση 3, αναφέρεται η ισοδυναμία <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%7C%20a%20%5Cright%20%7C%5E%7Bn%7D%3C%5Cvarepsilon%5CLeftrightarrow%20n%5Cln%28%5Cleft%20%7C%20a%20%5Cright%20%7C%29%3C%20%5Cvarepsilon" alt="gif.latex?%5Cleft%20%7C%20a%20%5Cright%20%7C%5E%7Bn%7D%3C%5Cvarepsilon%5CLeftrightarrow%20n%5Cln%28%5Cleft%20%7C%20a%20%5Cright%20%7C%29%3C%20%5Cvarepsilon" /> αντί της ορθής <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%7C%20a%20%5Cright%20%7C%5E%7Bn%7D%3C%5Cvarepsilon%5CLeftrightarrow%20n%5Cln%28%5Cleft%20%7C%20a%20%5Cright%20%7C%29%3C%20%5Cln%5Cleft%20%28%5Cvarepsilon%20%5Cright%20%29" alt="gif.latex?%5Cleft%20%7C%20a%20%5Cright%20%7C%5E%7Bn%7D%3C%5Cvarepsilon%5CLeftrightarrow%20n%5Cln%28%5Cleft%20%7C%20a%20%5Cright%20%7C%29%3C%20%5Cln%5Cleft%20%28%5Cvarepsilon%20%5Cright%20%29" /> οπότε και θα πρέπει να καταλήξουμε στο <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?n%5E%7B%5Cstar%7D%28%5Cvarepsilon%29" alt="gif.latex?n%5E%7B%5Cstar%7D%28%5Cvarepsilon%29" /> να είναι ο μικρότερος φυσικός που είναι μεγαλύτερος ίσος του <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cln%28%5Cvarepsilon%29%7D%7B%5Cln%28%5Cleft%20%7C%20a%20%5Cright%20%7C%29%7D" alt="gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cln%28%5Cvarepsilon%29%7D%7B%5Cln%28%5Cleft%20%7C%20a%20%5Cright%20%7C%29%7D" /> που θα ισούται με το μηδέν όταν το ε είναι μεγαλύτερο ίσο του μηδενός. Σημειώστε ότι επειδή <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?x%3E%5Cln%28x%29%2C%5C%3A%5Cforall%20x%5Cgeq%200" alt="gif.latex?x%3E%5Cln%28x%29%2C%5C%3A%5Cforall%20x%5Cgeq%200" /> (γιατί;) θα ίσχυε το <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%7C%20a%20%5Cright%20%7C%5E%7Bn%7D%3C%5Cvarepsilon%20%5CRightarrow%20n%5Cln%28%5Cleft%20%7C%20a%20%5Cright%20%7C%29%3C%5Cvarepsilon" alt="gif.latex?%5Cleft%20%7C%20a%20%5Cright%20%7C%5E%7Bn%7D%3C%5Cvarepsilon%20%5CRightarrow%20n%5Cln%28%5Cleft%20%7C%20a%20%5Cright%20%7C%29%3C%5Cvarepsilon" />. Είναι όμως αυτό βολικό για την εξαγωγή του ζητούμενου;</li> <li> Στην σελίδα 5 των αναρτημένων σημειώσεων που βρίσκονται <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%A4%CF%81%CE%AD%CF%87%CE%BF%CE%BD%20%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limser.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> στην περίπτωση 4, αναφέρεται η ισοδυναμία <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%7C%20a%20%5Cright%20%7C%5E%7Bn%7D%5Cleq%20M%2C%5C%3A%5Cforall%20n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%20%5CLeftrightarrow%20n%5Cln%28%5Cleft%20%7C%20a%20%5Cright%20%7C%29%5Cleq%20M%2C%20%5C%3A%5Cforall%20n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D" alt="gif.latex?%5Cleft%20%7C%20a%20%5Cright%20%7C%5E%7Bn%7D%5Cleq%20M%2C%5C%3A%5Cforall%20n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%20%5CLeftrightarrow%20n%5Cln%28%5Cleft%20%7C%20a%20%5Cright%20%7C%29%5Cleq%20M%2C%20%5C%3A%5Cforall%20n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D" />  αντί της ορθής <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%7C%20a%20%5Cright%20%7C%5E%7Bn%7D%5Cleq%20M%2C%5C%3A%5Cforall%20n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%20%5CLeftrightarrow%20n%5Cln%28%5Cleft%20%7C%20a%20%5Cright%20%7C%29%5Cleq%20%5Cln%28M%29%2C%20%5C%3A%5Cforall%20n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D" alt="gif.latex?%5Cleft%20%7C%20a%20%5Cright%20%7C%5E%7Bn%7D%5Cleq%20M%2C%5C%3A%5Cforall%20n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%20%5CLeftrightarrow%20n%5Cln%28%5Cleft%20%7C%20a%20%5Cright%20%7C%29%5Cleq%20%5Cln%28M%29%2C%20%5C%3A%5Cforall%20n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D" /> οπότε και θα πρέπει να καταλήξουμε στο <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?n%20%5Cleq%20%5Cfrac%7B%5Cln%28M%29%7D%7B%5Cln%28%5Cleft%20%7C%20a%20%5Cright%20%7C%29%7D%2C%20%5C%3A%5Cforall%20n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D" alt="gif.latex?n%20%5Cleq%20%5Cfrac%7B%5Cln%28M%29%7D%7B%5Cln%28%5Cleft%20%7C%20a%20%5Cright%20%7C%29%7D%2C%20%5C%3A%5Cforall%20n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D" /> το οποίο είναι προφανώς άτοπο (γιατί;).</li> <li>Στην σελίδα 11 των αναρτημένων σημειώσεων που βρίσκονται <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%A4%CF%81%CE%AD%CF%87%CE%BF%CE%BD%20%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limser.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>, αναφέρεται η ισοδυναμία <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%7C%20a%20%5Cright%20%7C%5E%7Bn&amp;plus;1%7D%5Cleq%20M%5Cleft%20%7C%201-a%20%5Cright%20%7C&amp;plus;1%2C%5C%3A%5Cforall%20n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%20%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%20%28n&amp;plus;1%20%5Cright%20%29%5Cln%28%5Cleft%20%7C%20a%20%5Cright%20%7C%29%5Cleq%20M%5Cleft%20%7C%201-a%20%5Cright%20%7C&amp;plus;1%2C%20%5C%3A%5Cforall%20n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D" alt="gif.latex?%5Cleft%20%7C%20a%20%5Cright%20%7C%5E%7Bn&amp;plus;1%7D%5Cleq%20M%5Cleft%20%7C%201-a%20%5Cright%20%7C&amp;plus;1%2C%5C%3A%5Cforall%20n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%20%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%20%28n&amp;plus;1%20%5Cright%20%29%5Cln%28%5Cleft%20%7C%20a%20%5Cright%20%7C%29%5Cleq%20M%5Cleft%20%7C%201-a%20%5Cright%20%7C&amp;plus;1%2C%20%5C%3A%5Cforall%20n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D" /> αντί της ορθής <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cleft%20%7C%20a%20%5Cright%20%7C%5E%7Bn&amp;plus;1%7D%5Cleq%20M%5Cleft%20%7C%201-a%20%5Cright%20%7C&amp;plus;1%2C%5C%3A%5Cforall%20n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%20%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%20%28n&amp;plus;1%20%5Cright%20%29%5Cln%28%5Cleft%20%7C%20a%20%5Cright%20%7C%29%5Cleq%20%5Cln%28M%5Cleft%20%7C%201-a%20%5Cright%20%7C&amp;plus;1%29%2C%20%5C%3A%5Cforall%20n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D" alt="gif.latex?%5Csmall%20%5Cleft%20%7C%20a%20%5Cright%20%7C%5E%7Bn&amp;plus;1%7D%5Cleq%20M%5Cleft%20%7C%201-a%20%5Cright%20%7C&amp;plus;1%2C%5C%3A%5Cforall%20n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%20%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%20%28n&amp;plus;1%20%5Cright%20%29%5Cln%28%5Cleft%20%7C%20a%20%5Cright%20%7C%29%5Cleq%20%5Cln%28M%5Cleft%20%7C%201-a%20%5Cright%20%7C&amp;plus;1%29%2C%20%5C%3A%5Cforall%20n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D" /> οπότε και θα πρέπει να καταλήξουμε στο <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20n%20%5Cleq%20%5Cfrac%7B%5Cln%28M%5Cleft%20%7C%201-a%20%5Cright%20%7C&amp;plus;1%29%7D%7B%5Cln%28%5Cleft%20%7C%20a%20%5Cright%20%7C%29%7D-1%2C%20%5C%3A%5Cforall%20n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D" alt="gif.latex?%5Csmall%20n%20%5Cleq%20%5Cfrac%7B%5Cln%28M%5Cleft%20%7C%201-a%20%5Cright%20%7C&amp;plus;1%29%7D%7B%5Cln%28%5Cleft%20%7C%20a%20%5Cright%20%7C%29%7D-1%2C%20%5C%3A%5Cforall%20n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D" /> το οποίο είναι άτοπο (γιατί;).</li> </ul><p> </p>Mon, 27 Jan 2020 15:49:34 +0300Mon, 27 Jan 2020 15:49:34 +0300281https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=280&course=OIK228<p>Χρησιμοποιώντας την παραγωγισιμότητα, εργαστήκαμε με παραδείγματα που προέκυψαν στα πλαίσια της γεωμετρικής σειράς όποτε είδαμε ότι είναι δυνατόν να χρησιμοποιείται η εν λόγω αναλυτική ιδιότητα προκειμένου να βρίσκουμε πραγματικές σειρές.</p> <p>Στην συνέχεια παρατηρήσαμε ότι το θεώρημα της παραγωγισιμότητας συνεπάγεται άμεσα ότι οι δυναμοσειρές με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης είναι <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Smoothness" target="_blank" rel="noreferrer noopener">ομαλές συναρτήσεις</a> στο εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης τους. Εργαστήκαμε για την εξαγωγή της μορφής των παραγώγων αυθαίρετης τάξης βασιζόμενοι και στην μορφή της κ-τάξης παραγώγου πολυωνυμικής συνάρτησης και είδαμε εφαρμογές στα πλαίσια της γεωμετρικής σειράς. Υπολογίζοντας τις παραγώγους στο κέντρο (γιατί είναι δυνατόν αυτό;), αποκτήσαμε αναπαραστάσεις των συντελεστών της δυναμοσειράς ως προς τις τελευταίες, και απαρατηρήσαμε ότι οι δυναμοσειρές ικανοποιούν μια "γενικευμένη εκδοχή του <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor's_theorem#Higher-order_differentiability" target="_blank" rel="noreferrer noopener">θεωρήματος Taylor</a>", ρίχνοντας έτσι μια επιφανειακή ματιά στην <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Analytic_function" target="_blank" rel="noreferrer noopener">θεωρία των αναλυτικών συναρτήσεων</a>. </p> <p>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%A4%CF%81%CE%AD%CF%87%CE%BF%CE%BD%20%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Powser1.pdf">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%A4%CF%81%CE%AD%CF%87%CE%BF%CE%BD%20%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/DifIntPser_cor.pdf">εδώ</a>.</p> <p>Περνώντας σε εφαρμογές δυναμοσειρών είδαμε εν συντομία κάποιες βασικές έννοιες που αφορούν στις <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinary_differential_equation" target="_blank" rel="noreferrer noopener">Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις</a>. Παρατηρήσαμε ότι συνήθως λύσεις αυτών βρίσκονται μέσω περίπλοκων διαδικασιών ολοκλήρωσης (που συνδυάζονται με κατάλληλους μετασχηματισμούς) και ότι εφόσον η ολοκλήρωση είναι γενικά υπολογιστικά πολύπλοκη, προκύπτει εύλογα το ερώτημα αν είναι δυνατόν σε κάποιες περιπτώσεις να αποφευχθεί μέσω διαδικασίών εύρεσης λύσεων ενδεχομένως μικρότερης πολυπλοκότητας. Οδηγηθήκαμε έτσι σε μια εισαγωγή στην Μέθοδο των Δυναμοσειρών για την εύρεση λύσεων.</p> <p>Η μέθοδος ανάγεται στην επίλυση απειροπληθούς συστήματος από αναδρομικές σχέσεις για την εύρεση των άγνωστων συντελεστών της δυναμοσειράς. Αυτό προκύπτει από την μορφή της εξίσωσης, την μορφή που έχουν οι παράγωγοι δυναμοσειράς με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης, και από την έννοια της ισότητας δυναμοσειρών. Είναι δε δυνατόν να είναι ευκολότερα επιλύσιμο από την ολοκλήρωση. Το σύστημα δεν θα εμπεριέχει εξ'ορισμού πληροφορία για κάποιους από τους συντελεστές της εξίσωσης το πλήθος των οποίων θα ταυτίζεται με την τάξη της, και οι οποίοι θα αναπαριστούν τις σχετικές σταθερές ολοκλήρωσης. Ασχοληθήκαμε με την εφαρμογή της μεθόδου στην κατηγορία των γραμμικών εξισώσεων πρώτης τάξης, με σταθερούς συντελεστές και όρο, και χρησιμοποιήσαμε τα ευρήματά μας σε εφαρμογή για την <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Steady_state" target="_blank" rel="noreferrer noopener">ασυμπτωτική ευστάθεια αγοράς</a> με σχετικά απλή δυναμική συμπεριφορά. Ασχοληθήκαμε επίσης, και με παράδειγμα γραμμικής πρώτης τάξης με σταθερούς συντελεστές και γραμμικό όρο όπως και με παράδειγμα ομογενούς γραμμικής δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές.</p> <p>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%A4%CF%81%CE%AD%CF%87%CE%BF%CE%BD%20%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/PSerODE.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>, και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%A4%CF%81%CE%AD%CF%87%CE%BF%CE%BD%20%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/2ndorderex.pdf">εδώ</a>.    </p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις</strong>.</p> <p>Α. Να βρεθούν οι παράγωγοι 2ης και 3ης τάξης για όσες από τις παρακάτω δυναμοσειρές είναι καλώς ορισμένες:</p> <ol><li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Di%21%28x-4%29%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bi&amp;plus;1%7D%28x-2%29%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bi&amp;plus;2%7D%28x-7%29%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bi%5E2%7Dx%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bi%21%7D%7B%5Cexp%28i%29%7Dx%5E%7Bi%7D" alt="" />.</li> </ol><p>Β. Να βρεθούν αν υπάρχουν λύσεις που έχουν την μορφή δυναμοσειρών με κέντρο το μηδέν, με την μέθοδο των δυναμοσειρών για τις παρακάτω:</p> <ol><li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?y%27%3Day&amp;plus;%5Cbeta_%7B0%7D&amp;plus;%5Cbeta_%7B1%7Dx&amp;plus;%5Cbeta_%7B2%7Dx%5E%7B2%7D" alt="gif.latex?y%27%3Day&amp;plus;%5Cbeta_%7B0%7D&amp;plus;%5Cbeta_%7B1%7Dx&amp;plus;%5Cbeta_%7B2%7Dx%5E%7B2%7D" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?y%27%27%3Dy&amp;plus;%5Cbeta" alt="gif.latex?y%27%27%3Dy&amp;plus;%5Cbeta" />.</li> </ol><p> </p>Sun, 19 Jan 2020 03:51:02 +0300Sun, 19 Jan 2020 03:51:02 +0300280https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=279&course=OIK228<p>Δεδομένης της προηγούμενης διερεύνησης μας για το παράδειγμα εφικτού συνόλου, περιγράφοντας σε αδρές γραμμές την σύνδεση μεταξύ σχέσης προτίμησεων επί του εφικτού συνόλου και (όταν υπάρχει) συνάρτησης ωφέλειας που την αναπαριστά, ασχοληθήκαμε με παράδειγμα συνάρτησης ωφέλειας <em>επί του εφικτού συνόλου</em> και με το ζήτημα του αν αυτή (και συνακόλουθα το πρόβλημα της βέλτιστης επιλογής διαχρονικής ροής κατανάλωσης) είναι καλώς ορισμένη. Αυτή είχε την <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Discounted_utility" target="_blank" rel="noreferrer noopener">μορφή σειράς συναρτήσεων</a> και εμφάνιζε τα χαρακτηριστικά της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Discount_function" target="_blank" rel="noreferrer noopener">χρονικής διαχωρισιμότητας</a> (time separability) και της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_discounting" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εκθετικής χρονικής προεξόφλησης</a> (exponential discounting). Το να είναι καλώς ορισμένη ισοδυναμεί με το να συγκλίνει για κάθε εφικτή διαχρονική κατανάλωση. Δεδομένων των τιμών που επιτρέψαμε στον συντελεστή χρονικής προτίμησης, και χρησιμοποιώντας μια σειρά από συλλογισμούς που άπτονται σημαντικού μέρους της μέχρι τώρα μας ύλης, δείξαμε το καλώς ορισμένο.</p> <p>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%A4%CF%81%CE%AD%CF%87%CE%BF%CE%BD%20%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Example.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%A4%CF%81%CE%AD%CF%87%CE%BF%CE%BD%20%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/BoundedFeasSet.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Στην συνέχεια ξεκινήσαμε την εισαγωγή μας στην <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Power_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">θεωρία των δυναμοσειρών</a>. Παρατηρώντας ότι μπορούν τυπικά να ειδωθούν ως κατάλληλα <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Formal_power_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">αλγεβρικά συμπληρώματα</a> των πολυωνύμων εφόσον αγνοήσουμε αναλυτικές ιδιότητες τους (ενώ η αλγεβρική αυτή θέαση είναι προφανώς εκτός του εύρους του μαθήματος), και ότι ως έννοιες της ανάλυσης (που είναι εντός του εύρους του μαθήματος) και εξαιτίας των "καλών ιδιοτήτων τους" έχουν ποικίλες εφαρμογές, ασχοληθήκαμε με τον ορισμό τους, και είδαμε παραδείγματα, αντιπαραδείγματα αλλά και περιπτώσεις που η ταυτοποίηση μιας σειράς συναρτήσεων ως δυναμοσειράς είναι δυνατόν να απαιτεί κάποιον κατάλληλο μετασχηματισμό.</p> <p>Δεδομένων των παραπάνω, ασχοληθήκαμε καταρχάς με το ζήτημα της συγκλισής τους, οπότε και διατυπώσαμε το <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2%80%93Hadamard_theorem" target="_blank" rel="noreferrer noopener">θεώρημα Cauchy-Hadamard</a> που μας πληροφορεί ότι το σύνολο σύγκλισης έχει πάντοτε την μορφή διαστήματος (έστω εκφυλισμένου, ή γενικευμένου), με κατάλληλο κέντρο και ακτίνα, μια πρώτη ένδειξη της καλής συμπεριφοράς αυτών. Σκιαγραφήσαμε (και) μέσω του κριτηρίου του πηλίκου την απόδειξη του θεωρήματος, ενώ είδαμε ότι στο εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης η σύγκλιση της δυναμοσειράς είναι απόλυτη, το διάστημα σύγκλισης είναι δυνατόν να περιέχει κάποιο ή και τα δύο άκρα του (εφόσον υπάρχουν), αυτό είναι αδύνατο να διερευνηθεί μέσω του κριτηρίου του πηλίκου, ενώ η σύγκλιση σε κάποιο από αυτά ή και στα δύο (εφόσον ισχύει) μπορεί να είναι κατά συνθήκη.</p> <p>Στην συνέχεια διερευνήσαμε παραδείγματα ως προς το θεώρημα Cauchy-Hadamard, και συνεχίσαμε με στοιχεία της άλγεβρας μεταξύ δυναμοσειρών με κοινό κέντρο, με αναφορά στα διαστήματα σύγκλισής τους. Παρατηρήσαμε π.χ. ότι δύο δυναμοσειρές με το ίδιο κέντρο είναι ίσες ανν οι συντελεστές τους είναι κατά σημείο ίσοι, ενώ περισσότερο περίπλοκες σχέσεις μεταξύ των συντελεστών είναι δυνατόν να χρειάζονται για την διατύπωση ισότητας μεταξύ δυναμοσειρών με διαφορετικά κέντρα. Αναλόγως το άθροισμα δυναμοσειρών με κοινό κέντρο είναι δυναμοσειρά με το ίδιο κέντρο και διάστημα σύγκλισης υπερσύνολο της τομής των διαστημάτων σύγκλισης των δύο δυναμοσειρών, κ.ο.κ.  </p> <p>Ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με αναλυτικές ιδιότητες των δυναμοσειρών. Καταρχάς διατυπώσαμε το θεώρημα συνέχειας που μας πληροφορεί ότι οι δυναμοσειρές είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα συγκλισής τους. Η απόδειξη αυτού είναι δυνατόν να προκύπτει από έννοιες εκτός του εύρους του μαθήματος (δείτε π.χ. <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Compact_convergence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Abel%27s_theorem" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>), αλλά επί της ουσίας μας πληροφορεί ότι για της δυναμοσειρές επιτρέπεται κάποιου είδους <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Interchange_of_limiting_operations" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εναλλαγή ορίων</a>.</p> <p>Εντυπωσιακότερο είναι το θεώρημα παραγωγισιμότητας δυναμοσειράς με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης, στο εσωτερικό αυτού, που επιτρέπει επίσης κάποιου εναλλαγή ορίου, και συνεπάγεται ότι η παράγωγος είναι επίσης δυναμοσειρά με το ίδιο κέντρο και εσωτερικό διαστήματος σύγκλισης που ταυτίζεται με το εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης της αρχικής, ενώ υπολογίζεται πολύ εύκολα από την αρχική δυναμοσειρά. Ξεκινήσαμε να ασχολούμαστε με διάφορες εφαρμογές του. Έτσι, παραγωγίζοντας κατάλληλη δυναμοσειρά και βρίσκοντας την μοναδική λύση <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Initial_value_problem" target="_blank" rel="noreferrer noopener">προβλήματος αρχικών τιμών</a> δείξαμε το πως αναπαρίσταται από δυναμοσειρά η εκθετική συνάρτηση, ενώ είδαμε ότι η αναπαράσταση αυτή δεν είναι μοναδική όπως και άλλα συναφή ζητήματα. Οι λόγοι που ισχύουν αυτές οι αναπαραστάσεις αφορούν στην θεωρία των <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Analytic_function" target="_blank" rel="noreferrer noopener">αναλυτικών συναρτήσεων</a>.</p> <p>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%A4%CF%81%CE%AD%CF%87%CE%BF%CE%BD%20%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Powser1.pdf">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%A4%CF%81%CE%AD%CF%87%CE%BF%CE%BD%20%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/DifIntPser_cor.pdf">εδώ</a>.</p> <p> </p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις</strong></p> <ol style="list-style-type:lower-alpha;"><li>Ερμηνεύστε οικονομικά τον μετασχηματισμό <img class="latex" title="k\rightarrow k^{a}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=k%5Crightarrow+k%5E%7Ba%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="k\rightarrow k^{a}" />.</li> <li>Προσπαθήστε να δείξετε αν το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διερευνήθηκε παραπάνω είναι καλώς ορισμένο όταν η συνάρτηση ωφέλειας είναι η <img class="latex" title="\sum_{t=0}^{\infty}\beta^{t}\ln (c_{t}+1)" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bt%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cbeta%5E%7Bt%7D%5Cln+%28c_%7Bt%7D%2B1%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{t=0}^{\infty}\beta^{t}\ln (c_{t}+1)" />.</li> <li>Για το προηγούμενο να βρεθούν αν υπάρχουν εφικτές διαχρονικές καταναλώσεις με σχεδόν όλους τους όρους θετικούς για τις οποίες η συνάρτηση ωφέλειας συγκλίνει όταν <img class="latex" title="\beta=1" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cbeta%3D1&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\beta=1" />.</li> <li>Εξηγήστε το γιατί η συνάρτηση ωφέλειας είναι σειρά πραγματικών συναρτήσεων η κάθε μία εκ των οποίων ορίζεται επί του εφικτού συνόλου.</li> <li>Προσπαθείστε να διερευνήσετε ότι έχει γίνει και ότι έχει ζητηθεί στην εφαρμογή μας όταν αντί του μετασχηματισμού <img class="latex" title="k\rightarrow k^{a}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=k%5Crightarrow+k%5E%7Ba%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="k\rightarrow k^{a}" /> ισχύει ο μετασχηματισμός (δηλ. ο στιγμιαίος ανατοκισμός του διαθέσιμου πόρου με στιγμιαίο σταθερό στον χρόνο επιτόκιο r)<img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ckappa_%7Bt%7D%5Crightarrow%20%281&amp;plus;r%29k_%7Bt%7D%2C%5C%3At%5Cin%5Cmathbb%20N%2C%5C%3A%20r%3E0." alt="" /></li> <li>Να δειχθεί ότι οι παρακάτω είναι δυναμοσειρές και να βρεθεί το εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης αυτών:</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Di%28x-5%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="72" height="38" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bi%21%7D%7Bi%5E%7Bi%7D%7D%20%28x-2%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="66" height="32" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B2%7D%7B%28i&amp;plus;1%29%5E%7B2%7D%7D%20%28x-1%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="93" height="31" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D2%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%28i%29%7D%20%28x-1%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="89" height="35" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D2000%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cexp%28i%29%7D%20%28x-100%21%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="110" height="31" /></li> <li> Να βρεθούν οι παράγωγοι πρώτης τάξης για τις παρακάτω δυναμοσειρές (αγνοήστε το ζήτημα του αν αυτές έχουν ή όχι εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης-γιατί είναι δυνατόν να το κάνετε;):</li> </ol><ul style="list-style-type:circle;"><li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Di%21%28x-4%29%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bi&amp;plus;1%7D%28x-2%29%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bi&amp;plus;2%7D%28x-7%29%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bi%5E2%7Dx%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bi%21%7D%7B%5Cexp%28i%29%7Dx%5E%7Bi%7D" alt="" />.</li> </ul><p> </p>Sun, 12 Jan 2020 18:11:10 +0300Sun, 12 Jan 2020 18:11:10 +0300279https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=278&course=OIK228<p>Προχωρήσαμε με το παράδειγμα <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Valuation_(finance)">τιμολόγησης χρηματοοικονομικού τίτλου</a> εκφράζοντας υπό προϋποθέσεις την τιμή ως σειρά των κατάλληλα προεξοφλημένων αποδόσεων. Θεωρήσαμε υποπαράδειγμα της προσέγγισής μας που αφορούσε στην μη σύγκλιση κατάλληλης σειράς, ως σχετικό με την έννοια της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Economic_bubble" target="_blank" rel="noreferrer noopener">χρηματοοικονομικής φούσκας</a>.</p> <p>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%A4%CF%81%CE%AD%CF%87%CE%BF%CE%BD%20%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/FinancialSeqSer.pdf">εδώ</a>. Ένα γενικότερο υπόδειγμα αποτίμησης σε υπόβαθρο αβεβαιότητας (το οποίο προφανώς είναι εκτός της ύλης του μαθήματος) μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%A4%CF%81%CE%AD%CF%87%CE%BF%CE%BD%20%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82/%CE%93%CE%B5%CE%BD%CE%B9%CE%BA%CF%8C%20%CE%A5%CF%80%CF%8C%CE%B4%CE%B5%CE%B9%CE%B3%CE%BC%CE%B1%20%CE%91%CF%80%CE%BF%CF%84%CE%AF%CE%BC%CE%B7%CF%83%CE%B7%CF%82%20%CE%A7%CF%81%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%BF%CE%BF%CE%B9%CE%BA%CE%BF%CE%BD%CE%BF%CE%BC%CE%B9%CE%BA%CE%BF%CF%8D%20%CE%A4%CE%AF%CF%84%CE%BB%CE%BF%CF%85/cap_notes_2_0809.pdf">εδώ</a>.</p> <p>Συνεχίσαμε με δεύτερο παράδειγμα στα πλαίσια της νομισματικής θεωρίας όπου συναντάμε τις έννοιες της πραγματικής ακολουθίας και της πραγματικής σειράς. Αυτό αφορά στην δημιουργία χρήματος από τις θεμελιώδεις λειτουργίες του τραπεζικού συστήματος, το οποίο αποτελείται από την κεντρική και τις εμπορικές τράπεζες και στο οποίο υπάρχει η <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Fractional-reserve_banking" target="_blank" rel="noreferrer noopener">τεχνολογία των κλασματικών διαθεσίμων</a>.</p> <p>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%A4%CF%81%CE%AD%CF%87%CE%BF%CE%BD%20%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/FinancialSeqSer.pdf">εδώ</a>.</p> <p>Στην συνέχεια, και προκειμένου να μπορούμε να ασχοληθούμε με πολυπλοκότερα παραδείγματα αλλά και με την έννοια της δυναμοσειράς και τις συνακόλουθες εφαρμογές, ξεκινήσαμε την γενίκευση των έννοιών που έχουμε δει μέχρι τώρα εισάγωντας και την έννοια της ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού. Παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν να αντιληφθούμε μια ακολουθία πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού με τρεις ισοδύναμους τρόπους. Ο τρίτος την αναπαριστά ως "λίστα" πραγματικών ακολουθιών, μία για καθε σημείο του κοινού πεδίου ορισμού. Αυτός μαζί με την έννοια του ορίου πραγματικής ακολουθίας μας οδήγησε "φυσικά" στην έννοια του <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Pointwise_convergence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">σημειακού ορίου</a> ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων, το οποίο εξ'ορισμού είναι πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού υποσύνολο του κοινού πεδίου ορισμού των όρων της ακολουθίας. (Και) μέσω παραδειγμάτων παρατηρήσαμε ότι αυτή η έννοια ορίου είναι αρκετά ασθενής ώστε <em>είναι δυνατόν</em> η συνάρτηση όριο να μην έχει ιδιότητες που έχουν όλα τα μέλη της ακολουθίας όπως π.χ. η συνέχεια, και πως είναι δυνατόν να οριστούν <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_convergence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">ισχυρότερες μορφές ορίου</a> που να διατηρούν κάποιες από αυτές τις ιδιότητες.</p> <p>Δεδομένων των παραπάνω, της δυνατότητας κατα σημείο πρόσθεσης πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού, και των όσων ξέρουμε για τις πραγματικές σειρές, ορίσαμε την έννοια της σειράς πραγματικών συναρτήσεων ως σημειακό όριο κατάλληλης ακολουθίας μερικών αθροισμάτων. Προκειμένου να εντοπίζουμε μέρος του πεδίου ορισμού μιας τέτοιας σειράς διατυπώσαμε αλγόριθμο που βασίζεται στο κριτήριο του πηλίκου και είδαμε παραδείγματα. Παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν σε μέρος του πεδίου ορισμού της μια τέτοια σειρά να συγκλίνει απολύτως και σε άλλο μέρος κατά συνθήκη (προφανώς το τελευταίο δεν είναι δυνατόν να εντοπισθεί από το κριτήριο του πηλίκου-γιατί;).</p> <p>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%A4%CF%81%CE%AD%CF%87%CE%BF%CE%BD%20%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Genseqser_cor.pdf">εδώ</a>.</p> <p>Ξεκινήσαμε την πραγμάτευση παραδείγματος που επισκοπεί μεγάλο μέρος της μέχρι τώρα ύλης, και αφορά στην βέλτιστη επιλογή διαχρονικής κατανάλωσης σε κατάλληλο υπόβαθρο. Σε αυτό παρατηρήσαμε ότι διαχρονική ροή κατανάλωσης είναι όποια πραγματική ακολουθία από μη αρνητικούς όρους, ενώ αρχίσαμε να εργαζόμαστε στην κατασκευή εφικτού συνόλου από διαχρονικές ροές κατανάλωσης δεδομένης εξωγενούς αρχικής προικοδότησης και τεχνολογίας μετασχηματισμού πόρων. </p> <p>Ασχοληθήκαμε με την περιγραφή εφικτού συνόλου που προσδιορίζεται από εξωγενή προικοδότηση και σταθερή στον χρόνο τεχνολογία μετασχηματισμού των πόρων. Παρατηρήσαμε ότι το εφικτό σύνολο από διαχρονικές ροές κατανάλωσης δεδομένων των παραπάνω, προσδιορίζεται από ακολουθία ανισοτικών περιορισμών ("διαχρονικοί εισοδηματικοί περιορισμοί"), είναι μη κένο, και αποτελείται από (<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_boundedness" target="_blank" rel="noreferrer noopener">ομοιόμορφα</a>) φραγμένες ακολουθίες.</p> <p>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%A4%CF%81%CE%AD%CF%87%CE%BF%CE%BD%20%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Example.pdf">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%A4%CF%81%CE%AD%CF%87%CE%BF%CE%BD%20%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/BoundedFeasSet.pdf">εδώ</a>.</p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις</strong></p> <ol><li>Ερμηνεύστε οικονομικά τον μετασχηματισμό <img class="latex" title="k\rightarrow k^{a}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=k%5Crightarrow+k%5E%7Ba%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="k\rightarrow k^{a}" />.</li> <li>Προσπαθήστε να ερμηνεύσετε αυστηρά στα πλαίσια της οικονομικής θεωρίας το τι συμβαίνει με την τιμή του τίτλου όταν δεν ισχύει η συνθήκη μη ύπαρξης φούσκας.</li> <li>Προσπαθήστε να ερμηνεύσετε αυστηρά στα πλαίσια της οικονομικής θεωρίας το τι θα συνέβαινε  στο άνω φράγμα της συνολικής προσφοράς χρήματος αν οι εμπορικές τράπεζες δεν είχαν υποχρέωση διακράτησης ρευστών διαθεσίμων (<img class="latex" title="a=0" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=a%3D0&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="a=0" />);</li> <li>Όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> να βρεθεί το <img class="latex" title="X^{*}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%5E%7B%2A%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X^{*}" width="21" height="12" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} x/i!" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+x%2Fi%21&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} x/i!" width="67" height="18" />.</li> <li>Όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> να βρεθεί το <img class="latex" title="X^{*}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%5E%7B%2A%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X^{*}" width="21" height="12" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}x^{3i}/i!" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dx%5E%7B3i%7D%2Fi%21&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}x^{3i}/i!" width="78" height="19" /> .</li> <li>Όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> να βρεθεί το <img class="latex" title="X^{*}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%5E%7B%2A%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X^{*}" width="21" height="12" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} x/(i+1)" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+x%2F%28i%2B1%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} x/(i+1)" width="102" height="19" />.</li> <li>Όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> να βρεθεί το <img class="latex" title="X^{*}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%5E%7B%2A%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X^{*}" width="21" height="12" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} x^{2i}/(i+1)" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+x%5E%7B2i%7D%2F%28i%2B1%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} x^{2i}/(i+1)" width="113" height="19" />.</li> <li>Να επαναλάβετε τα προηγούμενα για το <img class="latex" title="X=(0,1)" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%280%2C1%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=(0,1)" width="71" height="18" />.</li> <li>Υπάρχουν στα παραπάνω περιπτώσεις που γνωρίζουμε βάσει και των όσων έχουμε κάνει προηγουμένως και ποιό είναι το όριο;</li> <li>Όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> να βρεθεί το <img class="latex" title="X^{*}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%5E%7B%2A%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X^{*}" width="21" height="12" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} \sin(ix)/i!" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Csin%28ix%29%2Fi%21&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} \sin(ix)/i!" width="105" height="19" /> χωρίς την χρήση του κριτηρίου.</li> <li>Προσπαθήστε να επαναλάβετε το παραπάνω χρησιμοποιώντας το κριτήριο.</li> <li>Να επαναλάβετε το ζητούμενο στην 8 όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} \cos(ix)/i" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Ccos%28ix%29%2Fi&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} \cos(ix)/i" width="102" height="19" />.</li> <li>Προσπαθείστε να διερευνήσετε ότι έχει γίνει και ότι έχει ζητηθεί μέχρι στιγμής στην εφαρμογή μας όταν αντί του μετασχηματισμού <img class="latex" title="k\rightarrow k^{a}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=k%5Crightarrow+k%5E%7Ba%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="k\rightarrow k^{a}" /> ισχύει ο μετασχηματισμός (δηλ. ο στιγμιαίος ανατοκισμός του διαθέσιμου πόρου με στιγμιαίο σταθερό στον χρόνο επιτόκιο r) <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ckappa_%7Bt%7D%5Crightarrow%20%281&amp;plus;r%29k_%7Bt%7D%2C%5C%3At%5Cin%5Cmathbb%20N%2C%5C%3A%20r%3E0." alt="" /></li> </ol>Tue, 24 Dec 2019 18:34:15 +0300Tue, 24 Dec 2019 18:34:15 +0300278https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=277&course=OIK228<p>Ξεκινήσαμε να χρησιμοποιούμε την καταχρηστική ορολογία που χρησιμοποιείται γενικότερα στις σχετικές βιβλιογραφίες περί "σύγκλισης σειρών".</p> <p>Προκειμένου για την διατύπωση ευχερούς αλγορίθμου για την διακρίβωση του αν δεδομένη σειρά είναι συγκλίνουσα, ασχοληθήκαμε με  εκλέπτυνση της σύγκλισης σειρών, εν προκειμένω με την έννοια της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_convergence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">απόλυτης σύγκλισης</a>. Δείξαμε ότι πρόκειται περί γνήσιας εκλέπτυνσης, ενώ αναφέραμε εν συντομία το <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_series_theorem" target="_blank" rel="noreferrer noopener">Θεώρημα Σειρών του Riemann</a> και το ότι ανν έχουμε απόλυτη σύγκλιση η αναδιάταξη των όρων της σειράς δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα. </p> <p>Μέσω του παραπάνω μπορέσαμε και διατυπώσαμε το <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test" target="_blank" rel="noreferrer noopener">Κριτήριο του Πηλίκου</a> το οποίο (σε κάποιες περιπτώσεις) αποφαίνεται για το αν δεδομένη σειρά συγκλίνει απολύτως ή αποκλίνει  και ξεκινήσαμε να εργαζόμαστε με αυτό.</p> <p>Παρατηρήσαμε ότι επί της ουσίας λειτουργεί μέσω της σύγκρισης με γεωμετρική σειρά ο συντελεστής της οποίας σχετίζεται με το όριο της βοηθητικής ακολουθίας των πηλίκων των απολύτων τιμών των διαδοχικών όρων. Συνεπώς αναμένουμε ότι όταν τέτοια σύγκριση είναι αδύνατη (π.χ. σε υπεραρμονικές σειρές) το κριτήριο αναμένεται να είναι μη πληροφοριακό. Μέσω παραδειγμάτων είδαμε ότι η περίπτωση της μη πληροφοριακότητας είναι δυνατόν να αφορά κατά συνθήκη σύγκλιση, κάτι αναμενόμενο, απόκλιση αλλά και απόλυτη σύγκλιση. Συνεπώς είναι γενικά αδύνατο να συνάγουμε κάτι για την συμπεριφορά σειράς για την οποία το κριτήριο είναι μη πληροφοριακό χρησιμοποιώντας μόνο το κριτήριο. Παρατηρήσαμε επίσης ότι υπάρχουν εκλεπτύνσεις του κριτηρίου που είναι δυνατόν να μας πληροφορούν για την συμπεριφορά δεδομένης σειράς <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test#The_test" target="_blank" rel="noreferrer noopener">είτε όταν το όριο της βοηθητικής ακολουθίας δεν υπάρχει</a>, <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test#Extensions_for_L_.3D_1" target="_blank" rel="noreferrer noopener">είτε όταν αυτό ισούται με ένα</a></p> <p>Ξεκινήσαμε να εργαζόμαστε σε απλά παραδείγματα εμφάνισης των εννοιών των πραγματικών ακολουθιών, της διαδικασίας μερικής άθροισης και των πραγματικών σειρών στα οικονομικά. Το πρώτο παράδειγμα αφορά σε περιοριστικό ορισμό και <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Valuation_(finance)">τιμολόγηση χρηματοοικονομικού τίτλου</a>. </p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις (και κάποιες ασκήσεις) για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%A4%CF%81%CE%AD%CF%87%CE%BF%CE%BD%20%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Absconrt.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>, και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%A4%CF%81%CE%AD%CF%87%CE%BF%CE%BD%20%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/FinancialSeqSer.pdf">εδώ</a>.</p> <p><strong>Ασκήσεις</strong> (προσπαθήστε να λύσετε τις 1-4 χρησιμοποιώντας αποκλειστικά το κριτήριο του πηλίκου).</p> <ol><li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i!}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bx%5E%7Bi%7D%7D%7Bi%21%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i!}" /> συγκλίνει για κάθε <img class="latex" title="x\geq 0" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=x%5Cgeq+0&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="x\geq 0" />.</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(i+1)^m},\: 0\leq m &lt;1" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%28i%2B1%29%5Em%7D%2C%5C%3A+0%5Cleq+m+%3C1&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(i+1)^m},\: 0\leq m &lt;1" /> αποκλίνει.</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i^{m}))" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cexp%28-%28i%5E%7Bm%7D%29%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i^{m}))" /> για όποιο <img class="latex" style="border:none;vertical-align:middle;height:auto;" title="m&gt;1" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=m%3E1&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="m&gt;1" /> συγκλίνει. Υπόδειξη: Μπορείτε να συσχετίσετε την συμπεριφορά της εν λόγω σειράς με την ανάλογη υπεραρμονική. Μπορείτε για μεγαλύτερη ευκολία να ασχοληθείτε με την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i+1)^{m}))" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cexp%28-%28i%2B1%29%5E%7Bm%7D%29%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i+1)^{m}))" /> ή/και να δείτε την προηγούμενη μόνο για m=2).</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(i)+1}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%28i%29%2B1%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(i)+1}" /> αποκλίνει.</li> <li>Επινοήστε όσο το δυνατόν περισσότερες σειρές και προσπαθήστε να διαπιστώσετε το αν συγκλίνουν χρησιμοποιώντας πλέον αποκλειστικά το κριτήριο. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε και αυτές που αναφέρονται σε παλαιότερες αναρτήσεις.</li> </ol>Mon, 16 Dec 2019 14:14:23 +0300Mon, 16 Dec 2019 14:14:23 +0300277https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=275&course=OIK228<p>Εστιάζοντας κυρίως στο ζήτημα της διακρίβωσης του εάν δεδομένη σειρά υπάρχει, ξεκινήσαμε την διατύπωση θεμελιώδους λογισμού σειρών που βασίζεται στον λογισμό που έχουμε αναπτύξει για τα όρια. Έτσι καταρχάς είδαμε ότι όταν η αρχική ακολουθία αποτελείται από ομόσημους όρους τότε και επειδή η ακολουθία μερικών αθροισμάτων αυτής είναι μονότονη, η σχετική σειρά θα υπάρχει ανν η ακολουθία μερικών αθροισμάτων είναι φραγμένη.</p> <p>Στα πλαίσια αυτού, ασχοληθήκαμε με ασκήσεις όπου καλούμασταν να αποφανθούμε για το αν δεδομένη σειρά συγκλίνει. Σε αυτές η φραγή της σχετικής Α.Μ.Α. προέκυπτε από την επιλογή κατάλληλης πραγματικής ακολουθίας η οποία δεν ήταν γενικά προφανής. Κατανοήσαμε έτσι την ανάγκη ύπαρξης "υπολογιστικά απλού" τρόπου διαπίστωσης της σύγκλισης σε κάποιες τουλάχιστον περιπτώσεις.</p> <p>Μέσω παραδείγματος παρατηρήσαμε ότι σε κάποιες περιπτώσεις η φραγή αυτή είναι δυνατόν να προκύψει μέσω της κατά σημείο σύγκρισης της παραπάνω με κατάλληλα επιλεγμένη συγκλίνουσα γεωμετρική. Αυτό τελικά θα μας οδηγήσει στην κατασκευή γενικού κριτηρίου το οποίο θα μας πληροφορεί σε κάποιες περιπτώσεις για το αν δεδομένη σειρά υπάρχει μέσω μιας υπολογιστικά "λιγότερο περίπλοκης" διαδιακασίας.</p> <p>Εξετάσαμε στοιχεία του λογισμού σειρών που άπτονται άλγεβρας συγκλινουσών σειρών, σχετίσαμε το ζήτημα της σύγκλισης σειράς με την σύγκλισης της σειράς που προκύπτει αν από την αρχική εξαιρέσουμε πεπερασμένο πλήθος των αρχικών της όρων, ενώ αφήσαμε για αργότερα το χρήσιμο ζήτημα του πως μπορούμε να μετασχηματίζουμε δείκτες άθροισης σε σειρές χρησιμοποιώντας γνησίως αύξοντες μετασχηματισμούς.</p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%A4%CF%81%CE%AD%CF%87%CE%BF%CE%BD%20%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limser.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>, <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%A4%CF%81%CE%AD%CF%87%CE%BF%CE%BD%20%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Series2.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%A4%CF%81%CE%AD%CF%87%CE%BF%CE%BD%20%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/hyperharmonic.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p> </p> <h3>Περαιτέρω Ασκήσεις</h3> <ol><li>Αν  <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} \alpha^{i},\: \sum_{i=0}^{\infty}\beta^{i}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Calpha%5E%7Bi%7D%2C%5C%3A+%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cbeta%5E%7Bi%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} \alpha^{i},\: \sum_{i=0}^{\infty}\beta^{i}" /> υπάρχουσες γεωμετρικές σειρές τότε με τι ισούται η <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} (\alpha^{i}-\beta^{i})" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%28%5Calpha%5E%7Bi%7D-%5Cbeta%5E%7Bi%7D%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} (\alpha^{i}-\beta^{i})" /> και γιατί;</li> <li>Ισχύει ότι <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}b_{i}=\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}\sum_{i=0}^{\infty}b_{i}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Da_%7Bi%7Db_%7Bi%7D%3D%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Da_%7Bi%7D%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Db_%7Bi%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}b_{i}=\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}\sum_{i=0}^{\infty}b_{i}" />; Υπάρχει περίπτωση να μην υπάρχει κάποια από τις δύο σειρές στην δεξιά πλευρά και να υπάρχει η σειρά στην αριστερή πλευρά της εν λόγω ισότητας;</li> <li>Να δείξετε ότι <img class="latex" title="\lim_{k\rightarrow\infty}\sum_{i=k}^{\infty}x_{i}=0" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Clim_%7Bk%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Csum_%7Bi%3Dk%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dx_%7Bi%7D%3D0&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\lim_{k\rightarrow\infty}\sum_{i=k}^{\infty}x_{i}=0" /> όταν η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}x_{i}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dx_%7Bi%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}x_{i}" /> υπάρχει.</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i!}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bx%5E%7Bi%7D%7D%7Bi%21%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i!}" /> συγκλίνει για κάθε <img class="latex" title="x\geq 0" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=x%5Cgeq+0&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="x\geq 0" />.</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(i+1)^m},\: 0\leq m &lt;1" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%28i%2B1%29%5Em%7D%2C%5C%3A+0%5Cleq+m+%3C1&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(i+1)^m},\: 0\leq m &lt;1" /> αποκλίνει.</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i^{m}))" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cexp%28-%28i%5E%7Bm%7D%29%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i^{m}))" /> για όποιο <img class="latex" style="border:none;vertical-align:middle;height:auto;" title="m&gt;1" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=m%3E1&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="m&gt;1" /> συγκλίνει. Υπόδειξη: Μπορείτε να συσχετίσετε την συμπεριφορά της εν λόγω σειράς με την ανάλογη υπεραρμονική. Μπορείτε για μεγαλύτερη ευκολία να ασχοληθείτε με την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i+1)^{m}))" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cexp%28-%28i%2B1%29%5E%7Bm%7D%29%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i+1)^{m}))" /> ή/και να δείτε την προηγούμενη μόνο για m=2).</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(i)+1}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%28i%29%2B1%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(i)+1}" /> αποκλίνει.</li> </ol>Sun, 08 Dec 2019 19:14:19 +0300Sun, 08 Dec 2019 19:14:19 +0300275https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=273&course=OIK228<p>Προκειμένου για την διατύπωση περαιτέρω στοιχείων του λογισμού των ορίων μεταγράψαμε τον αρχικό γεωμετρικό ορισμό του ορίου σε ισοδύναμο αναλυτικό ορισμό, χρησιμοποιώντας τους <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Universal_quantification" target="_blank" rel="noreferrer noopener">ποσοδείκτες</a> ("υπάρχει" και "για κάθε" ) και ανισότητες. Είδαμε πως εφαρμόζεται αυτός σε παραδείγματα και αντιπαραδείγματα και προχωρήσαμε μέσω της χρήσης του στην διακρίβωση της σχέσης της σύγκλισης με τις αλγεβρικές πράξεις που έχουμε μελετήσει για πραγματικές ακολουθίες. Παρατηρώντας ότι η χρήση μέρους του λογισμού έχει να κάνει με την διευκόλυνση της εξακρίβωσης του ζητήματος σύγκλισης (και ενδεχομένως της συνακόλουθης εύρεσης του ορίου) για ακολουθίες που απατελούν κατάλληλους μετασχηματισμούς ακολουθιών των οποίων η ασυμπτωτική συμπεριφορά είναι γνωστή, αναφερθήκαμε καταλήγωντας στον μετασχηματισμό ακολουθιών μέσω σύνθεσης με κατάλληλες συναρτήσεις, και συνακόλουθα στην <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Continuous_mapping_theorem">αρχή της μεταφοράς</a>. Χρησιμοποιήσαμε πολλές από τις έννοιες που έχουμε μέχρι τώρα εξάγει στην μελέτη της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς χρήσιμων στα παρακάτω παραδειγμάτων που σχετίζονται με την γεωμετρική σειρά.</p> <p>Ακολούθως, και ξεκινώντας την ενασχόληση μας με τις <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Series_(mathematics)#Convergent_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">πραγματικές σειρές</a>, προσπαθώντας να εννοιολογήσουμε το απειροπληθές άθροισμα είδαμε ότι γενικά αυτό είναι αδύνατο μέσω της άλγεβρας. Ξεκινήσαμε την εννοιολόγηση ορίζοντας την έννοια της ακολουθίας μερικών αθροισμάτων δεδομένης πραγματικής ακολουθίας που περικλείει του συντελεστές του αθροίσματος. Αυτή μπορεί να θεωρηθεί ως διαδικασία "ολοκλήρωσης ", ενώ η ζητούμενη έννοια της σειράς ως προς την ακολουθία των συντελεστών είναι το όριο αυτής όταν αυτό υπάρχει. Εξετάσαμε παραδείγματα μεταξύ των οποίων αυτά της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">γεωμετρικής</a>, της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)" target="_blank" rel="noreferrer noopener">αρμονικής</a>, της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)#Alternating_harmonic_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εναλλάσουσας αρμονικής</a> και της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)#p-series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">υπεραρμονικής</a> ακολουθίας μερικών αθροισμάτων (και συνακόλουθα σειρών όπου αυτές υπάρχουν). Παρατηρήσαμε ότι με την εξαίρεση παραδειγμάτων όπως αυτό της γεωμετρικής σειράς, όπου ήταν "εύκολο" να βρεθεί και να ελεγχθεί ως προς την σύγκλιση γενικός τύπος για την μερική άθροιση, και κάπως δυσκολότερα αυτό της αρμονικής σειράς, όπου βρήκαμε μέσω ολοκλήρωσης μη φραγμένη ακολουθία που φράσσει "από κάτω" την ακολουθία μερικών αθροισμάτων δείχνοντας τελικά ότι η αρμονική σειρά δεν υπάρχει, γενικά τα ζητήματα α) της ύπαρξης δεδομένης σειράς και β) της εύρεσης του με τι ισούται όταν υπάρχει, εμφανίζουν δυσκολίες στην γενική τους επίλυση ανάλογες με αυτές των διαδικασιών ολοκλήρωσης.</p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%A4%CF%81%CE%AD%CF%87%CE%BF%CE%BD%20%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limits.pdf">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%A4%CF%81%CE%AD%CF%87%CE%BF%CE%BD%20%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limser.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <h3>Ασκήσεις</h3> <ol><li>Εξάγετε τις αποδείξεις όλων των αποτελεσμάτων αντικαθιστώντας στον ορισμό του ορίου τα ανοικτά με κλειστά διαστήματα.</li> <li>Δείξτε το Λήμμα (Μοναδικότητα) αποκλειστικά μέσω του αναλυτικού ορισμού.</li> <li>Δείξτε ότι συγκλίνουσα ακολουθία με κάτω φράγμα το 1 δεν μπορεί να έχει όριο μικρότερο του 1.</li> <li>Δείξτε ότι συγκλίνουσα ακολουθία με άνω φράγμα το 1 δεν μπορεί να έχει όριο μεγαλύτερο του 1.</li> <li>Δείξτε ότι το όριο συγκλίνουσας ακολουθίας δεν μπορεί να είναι μικρότερο από το inf και μεγαλύτερο από το sup αυτής.</li> <li>Να δείξετε μόνο μέσω του αναλυτικού ορισμού ότι η <img class="latex" title="(\exp(\frac{1}{n+1}))" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%28%5Cexp%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%2B1%7D%29%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="(\exp(\frac{1}{n+1}))" /> συγκλίνει στο 1.</li> <li>Να δείξετε μόνο μέσω του αναλυτικού ορισμού ότι η <img class="latex" title="(\exp(\frac{1}{n+1}))" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%28%5Cexp%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%2B1%7D%29%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="(\exp(\frac{1}{n+1}))" /> δεν συγκλίνει σε όποιον πραγματικό διάφορο του 1.</li> <li>Να δείξετε ότι το γινόμενο φραγμένης με συγκλίνουσα στο μηδέν ακολουθία είναι ακολουθία που επίσης συγκλίνει στο μηδέν. Θα ήταν δυνατόν να συμβαίνει κάτι τέτοιο ακόμη και αν η πρώτη δεν ήταν φραγμένη αλλά αποκλίνουσα;</li> <li>Να οριστεί αυστηρά η αντίστροφη της διαδικασίας μερικής άθροισης.</li> <li>Έστω ακολουθία με αυστηρά θετικούς όρους. Δείξτε ότι η ακολουθία μερικών αθροισμάτων αυτής είναι γνησίως αύξουσα. Το αντίστροφο ισχύει;</li> <li>Χρησιμοποιώντας την γεωμετρική σειρά, και χωρίς να ασχοληθείτε με το αν μπορείτε να την «παραγωγίσετε» ως προς <img class="latex" title="a" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=a&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="a" /> προσπαθήστε να βρείτε την <img class="latex" title="\sum_{i=1}^{\infty}i a^{i}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7Di+a%5E%7Bi%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=1}^{\infty}i a^{i}" /> όταν <img class="latex" title="|a|&lt;1,\: a\neq 0" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%7Ca%7C%3C1%2C%5C%3A+a%5Cneq+0&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="|a|&lt;1,\: a\neq 0" />.</li> <li>Αν  <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} \alpha^{i},\: \sum_{i=0}^{\infty}\beta^{i}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Calpha%5E%7Bi%7D%2C%5C%3A+%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cbeta%5E%7Bi%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} \alpha^{i},\: \sum_{i=0}^{\infty}\beta^{i}" /> υπάρχουσες γεωμετρικές σειρές τότε με τι ισούται η <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} (\alpha^{i}-\beta^{i})" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%28%5Calpha%5E%7Bi%7D-%5Cbeta%5E%7Bi%7D%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} (\alpha^{i}-\beta^{i})" /> και γιατί;</li> <li>Να δείξετε ότι κάθε άθροισμα πεπερασμένου πλήθους όρων είναι δυνατόν να γραφεί ως κάταλληλη σειρά.</li> </ol>Sun, 01 Dec 2019 18:43:56 +0300Sun, 01 Dec 2019 18:43:56 +0300273https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=268&course=OIK228<p>Συνεχίζοντας τα προηγούμενα αποδειξαμε και διατυπώσαμε σημαντική <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Monotone_convergence_theorem" target="_blank" rel="noreferrer noopener">ιδιότητα</a> των ακολουθιών που είναι ταυτόγχρονα φραγμένες και μονότονες και η οποία σχετίζεται με μια μορφή "ασυμπτωτικής συγκέντρωσης" όποιας φραγμένης και αύξουσας ακολουθίας "γύρω από" το sypremum της και δυικά με την ίδια μορφή "ασυμπτωτικής συγκέντρωσης" όποιας φραγμένης και φθίνουσας ακολουθίας "γύρω από" το infimum της.</p> <p>Το παραπάνω μας προετοίμασε για την ακριβή (καταρχάς γεωμετρική) διατύπωση της έννοιας του ορίου πραγματικής ακολουθίας. Μέσω αυτής διαπιστώσαμε ότι υπάρχουν τόσο συγκλίνουσες (π.χ. οι φραγμένες και μονότονες) όσο και αποκλίνουσες ακολουθίες, ότι όταν το όριο υπάρχει είναι μοναδικό, και ξεκινήσαμε την εξαγωγή μιας σειράς από αποτελέσματα που συγκροτούν ένα μικρό μέρος του (ατελούς) λογισμού που χρησιμεύει στην διακρίβωση του αν μια ακολουθία είναι συγκλίνουσα, ή/και όταν είναι, στην εύρεση του ορίου αυτής. Έπι παραδείγματι, μέσω της χρήσης του γεωμετρικού ορισμού είδαμε ότι αν μια ακολουθία είναι συγκλίνουσα είναι και φραγμένη οπότε ισοδύναμα αν μια ακολουθία είναι μη φραγμένη τότε αναγκαστικά είναι αποκλίνουσα, ή ότι όταν μια συγκλίνουσα ακολουθία έχει μη αρνητικούς όρους,τότε το όριο της δεν μπορείνα είναι αρνητικό, ή ότι το ζήτημα της σύγκλισης της ακολουθίας δεν επηρεάζεται καθόλου από την συμπεριφορά όποιου πεπερασμένου μέρους της ακολουθίας.</p> <p>Παρατηρήσαμε ότι η διατύπωση στοιχείων αυτού του λογισμού θα είναι πιο ευχερής αν έχουμε στην διάθεση μας κάποιον ισοδύναμο αναλυτικό ορισμό του ορίου, τον οποίο αφού διατυπώσαμε θα εξηγήσουμε στις επόμενες διαλέξεις.</p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω και ασκήσεις μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%A4%CF%81%CE%AD%CF%87%CE%BF%CE%BD%20%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq3.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%A4%CF%81%CE%AD%CF%87%CE%BF%CE%BD%20%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limits.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις:</strong></p> <ol><li>Να δειχθεί ότι αν μια ακολουθία είναι φθίνουσα και φραγμένη, τότε σε κάθε ανοικτό διάστημα με κέντρο το infimum της θα περιέχει σχεδόν όλη την ακολουθία, με το πλήθος των όρων που βρίσκονται εκτός αυτού να μπορεί να εξαρτάται από το διάστημα. Θα άλλαζε το συμπέρασμα αν χρησιμοποιούσαμε τα κλειστά αντι των ανοικτών διαστήματα;</li> <li>Χρησιμοποιώντας τον γεωμετρικό ορισμό του ορίου να δειχθεί ότι κάθε <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Subsequence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">υπακολουθία</a> συγκλίνουσας ακολουθίας συγκλίνει επίσης στο ίδιο όριο.</li> <li>Έστω συγκλίνουσα ακολουθία όπου κάθε όρος της οποίας είναι μεγαλύτερος ή ίσος του πραγματικού αριθμού C. Να δειχθεί ότι το όριο είναι επίσης μεγαλύτερο ή ίσο του C.</li> <li>Έστω συγκλίνουσα ακολουθία όπου κάθε όρος της οποίας είναι μικρότερος ή ίσος του πραγματικού αριθμού C. Να δειχθεί ότι το όριο είναι επίσης μικρότερο ή ίσο του C.</li> <li>'Εστω ακολουθία για την οποία οι απόλυτες τιμές σχεδόν όλων των όρων είναι μεγαλύτερες ή ίσες των απολύτων τιμών των αντίστοιχων όρων ακολουθίας που δεν είναι φραγμένη. Να δειχθεί ότι η αρχική ακολουθία είναι αποκλίνουσα.  </li> </ol><p> </p> <p> </p>Sat, 09 Nov 2019 19:14:36 +0300Sat, 09 Nov 2019 19:14:36 +0300268https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=267&course=OIK228<p>Ασχοληθήκαμε περαιτέρω με την έννοια της φραγής. "Γενικεύσαμε" την έννοια στην σχεδόν παντού φραγή με τον προφανή τρόπο και παρατηρήσαμε την ισοδυναμία μεταξύ των δύο εννοιών. Δείξαμε ότι η ισοδυναμία αυτή μπορεί να είναι χρήσιμη στην εξαγωγή αποτελεσμάτων που π.χ. αποδίδουν την ιδιότητα της φραγής σε πραγματική ακολουθία μέσω κατάλληλης (σχεδόν παντού) σύγκρισης με φραγμένη ακολουθία, κ.ο.κ.</p> <p>Παρατηρήσαμε ότι η διάταξη με την οποία εμφανίζονται οι όροι μιας πραγματικής ακολουθίας μέσα σε αυτή δεν συμφωνεί αναγκαστικά με την διάταξη τους στην πραγματική ευθεία. Όταν οι δύο αυτές διατάξεις σχετίζονται μονότονα αποκτούμε την έννοια της μονότονης ακολουθίας. Έτσι, και χρησιμοποιώντας τον ορισμό της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Monotonic_function" target="_blank" rel="noreferrer noopener">μονότονης πραγματικής συνάρτησης</a>, διερευνήσαμε ζητήματα μονοτονίας για τις πραγματικές ακολουθίες. Δείξαμε επίσης ότι η μονοτονία προκύπτει ισοδύναμα από την σύγκριση μεταξύ των όρων σε κάθε ζεύγος διαδοχικών όρων της ακολουθίας. Παρατηρήσαμε ότι οι (γνησίως) αύξουσες ακολουθίες είναι αναγκαστικά φραγμένες από κάτω, ενώ δυικά οι (γνησίως) φθίνουσες ακολουθίες είναι αναγκαστικά φραγμένες από πάνω. Παρόλα αυτά υπάρχουν μονότονες ακολουθίες που δεν είναι φραγμένες ακριβώς επειδή τους λείπει η ύπαρξη του έτερου φράγματος, ενώ υπάρχουν και ακολουθίες που δεν είναι ούτε μονότονες ούτε και φραγμένες.</p> <p>Όταν όμως μια ακολουθία συνδυάζει και τις δύο ανωτέρω ιδιότητες τότε διαθέτει ένα ενδιαφέρον χαρακτηριστικό το οποίο θα μας βοηθήσει στην νοηματοδότηση του ορίου. Ξεκινήσαμε να το αναπτύσσουμε χρησιμοποιώντας το γενικό παράδειγμα φραγμένης και αύξουσας ακολουθίας.</p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω όπως και κάποιες ασκήσεις μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%A4%CF%81%CE%AD%CF%87%CE%BF%CE%BD%20%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq3.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p> </p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις:</strong></p> <ol><li>Να δειχθεί ότι για κάθε μονότοτονη ακολουθία, κάθε υπακολουθία αυτής έχει την ίδια ή ισχυρότερη μονοτονία.</li> <li>Nα δειχθεί ότι αν οι <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28x_%7Bn%7D%29%2C%5C%3A%28y_%7Bn%7D%29" alt="gif.latex?%28x_%7Bn%7D%29%2C%5C%3A%28y_%7Bn%7D%29" /> είναι αύξουσες, τότε και η <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cmax%28x_%7Bn%7D%2Cy_%7Bn%7D%29%20%5Cright%20%29" alt="gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cmax%28x_%7Bn%7D%2Cy_%7Bn%7D%29%20%5Cright%20%29" /> είναι (ενδεχομένως γνησίως) αύξουσα.</li> </ol>Mon, 04 Nov 2019 06:21:24 +0300Mon, 04 Nov 2019 06:21:24 +0300267https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=253&course=OIK228<p>Ασχοληθήκαμε περαιτέρω με την έννοια της φραγής. Δείξαμε π.χ. ότι οι αλγεβρικές πράξεις διατηρούν την φραγή (έτσι π.χ. το σύνολο των φραγμένων πραγματικών ακολουθιών είδαμε ότι αποτελεί <a href="/modules/document/file.php/OIK269/LinAlg2.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">διανυσματικό υποχώρο</a> του συνόλου των πραγματικών ακολουθιών ως προς τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτου πολλαπλασιασμού), ενώ το άθροισμα φραγμένης με μη φραγμένη ακολουθία είναι μη φραγμένη ακολουθία.</p> <p>Δείξαμε ότι η ιδιότητα της φραγής δεν προσδιορίζεται από κανένα πεπερασμένο υποσύνολο της ακολουθίας αλλά εξαρτάται από την συμπεριφορά του υπόλοιπου απειροπληθούς μέρους της. Αυτό θα μας επιτρέψει να "γενικεύσουμε" την έννοια στην σχεδόν παντού φραγή με τον προφανή τρόπο και να δείξουμε την ισοδυναμία των δύο εννοιών. Αυτό μπορεί να είναι χρήσιμο στην εξαγωγή αποτελεσμάτων που π.χ. αποδίδουν την ιδιότητα της φραγής σε πραγματική ακολουθία μέσω κατάλληλης (σχεδόν παντού) σύγκρισης με φραγμένη ακολουθία, κ.ο.κ.</p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω όπως και κάποιες ασκήσεις μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%A4%CF%81%CE%AD%CF%87%CE%BF%CE%BD%20%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq3.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις:</strong></p> <ol><li>Να δειχθεί ότι αν οι <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28x_%7Bn%7D%29%2C%5C%3A%28y_%7Bn%7D%29" alt="gif.latex?%28x_%7Bn%7D%29%2C%5C%3A%28y_%7Bn%7D%29" /> φραγμένες τότε και η <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cmax%28x_%7Bn%7D%2Cy_%7Bn%7D%29%20%5Cright%20%29" alt="gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cmax%28x_%7Bn%7D%2Cy_%7Bn%7D%29%20%5Cright%20%29" /> φραγμένη.</li> <li>Να δειχθεί ότι η ακολουθία <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bn%7Dx%5E%7B2%7Ddx%20%5Cright%20%29" alt="gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bn%7Dx%5E%7B2%7Ddx%20%5Cright%20%29" /> δεν είναι φραγμένη.</li> </ol>Sat, 19 Oct 2019 21:39:48 +0300Sat, 19 Oct 2019 21:39:48 +0300253https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=252&course=OIK228<p>Χρησιμοποιώντας τον διανυσματικό ορισμό εξετάσαμε την έννοια της ισότητας πραγματικών ακολουθιών η οποία και αποτελεί κατά "φυσικό τρόπο" επέκταση της έννοιας της ισότητας πραγματικών διανυσμάτων. Εξετάσαμε συνοπτικά μια γενίκευση αυτής, η οποία επιτρέπει την συσχέτιση δύο πραγματικών ακολουθιών ως σχεδόν παντού ίσες ακόμη και όταν έχουν διαφορετικές συνιστώσες σε πεπερασμένο πλήθος θέσεων. Παρατηρήσαμε ότι η σχεδόν παντού ισότητα περιλαμβάνει την συνήθη ισότητα ως υποπερίπτωση, είναι και αυτή <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Equivalence_relation">αυτοπαθής, συμμετρική και μεταβατική</a> (γιατί;), ενώ μπορεί να μας είναι χρήσιμη σε περιπτώσεις που είναι δυνατόν η συμπεριφορά μιας πραγματικής ακολουθίας σε πεπερασμένο πλήθος θέσεων να θεωρείται αμελητέα. Γενικεύοντας θεωρήσαμε ότι μια ιδιότητα P θα ικανοποιείται σχεδόν παντού από μια πραγματική ακολουθία αν και μόνο αν όλοι οι όροι αυτής ικανοποιούν την P εκτός από πεπερασμένο πλήθος αυτών.</p> <p>Εξετάσαμε παραδείγματα πράξεων μεταξύ ακολουθιών όπως η κατά σημείο πρόσθεση και ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός (ως προς αυτές το σύνολο των πραγματικών ακολουθιών είναι <a href="/modules/document/file.php/OIK269/LinAlg1.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">διανυσματικός χώρος</a>) καθώς και την πράξη του σημειακού πολλαπλασιασμού.</p> <p>Στην συνέχεια και χρησιμοποιώντας τον συναρτησιακό ορισμό ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με αναλυτικές ιδιότητες που μπορεί να έχουν πραγματικές ακολουθίες. Έτσι, διερευνώντας με λεπτομέρεια τον ορισμό του <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Bounded_set" target="_blank" rel="noreferrer noopener">φραγμένου υποσυνόλου των πραγματικών</a>, συνακόλουθα της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Bounded_function" target="_blank" rel="noreferrer noopener">φραγμένης πραγματικής συνάρτησης</a> και παραλλαγών αυτού, καταλήξαμε στο πότε μια πραγματική ακολουθία έχει την ιδιότητα της φραγής, και ασχοληθήκαμε με παραδείγματα και άντι-παραδείγματα. </p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%A4%CF%81%CE%AD%CF%87%CE%BF%CE%BD%20%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq2.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%A4%CF%81%CE%AD%CF%87%CE%BF%CE%BD%20%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq3.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p> </p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις</strong></p> <p>1. Να δειχθεί ότι αν για τρείς ακολουθίες, η πρώτη είναι σχεδόν παντού ίση με την δεύτερη, και η δεύτερη είναι σχεδόν παντού ίση με την τρίτη, τότε το πλήθος των θέσεων που μπορεί να έχουν διαφορετικούς όρους η πρώτη και η τρίτη είναι μικρότερο ίσο από το άθροισμα του αντίστοιχου πλήθους μεταξύ πρώτης και δεύτερης και αυτού μεταξύ δεύτερης και τρίτης.</p> <p>2. Ως προς την παραπάνω άσκηση, να βρεθούν παραδείγματα όπου το πλήθος των θέσεων που μπορεί να έχουν διαφορετικούς όρους η πρώτη και η τρίτη, α) είναι μηδέν, β) είναι θετικό αλλά αυστηρά μικρότερο του παραπάνω αθροίσματος, γ) είναι θετικό και ίσο με το παραπάνω άθροισμα.</p> <p>3. Να δειχθεί ότι η σχεδόν παντού ισότητα είναι μεταβατική.</p> <p>4. Να βρεθεί παράδειγμα πραγματικής ακολουθίας όπου η ιδιότητα P δεν ισχύει για θετικό αλλά πεπερασμένο πλήθος όρων, όταν α) P="ο πραγματικός x είναι άρτιος φυσικός", β) α) P="ο πραγματικός x είναι άρρητός".</p> <p>5. Για P όπως στην προηγούμενη άσκηση, να βρεθεί παράδειγμα πραγματικής ακολουθίας όπου η ιδιότητα P ισχύει για άπειρο πλήθος όρων, και ταυτόγχρονα δεν ισχύει για άπειρο πλήθος όρων.</p> <p>6. Τι συμπεραίνετε από την χρήση της έννοιας της σχεδόν παντού ισότητας σε n-διάστατα πραγματικά διανύσματα;</p> <p>7. Να βρεθεί πραγματική ακολουθία που είναι φραγμένη από πάνω αλλά όχι από κάτω.</p> <p>8. Να δειχθεί ότι όποια πραγματική ακολουθία έχει όρους που ανήκουν σε σύνολο πεπερασμένου πλήθους είναι φραγμένη.</p> <p>9. Να βρεθεί μη φραγμένη πραγματική ακολουθία η οποία να έχει φραγμένη <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Subsequence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">υπακολουθία</a> (για τον ορισμό δείτε την Άσκηση 1 <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202018-19/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq3.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>).</p> <p><strong>Σημειώση</strong>: Η 5 μας επισημαίνει ότι το να ικανοποιείται κάποια ιδιότητα P σχεδόν παντού από μια πραγματική ακολουθία είναι ισχυρότερο από το να ικανοποιείται "απλώς" από άπειρο πλήθος όρων αυτής. </p> <p> </p>Sat, 12 Oct 2019 16:00:06 +0300Sat, 12 Oct 2019 16:00:06 +0300252https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=251&course=OIK228<p>Η πρώτη διάλεξη είχε τον χαρακτήρα ενημέρωσης για ζητήματα που άπτονται του μαθήματος, όπως τις διαθέσιμες διαδικασίες επικοινωνίας πέραν των διαλέξεων (με έμφαση στο παρόν eclass), το εκπαιδευτικό υλικό (διαλέξεις, αναρτήσεις σημειώσεων – αποριών κ.λ.π.), την δυνατότητα παράδοσης λύσεων σε ασκήσεις για βελτίωση του τελικού βαθμού, κ.ο.κ. Πέραν του ζητήματος της προαιρετικής παράδοσης λύσεων ασκήσεων που θα διασαφηνισθεί σε μελλοντικές ανακοινώσεις, τα παραπάνω περιγράφονται στην σύνοψη του μαθήματος η οποία βρίσκεται <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%A4%CF%81%CE%AD%CF%87%CE%BF%CE%BD%20%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82/%CE%A3%CF%8D%CE%BD%CE%BF%CF%88%CE%B7%20%CE%9C%CE%B1%CE%B8%CE%AE%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%BF%CF%82/Math_%CE%99%CE%99%CE%99_19_20_syllabus.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Στην δεύτερη διάλεξη έγινε καταρχάς σύντομη περιγραφή και κινητροδότηση βασικών εννοιών που θα παρουσιαστούν κατά την διάρκεια του μαθήματος. Πρόχειρες σημειώσεις για αυτά όπως και ασκήσεις για επανάληψη προγενέστερων εννοιών που είναι δυνατόν να χρειαστούν βρίσκονται <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%A4%CF%81%CE%AD%CF%87%CE%BF%CE%BD%20%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Motiv1.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>. </p> <p>Στην συνέχεια ξεκινήσαμε την πραγμάτευση της έννοιας της πραγματικής <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Sequence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">ακολουθίας</a>. Εξετάσαμε δύο ισοδύναμους ορισμούς, ο πρώτος εκ των οποίων είναι βολικός για την πραγμάτευση αλγεβρικών ιδιοτήτων ενώ ο δεύτερος για την πραγμάτευση αναλυτικών ιδιοτήτων και την γενίκευση της έννοιας. Παρουσιάσαμε παραδείγματα πραγματικών ακολουθιών αλλά και ενδεικτικές μορφές πραγματικών ακολουθιών που εμφανίζονται στο υπόβαθρο της οικονομικής θεωρίας, της θεωρίας πιθανοτήτων, κ.ο.κ. Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%A4%CF%81%CE%AD%CF%87%CE%BF%CE%BD%20%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq1.pdf">εδώ</a>.</p> <p>Υ.γ. (για όσους ενδιαφέρονται) στην περιγραφή του παραδείγματος της ακολουθίας που αποτελείται από τους θετικούς πρώτους ακεραίους εκφράστηκε η απορία αναφορικά με το γιατί το 1 δεν θεωρείται πρώτος. Παρόλο που αυτό δεν επηρεάζει το ύφος του παραδείγματος μας, και πέραν των αλγεβρικών λόγων που απαιτούν βαθείς γνώσεις άλγεβρας για να εξηγηθούν, υπάρχει και ένας λόγος που είναι ευκολότερα κατανοήσιμος. Το <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_arithmetic" target="_blank" rel="noreferrer noopener">θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας αριθμών</a> μας λέει ότι κάθε θετικός ακεραίος μπορεί να εκφρασθεί <em>μοναδικά</em> ως γινόμενο από δυνάμεις πρώτων θετικών ακεράιων. Προφανώς αν επιτρέπονταν στο 1 να είναι πρώτος η μοναδικότητα αυτού του αναπτύγματος θα χάνονταν (γιατί;). </p> <p> </p>Mon, 07 Oct 2019 02:31:55 +0300Mon, 07 Oct 2019 02:31:55 +0300251https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=206&course=OIK228<p>Ασχοληθήκαμε με το ζήτημα ύπαρξης και εύρεσης του ορισμένου ολοκληρώματος δυναμοσειράς με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης, και είδαμε ότι αυτό προκύπτει από το αόριστο βάσει του <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_calculus" target="_blank" rel="noreferrer noopener">Θεμελιώδους Θεωρήματος του Λογισμού</a> εφόσον τα όρια της ολοκλήρωσης ανήκουν στο διάστημα σύγκλισης (<strong>προσοχή!</strong> αυτή είναι και η σωστή συνθήκη, που διορθώνει τη συνθήκη που αναφέρεται στις σημειώσεις η οποία λέει ότι το <strong>ανοικτό</strong> διάστημα που συγκροτείται από τα όρια της ολοκλήρωσης πρέπει να είναι υποσύνολο του διαστήματος σύγκλισης-γιατί αυτό μπορεί να είναι ανακριβές;). Παρατηρήσαμε ότι και αυτό είναι δυνατόν να είναι επιβοηθητικό π.χ. στην εύρεση πραγματικών σειρών.</p> <p>Περνώντας σε εφαρμογές δυναμοσειρών είδαμε εν συντομία κάποιες βασικές έννοιες που αφορούν στις <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinary_differential_equation" target="_blank" rel="noreferrer noopener">Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις</a>. Παρατηρήσαμε ότι συνήθως λύσεις αυτών βρίσκονται μέσω περίπλοκων διαδικασιών ολοκλήρωσης (που συνδυάζονται με κατάλληλους μετασχηματισμούς) και ότι εφόσον η ολοκλήρωση είναι γενικά υπολογιστικά πολύπλοκη, προκύπτει εύλογα το ερώτημα αν είναι δυνατόν σε κάποιες περιπτώσεις να αποφευχθεί μέσω διαδικασίών εύρεσης λύσεων ενδεχομένως μικρότερης πολυπλοκότητας. Οδηγηθήκαμε έτσι σε μια εισαγωγή στην Μέθοδο των Δυναμοσειρών για την εύρεση λύσεων.</p> <p>Η μέθοδος ανάγεται στην επίλυση απειροπληθούς συστήματος από αναδρομικές σχέσεις για την εύρεση των άγνωστων συντελεστών της δυναμοσειράς. Αυτό προκύπτει από την μορφή της εξίσωσης, την μορφή που έχουν οι παράγωγοι δυναμοσειράς με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης, και από την έννοια της ισότητας δυναμοσειρών. Είναι δε δυνατόν να είναι ευκολότερα επιλύσιμο από την ολοκλήρωση. Το σύστημα δεν θα εμπεριέχει εξ'ορισμού πληροφορία για κάποιους από τους συντελεστές της εξίσωσης το πλήθος των οποίων θα ταυτίζεται με την τάξη της, και οι οποίοι θα αναπαριστούν τις σχετικές σταθερές ολοκλήρωσης. Ασχοληθήκαμε με την εφαρμογή της μεθόδου στην κατηγορία των γραμμικών εξισώσεων πρώτης τάξης, με σταθερούς συντελεστές και όρο, και χρησιμοποιήσαμε τα ευρήματά μας σε εφαρμογή για την <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Steady_state" target="_blank" rel="noreferrer noopener">ασυμπτωτική ευστάθεια αγοράς</a> με σχετικά απλή δυναμική συμπεριφορά. Ασχοληθήκαμε επίσης, και με παράδειγμα γραμμικής πρώτης τάξης με σταθερούς συντελεστές και γραμμικό όρο.</p> <p>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202018-19/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/DifIntPser_cor.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>, <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202018-19/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Integral.pdf">εδώ</a>, και  <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202018-19/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/PSerODE.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> , ενώ <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202018-19/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/2ndorderex.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> μπορείτε να βρείτε παράδειγμα εύρεσης λύσεων σε γραμμική εξίσωση δεύτερης τάξης.    </p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις</strong>.</p> <p>1. Να βρεθούν τα αόριστα ολοκληρώματα για τις παρακάτω δυναμοσειρές (αγνοήστε το ζήτημα του αν αυτές έχουν ή όχι εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης-γιατί είναι δυνατόν να το κάνετε;):</p> <ol><li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Di%21%28x-4%29%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bi&amp;plus;1%7D%28x-2%29%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bi&amp;plus;2%7D%28x-7%29%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bi%5E2%7Dx%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bi%21%7D%7B%5Cexp%28i%29%7Dx%5E%7Bi%7D" alt="" />.</li> </ol><p>2. Για ποιές από τις παραπάνω περιπτώσεις τα ολοκληρώματα είναι καλώς ορισμένα;</p> <p>3. Για αυτές που είναι καλώς ορισμένα να βρεθούν τα αόριστα ολοκληρώματα με κάτω όριο το κέντρο της δυναμοσειράς και άνω όριο το ενδιάμεσο σημείο μεταξύ του κέντρου και του δεξιού άκρου του διαστήματος σύγκλισης.</p> <p>4. Να βρεθούν αν υπάρχουν λύσεις που έχουν την μορφή δυναμοσειρών με κέντρο το μηδέν, με την μέθοδο των δυναμοσειρών για τις παρακάτω:</p> <ol><li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?y%27%3Day&amp;plus;%5Cbeta_%7B0%7D&amp;plus;%5Cbeta_%7B1%7Dx&amp;plus;%5Cbeta_%7B2%7Dx%5E%7B2%7D" alt="gif.latex?y%27%3Day&amp;plus;%5Cbeta_%7B0%7D&amp;plus;%5Cbeta_%7B1%7Dx&amp;plus;%5Cbeta_%7B2%7Dx%5E%7B2%7D" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?y%27%27%3Dy&amp;plus;%5Cbeta" alt="gif.latex?y%27%27%3Dy&amp;plus;%5Cbeta" />.</li> </ol>Sat, 12 Jan 2019 18:08:57 +0300Sat, 12 Jan 2019 18:08:57 +0300206https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=205&course=OIK228<p>Το θεώρημα της παραγωγισιμότητας συνεπάγεται άμεσα ότι οι δυναμοσειρές με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης είναι <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Smoothness" target="_blank" rel="noreferrer noopener">ομαλές συναρτήσεις</a> στο εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης τους. Εργαστήκαμε για την εξαγωγή της μορφής των παραγώγων αυθαίρετης τάξης βασιζόμενοι και στην μορφή της κ-τάξης παραγώγου πολυωνυμικής συνάρτησης και είδαμε εφαρμογές στα πλαίσια της γεωμετρικής σειράς. Υπολογίζοντας τις παραγώγους στο κέντρο (γιατί είναι δυνατόν αυτό;), αποκτήσαμε αναπαραστάσεις των συντελεστών της δυναμοσειράς ως προς τις τελευταίες, και απαρατηρήσαμε ότι οι δυναμοσειρές ικανοποιούν μια "γενικευμένη εκδοχή του <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor's_theorem#Higher-order_differentiability" target="_blank" rel="noreferrer noopener">θεωρήματος Taylor</a>", ρίχνοντας έτσι μια επιφανειακή ματιά στην <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Analytic_function" target="_blank" rel="noreferrer noopener">θεωρία των αναλυτικών συναρτήσεων</a>. </p> <p>Ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με το παραμφερές ζήτημα της ολοκληρωσιμότητας δυναμοσειρών με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης. Είδαμε ότι το αόριστο ολοκλήρωμα τέτοιας υπάρχει, είναι δυναμοσειρά με το ίδιο κέντρο, και το ίδιο εσωτερικό διαστήματος σύγκλισης και προκύπτει με την όρο προς όρο ολοκλήρωση της αρχικής. Επομένως και εξαιτίας του τελευταίου αυτές είναι εύκολα ολοκληρώσιμες συναρτήσεις ενώ θυμηθείτε η <a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A0%CF%81%CF%8C%CE%B2%CE%BB%CE%B7%CE%BC%CE%B1_P%3DNP" target="_blank" rel="noreferrer noopener">ολοκλήρωση είναι διαδικασία πιθανόν περιπλοκότερη από την παραγώγιση</a>. Εξάγαμε έτσι τον γενικό τύπο του ολοκληρώματος.</p> <p>Συνεχίσαμε με το ζήτημα ολοκληρωσιμότητας δυναμοσειρών με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης παρατηρώντας ότι ο τρόπος της ολοκλήρωσης μας επιτρέπει (γιατί;) να έχουμε μια μοναδική σταθερά ολοκλήρωσης (όπως άλλωστε θα περιμέναμε) συνδυάζοντας τις σταθερές που προκύπτουν από την όρο προς όρο ολοκλήρωση σε μία. Εργαζόμενοι για μια ακόμη φορά με την γεωμετρική σειρά και το θεώρημα ολοκλήρωσης, αποκτήσαμε παράδειγμα όπου (α) η αρχική δυναμοσειρά και το ολοκλήρωμα ή η παράγωγος έχουν διαφορετικά διαστήματα σύγκλισης, (β) μέσω των παραπάνω, του θεωρήματος συνέχειας και του <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Abel%27s_theorem" target="_blank" rel="noreferrer noopener">Αβελιανού Θεωρήματος για δυναμοσειρές</a> (το οποίο προφανώς είναι εκτός του εύρους του μαθήματος) δείξαμε ότι η εναλλάσουσα αρμονική σειρά ισούται με ln(2), και αποκτήσαμε μια αναπαράσταση της λογαριθμικής συνάρτησης από δυναμοσειρά με κέντρο το 1 και διάστημα σύγκλισης το (0,2]. </p> <p>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202018-19/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/DifIntPser_cor.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις</strong></p> <p>Α. Να βρεθούν οι παράγωγοι 2ης και 3ης τάξης για όσες από τις παρακάτω δυναμοσειρές είναι καλώς ορισμένες:</p> <ol><li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Di%21%28x-4%29%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bi&amp;plus;1%7D%28x-2%29%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bi&amp;plus;2%7D%28x-7%29%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bi%5E2%7Dx%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bi%21%7D%7B%5Cexp%28i%29%7Dx%5E%7Bi%7D" alt="" />.</li> </ol><p>Β. Να βρεθούν τα αόριστα ολοκληρώματα για τις παραπάνω δυναμοσειρές (αγνοήστε το ζήτημα του αν αυτές έχουν ή όχι εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης-γιατί είναι δυνατόν να το κάνετε;).</p> <p>Γ. Για ποιές από τις παραπάνω περιπτώσεις τα ολοκληρώματα είναι καλώς ορισμένα;</p>Sat, 22 Dec 2018 01:09:41 +0300Sat, 22 Dec 2018 01:09:41 +0300205https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=204&course=OIK228<p>Καταρχάς ασχοληθήκαμε με την διερεύνηση παραδειγμάτων ως προς το θεώρημα Cauchy-Hadamard, και συνεχίσαμε με στοιχεία της άλγεβρας μεταξύ δυναμοσειρών με κοινό κέντρο, με αναφορά στα διαστήματα σύγκλισής τους. Παρατηρήσαμε π.χ. ότι δύο δυναμοσειρές με το ίδιο κέντρο είναι ίσες ανν οι συντελεστές τους είναι κατά σημείο ίσοι, ενώ περισσότερο περίπλοκες σχέσεις μεταξύ των συντελεστών είναι δυνατόν να χρειάζονται για την διατύπωση ισότητας μεταξύ δυναμοσειρών με διαφορετικά κέντρα. Αναλόγως το άθροισμα δυναμοσειρών με κοινό κέντρο είναι δυναμοσειρά με το ίδιο κέντρο και διάστημα σύγκλισης υπερσύνολο της τομής των διαστημάτων σύγκλισης των δύο δυναμοσειρών, κ.ο.κ.  </p> <p>Ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με αναλυτικές ιδιότητες των δυναμοσειρών. Καταρχάς διατυπώσαμε το θεώρημα συνέχειας που μας πληροφορεί ότι οι δυναμοσειρές είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα συγκλισής τους. Η απόδειξη αυτού είναι δυνατόν να προκύπτει από έννοιες εκτός του εύρους του μαθήματος (δείτε π.χ. <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Compact_convergence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Abel%27s_theorem" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>), αλλά επί της ουσίας μας πληροφορεί ότι για της δυναμοσειρές επιτρέπεται κάποιου είδους <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Interchange_of_limiting_operations" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εναλλαγή ορίων</a>.</p> <p>Εντυπωσιακότερο είναι το θεώρημα παραγωγισιμότητας δυναμοσειράς με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης, στο εσωτερικό αυτού, που επιτρέπει επίσης κάποιου εναλλαγή ορίου, και συνεπάγεται ότι η παράγωγος είναι επίσης δυναμοσειρά με το ίδιο κέντρο και εσωτερικό διαστήματος σύγκλισης που ταυτίζεται με το εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης της αρχικής, ενώ υπολογίζεται πολύ εύκολα από την αρχική δυναμοσειρά. Ασχοληθήκαμε με διάφορες εφαρμογές του.</p> <p>Εργαστήκαμε με παραδείγματα που προέκυψαν στα πλαίσια της γεωμετρικής σειράς όποτε είδαμε ότι είναι δυνατόν να χρησιμοποιείται η εν λόγω αναλυτική ιδιότητα προκειμένου να βρίσκουμε πραγματικές σειρές. Παραγωγίζοντας κατάλληλη δυναμοσειρά και βρίσκοντας την μοναδική λύση <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Initial_value_problem" target="_blank" rel="noreferrer noopener">προβλήματος αρχικών τιμών</a> δείξαμε το πως αναπαρίσταται από δυναμοσειρά η εκθετική συνάρτηση, ενώ είδαμε ότι η αναπαράσταση αυτή δεν είναι μοναδική όπως και άλλα συναφή ζητήματα. Οι λόγοι που ισχύουν αυτές οι αναπαραστάσεις αφορούν στην θεωρία των <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Analytic_function" target="_blank" rel="noreferrer noopener">αναλυτικών συναρτήσεων</a>.</p> <p>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202018-19/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Powser1.pdf">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202018-19/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/DifIntPser_cor.pdf">εδώ</a>.</p> <p> </p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις</strong>.</p> <p>Α. Να δειχθεί ότι οι παρακάτω είναι δυναμοσειρές και να βρεθεί το εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης αυτών:</p> <ol><li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Di%28x-5%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="72" height="38" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bi%21%7D%7Bi%5E%7Bi%7D%7D%20%28x-2%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="66" height="32" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B2%7D%7B%28i&amp;plus;1%29%5E%7B2%7D%7D%20%28x-1%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="93" height="31" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D2%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%28i%29%7D%20%28x-1%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="89" height="35" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D2000%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cexp%28i%29%7D%20%28x-100%21%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="110" height="31" /></li> </ol><p>Β. Να βρεθούν οι παράγωγοι πρώτης τάξης για τις παρακάτω δυναμοσειρές (αγνοήστε το ζήτημα του αν αυτές έχουν ή όχι εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης-γιατί είναι δυνατόν να το κάνετε;):</p> <ol><li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Di%21%28x-4%29%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bi&amp;plus;1%7D%28x-2%29%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bi&amp;plus;2%7D%28x-7%29%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bi%5E2%7Dx%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bi%21%7D%7B%5Cexp%28i%29%7Dx%5E%7Bi%7D" alt="" />.</li> </ol><p> </p> <p>Γ. Για ποιές από τις περιπτώσεις της άσκησης Β, οι παράγωγοι είναι καλώς ορισμένες;</p>Sun, 16 Dec 2018 16:28:24 +0300Sun, 16 Dec 2018 16:28:24 +0300204https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=203&course=OIK228<p>Ξεκινήσαμε την πραγμάτευση παραδείγματος που επισκοπεί μεγάλο μέρος της μέχρι τώρα ύλης, και αφορά στην βέλτιστη επιλογή διαχρονικής κατανάλωσης σε κατάλληλο υπόβαθρο. Σε αυτό παρατηρήσαμε ότι διαχρονική ροή κατανάλωσης είναι όποια πραγματική ακολουθία από μη αρνητικούς όρους, ενώ αρχίσαμε να εργαζόμαστε στην κατασκευή εφικτού συνόλου από διαχρονικές ροές κατανάλωσης δεδομένης εξωγενούς αρχικής προικοδότησης και τεχνολογίας μετασχηματισμού πόρων. </p> <p>Ασχοληθήκαμε με την περιγραφή εφικτού συνόλου που προσδιορίζεται από εξωγενή προικοδότηση και σταθερή στον χρόνο τεχνολογία μετασχηματισμού των πόρων. Παρατηρήσαμε ότι το εφικτό σύνολο από διαχρονικές ροές κατανάλωσης δεδομένων των παραπάνω, προσδιορίζεται από ακολουθία ανισοτικών περιορισμών ("διαχρονικοί εισοδηματικοί περιορισμοί"), είναι μη κένο, και αποτελείται από (<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_boundedness" target="_blank" rel="noreferrer noopener">ομοιόμορφα</a>) φραγμένες ακολουθίες.</p> <p>Δεδομένου αυτού του παραδείγματος εφικτού συνόλου, και περιγράφοντας σε αδρές γραμμές την σύνδεση μεταξύ σχέσης προτίμησεων επί του εφικτού συνόλου και (όταν υπάρχει) συνάρτησης ωφέλειας που την αναπαριστά, ασχοληθήκαμε με παράδειγμα συνάρτησης ωφέλειας <em>επί του εφικτού συνόλου</em> και με το ζήτημα του αν αυτή (και συνακόλουθα το πρόβλημα της βέλτιστης επιλογής διαχρονικής ροής κατανάλωσης) είναι καλώς ορισμένη. Αυτή είχε την <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Discounted_utility" target="_blank" rel="noreferrer noopener">μορφή σειράς συναρτήσεων</a> και εμφάνιζε τα χαρακτηριστικά της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Discount_function" target="_blank" rel="noreferrer noopener">χρονικής διαχωρισιμότητας</a> (time separability) και της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_discounting" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εκθετικής χρονικής προεξόφλησης</a> (exponential discounting). Το να είναι καλώς ορισμένη ισοδυναμεί με το να συγκλίνει για κάθε εφικτή διαχρονική κατανάλωση. Δεδομένων των τιμών που επιτρέψαμε στον συντελεστή χρονικής προτίμησης, και χρησιμοποιώντας μια σειρά από συλλογισμούς που άπτονται σημαντικού μέρους της μέχρι τώρα μας ύλης, δείξαμε το καλώς ορισμένο.</p> <p>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202018-19/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Example.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202018-19/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/BoundedFeasSet.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Ξεκινήσαμε την εισαγωγή μας στην <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Power_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">θεωρία των δυναμοσειρών</a>. Παρατηρώντας ότι μπορούν τυπικά να ειδωθούν ως κατάλληλα <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Formal_power_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">αλγεβρικά συμπληρώματα</a> των πολυωνύμων εφόσον αγνοήσουμε αναλυτικές ιδιότητες τους (ενώ η αλγεβρική αυτή θέαση είναι προφανώς εκτός του εύρους του μαθήματος), και ότι ως έννοιες της ανάλυσης (που είναι εντός του εύρους του μαθήματος) και εξαιτίας των "καλών ιδιοτήτων τους" έχουν ποικίλες εφαρμογές, ασχοληθήκαμε με τον ορισμό τους, και είδαμε παραδείγματα, αντιπαραδείγματα αλλά και περιπτώσεις που η ταυτοποίηση μιας σειράς συναρτήσεων ως δυναμοσειράς είναι δυνατόν να απαιτεί κάποιον κατάλληλο μετασχηματισμό.</p> <p>Δεδομένων των παραπάνω, ασχοληθήκαμε καταρχάς με το ζήτημα της συγκλισής τους, οπότε και διατυπώσαμε το <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2%80%93Hadamard_theorem" target="_blank" rel="noreferrer noopener">θεώρημα Cauchy-Hadamard</a> που μας πληροφορεί ότι το σύνολο σύγκλισης έχει πάντοτε την μορφή διαστήματος (έστω εκφυλισμένου, ή γενικευμένου), με κατάλληλο κέντρο και ακτίνα, μια πρώτη ένδειξη της καλής συμπεριφοράς αυτών. Σκιαγραφήσαμε (και) μέσω του κριτηρίου του πηλίκου την απόδειξη του θεωρήματος, ενώ είδαμε ότι στο εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης η σύγκλιση της δυναμοσειράς είναι απόλυτη, το διάστημα σύγκλισης είναι δυνατόν να περιέχει κάποιο ή και τα δύο άκρα του (εφόσον υπάρχουν), αυτό είναι αδύνατο να διερευνηθεί μέσω του κριτηρίου του πηλίκου, ενώ η σύγκλιση σε κάποιο από αυτά ή και στα δύο (εφόσον ισχύει) μπορεί να είναι κατά συνθήκη.</p> <p>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202018-19/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Powser1.pdf">εδώ</a>.</p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις</strong></p> <ol><li>Ερμηνεύστε οικονομικά τον μετασχηματισμό <img class="latex" title="k\rightarrow k^{a}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=k%5Crightarrow+k%5E%7Ba%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="k\rightarrow k^{a}" />.</li> <li>Προσπαθήστε να δείξετε αν το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διερευνήθηκε παραπάνω είναι καλώς ορισμένο όταν η συνάρτηση ωφέλειας είναι η <img class="latex" title="\sum_{t=0}^{\infty}\beta^{t}\ln (c_{t}+1)" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bt%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cbeta%5E%7Bt%7D%5Cln+%28c_%7Bt%7D%2B1%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{t=0}^{\infty}\beta^{t}\ln (c_{t}+1)" />.</li> <li>Για το προηγούμενο να βρεθούν αν υπάρχουν εφικτές διαχρονικές καταναλώσεις με σχεδόν όλους τους όρους θετικούς για τις οποίες η συνάρτηση ωφέλειας συγκλίνει όταν <img class="latex" title="\beta=1" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cbeta%3D1&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\beta=1" />.</li> <li>Εξηγήστε το γιατί η συνάρτηση ωφέλειας είναι σειρά πραγματικών συναρτήσεων η κάθε μία εκ των οποίων ορίζεται επί του εφικτού συνόλου.</li> <li>Προσπαθείστε να διερευνήσετε ότι έχει γίνει και ότι έχει ζητηθεί στην εφαρμογή μας όταν αντί του μετασχηματισμού <img class="latex" title="k\rightarrow k^{a}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=k%5Crightarrow+k%5E%7Ba%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="k\rightarrow k^{a}" /> ισχύει ο μετασχηματισμός (δηλ. ο στιγμιαίος ανατοκισμός του διαθέσιμου πόρου με στιγμιαίο σταθερό στον χρόνο επιτόκιο r)<img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ckappa_%7Bt%7D%5Crightarrow%20%281&amp;plus;r%29k_%7Bt%7D%2C%5C%3At%5Cin%5Cmathbb%20N%2C%5C%3A%20r%3E0." alt="" /></li> <li>Να δειχθεί ότι οι παρακάτω είναι δυναμοσειρές και να βρεθεί το εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης αυτών:</li> </ol><ul><li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Di%28x-5%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="72" height="38" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bi%21%7D%7Bi%5E%7Bi%7D%7D%20%28x-2%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="66" height="32" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B2%7D%7B%28i&amp;plus;1%29%5E%7B2%7D%7D%20%28x-1%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="93" height="31" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D2%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%28i%29%7D%20%28x-1%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="89" height="35" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D2000%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cexp%28i%29%7D%20%28x-100%21%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="110" height="31" /></li> </ul><p> </p> <p> </p>Sat, 08 Dec 2018 04:27:47 +0300Sat, 08 Dec 2018 04:27:47 +0300203https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=202&course=OIK228<p>Συνεχίσαμε με το δεύτερο παράδειγμα όπου και βάσει <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Rational_pricing" target="_blank" rel="noreferrer noopener">κατάλληλων εννοιών της χρηματοοικονομικής</a> ασχοληθήκαμε με περιοριστικό ορισμό και <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Valuation_(finance)">τιμολόγηση χρηματοοικονομικού τίτλου</a>. Θεωρήσαμε υποπαράδειγμα της προσέγγισής μας που αφορούσε στην μη σύγκλιση κατάλληλης σειράς, ως σχετικό με την έννοια της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Economic_bubble" target="_blank" rel="noreferrer noopener">χρηματοοικονομικής φούσκας</a>. Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202018-19/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/FinancialSeqSer.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>. Ένα γενικότερο υπόδειγμα αποτίμησης σε υπόβαθρο αβεβαιότητας (το οποίο προφανώς είναι εκτός της ύλης του μαθήματος) μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202018-19/%CE%93%CE%B5%CE%BD%CE%B9%CE%BA%CF%8C%20%CE%A5%CF%80%CF%8C%CE%B4%CE%B5%CE%B9%CE%B3%CE%BC%CE%B1%20%CE%91%CF%80%CE%BF%CF%84%CE%AF%CE%BC%CE%B7%CF%83%CE%B7%CF%82%20%CE%A7%CF%81%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%BF%CE%BF%CE%B9%CE%BA%CE%BF%CE%BD%CE%BF%CE%BC%CE%B9%CE%BA%CE%BF%CF%8D%20%CE%A4%CE%AF%CF%84%CE%BB%CE%BF%CF%85/cap_notes_2_0809.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Στην συνέχεια, και προκειμένου να μπορούμε να ασχοληθούμε με πολυπλοκότερα παραδείγματα αλλά και με την έννοια της δυναμοσειράς και τις συνακόλουθες εφαρμογές, ξεκινήσαμε την γενίκευση των έννοιών που έχουμε δει μέχρι τώρα εισάγωντας και την έννοια της ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού. Παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν να αντιληφθούμε μια ακολουθία πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού με τρεις ισοδύναμους τρόπους. Ο τρίτος την αναπαριστά ως "λίστα" πραγματικών ακολουθιών, μία για καθε σημείο του κοινού πεδίου ορισμού. Αυτός μαζί με την έννοια του ορίου πραγματικής ακολουθίας μας οδήγησε "φυσικά" στην έννοια του <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Pointwise_convergence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">σημειακού ορίου</a> ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων, το οποίο εξ'ορισμού είναι πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού υποσύνολο του κοινού πεδίου ορισμού των όρων της ακολουθίας. (Και) μέσω παραδειγμάτων παρατηρήσαμε ότι αυτή η έννοια ορίου είναι αρκετά ασθενής ώστε <em>είναι δυνατόν</em> η συνάρτηση όριο να μην έχει ιδιότητες που έχουν όλα τα μέλη της ακολουθίας όπως π.χ. η συνέχεια, και πως είναι δυνατόν να οριστούν <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_convergence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">ισχυρότερες μορφές ορίου</a> που να διατηρούν κάποιες από αυτές τις ιδιότητες.</p> <p>Δεδομένων των παραπάνω, της δυνατότητας κατα σημείο πρόσθεσης πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού, και των όσων ξέρουμε για τις πραγματικές σειρές, ορίσαμε την έννοια της σειράς πραγματικών συναρτήσεων ως σημειακό όριο κατάλληλης ακολουθίας μερικών αθροισμάτων. Προκειμένου να εντοπίζουμε μέρος του πεδίου ορισμού μιας τέτοιας σειράς διατυπώσαμε αλγόριθμο που βασίζεται στο κριτήριο του πηλίκου και είδαμε παραδείγματα. Παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν σε μέρος του πεδίου ορισμού της μια τέτοια σειρά να συγκλίνει απολύτως και σε άλλο μέρος κατά συνθήκη (προφανώς το τελευταίο δεν είναι δυνατόν να εντοπισθεί από το κριτήριο του πηλίκου-γιατί;). Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202018-19/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Genseqser_cor.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p><strong>Ασκήσεις</strong></p> <ol><li> <p>Προσπαθήστε να ερμηνεύσετε αυστηρά στα πλαίσια της οικονομικής θεωρίας το τι συμβαίνει με την τιμή του τίτλου όταν δεν ισχύει η συνθήκη μη ύπαρξης φούσκας.</p> </li> <li> <p>Όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> να βρεθεί το <img class="latex" title="X^{*}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%5E%7B%2A%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X^{*}" width="21" height="12" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} x/i!" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+x%2Fi%21&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} x/i!" width="67" height="18" />.</p> </li> <li>Όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> να βρεθεί το <img class="latex" title="X^{*}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%5E%7B%2A%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X^{*}" width="21" height="12" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}x^{3i}/i!" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dx%5E%7B3i%7D%2Fi%21&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}x^{3i}/i!" width="78" height="19" /> .</li> <li>Όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> να βρεθεί το <img class="latex" title="X^{*}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%5E%7B%2A%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X^{*}" width="21" height="12" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} x/(i+1)" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+x%2F%28i%2B1%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} x/(i+1)" width="102" height="19" />.</li> <li>Όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> να βρεθεί το <img class="latex" title="X^{*}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%5E%7B%2A%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X^{*}" width="21" height="12" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} x^{2i}/(i+1)" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+x%5E%7B2i%7D%2F%28i%2B1%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} x^{2i}/(i+1)" width="113" height="19" />.</li> <li>Να επαναλάβετε τα προηγούμενα για το <img class="latex" title="X=(0,1)" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%280%2C1%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=(0,1)" width="71" height="18" />.</li> <li>Υπάρχουν στα παραπάνω περιπτώσεις που γνωρίζουμε βάσει και των όσων έχουμε κάνει προηγουμένως και ποιό είναι το όριο;</li> <li>Όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> να βρεθεί το <img class="latex" title="X^{*}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%5E%7B%2A%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X^{*}" width="21" height="12" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} \sin(ix)/i!" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Csin%28ix%29%2Fi%21&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} \sin(ix)/i!" width="105" height="19" /> χωρίς την χρήση του κριτηρίου.</li> <li>Προσπαθήστε να επαναλάβετε το παραπάνω χρησιμοποιώντας το κριτήριο.</li> <li>Να επαναλάβετε το ζητούμενο στην 8 όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} \cos(ix)/i" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Ccos%28ix%29%2Fi&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} \cos(ix)/i" width="102" height="19" />.</li> </ol><p> </p> <p> </p>Sat, 01 Dec 2018 23:47:00 +0300Sat, 01 Dec 2018 23:47:00 +0300202https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=201&course=OIK228<p>Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με την λειτουργία του <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test" target="_blank" rel="noreferrer noopener">κριτηρίου του πηλίκου</a>. Μέσω σκιαγράφησης μέρους της απόδειξης του, παρατηρήσαμε ότι επί της ουσίας λειτουργεί μέσω της σύγκρισης με γεωμετρική σειρά ο συντελεστής της οποίας σχετίζεται με το όριο της βοηθητικής ακολουθίας των πηλίκων των απολύτων τιμών των διαδοχικών όρων. Συνεπώς αναμένουμε ότι όταν τέτοια σύγκριση είναι αδύνατη (π.χ. σε υπεραρμονικές σειρές) το κριτήριο αναμένεται να είναι μη πληροφοριακό. Μέσω παραδειγμάτων είδαμε ότι η περίπτωση της μη πληροφοριακότητας είναι δυνατόν να αφορά κατά συνθήκη σύγκλιση, κάτι αναμενόμενο, απόκλιση αλλά και απόλυτη σύγκλιση. Συνεπώς είναι γενικά αδύνατο να συνάγουμε κάτι για την συμπεριφορά σειράς για την οποία το κριτήριο είναι μη πληροφοριακό χρησιμοποιώντας μόνο το κριτήριο. Παρατηρήσαμε επίσης ότι υπάρχουν εκλεπτύνσεις του κριτηρίου που είναι δυνατόν να μας πληροφορούν για την συμπεριφορά δεδομένης σειράς <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test#The_test" target="_blank" rel="noreferrer noopener">είτε όταν το όριο της βοηθητικής ακολουθίας δεν υπάρχει</a>, <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test#Extensions_for_L_.3D_1" target="_blank" rel="noreferrer noopener">είτε όταν αυτό ισούται με ένα</a>. Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202018-19/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Absconrt.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Συνεχίσαμε την εισαγωγική μας ενασχόληση με τις πραγματικές σειρές εργαζόμενοι σε απλό οικονομικό υπόδειγμα που αφορά στην νομισματική θεωρία  όπου συναντάμε τις έννοιες της πραγματικής ακολουθίας και της πραγματικής σειράς. Αυτό αφορά στην δημιουργία χρήματος από τις θεμελιώδεις λειτουργίες του τραπεζικού συστήματος, το οποίο αποτελείται από την κεντρική και τις εμπορικές τράπεζες και στο οποίο υπάρχει η <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Fractional-reserve_banking" target="_blank" rel="noreferrer noopener">τεχνολογία των κλασματικών διαθεσίμων</a>. Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202018-19/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/FinancialSeqSer.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις</strong></p> <ol><li>Επινοήστε όσο το δυνατόν περισσότερες σειρές και προσπαθήστε να διαπιστώσετε το αν συγκλίνουν χρησιμοποιώντας το κριτήριο. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε και αυτές που αναφέρονται σε παλαιότερες αναρτήσεις.</li> <li>Να δείξετε ότι αν η ακολουθία των πηλίκων των διαδοχικών όρων είναι φραγμένη από πάνω από φράγμα μικρότερο του 1 τότε η σειρά συγκλίνει απολύτως.</li> <li>Να δείξετε ότι η ακολουθία των πηλίκων των διαδοχικών όρων είναι φραγμένη από κάνω από φράγμα μεγαλύτερο του 1 τότε η σειρά αποκλίνει.</li> <li>Προσπαθήστε να ερμηνεύσετε αυστηρά στα πλαίσια της οικονομικής θεωρίας το τι θα συνέβαινε  στο άνω φράγμα της συνολικής προσφοράς χρήματος αν οι εμπορικές τράπεζες δεν είχαν υποχρέωση διακράτησης ρευστών διαθεσίμων (<img class="latex" title="a=0" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=a%3D0&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="a=0" />);</li> <li>Στην σελίδα 6 <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202018-19/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Absconrt.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> από παραδρομή έχουμε ταύτιση των παραδειγμάτων 3 και 5. Στο 5 αντικαταστήστε την εμφανιζόμενη σειρά με την <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%28-1%29%5E%7Bi%7D%5Cfrac%7B%5Cexp%28ie%29%7D%7Bi%21%7D" alt="" />. Χρησιμοποιήστε το κριτήριο του πηλίκου προκειμένου να αποφανθείτε για το ζήτημα της απόλυτης σύγκλισης της σειράς.</li> </ol>Sun, 25 Nov 2018 02:17:41 +0300Sun, 25 Nov 2018 02:17:41 +0300201https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=200&course=OIK228<p>Στα προηγούμενα, ασχοληθήκαμε με ασκήσεις όπου καλούμασταν να αποφανθούμε για το αν δεδομένη σειρά συγκλίνει. Σε αυτές η φραγή της σχετικής Α.Μ.Α. προέκυπτε από την επιλογή κατάλληλης πραγματικής ακολουθίας η οποία δεν ήταν γενικά προφανής. Κατανοήσαμε έτσι την ανάγκη ύπαρξης "υπολογιστικά απλού" τρόπου διαπίστωσης της σύγκλισης σε κάποιες τουλάχιστον περιπτώσεις.</p> <p>Στα πλαίσια του παραπάνω, συνεχίσαμε με την εξέταση στοιχείων του λογισμού σειρών, χρησιμοποιώντας πλέον την καταχρηστική ορολογία που χρησιμοποιείται γενικότερα στις σχετικές βιβλιογραφίες περί "σύγκλισης σειρών". Έτσι, π.χ. παρουσιάσαμε ζητήματα άλγεβρας συγκλινουσών σειρών, σχετίσαμε το ζήτημα της σύγκλισης σειράς με την σύγκλισης της σειράς που προκύπτει αν από την αρχική εξαιρέσουμε πεπερασμένο πλήθος των αρχικών της όρων, διαπιστώσαμε το πως μπορούμε να μετασχηματίζουμε δείκτες άθροισης χρησιμοποιώντας γνησίως αύξοντες μετασχηματισμούς κ.ο.κ.</p> <p>Προκειμένου για την διατύπωση του σχετικού αλγορίθμου η επιλογή του οποίου έγινε και λόγω της χρησιμοτητάς στα παρακάτω, ασχοληθήκαμε με μια εκλέπτυνση της σύγκλισης σειρών, εν προκειμένω με την <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_convergence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">απόλυτη σύγκλιση</a>. Δείξαμε ότι πρόκειται περί γνήσιας εκλέπτυνσης, ενώ η σύντομη μας αναφορά στο <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_series_theorem" target="_blank" rel="noreferrer noopener">Θεώρημα Σειρών του Riemann</a> και στο ότι ανν έχουμε απόλυτη σύγκλιση η αναδιάταξη των όρων της σειράς δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα, μας βοηθά να γενικεύσουμε τα των μετασχηματισμών των δεικτών στο να ισχύουν και για απλώς 1-1 και επί μετασχηματισμούς όταν η σειρά συγκλίνει απολύτως. </p> <p>Έτσι μπορέσαμε και  διατυπώσαμε το <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test" target="_blank" rel="noreferrer noopener">Κριτήριο του Πηλίκου</a> το οποίο (σε κάποιες περιπτώσεις) αποφαίνεται για το αν δεδομένη σειρά συγκλίνει απολύτως ή αποκλίνει (π.χ. αναμένουμε να είναι μη πληροφοριακό όταν η σειρά <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Conditional_convergence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">συγκλίνει κατά συνθήκη</a>-ενώ θα δούμε ότι δεν είναι μόνο τότε) και ξεκινήσαμε να εργαζόμαστε με αυτό.</p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις (και κάποιες ασκήσεις) για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202018-19/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Series2.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>, και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202018-19/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Absconrt.pdf">εδώ</a>.</p> <p><strong>Ασκήσεις</strong> (προσπαθήστε να λύσετε τις 1-4 τόσο χρησιμοποιώντας όσο και μη χρησιμοποιώντας το κριτήριο του πηλίκου).</p> <ol><li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i!}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bx%5E%7Bi%7D%7D%7Bi%21%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i!}" /> συγκλίνει για κάθε <img class="latex" title="x\geq 0" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=x%5Cgeq+0&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="x\geq 0" />.</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(i+1)^m},\: 0\leq m &lt;1" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%28i%2B1%29%5Em%7D%2C%5C%3A+0%5Cleq+m+%3C1&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(i+1)^m},\: 0\leq m &lt;1" /> αποκλίνει.</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i^{m}))" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cexp%28-%28i%5E%7Bm%7D%29%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i^{m}))" /> για όποιο <img class="latex" style="border:none;vertical-align:middle;height:auto;" title="m&gt;1" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=m%3E1&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="m&gt;1" /> συγκλίνει. Υπόδειξη: Μπορείτε να συσχετίσετε την συμπεριφορά της εν λόγω σειράς με την ανάλογη υπεραρμονική. Μπορείτε για μεγαλύτερη ευκολία να ασχοληθείτε με την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i+1)^{m}))" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cexp%28-%28i%2B1%29%5E%7Bm%7D%29%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i+1)^{m}))" /> ή/και να δείτε την προηγούμενη μόνο για m=2).</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(i)+1}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%28i%29%2B1%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(i)+1}" /> αποκλίνει.</li> <li>Επινοήστε όσο το δυνατόν περισσότερες σειρές και προσπαθήστε να διαπιστώσετε το αν συγκλίνουν χρησιμοποιώντας πλέον αποκλειστικά το κριτήριο. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε και αυτές που αναφέρονται σε παλαιότερες αναρτήσεις.</li> </ol>Sat, 17 Nov 2018 23:00:32 +0300Sat, 17 Nov 2018 23:00:32 +0300200https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=199&course=OIK228<p>Ξεκινήσαμε την εννοιολόγηση της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Series_(mathematics)" target="_blank" rel="noreferrer noopener">πραγματικής σειράς</a> ως "απειροπληθούς αθροίσματος" των όρων πραγματικής ακολουθίας. Χρειάστηκαμε την έννοια της ακολουθίας μερικών αθροισμάτων δεδομένης πραγματικής ακολουθίας. Αυτή μπορεί να θεωρηθεί ως διαδικασία "ολοκλήρωσης ", ενώ η ζητούμενη έννοια της σειράς είναι το όριο αυτής όταν αυτό υπάρχει. Εξετάσαμε παραδείγματα μεταξύ των οποίων αυτά της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">γεωμετρικής</a>, της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)" target="_blank" rel="noreferrer noopener">αρμονικής</a>, της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)#Alternating_harmonic_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εναλλάσουσας αρμονικής</a> και της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)#p-series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">υπεραρμονικής</a> ακολουθίας μερικών αθροισμάτων (και συνακόλουθα σειρών όπου αυτές υπάρχουν). Παρατηρήσαμε ότι με την εξαίρεση παραδειγμάτων όπως αυτό της γεωμετρικής σειράς, όπου ήταν "εύκολο" να βρεθεί και να ελεγχθεί ως προς την σύγκλιση γενικός τύπος για την μερική άθροιση, γενικά τα ζητήματα α) της ύπαρξης δεδομένης σειράς και β) της εύρεσης του με τι ισούται όταν υπάρχει, εμφανίζουν δυσκολίες στην γενική τους επίλυση ανάλογες με αυτές των διαδικασιών ολοκλήρωσης.</p> <p>Εστιάζοντας κυρίως στο α), ξεκινήσαμε την διατύπωση θεμελιώδους λογισμού σειρών που βασίζεται στον λογισμό που έχουμε αναπτύξει για τα όρια. Έτσι καταρχάς είδαμε ότι όταν η αρχική ακολουθία αποτελείται από ομόσημους όρους τότε και επειδή η ακολουθία μερικών αθροισμάτων αυτής είναι μονότονη, η σχετική σειρά θα υπάρχει ανν η ακολουθία μερικών αθροισμάτων είναι φραγμένη. Μέσω παραδείγματος παρατηρήσαμε ότι σε κάποιες περιπτώσεις η φραγή  είναι δυνατόν να προκύψει μέσω της κατά σημείο σύγκρισης της παραπάνω με κατάλληλα επιλεγμένη συγκλίνουσα γεωμετρική. Αυτό θα μας οδηγήσει στην κατασκευή γενικού κριτηρίου το οποίο θα μας πληροφορεί σε κάποιες περιπτώσεις για το αν δεδομένη σειρά υπάρχει μέσω μιας υπολογιστικά "λιγότερο περίπλοκης" διαδιακασίας.</p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202018-19/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limser.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202018-19/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/hyperharmonic.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <h3>Περαιτέρω Ασκήσεις</h3> <ol><li>Να οριστεί αυστηρά η αντίστροφη της διαδικασίας μερικής άθροισης.</li> <li>Έστω ακολουθία με αυστηρά θετικούς όρους. Δείξτε ότι η ακολουθία μερικών αθροισμάτων αυτής είναι γνησίως αύξουσα. Το αντίστροφο ισχύει;</li> <li>Χρησιμοποιώντας την γεωμετρική σειρά, και χωρίς να ασχοληθείτε με το αν μπορείτε να την «παραγωγίσετε» ως προς <img class="latex" title="a" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=a&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="a" /> προσπαθήστε να βρείτε την <img class="latex" title="\sum_{i=1}^{\infty}i a^{i}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7Di+a%5E%7Bi%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=1}^{\infty}i a^{i}" /> όταν <img class="latex" title="|a|&lt;1,\: a\neq 0" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%7Ca%7C%3C1%2C%5C%3A+a%5Cneq+0&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="|a|&lt;1,\: a\neq 0" />.</li> <li>Αν  <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} \alpha^{i},\: \sum_{i=0}^{\infty}\beta^{i}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Calpha%5E%7Bi%7D%2C%5C%3A+%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cbeta%5E%7Bi%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} \alpha^{i},\: \sum_{i=0}^{\infty}\beta^{i}" /> υπάρχουσες γεωμετρικές σειρές τότε με τι ισούται η <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} (\alpha^{i}-\beta^{i})" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%28%5Calpha%5E%7Bi%7D-%5Cbeta%5E%7Bi%7D%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} (\alpha^{i}-\beta^{i})" /> και γιατί;</li> <li>Ισχύει ότι <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}b_{i}=\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}\sum_{i=0}^{\infty}b_{i}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Da_%7Bi%7Db_%7Bi%7D%3D%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Da_%7Bi%7D%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Db_%7Bi%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}b_{i}=\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}\sum_{i=0}^{\infty}b_{i}" />; Υπάρχει περίπτωση να μην υπάρχει κάποια από τις δύο σειρές στην δεξιά πλευρά και να υπάρχει η σειρά στην αριστερή πλευρά της εν λόγω ισότητας;</li> <li>Να δείξετε ότι <img class="latex" title="\lim_{k\rightarrow\infty}\sum_{i=k}^{\infty}x_{i}=0" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Clim_%7Bk%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Csum_%7Bi%3Dk%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dx_%7Bi%7D%3D0&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\lim_{k\rightarrow\infty}\sum_{i=k}^{\infty}x_{i}=0" /> όταν η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}x_{i}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dx_%7Bi%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}x_{i}" /> υπάρχει.</li> <li>Να δείξετε ότι κάθε άθροισμα πεπερασμένου πλήθους όρων είναι δυνατόν να γραφεί ως κάταλληλη σειρά.</li> </ol>Sun, 11 Nov 2018 22:57:56 +0300Sun, 11 Nov 2018 22:57:56 +0300199https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=198&course=OIK228<p>Προκειμένου για την διατύπωση περαιτέρω στοιχείων του λογισμού των ορίων μεταγράψαμε τον αρχικό γεωμετρικό ορισμό του ορίου σε ισοδύναμο αναλυτικό ορισμό, χρησιμοποιώντας τους <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Universal_quantification" target="_blank" rel="noreferrer noopener">ποσοδείκτες</a> ("υπάρχει" και "για κάθε" ) και ανισότητες. Είδαμε πως εφαρμόζεται αυτός σε παραδείγματα και αντιπαραδείγματα και προχωρήσαμε μέσω της χρήσης του στην διακρίβωση της σχέσης της σύγκλισης με τις αλγεβρικές πράξεις που έχουμε μελετήσει για πραγματικές ακολουθίες. Παρατηρώντας ότι η χρήση μέρους του λογισμού έχει να κάνει με την διευκόλυνση της εξακρίβωσης του ζητήματος σύγκλισης (και ενδεχομένως της συνακόλουθης εύρεσης του ορίου) για ακολουθίες απου απατελούν κατάλληλους μετασχηματισμούς ακολουθιών των οποίων η ασυμπτωτική συμπεριφορά είναι γνωστή, αναφερθήκαμε καταλήγωντας στον μετασχηματισμό ακολουθιών μέσω σύνθεσης με κατάλληλες συναρτήσεις, και συνακόλουθα στην <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Continuous_mapping_theorem">αρχή της μεταφοράς</a>. Χρησιμοποιήσαμε πολλές από τις έννοιες που έχουμε μέχρι τώρα εξάγει στην μελέτη της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς ενός γενικού παραδείγματος.</p> <p>Ακολούθως, και ξεκινώντας την ενασχόληση μας με τις <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Series_(mathematics)#Convergent_series" target="_blank" rel="noreferrer noopener">πραγματικές σειρές</a>, προσπαθώντας να εννοιολογήσουμε το απειροπληθές άθροισμα είδαμε ότι γενικά αυτό είναι αδύνατο μέσω της άλγεβρας.</p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202018-19/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limits.pdf">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202018-19/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limser.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <h3>Ασκήσεις</h3> <ol><li>Εξάγετε τις αποδείξεις όλων των αποτελεσμάτων αντικαθιστώντας στον ορισμό του ορίου τα ανοικτά με κλειστά διαστήματα.</li> <li>Δείξτε το Λήμμα (Μοναδικότητα) αποκλειστικά μέσω του αναλυτικού ορισμού.</li> <li>Δείξτε ότι συγκλίνουσα ακολουθία με κάτω φράγμα το 1 δεν μπορεί να έχει όριο μικρότερο του 1.</li> <li>Δείξτε ότι συγκλίνουσα ακολουθία με άνω φράγμα το 1 δεν μπορεί να έχει όριο μεγαλύτερο του 1.</li> <li>Δείξτε ότι το όριο συγκλίνουσας ακολουθίας δεν μπορεί να είναι μικρότερο από το inf και μεγαλύτερο από το sup αυτής.</li> <li>Να δείξετε μόνο μέσω του αναλυτικού ορισμού ότι η <img class="latex" title="(\exp(\frac{1}{n+1}))" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%28%5Cexp%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%2B1%7D%29%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="(\exp(\frac{1}{n+1}))" /> συγκλίνει στο 1.</li> <li>Να δείξετε μόνο μέσω του αναλυτικού ορισμού ότι η <img class="latex" title="(\exp(\frac{1}{n+1}))" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%28%5Cexp%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%2B1%7D%29%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="(\exp(\frac{1}{n+1}))" /> δεν συγκλίνει σε όποιον πραγματικό διάφορο του 1.</li> <li>Να δείξετε ότι το γινόμενο φραγμένης με συγκλίνουσα στο μηδέν ακολουθία είναι ακολουθία που επίσης συγκλίνει στο μηδέν. Θα ήταν δυνατόν να συμβαίνει κάτι τέτοιο ακόμη και αν η πρώτη δεν ήταν φραγμένη αλλά αποκλίνουσα;</li> </ol><p> </p> <p> </p>Thu, 01 Nov 2018 22:01:43 +0300Thu, 01 Nov 2018 22:01:43 +0300198https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=197&course=OIK228<p>Τα προηγούμενα αποτελέσματα για την ασυμπτωτική συμπεριφορά μονότονων και φραγμένων ακολουθιών μας προετοίμασαν για την ακριβή (καταρχάς γεωμετρική) διατύπωση της έννοιας του ορίου πραγματικής ακολουθίας. Μέσω αυτής διαπιστώσαμε ότι υπάρχουν τόσο συγκλίνουσες (π.χ. οι φραγμένες και μονότονες) όσο και αποκλίνουσες ακολουθίες, ότι όταν το όριο υπάρχει είναι μοναδικό, και ξεκινήσαμε την εξαγωγή μιας σειράς από αποτελέσματα που συγκροτούν ένα μικρό μέρος του (ατελούς) λογισμού που χρησιμεύει στην διακρίβωση του αν μια ακολουθία είναι συγκλίνουσα, ή/και όταν είναι, στην εύρεση του ορίου αυτής. Έπι παραδείγματι, μέσω της χρήσης του γεωμετρικού ορισμού είδαμε ότι αν μια ακολουθία είναι συγκλίνουσα είναι και φραγμένη οπότε ισοδύναμα αν μια ακολουθία είναι μη φραγμένη τότε αναγκαστικά είναι αποκλίνουσα, ή ότι όταν μια συγκλίνουσα ακολυθία έχει μη αρνητικούς όρους,τότε το όριο της δεν μπορείνα είναι αρνητικό, ή ότι το ζήτημα της σύγκλισης της ακολουθίας δεν επηρεάζεται καθόλου από την συμπεριφορά όποιου πεπερασμένου μέρους της ακολουθίας.</p> <p>Παρατηρήσαμε ότι η διατύπωση στοιχείων αυτού του λογισμού θα είναι πιο ευχερής αν έχουμε στην διάθεση μας κάποιον ισοδύναμο αναλυτικό ορισμό του ορίου, τον οποίο και αφήσαμε για τις επόμενες διαλέξεις.</p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω και ασκήσεις μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202018-19/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Limits.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις:</strong></p> <ol><li>Χρησιμοποιώντας τον γεωμετρικό ορισμό του ορίου να δειχθεί ότι κάθε <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Subsequence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">υπακολουθία</a> συγκλίνουσας ακολουθίας συγκλίνει επίσης στο ίδιο όριο.</li> <li>Έστω συγκλίνουσα ακολουθία όπου κάθε όρος της οποίας είναι μεγαλύτερος ή ίσος του πραγματικού αριθμού C. Να δειχθεί ότι το όριο είναι επίσης μεγαλύτερο ή ίσο του C.</li> <li>Έστω συγκλίνουσα ακολουθία όπου κάθε όρος της οποίας είναι μικρότερος ή ίσος του πραγματικού αριθμού C. Να δειχθεί ότι το όριο είναι επίσης μικρότερο ή ίσο του C.</li> <li>'Εστω ακολουθία για την οποία οι απόλυτες τιμές σχεδόν όλων των όρων είναι μεγαλύτερες ή ίσες των απολύτων τιμών των αντίστοιχων όρων ακολουθίας που δεν είναι φραγμένη. Να δειχθεί ότι η αρχική ακολουθία είναι αποκλίνουσα.  </li> </ol>Sat, 27 Oct 2018 02:10:27 +0300Sat, 27 Oct 2018 02:10:27 +0300197https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=195&course=OIK228<p>Ασχοληθήκαμε περαιτέρω με την έννοια της φραγής. Δείξαμε π.χ. ότι οι αλγεβρικές πράξεις διατηρούν την φραγή (έτσι π.χ. το σύνολο των φραγμένων πραγματικών ακολουθιών είδαμε ότι αποτελεί <a href="/modules/document/file.php/OIK269/LinAlg2.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">διανυσματικό υποχώρο</a> του συνόλου των πραγματικών ακολουθιών ως προς τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτου πολλαπλασιασμού), ενώ το άθροισμα φραγμένης με μη φραγμένη ακολουθία είναι μη φραγμένη ακολουθία. "Γενικεύσαμε" την έννοια στην σχεδόν παντού φραγή με τον προφανή τρόπο και δείξαμε την ισοδυναμία των δύο εννοιών. Δείξαμε ότι η ισοδυναμία αυτή μπορεί να είναι χρήσιμη στην εξαγωγή αποτελεσμάτων που π.χ. αποδίδουν την ιδιότητα της φραγής σε πραγματική ακολουθία μέσω κατάλληλης (σχεδόν παντού) σύγκρισης με φραγμένη ακολουθία, κ.ο.κ.</p> <p>Παρατηρήσαμε ότι η διάταξη με την οποία εμφανίζονται οι όροι μιας πραγματικής ακολουθίας μέσα σε αυτή δεν συμφωνεί αναγκαστικά με την διάταξη τους στην πραγματική ευθεία. Όταν οι δύο αυτές διατάξεις σχετίζονται μονότονα αποκτούμε την έννοια της μονότονης ακολουθίας. Έτσι, και χρησιμοποιώντας τον ορισμό της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Monotonic_function" target="_blank" rel="noreferrer noopener">μονότονης πραγματικής συνάρτησης</a>, διερευνήσαμε ζητήματα μονοτονίας για τις πραγματικές ακολουθίες. Δείξαμε επίσης ότι η μονοτονία προκύπτει ισοδύναμα από την σύγκριση μεταξύ των όρων σε κάθε ζεύγος διαδοχικών όρων της ακολουθίας. Παρατηρήσαμε ότι οι (γνησίως) αύξουσες ακολουθίες είναι αναγκαστικά φραγμένες από κάτω, ενώ δυικά οι (γνησίως) φθίνουσες ακολουθίες είναι αναγκαστικά φραγμένες από πάνω. Παρόλα αυτά υπάρχουν μονότονες ακολουθίες που δεν είναι φραγμένες ακριβώς επειδή τους λείπει η ύπαρξη του έτερου φράγματος, ενώ υπάρχουν και ακολουθίες που δεν είναι ούτε μονότονες ούτε και φραγμένες.</p> <p>Όταν όμως μια ακολουθία συνδυάζει και τις δύο ανωτέρω ιδιότητες τότε διαθέτει ένα ενδιαφέρον χαρακτηριστικό το οποίο θα μας βοηθήσει στην νοηματοδότηση του ορίου. Έτσι αποδειξαμε και διατυπώσαμε σημαντική <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Monotone_convergence_theorem" target="_blank" rel="noreferrer noopener">ιδιότητα</a> των ακολουθιών που είναι ταυτόγχρονα φραγμένες και μονότονες και η οποία σχετίζεται με μια μορφή "ασυμπτωτικής συγκέντρωσης" όποιας φραγμένης και αύξουσας ακολουθίας "γύρω από" το sypremum της και δυικά με την ίδια μορφή "ασυμπτωτικής συγκέντρωσης" όποιας φραγμένης και φθίνουσας ακολουθίας "γύρω από" το infimum της.</p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω όπως και κάποιες ασκήσεις μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202018-19/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq2.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202018-19/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq3.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p><strong>Περαιτέρω Ασκήσεις:</strong></p> <ol><li>Να δειχθεί ότι αν οι <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28x_%7Bn%7D%29%2C%5C%3A%28y_%7Bn%7D%29" alt="gif.latex?%28x_%7Bn%7D%29%2C%5C%3A%28y_%7Bn%7D%29" /> φραγμένες τότε και η <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%28%5Cmax%28x_%7Bn%7D%29%2C%5C%3A%28y_%7Bn%7D%29%29" alt="gif.latex?%28%5Cmax%28x_%7Bn%7D%29%2C%5C%3A%28y_%7Bn%7D%29%29" /> φραγμένη.</li> <li>Να δειχθεί ότι η ακολουθία <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bn%7Dx%5E%7B2%7Ddx%20%5Cright%20%29" alt="gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bn%7Dx%5E%7B2%7Ddx%20%5Cright%20%29" /> δεν είναι φραγμένη.</li> <li>Να δειχθεί ότι για κάθε μονότοτονη ακολουθία, κάθε υπακολουθία αυτής έχει την ίδια ή ισχυρότερη μονοτονία.</li> <li>Για τις ακολουθίες της Άσκησης 1, να δειχθεί ότι αν οι δύο πρώτες είναι αύξουσες, τότε και η τρίτη είναι (ενδεχομένως γνωσίως) αύξουσα.</li> <li>Να δειχθεί ότι αν μια ακολουθία είναι φθίνουσα και φραγμένη, τότε σε κάθε ανοικτό διάστημα με κέντρο το infimum της θα περιέχει σχεδόν όλη την ακολουθία, με το πλήθος των όρων που βρίσκονται εκτός αυτού να μπορεί να εξαρτάται από το διάστημα. Θα άλλαζε το συμπέρασμα αν χρησιμοποιούσαμε τα κλειστά αντι των ανοικτών διαστήματα;</li> </ol><p> </p>Sat, 20 Oct 2018 23:27:06 +0300Sat, 20 Oct 2018 23:27:06 +0300195https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=193&course=OIK228<p>Χρησιμοποιώντας το ζεύγος των ορισμών ασχοληθήκαμε καταρχάς με ζητήματα συμβολισμών, ενώ παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν κάποιες πραγματικές ακολουθίες να περιγράφονται πληρως ως μοναδικές λύσεις αναδρομικών σχέσεων με αρχικές συνθήκες. </p> <p>Είδαμε παραδείγματα πράξεων μεταξύ ακολουθιών όπως η κατά σημείο πρόσθεση και ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός (ως προς αυτές το σύνολο των πραγματικών ακολουθιών είναι <a href="/modules/document/file.php/OIK269/LinAlg1.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">διανυσματικός χώρος</a>) καθώς και την πράξη του σημειακού πολλαπλασιασμού.</p> <p>Στην συνέχεια και χρησιμοποιώντας τον συναρτησιακό ορισμό ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με αναλυτικές ιδιότητες που μπορεί να έχουν πραγματικές ακολουθίες. Έτσι, διερευνώντας με λεπτομέρεια τον ορισμό της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Bounded_function" target="_blank" rel="noreferrer noopener">φραγμένης πραγματικής συνάρτησης</a> και παραλλαγών αυτού, καταλήξαμε στο πότε μια πραγματική ακολουθία έχει την ιδιότητα της φραγής, και ασχοληθήκαμε με παραδείγματα και άντι-παραδείγματα. </p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202018-19/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq2.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p> </p> <p>Περαιτέρω Ασκήσεις</p> <p>1. Να βρεθεί πραγματική ακολουθία που είναι φραγμένη από πάνω αλλά όχι από κάτω.</p> <p>2. Να δειχθεί ότι όποια πραγματική ακολουθία έχει όρους που ανήκουν σε σύνολο πεπερασμένου πλήθους είναι φραγμένη.</p> <p>3. Να βρεθεί μη φραγμένη πραγματική ακολουθία η οποία να έχει φραγμένη <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Subsequence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">υπακολουθία</a> (για τον ορισμό δείτε την Άσκηση 1 <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202018-19/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq3.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>).</p> <p> </p>Fri, 12 Oct 2018 03:25:53 +0300Fri, 12 Oct 2018 03:25:53 +0300193https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=192&course=OIK228<p>Η πρώτη διάλεξη είχε καταρχάς τον χαρακτήρα ενημέρωσης για ζητήματα που άπτονται του μαθήματος, όπως τις διαθέσιμες διαδικασίες επικοινωνίας πέραν των διαλέξεων (με έμφαση στο παρόν eclass), το εκπαιδευτικό υλικό (διαλέξεις, αναρτήσεις σημειώσεων – αποριών κ.λ.π.), την δυνατότητα παράδοσης λύσεων σε ασκήσεις για βελτίωση του τελικού βαθμού, κ.ο.κ. Τα παραπάνω περιγράφονται στην σύνοψη του μαθήματος η οποία βρίσκεται <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202018-19/%CE%A3%CF%8D%CE%BD%CE%BF%CF%88%CE%B7%20%CE%9C%CE%B1%CE%B8%CE%AE%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%BF%CF%82/Math_%CE%99%CE%99%CE%99_18_19_syl.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>. Στην συνέχεια έγινε περιγραφή και κινητροδότηση βασικών εννοιών που θα παρουσιαστούν κατά την διάρκεια του μαθήματος. Πρόχειρες σημειώσεις για αυτά όπως και ασκήσεις για επανάληψη προγενέστερων εννοιών που είναι δυνατόν να χρειαστούν βρίσκονται <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202018-19/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/Motiv1.pdf" target="_blank" rel="noreferrer noopener">εδώ</a>.</p> <p>Στην δεύτερη διάλεξη ξεκινήσαμε την πραγμάτευση της έννοιας της πραγματικής <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Sequence" target="_blank" rel="noreferrer noopener">ακολουθίας</a>. Εξετάσαμε δύο ισοδύναμους ορισμούς, ο πρώτος εκ των οποίων είναι βολικός για την πραγμάτευση αλγεβρικών ιδιοτήτων ενώ ο δεύτερος για την πραγμάτευση αναλυτικών ιδιοτήτων και την γενίκευση της έννοιας. Παρουσιάσαμε παραδείγματα πραγματικών ακολουθιών αλλά και ενδεικτικές μορφές πραγματικών ακολουθιών που εμφανίζονται στο υπόβαθρο της οικονομικής θεωρίας, της θεωρίας πιθανοτήτων, κ.ο.κ. Χρησιμοποιώντας τον διανυσματικό ορισμό εξετάσαμε την έννοια της ισότητας πραγματικών ακολουθιών η οποία και αποτελεί κατά "φυσικό τρόπο" επέκταση της έννοιας της ισότητας πραγματικών διανυσμάτων. Εξετάσαμε συνοπτικά μια γενίκευση αυτής η οποία επιτρέπει την συσχέτιση δύο πραγματικών ακολουθιών ως σχεδόν παντού ίσες ακόμη και όταν έχουν διαφορετικές συνιστώσες σε πεπερασμένο πλήθος θέσεων. Παρατηρήσαμε ότι η σχεδόν παντού ισότητα περιλαμβάνει την συνήθη ισότητα ως υποπερίπτωση, είναι και αυτή <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Equivalence_relation">αυτοπαθής, συμμετρική και μεταβατική</a> (γιατί;), ενώ μπορεί να μας είναι χρήσιμη σε περιπτώσεις που είναι δυνατόν η συμπεριφορά μιας πραγματικής ακολουθίας σε πεπερασμένο πλήθος θέσεων να θεωρείται αμελητέα. Γενικεύοντας θεωρήσαμε ότι μια ιδιότητα P θα ικανοποιείται σχεδόν παντού από μια πραγματική ακολουθία αν και μόνο αν όλοι οι όροι αυτής ικανοποιούν την P εκτός από πεπερασμένο πλήθος αυτών. Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202018-19/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq1.pdf">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/%CE%91%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%8A%CE%BA%CF%8C%20%CE%88%CF%84%CE%BF%CF%82%202018-19/%CE%A3%CE%B7%CE%BC%CE%B5%CE%B9%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82/RealSeq2.pdf">εδώ</a>.</p> <p> </p> <p>Περαιτέρω Ασκήσεις</p> <p>1. Να δειχθεί ότι αν για τρείς ακολουθίες, η πρώτη είναι σχεδόν παντού ίση με την δεύτερη, και η δεύτερη είναι σχεδόν παντού ίση με την τρίτη, τότε το πλήθος των θέσεων που μπορεί να έχουν διαφορετικούς όρους η πρώτη και η τρίτη είναι μικρότερο ίσο από το άθροισμα του αντίστοιχου πλήθους μεταξύ πρώτης και δεύτερης και αυτού μεταξύ δεύτερης και τρίτης.</p> <p>2. Ως προς την παραπάνω άσκηση, να βρεθούν παραδείγματα όπου το πλήθος των θέσεων που μπορεί να έχουν διαφορετικούς όρους η πρώτη και η τρίτη, α) είναι μηδέν, β) είναι θετικό αλλά αυστηρά μικρότερο του παραπάνω αθροίσματος, γ) είναι θετικό και ίσο με το παραπάνω άθροισμα.</p> <p>3. Να δειχθεί ότι η σχεδόν παντού ισότητα είναι μεταβατική.</p> <p>4. Να βρεθεί παράδειγμα πραγματικής ακολουθίας όπου η ιδιότητα P δεν ισχύει για θετικό αλλά πεπερασμένο πλήθος όρων, όταν α) P="ο πραγματικός x είναι άρτιος φυσικός", β) α) P="ο πραγματικός x είναι άρρητός".</p> <p>5. Για P όπως στην προηγούμενη άσκηση, να βρεθεί παράδειγμα πραγματικής ακολουθίας όπου η ιδιότητα P ισχύει για άπειρο πλήθος όρων, και ταυτόγχρονα δεν ισχύει για άπειρο πλήθος όρων.</p> <p>6. Τι συμπεραίνετε από την χρήση της έννοιας της σχεδόν παντού ισότητας σε n-διάστατα πραγματικά διανύσματα;</p> <p>Σημειώση: Η 5 μας επισημαίνει ότι το να ικανοποιείται κάποια ιδιότητα P σχεδόν παντού από μια πραγματική ακολουθία είναι ισχυρότερο από το να ικανοποιείται "απλώς" από άπειρο πλήθος όρων αυτής. </p> <p> </p>Thu, 04 Oct 2018 16:18:22 +0300Thu, 04 Oct 2018 16:18:22 +0300192https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=150&course=OIK228<p>Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με την μέθοδο των δυναμοσειρών με παράδειγμα δευτεροτάξιας γραμμικής και ομογενούς εξίσωσης. Στην συνέχεια είδαμε εισαγωγική εφαρμογή της θεωρίας των δυναμοσειρών στην θεωρία πιθανοτήτων. Αυτό συνίσταται στο ερώτημα του πότε μια <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Probability_distribution" target="_blank" rel="noreferrer">κατανομή πιθανότητας</a> στους πραγματικούς αναπαρίσταται από την ακολουθία των <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Moment_(mathematics)" target="_blank" rel="noreferrer">ροπών</a> της. Την απάντηση μας την δίνει η έννοια της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Moment-generating_function" target="_blank" rel="noreferrer">ροπογεννήτριας συνάρτησης</a> της κατανομής (moment generating function) η οποία μπορεί να εκφρασθεί ως δυναμοσειρά και θα είναι καλώς ορισμένη ανν οι ροπές της κατανομής υπάρχουν και η δυναμοσειρά έχει μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης. Ανν τα προηγούμενα ισχύουν ισχύει και η προαναφερθείσα αναπαράσταση, ενώ τότε οι ροπές είναι δυνατόν να υπολογισθούν μέσω παραγώγισης της ροπογεννήτριας. Ασχοληθήκαμε με διάφορα παραδείγματα.</p> <p>Σημειώσεις και ασκήσεις για παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/2ndorderex.pdf" target="_blank" rel="noreferrer">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/Mgf%20.pdf" target="_blank" rel="noreferrer">εδώ</a>. Επιβοηθητικές σημειώσεις στην θεωρία πιθανοτήτων μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/?course=OIK229" target="_blank" rel="noreferrer">εδώ</a>.</p> <p> </p>Sun, 14 Jan 2018 18:24:58 +0300Sun, 14 Jan 2018 18:24:58 +0300150https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=149&course=OIK228<p>Δεδομένης της (αποσπαματικής) παρουσίασης γενικών εννοιών για την θεωρία των Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων ασχοληθήκαμε με την μέθοδο των δυναμοσειρών που αφορά στην εύρεση λύσεων που έχουν την μορφή δυναμοσειράς με δεδομένο κέντρο. Η μέθοδος συνίσταται στην επίλυση απειροπληθούς συστήματος από αναδρομικές σχέσεις για την εύρεση των άγνωστων συντελεστών της δυναμοσειράς. Αυτό προκύπτει από την μορφή της εξίσωσης, την μορφή που έχουν οι παράγωγοι δυναμοσειράς με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης, και στην έννοια της ισότητας δυναμοσειρών. Είναι δε δυνατόν να είναι ευκολότερα επιλύσιμο από την ολοκλήρωση. Το σύστημα δεν θα εμπεριέχει εξ'ορισμού πληροφορία για κάποιους από τους συντελεστές της εξίσωσης το πλήθος των οποίων θα ταυτίζεται με την τάξη της, και οι οποίοι θα αναπαριστούν τις σχετικές σταθερές ολοκλήρωσης. Ασχοληθήκαμε με την εφαρμογή της μεθόδου στην κατηγορία των γραμμικών εξισώσεων πρώτης τάξης, με σταθερούς συντελεστές και όρο, και χρησιμοποιήσαμε τα ευρήματά μας σε εφαρμογή για την <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Steady_state" target="_blank" rel="noreferrer">ασυμπτωτική ευστάθεια αγοράς</a> με σχετικά απλή δυναμική συμπεριφορά. Ασχοληθήκαμε τέλος, και με παράδειγμα γραμμικής πρώτης τάξης με σταθερούς συντελεστές και γραμμικό όρο.</p> <p>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/PSerODE.pdf" target="_blank" rel="noreferrer">εδώ</a>.</p>Sun, 14 Jan 2018 18:13:20 +0300Sun, 14 Jan 2018 18:13:20 +0300149https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=148&course=OIK228<p>Συνεχίσαμε με το ζήτημα ολοκληρωσιμότητας δυναμοσειρών με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης παρατηρώντας ότι ο τρόπος της ολοκλήρωσης μας επιτρέπει (γιατί;) να έχουμε μια μοναδική σταθερά ολοκλήρωσης (όπως άλλωστε θα περιμέναμε) συνδυάζοντας τις σταθερές που προκύπτουν από την όρο προς όρο ολοκλήρωση σε μία. Εργαζόμενοι για μια ακόμη φορά με την γεωμετρική σειρά και το θεώρημα ολοκλήρωσης, αποκτήσαμε παράδειγμα όπου (α) η αρχική δυναμοσειρά και το ολοκλήρωμα ή η παράγωγος έχουν διαφορετικά διαστήματα σύγκλισης, (β) μέσω των παραπάνω, του θεωρήματος συνέχειας και του <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Abel%27s_theorem" target="_blank" rel="noreferrer">Αβελιανού Θεωρήματος για δυναμοσειρές</a> (το οποίο προφανώς είναι εκτός του εύρους του μαθήματος) δείξαμε ότι η εναλλάσουσα αρμονική σειρά ισούται με ln(2), και αποκτήσαμε μια αναπαράσταση της λογαριθμικής συνάρτησης από δυναμοσειρά με κέντρο το 1 και διάστημα σύγκλισης το (0,2]. </p> <p>Ασχοληθήκαμε με το ζήτημα του ορισμένου ολοκληρώματος και είδαμε ότι αυτό προκύπτει από το αόριστο βάσει του <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_calculus" target="_blank" rel="noreferrer">Θεμελιώδους Θεωρήματος του Λογισμού</a> εφόσον το διάστημα ολοκλήρωσης είναι υποσύνολο του διαστήματος σύγκλισης.</p> <p>Περνώντας σε εφαρμογές δυναμοσειρών είδαμε εν συντομία κάποιες βασικές έννοιες που αφορούν στις <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinary_differential_equation" target="_blank" rel="noreferrer">Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις</a>. Παρατηρήσαμε ότι συνήθως λύσεις αυτών βρίσκονται μέσω περίπλοκων διαδικασιών ολοκλήρωσης (που συνδυάζονται με κατάλληλους μετασχηματισμούς) και ότι εφόσον η ολοκλήρωση είναι γενικά υπολογιστικά πολύπλοκη, προκύπτει εύλογα το ερώτημα αν είναι δυνατόν σε κάποιες περιπτώσεις να αποφευχθεί μέσω διαδικασίών εύρεσης λύσεων ενδεχομένως μικρότερης πολυπλοκότητας. Θα οδηγηθούμε έτσι σε μια εισαγωγή στην Μέθοδο των Δυναμοσειρών για την εύρεση λύσεων.</p> <p>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/DifIntPser_cor.pdf" target="_blank" rel="noreferrer">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/Integral.pdf" target="_blank" rel="noreferrer">εδώ</a>.</p> <p><strong>Ασκήσεις</strong>.</p> <p>1. Να βρεθούν τα αόριστα ολοκληρώματα για τις παρακάτω δυναμοσειρές (αγνοήστε το ζήτημα του αν αυτές έχουν ή όχι εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης-γιατί είναι δυνατόν να το κάνετε;):</p> <ol><li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Di%21%28x-4%29%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bi&amp;plus;1%7D%28x-2%29%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bi&amp;plus;2%7D%28x-7%29%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bi%5E2%7Dx%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bi%21%7D%7B%5Cexp%28i%29%7Dx%5E%7Bi%7D" alt="" />.</li> </ol><p>2. Για ποιές από τις παραπάνω περιπτώσεις τα ολοκληρώματα είναι καλώς ορισμένα;</p> <p>3. Για αυτές που είναι καλώς ορισμένα να βρεθούν τα αόριστα ολοκληρώματα με κάτω όριο το κέντρο της δυναμοσειράς και άνω όριο το ενδιάμεσο σημείο μεταξύ του κέντρου και του δεξιού άκρου του διαστήματος σύγκλισης.</p> <p> </p>Fri, 22 Dec 2017 02:19:08 +0300Fri, 22 Dec 2017 02:19:08 +0300148https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=147&course=OIK228<p>Συνεχίσαμε με το ζήτημα της παραγωγισιμότητας δυναμοσειρών με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης. Εργαστήκαμε με παραδείγματα που προέκυψαν στα πλαίσια της γεωμετρικής σειράς όποτε είδαμε ότι είναι δυνατόν να χρησιμοποιείται η εν λόγω αναλυτική ιδιότητα προκειμένου να βρίσκουμε πραγματικές σειρές. Παραγωγίζοντας κατάλληλη δυναμοσειρά και βρίσκοντας την μοναδική λύση <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Initial_value_problem" target="_blank" rel="noreferrer">προβλήματος αρχικών τιμών</a> δείξαμε το πως αναπαρίσταται από δυναμοσειρά η εκθετική συνάρτηση, ενώ είδαμε ότι η αναπαράσταση αυτή δεν είναι μοναδική όπως και άλλα συναφή ζητήματα. Οι λόγοι που ισχύουν αυτές οι αναπαραστάσεις αφορούν στην θεωρία των <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Analytic_function" target="_blank" rel="noreferrer">αναλυτικών συναρτήσεων</a>.</p> <p>Το θεώρημα της παραγωγισιμότητας συνεπάγεται άμεσα ότι οι δυναμοσειρές με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης είναι <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Smoothness" target="_blank" rel="noreferrer">ομαλές συναρτήσεις</a> στο εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης τους. Εργαστήκαμε για την εξαγωγή της μορφής των παραγώγων αυθαίρετης τάξης βασιζόμενοι και στην μορφή της κ-τάξης παραγώγου πολυωνυμικής συνάρτησης και είδαμε εφαρμογές στα πλαίσια της γεωμετρικής σειράς.</p> <p>Ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με το παραμφερές ζήτημα της ολοκληρωσιμότητας δυναμοσειρών με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης. Είδαμε ότι το αόριστο ολοκλήρωμα τέτοιας υπάρχει, είναι δυναμοσειρά με το ίδιο κέντρο, και το ίδιο εσωτερικό διαστήματος σύγκλισης και προκύπτει με την όρο προς όρο ολοκλήρωση της αρχικής. Επομένως και εξαιτίας του τελευταίου αυτές είναι εύκολα ολοκληρώσιμες συναρτήσεις ενώ θυμηθείτε η <a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A0%CF%81%CF%8C%CE%B2%CE%BB%CE%B7%CE%BC%CE%B1_P%3DNP" target="_blank" rel="noreferrer">ολοκλήρωση είναι διαδικασία πιθανόν περιπλοκότερη από την παραγώγιση</a>. Εξάγαμε έτσι τον γενικό τύπο του ολοκληρώματος.</p> <p>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/DifIntPser_cor.pdf" target="_blank" rel="noreferrer">εδώ</a>.</p> <p><strong>Ασκήσεις</strong>.</p> <p>1. Να βρεθούν οι παράγωγοι κ-τάξης για τις παρακάτω δυναμοσειρές (αγνοήστε το ζήτημα του αν αυτές έχουν ή όχι εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης-γιατί είναι δυνατόν να το κάνετε;):</p> <ol><li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Di%21%28x-4%29%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bi&amp;plus;1%7D%28x-2%29%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bi&amp;plus;2%7D%28x-7%29%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bi%5E2%7Dx%5E%7Bi%7D" alt="" />,</li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bi%21%7D%7B%5Cexp%28i%29%7Dx%5E%7Bi%7D" alt="" />.</li> </ol><p>2. Για ποιές από τις παραπάνω περιπτώσεις οι παράγωγοι είναι καλώς ορισμένοι;</p> <p> </p> <p> </p> <p>  </p>Fri, 22 Dec 2017 01:47:04 +0300Fri, 22 Dec 2017 01:47:04 +0300147https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=145&course=OIK228<p>Ξεκινήσαμε την εισαγωγή μας στην <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Power_series" target="_blank" rel="noreferrer">θεωρία των δυναμοσειρών</a>. Παρατηρώντας ότι μπορούν τυπικά να ειδωθούν ως κατάλληλα <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Formal_power_series" target="_blank" rel="noreferrer">αλγεβρικά συμπληρώματα</a> των πολυωνύμων εφόσον αγνοήσουμε αναλυτικές ιδιότητες τους (ενώ η αλγεβρική αυτή θέαση είναι προφανώς εκτός του εύρους του μαθήματος), και ότι ως έννοιες της ανάλυσης (που είναι εντός του εύρους του μαθήματος) και εξαιτίας των "καλών ιδιοτήτων τους" έχουν ποικίλες εφαρμογές, ασχοληθήκαμε με τον ορισμό τους, και είδαμε παραδείγματα, αντιπαραδείγματα αλλά και περιπτώσεις που η ταυτοποίηση μιας σειράς συναρτήσεων ως δυναμοσειράς είναι δυνατόν να απαιτεί κάποιον κατάλληλο μετασχηματισμό.</p> <p>Δεδομένων των παραπάνω, ασχοληθήκαμε καταρχάς με το ζήτημα της συγκλισής τους, οπότε και διατυπώσαμε το <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2%80%93Hadamard_theorem" target="_blank" rel="noreferrer">θεώρημα Cauchy-Hadamard</a> που μας πληροφορεί ότι το σύνολο σύγκλισης έχει πάντοτε την μορφή διαστήματος (έστω εκφυλισμένου, ή γενικευμένου), με κατάλληλο κέντρο και ακτίνα, μια πρώτη ένδειξη της καλής συμπεριφοράς αυτών. Σκιαγραφήσαμε (και) μέσω του κριτηρίου του πηλίκου την απόδειξη του θεωρήματος, ενώ είδαμε ότι στο εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης η σύγκλιση της δυναμοσειράς είναι απόλυτη, το διάστημα σύγκλισης είναι δυνατόν να περιέχει κάποιο ή και τα δύο άκρα του (εφόσον υπάρχουν), αυτό είναι αδύνατο να διερευνηθεί μέσω του κριτηρίου του πηλίκου, ενώ η σύγκλιση σε κάποιο από αυτά ή και στα δύο (εφόσον ισχύει) μπορεί να είναι κατά συνθήκη. Διερευνήσαμε παραδείγματα, ενώ ασχοληθήκαμε με στοιχεία της άλγεβρας μεταξύ δυναμοσειρών με αναφορά στα διαστήματα σύγκλισής τους.</p> <p>Ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με αναλυτικές ιδιότητες των δυναμοσειρών. Καταρχάς διατυπώσαμε το θεώρημα συνέχειας που μας πληροφορεί ότι οι δυναμοσειρές είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα συγκλισής τους. Η απόδειξη αυτού είναι δυνατόν να προκύπτει από έννοιες εκτός του εύρους του μαθήματος (δείτε π.χ. <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Compact_convergence" target="_blank" rel="noreferrer">εδώ</a> και <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Abel%27s_theorem" target="_blank" rel="noreferrer">εδώ</a>), αλλά επί της ουσίας μας πληροφορεί ότι για της δυναμοσειρές επιτρέπεται κάποιου είδους <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Interchange_of_limiting_operations" target="_blank" rel="noreferrer">εναλλαγή ορίων</a>. Εντυπωσιακότερο είναι το θεώρημα παραγωγισιμότητας δυναμοσειράς με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης, στο εσωτερικό αυτού, που επιτρέπει επίσης κάποιου εναλλαγή ορίου, και συνεπάγεται ότι η παράγωγος είναι επίσης δυναμοσειρά με το ίδιο κέντρο και εσωτερικό διαστήματος σύγκλισης που ταυτίζεται με το εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης της αρχικής, ενώ υπολογίζεται πολύ εύκολα από την αρχική δυναμοσειρά. Θα δούμε ότι αυτό έχει αρκετές εφαρμογές.</p> <p>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/Powser1.pdf">εδώ</a>.</p> <p> </p> <p><strong>Ασκήσεις</strong></p> <p>Να δειχθεί ότι οι παρακάτω είναι δυναμοσειρές και να βρεθεί το εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης αυτών:</p> <ol><li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Di%28x-5%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="72" height="38" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bi%21%7D%7Bi%5E%7Bi%7D%7D%20%28x-2%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="66" height="32" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B2%7D%7B%28i&amp;plus;1%29%5E%7B2%7D%7D%20%28x-1%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="93" height="31" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D2%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%28i%29%7D%20%28x-1%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="89" height="35" /></li> <li><img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D2000%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cexp%28i%29%7D%20%28x-100%21%29%5E%7Bi%7D" alt="" width="110" height="31" /></li> </ol><p> </p> <p> </p> <p>  </p>Sat, 09 Dec 2017 07:57:12 +0300Sat, 09 Dec 2017 07:57:12 +0300145https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=144&course=OIK228<p>Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με την εφαρμογή που άπτεται σε ζητήματα <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Intertemporal_choice" target="_blank" rel="noreferrer">επιλογής διαχρονικής ροής κατανάλωσης</a>.</p> <p>Ασχοληθήκαμε με την περιγραφή εφικτού συνόλου που προσδιορίζεται από εξωγενή προικοδότηση και σταθερή στον χρόνο τεχνολογία μετασχηματισμού των πόρων. Παρατηρήσαμε ότι το εφικτό σύνολο από διαχρονικές ροές κατανάλωσης δεδομένων των παραπάνω, προσδιορίζεται από ακολουθία ανισοτικών περιορισμών ("διαχρονικοί εισοδηματικοί περιορισμοί"), είναι μη κένο, και αποτελείται από (<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_boundedness" target="_blank" rel="noreferrer">ομοιόμορφα</a>) φραγμένες ακολουθίες.</p> <p>Δεδομένου αυτού του παραδείγματος εφικτού συνόλου, και περιγράφοντας σε αδρές γραμμές την σύνδεση μεταξύ σχέσης προτίμησεων επί του εφικτού συνόλου και (όταν υπάρχει) συνάρτησης ωφέλειας που την αναπαριστά, ασχοληθήκαμε με παράδειγμα συνάρτησης ωφέλειας <em>επί του εφικτού συνόλου</em> και με το ζήτημα του αν αυτή (και συνακόλουθα το πρόβλημα της βέλτιστης επιλογής διαχρονικής ροής κατανάλωσης) είναι καλώς ορισμένη. Αυτή είχε την <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Discounted_utility" target="_blank" rel="noreferrer">μορφή σειράς συναρτήσεων</a> και εμφάνιζε τα χαρακτηριστικά της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Discount_function" target="_blank" rel="noreferrer">χρονικής διαχωρισιμότητας</a> (time separability) και της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_discounting" target="_blank" rel="noreferrer">εκθετικής χρονικής προεξόφλησης</a> (exponential discounting). Το να είναι καλώς ορισμένη ισοδυναμεί με το να συγκλίνει για κάθε εφικτή διαχρονική κατανάλωση. Δεδομένων των τιμών που επιτρέψαμε στον συντελεστή χρονικής προτίμησης, και χρησιμοποιώντας μια σειρά από συλλογισμούς που άπτονται σημαντικού μέρους της μέχρι τώρα μας ύλης, δείξαμε το καλώς ορισμένο.</p> <p>Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/BoundedFeasSet.pdf" target="_blank" rel="noreferrer">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/Example.pdf" target="_blank" rel="noreferrer">εδώ</a>.</p> <p><strong>Ασκήσεις</strong></p> <ol><li>Ερμηνεύστε οικονομικά τον μετασχηματισμό <img class="latex" title="k\rightarrow k^{a}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=k%5Crightarrow+k%5E%7Ba%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="k\rightarrow k^{a}" />.</li> <li>Προσπαθήστε να δείξετε αν το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διερευνήθηκε παραπάνω είναι καλώς ορισμένο όταν η συνάρτηση ωφέλειας είναι η <img class="latex" title="\sum_{t=0}^{\infty}\beta^{t}\ln (c_{t}+1)" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bt%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cbeta%5E%7Bt%7D%5Cln+%28c_%7Bt%7D%2B1%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{t=0}^{\infty}\beta^{t}\ln (c_{t}+1)" />.</li> <li>Για το προηγούμενο να βρεθούν αν υπάρχουν εφικτές διαχρονικές καταναλώσεις με σχεδόν όλους τους όρους θετικούς για τις οποίες η συνάρτηση ωφέλειας συγκλίνει όταν <img class="latex" title="\beta=1" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cbeta%3D1&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\beta=1" />.</li> <li>Εξηγήστε το γιατί η συνάρτηση ωφέλειας είναι σειρά πραγματικών συναρτήσεων η κάθε μία εκ των οποίων ορίζεται επί του εφικτού συνόλου.</li> <li>Προσπαθείστε να διερευνήσετε ότι έχει γίνει και ότι έχει ζητηθεί στην εφαρμογή μας όταν αντί του μετασχηματισμού <img class="latex" title="k\rightarrow k^{a}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=k%5Crightarrow+k%5E%7Ba%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="k\rightarrow k^{a}" /> ισχύει ο μετασχηματισμός (δηλ. ο στιγμιαίος ανατοκισμός του διαθέσιμου πόρου με στιγμιαίο σταθερό στον χρόνο επιτόκιο r)<img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ckappa_%7Bt%7D%5Crightarrow%20%281&amp;plus;r%29k_%7Bt%7D%2C%5C%3At%5Cin%5Cmathbb%20N%2C%5C%3A%20r%3E0." alt="" /></li> </ol><p> </p>Sat, 02 Dec 2017 06:54:07 +0300Sat, 02 Dec 2017 06:54:07 +0300144https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=142&course=OIK228<p>Παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν να αντιληφθούμε μια ακολουθία πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού με τρεις ισοδύναμους τρόπους. Ο τρίτος την αναπαριστά ως "λίστα" πραγματικών ακολουθιών, μία για καθε σημείο του κοινού πεδίου ορισμού. Αυτός μαζί με την έννοια του ορίου πραγματικής ακολουθίας μας οδήγησε "φυσικά" στην έννοια του <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Pointwise_convergence" target="_blank" rel="noreferrer">σημειακού ορίου</a> ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων, το οποίο εξ'ορισμού είναι πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού υποσύνολο του κοινού πεδίου ορισμού των όρων της ακολουθίας. (Και) μέσω παραδειγμάτων παρατηρήσαμε ότι αυτή η έννοια ορίου είναι αρκετά ασθενής ώστε <em>είναι δυνατόν</em> η συνάρτηση όριο να μην έχει ιδιότητες που έχουν όλα τα μέλη της ακολουθίας όπως π.χ. η συνέχεια, και πως είναι δυνατόν να οριστούν <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_convergence" target="_blank" rel="noreferrer">ισχυρότερες μορφές ορίου</a> που να διατηρούν κάποιες από αυτές τις ιδιότητες. Δεδομένων των παραπάνω, της δυνατότητας κατα σημείο πρόσθεσης πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού, και των όσων ξέρουμε για τις πραγματικές σειρές, ορίσαμε την έννοια της σειράς πραγματικών συναρτήσεων ως σημειακό όριο κατάλληλης ακολουθίας μερικών αθροισμάτων. Προκειμένου να εντοπίζουμε μέρος του πεδίου ορισμού μιας τέτοιας σειράς διατυπώσαμε αλγόριθμο που βασίζεται στο κριτήριο του πηλίκου και είδαμε παραδείγματα. Παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν σε μέρος του πεδίου ορισμού της μια τέτοια σειρά να συγκλίνει απολύτως και σε άλλο μέρος κατά συνθήκη (προφανώς το τελευταίο δεν είναι δυνατόν να εντοπισθεί από το κριτήριο του πηλίκου-γιατί;). Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/Genseqser_cor.pdf" target="_blank" rel="noreferrer">εδώ</a>.</p> <p>Ξεκινήσαμε την πραγμάτευση παραδείγματος που επισκοπεί μεγάλο μέρος της μέχρι τώρα ύλης, και αφορά στην βέλτιστη επιλογή διαχρονικής κατανάλωσης σε κατάλληλο υπόβαθρο. Σε αυτό παρατηρήσαμε ότι διαχρονική ροή κατανάλωσης είναι όποια πραγματική ακολουθία από μη αρνητικούς όρους, ενώ αρχίσαμε να εργαζόμαστε στην κατασκευή εφικτού συνόλου από διαχρονικές ροές κατανάλωσης δεδομένης εξωγενούς αρχικής προικοδότησης και τεχνολογίας μετασχηματισμού πόρων. Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/Example.pdf" target="_blank" rel="noreferrer">εδώ</a>.</p> <p><strong>Ασκήσεις</strong></p> <ol><li>Όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> να βρεθεί το <img class="latex" title="X^{*}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%5E%7B%2A%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X^{*}" width="21" height="12" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} x/i!" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+x%2Fi%21&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} x/i!" width="67" height="18" />.</li> <li>Όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> να βρεθεί το <img class="latex" title="X^{*}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%5E%7B%2A%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X^{*}" width="21" height="12" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}x^{3i}/i!" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dx%5E%7B3i%7D%2Fi%21&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}x^{3i}/i!" width="78" height="19" /> .</li> <li>Όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> να βρεθεί το <img class="latex" title="X^{*}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%5E%7B%2A%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X^{*}" width="21" height="12" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} x/(i+1)" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+x%2F%28i%2B1%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} x/(i+1)" width="102" height="19" />.</li> <li>Όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> να βρεθεί το <img class="latex" title="X^{*}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%5E%7B%2A%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X^{*}" width="21" height="12" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} x^{2i}/(i+1)" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+x%5E%7B2i%7D%2F%28i%2B1%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} x^{2i}/(i+1)" width="113" height="19" />.</li> <li>Να επαναλάβετε τα προηγούμενα για το <img class="latex" title="X=(0,1)" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%280%2C1%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=(0,1)" width="71" height="18" />.</li> <li>Υπάρχουν στα παραπάνω περιπτώσεις που γνωρίζουμε βάσει και των όσων έχουμε κάνει προηγουμένως και ποιό είναι το όριο;</li> <li>Όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> να βρεθεί το <img class="latex" title="X^{*}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%5E%7B%2A%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X^{*}" width="21" height="12" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} \sin(ix)/i!" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Csin%28ix%29%2Fi%21&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} \sin(ix)/i!" width="105" height="19" /> χωρίς την χρήση του κριτηρίου.</li> <li>Προσπαθήστε να επαναλάβετε το παραπάνω χρησιμοποιώντας το κριτήριο.</li> <li>Να επαναλάβετε το ζητούμενο στην 8 όταν το <img class="latex" title="X=\mathbb{R}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%3D%5Cmathbb%7BR%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X=\mathbb{R}" width="49" height="11" /> με <img class="latex" title="X^{*}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=X%5E%7B%2A%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="X^{*}" width="21" height="12" /> για την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} \cos(ix)/i" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Ccos%28ix%29%2Fi&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} \cos(ix)/i" width="102" height="19" />.</li> </ol><p><strong> </strong></p>Mon, 27 Nov 2017 01:39:13 +0300Mon, 27 Nov 2017 01:39:13 +0300142https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=141&course=OIK228<p>Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με την λειτουργία του <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test" target="_blank" rel="noreferrer">κριτηρίου του πηλίκου</a>. Παρατηρήσαμε ότι επί της ουσίας λειτουργεί μέσω της σύγκρισης με γεωμετρική σειρά ο συντελεστής της οποίας σχετίζεται με το όριο της βοηθητικής ακολουθίας των πηλίκων των απολύτων τιμών των διαδοχικών όρων. Συνεπώς αναμένουμε ότι όταν τέτοια σύγκριση είναι αδύνατη (π.χ. σε υπεραρμονικές σειρές) το κριτήριο αναμένεται να είναι μη πληροφοριακό. Μέσω παραδειγμάτων είδαμε ότι η περίπτωση της μη πληροφοριακότητας είναι δυνατόν να αφορά κατά συνθήκη σύγκλιση, κάτι αναμενόμενο, απόκλιση αλλά και απόλυτη σύγκλιση. Συνεπώς είναι γενικά αδύνατο να συνάγουμε κάτι για την συμπεριφορά σειράς για την οποία το κριτήριο είναι μη πληροφοριακό χρησιμοποιώντας μόνο το κριτήριο. Παρατηρήσαμε επίσης ότι υπάρχουν εκλεπτύνσεις του κριτηρίου που είναι δυνατόν να μας πληροφορούν για την συμπεριφορά δεδομένης σειράς <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test#The_test" target="_blank" rel="noreferrer">είτε όταν το όριο της βοηθητικής ακολουθίας δεν υπάρχει</a>, <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test#Extensions_for_L_.3D_1" target="_blank" rel="noreferrer">είτε όταν αυτό ισούται με ένα</a>. Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/Absconrt.pdf" target="_blank" rel="noreferrer">εδώ</a>.</p> <p>Κλείσαμε την εισαγωγική μας ενασχόληση με τις πραγματικές σειρές εργαζόμενοι σε δύο απλά οικονομικά υποδείγματα που αφορούν στα νομισματικά και χρηματοοικονομικά όπου συναντάμε τις έννοιες της πραγματικής ακολουθίας και της πραγματικής σειράς. Το πρώτο αφορά στην δημιουργία χρήματος από τις θεμελιώδεις λειτουργίες του τραπεζικού συστήματος, το οποίο αποτελείται από την κεντρική και τις εμπορικές τράπεζες και στο οποίο υπάρχει η <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Fractional-reserve_banking" target="_blank" rel="noreferrer">τεχνολογία των κλασματικών διαθεσίμων</a>. Στο δεύτερο βάσει <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Rational_pricing" target="_blank" rel="noreferrer">κατάλληλων εννοιών της χρηματοοικονομικής</a> ασχοληθήκαμε με περιοριστικό ορισμό και <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Valuation_(finance)">τιμολόγηση χρηματοοικονομικού τίτλου</a>. Θεωρήσαμε υποπαράδειγμα της προσέγγισής μας που αφορούσε στην μη σύγκλιση κατάλληλης σειράς, ως σχετικό με την έννοια της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Economic_bubble" target="_blank" rel="noreferrer">χρηματοοικονομικής φούσκας</a>. Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/FinancialSeqSer.pdf" target="_blank" rel="noreferrer">εδώ</a>.</p> <p>Τέλος, και προκειμένου να μπορούμε να ασχοληθούμε με πολυπλοκότερα παραδείγματα αλλά και με την έννοια της δυναμοσειράς και τις συνακόλουθες εφαρμογές, ξεκινήσαμε την γενίκευση των έννοιών που έχουμε δει μέχρι τώρα εισάγωντας και την έννοια της ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού. Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/Genseqser_cor.pdf" target="_blank" rel="noreferrer">εδώ</a>.</p> <p><strong>Ασκήσεις</strong></p> <ol><li>Επινοήστε όσο το δυνατόν περισσότερες σειρές και προσπαθήστε να διαπιστώσετε το αν συγκλίνουν χρησιμοποιώντας το κριτήριο. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε και αυτές που αναφέρονται σε παλαιότερες αναρτήσεις.</li> <li>Να δείξετε ότι αν η ακολουθία των πηλίκων των διαδοχικών όρων είναι φραγμένη από πάνω από φράγμα μικρότερο του 1 τότε η σειρά συγκλίνει απολύτως.</li> <li>Να δείξετε ότι η ακολουθία των πηλίκων των διαδοχικών όρων είναι φραγμένη από κάνω από φράγμα μεγαλύτερο του 1 τότε η σειρά αποκλίνει.</li> <li>Προσπαθήστε να ερμηνεύσετε αυστηρά στα πλαίσια της οικονομικής θεωρίας το τι συμβαίνει με την τιμή του τίτλου όταν δεν ισχύει η συνθήκη μη ύπαρξης φούσκας.</li> <li>Προσπαθήστε να ερμηνεύσετε αυστηρά στα πλαίσια της οικονομικής θεωρίας το τι θα συνέβαινε  στο άνω φράγμα της συνολικής προσφοράς χρήματος αν οι εμπορικές τράπεζες δεν είχαν υποχρέωση διακράτησης ρευστών διαθεσίμων (<img class="latex" title="a=0" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=a%3D0&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="a=0" />);</li> <li>Στην σελίδα 6 <a href="/modules/document/file.php/OIK228/Absconrt.pdf" target="_blank" rel="noreferrer">εδώ</a> από παραδρομή έχουμε ταύτιση των παραδειγμάτων 3 και 5. Στο 5 αντικαταστήστε την εμφανιζόμενη σειρά με την <img title="This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program." src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%28-1%29%5E%7Bi%7D%5Cfrac%7B%5Cexp%28ie%29%7D%7Bi%21%7D" alt="" />. Χρησιμοποιήστε το κριτήριο του πηλίκου προκειμένου να αποφανθείτε για το ζήτημα της απόλυτης σύγκλισης της σειράς.</li> </ol><p> </p> <p> </p>Mon, 20 Nov 2017 00:25:07 +0300Mon, 20 Nov 2017 00:25:07 +0300141https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=140&course=OIK228<p>Συνεχίσαμε με την εξέταση στοιχείων του λογισμού σειρών, χρησιμοποιώντας πλέον την καταχρηστική ορολογία που χρησιμοποιείται γενικότερα στις σχετικές βιβλιογραφίες περί "σύγκλισης σειρών". Έτσι, π.χ. σχετίσαμε το ζήτημα της σύγκλισης σειράς με την σύγκλισης της σειράς που προκύπτει αν από την αρχική εξαιρέσουμε πεπερασμένο πλήθος των αρχικών της όρων, διαπιστώσαμε το πως μπορούμε να μετασχηματίζουμε δείκτες άθροισης χρησιμοποιώντας γνησίως αύξοντες μετασχηματισμούς κ.ο.κ. Ασχοληθήκαμε με ασκήσεις όπου καλούμασταν να αποφανθούμε για το αν δεδομένη σειρά συγκλίνει. Σε αυτές η φραγή της σχετικής Α.Μ.Α. προέκυπτε από την επιλογή κατάλληλης πραγματικής ακολουθίας η οποία δεν ήταν γενικά προφανής. Κατανοήσαμε έτσι την ανάγκη ύπαρξης "υπολογιστικά απλού" τρόπου διαπίστωσης της σύγκλισης σε κάποιες τουλάχιστον περιπτώσεις.</p> <p>Προκειμένου για την διατύπωση ενός σχετικού αλγορίθμου, η επιλογή του οποίου έγινε και λόγω της χρησιμοτητάς στα παρακάτω ασχοληθήκαμε με μια εκλέπτυνση της σύγκλισης σειρών, εν προκειμένω με την <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_convergence" target="_blank" rel="noreferrer">απόλυτη σύγκλιση</a>. Δείξαμε ότι πρόκειται περί γνήσιας εκλέπτυνσης, ενώ η σύντομη μας αναφορά στο <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_series_theorem" target="_blank" rel="noreferrer">Θεώρημα Σειρών του Riemann</a> και στο ότι όταν έχουμε απόλυτη σύγκλιση η αναδιάταξη των όρων της σειράς δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα, μας βοηθά να γενικεύσουμε τα των μετασχηματισμών των δεικτών στο να ισχύουν και για απλώς 1-1 και επί μετασχηματισμούς όταν η σειρά συγκλίνει απολύτως. </p> <p>Έτσι μπορέσαμε και  διατυπώσαμε το <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test" target="_blank" rel="noreferrer">Κριτήριο του Πηλίκου</a> το οποίο (σε κάποιες περιπτώσεις) αποφαίνεται για το αν δεδομένη σειρά συγκλίνει απολύτως ή αποκλίνει (π.χ. αναμένουμε να είναι μη πληροφοριακό όταν η σειρά <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Conditional_convergence" target="_blank" rel="noreferrer">συγκλίνει κατά συνθήκη</a>-ενώ θα δούμε ότι δεν είναι μόνο τότε) και ξεκινήσαμε να εργαζόμαστε με αυτό.</p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις (και κάποιες ασκήσεις) για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/Series2.pdf" target="_blank" rel="noreferrer">εδώ</a>, <a href="/modules/document/file.php/OIK228/hyperharmonic.pdf" target="_blank" rel="noreferrer">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/Absconrt.pdf">εδώ</a>.</p> <p><strong>Ασκήσεις</strong> (λύστε τις παρακάτω τόσο χρησιμοποιώντας όσο και μη χρησιμοποιώντας το κριτήριο του πηλίκου).</p> <ol><li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i!}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bx%5E%7Bi%7D%7D%7Bi%21%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i!}" /> συγκλίνει για κάθε <img class="latex" title="x\geq 0" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=x%5Cgeq+0&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="x\geq 0" />.</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(i+1)^m},\: 0\leq m &lt;1" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%28i%2B1%29%5Em%7D%2C%5C%3A+0%5Cleq+m+%3C1&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(i+1)^m},\: 0\leq m &lt;1" /> αποκλίνει.</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i^{m}))" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cexp%28-%28i%5E%7Bm%7D%29%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i^{m}))" /> για όποιο <img class="latex" style="height:auto;border:none;vertical-align:middle;" title="m&gt;1" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=m%3E1&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="m&gt;1" /> συγκλίνει. Υπόδειξη: Μπορείτε να συσχετίσετε την συμπεριφορά της εν λόγω σειράς με την ανάλογη υπεραρμονική. Μπορείτε για μεγαλύτερη ευκολία να ασχοληθείτε με την <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i+1)^{m}))" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cexp%28-%28i%2B1%29%5E%7Bm%7D%29%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i+1)^{m}))" /> ή/και να δείτε την προηγούμενη μόνο για m=2).</li> <li>Δείξτε ότι η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(i)+1}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln%28i%29%2B1%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(i)+1}" /> αποκλίνει.</li> </ol><p>   </p>Sun, 12 Nov 2017 05:41:35 +0300Sun, 12 Nov 2017 05:41:35 +0300140https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=138&course=OIK228<p>Ξεκινήσαμε την εννοιολόγηση της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Series_(mathematics)" target="_blank" rel="noreferrer">πραγματικής σειράς</a> ως "απειροπληθούς αθροίσματος" των όρων πραγματικής ακολουθίας. Χρειάστηκαμε την έννοια της ακολουθίας μερικών αθροισμάτων δεδομένης πραγματικής ακολουθίας. Αυτή μπορεί να θεωρηθεί ως διαδικασία "ολοκλήρωσης ", ενώ η ζητούμενη έννοια της σειράς είναι το όριο αυτής όταν αυτό υπάρχει. Εξετάσαμε παραδείγματα όπως αυτό της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series" target="_blank" rel="noreferrer">γεωμετρικής</a>, της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)" target="_blank" rel="noreferrer">αρμονικής</a>, της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)#Alternating_harmonic_series" target="_blank" rel="noreferrer">εναλλάσουσας αρμονικής</a> και της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)#p-series" target="_blank" rel="noreferrer">υπεραρμονικής</a> ακολουθίας μερικών αθροισμάτων (και συνακόλουθα σειρών όπου αυτές υπάρχουν). Παρατηρήσαμε ότι με την εξαίρεση παραδειμγάτων όπως αυτό της γεωμετρικής σειράς, όπου ήταν "εύκολο" να βρεθεί και να ελεγχθεί ως προς την σύγκλιση γενικός τύπος για την μερική άθροιση, γενικά τα ζητήματα α) της ύπαρξης δεδομένης σειράς και β) της εύρεσης του με τι ισούται όταν υπάρχει, εμφανίζουν δυσκολίες στην γενική τους επίλυση ανάλογες με αυτές των διαδικασιών ολοκλήρωσης.</p> <p>Εστιάζοντας κυρίως στο α), ξεκινήσαμε την διατύπωση θεμειώδους λογισμού σειρών που βασίζεται στον λογισμό που έχουμε αναπτύξει για τα όρια. Έτσι π.χ. είδαμε ότι όταν η αρχική ακολουθία αποτελείται από ομόσημους όρους τότε και επειδή η ακολουθία μερικών αθροισμάτων αυτής είναι μονότονη, η σχετική σειρά θα υπάρχει ανν η ακολουθία μερικών αθροισμάτων είναι φραγμένη, εξετάσαμε ζητήματα άλγεβρας, κ.ο.κ. Θα οδηγηθούμε στην κατασκευή γενικού κριτηρίου το οποίο θα μας πληροφορεί σε κάποιες περιπτώσεις για το αν δεδομένη σειρά υπάρχει μέσω μιας υπολογιστικά "λιγότερο περίπλοκης" διαδιακασίας.</p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/Limser.pdf" target="_blank" rel="noreferrer">εδώ</a>.</p> <p> </p> <h3>Ασκήσεις</h3> <ol><li>Να οριστεί αυστηρά η αντίστροφη της διαδικασίας μερικής άθροισης.</li> <li>Έστω ακολουθία με αυστηρά θετικούς όρους. Δείξτε ότι η ακολουθία μερικών αθροισμάτων αυτής είναι γνησίως αύξουσα. Το αντίστροφο ισχύει;</li> <li>Χρησιμοποιώντας την γεωμετρική σειρά, και χωρίς να ασχοληθείτε με το αν μπορείτε να την «παραγωγίσετε» ως προς <img class="latex" title="a" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=a&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="a" /> προσπαθήστε να βρείτε την <img class="latex" title="\sum_{i=1}^{\infty}i a^{i}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7Di+a%5E%7Bi%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=1}^{\infty}i a^{i}" /> όταν <img class="latex" title="|a|&lt;1,\: a\neq 0" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%7Ca%7C%3C1%2C%5C%3A+a%5Cneq+0&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="|a|&lt;1,\: a\neq 0" />.</li> <li>Αν  <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} \alpha^{i},\: \sum_{i=0}^{\infty}\beta^{i}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Calpha%5E%7Bi%7D%2C%5C%3A+%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cbeta%5E%7Bi%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} \alpha^{i},\: \sum_{i=0}^{\infty}\beta^{i}" /> υπάρχουσες γεωμετρικές σειρές τότε με τι ισούται η <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty} (\alpha^{i}-\beta^{i})" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%28%5Calpha%5E%7Bi%7D-%5Cbeta%5E%7Bi%7D%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty} (\alpha^{i}-\beta^{i})" /> και γιατί;</li> <li>Ισχύει ότι <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}b_{i}=\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}\sum_{i=0}^{\infty}b_{i}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Da_%7Bi%7Db_%7Bi%7D%3D%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Da_%7Bi%7D%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Db_%7Bi%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}b_{i}=\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}\sum_{i=0}^{\infty}b_{i}" />; Υπάρχει περίπτωση να μην υπάρχει κάποια από τις δύο σειρές στην δεξιά πλευρά και να υπάρχει η σειρά στην αριστερή πλευρά της εν λόγω ισότητας;</li> <li>Να δείξετε ότι <img class="latex" title="\lim_{k\rightarrow\infty}\sum_{i=k}^{\infty}x_{i}=0" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Clim_%7Bk%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Csum_%7Bi%3Dk%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dx_%7Bi%7D%3D0&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\lim_{k\rightarrow\infty}\sum_{i=k}^{\infty}x_{i}=0" /> όταν η σειρά <img class="latex" title="\sum_{i=0}^{\infty}x_{i}" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dx_%7Bi%7D&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="\sum_{i=0}^{\infty}x_{i}" /> υπάρχει.</li> <li>Να δείξετε ότι κάθε άθροισμα πεπερασμένου πλήθους όρων είναι δυνατόν να γραφεί ως κάταλληλη σειρά.</li> </ol><p> </p> <p> </p> <p> </p>Sat, 04 Nov 2017 02:28:12 +0300Sat, 04 Nov 2017 02:28:12 +0300138https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=137&course=OIK228<p>Προκειμένου για την διατύπωση περαιτέρω στοιχείων του λογισμού των ορίων μεταγράψαμε τον αρχικό γεωμετρικό ορισμό του ορίου σε ισοδύναμο αναλυτικό ορισμό, χρησιμοποιώντας τους <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Universal_quantification" target="_blank" rel="noreferrer">καθολικούς ποσοδείκτες</a> ("υπάρχει" και "για κάθε" ) και ανισότητες. Είδαμε πως εφαρμόζεται αυτός σε παραδείγματα και αντιπαραδείγματα και προχωρήσαμε μέσω της χρήσης του στην διακρίβωση της σχέσης της σύγκλισης με τις αλγεβρικές πράξεις που έχουμε μελετήσει για πραγματικές ακολουθίες. Παρατηρώντας ότι η χρήση μέρους του λογισμού έχει να κάνει με την διευκόλυνση της εξακρίβωσης του ζητήματος σύγκλισης (και ενδεχομένως της συνακόλουθης εύρεσης του ορίου) για ακολουθίες απου απατελούν κατάλληλους μετασχηματισμούς ακολουθιών των οποίων η ασυμπτωτική συμπεριφορά είναι γνωστή, αναφερθήκαμε καταλήγωντας στον μετασχηματισμό ακολουθιών μέσω σύνθεσης με κατάλληλες συναρτήσεις, και συνακόλουθα στην αρχή της μεταφοράς. Χρησιμοποιήσαμε πολλές από τις έννοιες που έχουμε μέχρι τώρα εξάγει στην μελέτη της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς ενός γενικού παραδείγματος.</p> <p>Ακολούθως, και προσπαθώντας να εννοιολογήσουμε το απειροπληθές άθροισμα μέσω των όσων έχουμε κάνει μέχρι τώρα αναφερθήκαμε στην έννοια της ακολουθίας μερικών αθροισμάτων πραγματικής ακολουθίας ως πρώτο βήμα για την ενασχόληση μας με τις <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Series_(mathematics)#Convergent_series" target="_blank" rel="noreferrer">πραγματικές σειρές</a>.</p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/Limits.pdf" target="_blank" rel="noreferrer">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/Limser.pdf" target="_blank" rel="noreferrer">εδώ</a>.</p> <h3>Ασκήσεις</h3> <ol><li>Εξάγετε τις αποδείξεις όλων των αποτελεσμάτων αντικαθιστώντας στον ορισμό του ορίου τα ανοικτά με κλειστά διαστήματα.</li> <li>Δείξτε το Λήμμα (Μοναδικότητα) αποκλειστικά μέσω του αναλυτικού ορισμού.</li> <li>Δείξτε ότι η ακολουθία την πρώτων αριθμών είναι αποκλίνουσα.</li> <li>Δείξτε ότι συγκλίνουσα ακολουθία με κάτω φράγμα το 1 δεν μπορεί να έχει όριο μικρότερο του 1.</li> <li>Δείξτε ότι συγκλίνουσα ακολουθία με άνω φράγμα το 1 δεν μπορεί να έχει όριο μεγαλύτερο του 1.</li> <li>Δείξτε ότι το όριο συγκλίνουσας ακολουθίας δεν μπορεί να είναι μικρότερο από το inf και μεγαλύτερο από το sup αυτής.</li> <li>Να δείξετε μόνο μέσω του αναλυτικού ορισμού ότι η <img class="latex" title="(\exp(\frac{1}{n+1}))" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%28%5Cexp%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%2B1%7D%29%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="(\exp(\frac{1}{n+1}))" /> συγκλίνει στο 1.</li> <li>Να δείξετε μόνο μέσω του αναλυτικού ορισμού ότι η <img class="latex" title="(\exp(\frac{1}{n+1}))" src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%28%5Cexp%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%2B1%7D%29%29&amp;bg=f2f1ef&amp;fg=53412e&amp;s=0" alt="(\exp(\frac{1}{n+1}))" /> δεν συγκλίνει σε όποιον πραγματικό διάφορο του 1.</li> <li>Να δείξετε ότι το γινόμενο φραγμένης με συγκλίνουσα στο μηδέν ακολουθία είναι ακολουθία που επίσης συγκλίνει στο μηδέν. Θα ήταν δυνατόν να συμβαίνει κάτι τέτοιο ακόμη και αν η πρώτη δεν ήταν φραγμένη αλλά αποκλίνουσα;</li> </ol><p> </p> <p> </p>Sat, 28 Oct 2017 04:15:48 +0300Sat, 28 Oct 2017 04:15:48 +0300137https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=136&course=OIK228<p>Ξεκινήσαμε με την διατύπωση και την απόδειξη σημαντικής <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Monotone_convergence_theorem" target="_blank" rel="noreferrer">ιδιότητας</a> των ακολουθιών που είναι ταυτόγχρονα φραγμένες και μονότονες, η οποία μας προετοίμασε για τον ακριβή ορισμό της έννοιας του  ορίου. Η ιδιότητα αυτή σχετίζεται με μια μορφή "ασυμπτωτικής συγκέντρωσης" όποιας φραγμένης (ή ασθενέστερα φραγμένης από πάνω) και αύξουσας ακολουθίας "γύρω από" το sypremum της και δυικά με την ίδια μορφή "ασυμπτωτικής συγκέντρωσης" όποιας φραγμένης (ή ασθενέστερα φραγμένης από κάτω) και φθίνουσας ακολουθίας "γύρω από" το infimum της. Στην απόδειξη έπαιξε σημαντικό ρόλο το γεγονός ότι εξαιτίας της μονοτονίας, π.χ. για την περίπτωση της αύξουσας ακολουθίας,  όταν άπειρο πλήθος όρων της ακολουθίας είναι μικρότερο ή ίσο από ένα φράγμα τότε κάθε όρος της ακολουθίας είναι επίσης μικρότερος ή ίσος από το εν λόγω φράγμα.</p> <p>Το παραπάνω μας έδωσε την αφορμή για την ακριβή (καταρχάς γεωμετρική) διατύπωση της έννοιας του ορίου. Μέσω αυτής διαπιστώσαμε ότι υπάρχουν τόσο συγκλίνουσες (π.χ. οι φραγμένες και μονότονες) όσο και αποκλίνουσες ακολουθίες, ότι όταν το όριο υπάρχει είναι μοναδικό, και ξεκινήσαμε την εξαγωγή μιας σειράς από αποτελέσματα που συγκροτούν ένα μικρό μέρος του (ατελούς) λογισμού που χρησιμεύει στην διακρίβωση του αν μια ακολουθία είναι συγκλίνουσα, ή/και εαν είναι στην εύρεση του ορίου αυτής. Έπι παραδείγματι, μέσω της χρήσης του γεωμετρικού ορισμού είδαμε ότι αν μια ακολουθία είναι συγκλίνουσα είναι και φραγμένη οπότε ισοδύναμα αν μια ακολουθία είναι μη φραγμένη τότε αναγκαστικά είναι αποκλίνουσα, ή ότι όταν μια ακολουθία είναι π.χ. αύξουσα και σχεδόν κάθε όρος της φράσσεται κατ' απόλυτη τιμή από πάνω από την απόλυτη τιμή αντίστοιχου όρου συγκλίνουσας ακολουθίας τότε και η πρώτη έχει supremum  και συγκλίνει σε αυτό.</p> <p>Παρατηρήσαμε ότι η διατύπωση στοιχείων αυτού του λογισμού θα είναι πιο ευχερής αν έχουμε στην διάθεση μας κάποιον ισοδύναμο αναλυτικό ορισμό του ορίου, τον οποίο και αφήσαμε για τις επόμενες διαλέξεις.</p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω και ασκήσεις μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/RealSeq3.pdf" target="_blank" rel="noreferrer">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/Limits.pdf" target="_blank" rel="noreferrer">εδώ</a>.</p> <p><strong>Άσκηση:</strong></p> <p>Χρησιμοποιώντας τον γεωμετρικό ορισμό του ορίου να δειχθεί ότι κάθε <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Subsequence" target="_blank" rel="noreferrer">υπακολουθία</a> (για τον ορισμό δείτε την Άσκηση 1 <a href="/modules/document/file.php/OIK228/RealSeq3.pdf" target="_blank" rel="noreferrer">εδώ</a>) συγκλίνουσας ακολουθίας συγκλίνει επίσης στο ίδιο όριο.</p>Sun, 22 Oct 2017 17:28:00 +0300Sun, 22 Oct 2017 17:28:00 +0300136https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=135&course=OIK228<p>Καταρχάς δείξαμε ότι η σχεδόν παντού ισότητα είναι αυτοπαθής, συμμετρική και μεταβατική οπότε ως σχέση έχεις παρόμοιες ιδιότητες με την συνήθη ισότητα (τέτοιου είδους σχέσεις ονομάζονται <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Equivalence_relation" target="_blank" rel="noreferrer">σχέσεις ισοδυναμίας</a>).</p> <p>Στην συνέχεια και χρησιμοποιώντας τον συναρτησιακό ορισμό ασχοληθήκαμε με αναλυτικές ιδιότητες που μπορεί να έχουν πραγματικές ακολουθίες. Έτσι, διερευνώντας με λεπτομέρεια τον ορισμό της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Bounded_function" target="_blank" rel="noreferrer">φραγμένης πραγματικής συνάρτησης</a> καταλήξαμε στο πότε μια πραγματική ακολουθία έχει την ιδιότητα της φραγής, και ασχοληθήκαμε με το αν οι αλγεβρικές πράξεις διατηρούν την φραγή (έτσι π.χ. το σύνολο των φραγμένων πραγματικών ακολουθιών είδαμε ότι αποτελεί <a href="/modules/document/file.php/OIK269/LinAlg2.pdf" target="_blank" rel="noreferrer">διανυσματικό υποχώρο</a> του συνόλου των πραγματικών ακολουθιών ως προς τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτου πολλαπλασιασμού) όπως και αποδείξαμε <em>σημαντικά για τα παρακάτω</em> αποτελέσματα που  π.χ. αποδίδουν την ιδιότητα της φραγής σε πραγματική ακολουθία μέσω κατάλληλης σύγκρισης με φραγμένη ακολουθία, κ.ο.κ.</p> <p>Αναλόγως, και χρησιμοποιώντας τον ορισμό της <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Monotonic_function" target="_blank" rel="noreferrer">μονότονης πραγματικής συνάρτησης</a>, διερευνήσαμε το πότε μια πραγματική ακολουθία καλείται μονότονη. Παρατηρήσαμε επίσης ότι η μονοτονία προκύπτει ισοδύναμα από την σύγκριση μεταξύ των όρων σε κάθε ζεύγος διαδοχικών όρων της ακολουθίας.</p> <p>Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω όπως και κάποιες ασκήσεις μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/RealSeq2.pdf" target="_blank" rel="noreferrer">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/RealSeq3.pdf" target="_blank" rel="noreferrer">εδώ</a>.</p>Mon, 16 Oct 2017 01:27:02 +0300Mon, 16 Oct 2017 01:27:02 +0300135https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?pId=133&course=OIK228<p>Η πρώτη διάλεξη είχε καταρχάς τον χαρακτήρα ενημέρωσης για ζητήματα που άπτονται του μαθήματος, όπως τις διαθέσιμες διαδικασίες επικοινωνίας πέραν των διαλέξεων (με έμφαση στο παρόν eclass), το εκπαιδευτικό υλικό (διαλέξεις, αναρτήσεις σημειώσεων – αποριών κ.λ.π.), την δυνατότητα παράδοσης λύσεων σε ασκήσεις για βελτίωση του τελικού βαθμού, κ.ο.κ. Τα παραπάνω περιγράφονται στην σύνοψη του μαθήματος η οποία βρίσκεται <a href="/modules/document/file.php/OIK228/Math_%CE%99%CE%99%CE%99_17_18_syl.pdf" target="_blank" rel="noreferrer">εδώ</a>. Στην συνέχεια έγινε περιγραφή και κινητροδότηση βασικών εννοιών που θα παρουσιαστούν κατά την διάρκεια του μαθήματος. Πρόχειρες σημειώσεις για αυτά όπως και ασκήσεις για επανάληψη προγενέστερων εννοιών που είναι δυνατόν να χρειαστούν βρίσκονται <a href="/modules/document/file.php/OIK228/Motiv1.pdf" target="_blank" rel="noreferrer">εδώ</a>.</p> <p>Στην δεύτερη διάλεξη ξεκινήσαμε την πραγμάτευση της έννοιας της πραγματικής <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Sequence" target="_blank" rel="noreferrer">ακολουθίας</a>. Εξετάσαμε δύο ισοδύναμους ορισμούς, ο πρώτος εκ των οποίων είναι βολικός για την πραγμάτευση αλγεβρικών ιδιοτήτων ενώ ο δεύτερος για την πραγμάτευση αναλυτικών ιδιοτήτων και την γενίκευση της έννοιας. Εξετάσαμε την έννοια της ισότητας πραγματικών ακολουθιών και μια γενίκευση αυτής. Είδαμε παραδείγματα πράξεων μεταξύ ακολουθιών όπως η κατά σημείο πρόσθεση και ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός (ως προς αυτές το σύνολο των πραγματικών ακολουθιών είναι <a href="/modules/document/file.php/OIK269/LinAlg1.pdf" target="_blank" rel="noreferrer">διανυσματικός χώρος</a>) καθώς και την πράξη του σημειακού πολλαπλασιασμού. Πρόχειρες σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε <a href="/modules/document/file.php/OIK228/RealSeq1.pdf" target="_blank" rel="noreferrer">εδώ</a> και <a href="/modules/document/file.php/OIK228/RealSeq2.pdf" target="_blank" rel="noreferrer">εδώ</a>. </p> <p> </p> <p> </p> <p> </p> <p> </p>Mon, 09 Oct 2017 03:21:58 +0300Mon, 09 Oct 2017 03:21:58 +0300133