Μάθημα : Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ

Η πρώτη διάλεξη είχε κυρίως ενημερωτικό και εισαγωγικό χαρακτήρα. Παρουσιάστηκαν η οργάνωση, το περιεχόμενο και ο τρόπος διεξαγωγής του μαθήματος, καθώς και ο ρόλος των σημειώσεων, των ασκήσεων και της πλατφόρμας eClass. Η σχετική σύνοψη του μαθήματος βρίσκεται εδώ.

Συζητήσαμε επίσης τη γενικότερη φιλοσοφία του μαθήματος. Το βασικό μας αντικείμενο δεν είναι ένας κατάλογος τύπων και υπολογιστικών τεχνικών, αλλά η μαθηματική μελέτη της μετάβασης από πεπερασμένες προσεγγίσεις σε άπειρα αντικείμενα. Θα μας απασχολούν συστηματικά ερωτήματα όπως:

• πότε υπάρχει ένα όριο και πότε είναι μοναδικό,

• ποιες υποθέσεις εξασφαλίζουν τη σύγκλιση,

• ποιες πράξεις διατηρούν τη σύγκλιση,

• πώς μπορούμε να ελέγξουμε το σφάλμα μιας πεπερασμένης προσέγγισης,

• και ποια είναι η οικονομική, στατιστική ή υπολογιστική σημασία των σχετικών αποτελεσμάτων.

Αφετηρία της ανάπτυξης αποτελούν οι πραγματικές ακολουθίες. Οι ακολουθίες παρέχουν τη φυσική γλώσσα για τη μελέτη μεταβλητών που εξελίσσονται στον χρόνο, διαδοχικών προσεγγίσεων, επαναληπτικών αλγορίθμων και δειγματικών μεγεθών που μεταβάλλονται. Στη συνέχεια, μια πραγματική σειρά θα οριστεί μέσω της ακολουθίας των μερικών αθροισμάτων της, ενώ οι ακολουθίες και οι σειρές συναρτήσεων θα αποτελέσουν γενικεύσεις της ίδιας βασικής κατασκευής. Οι δυναμοσειρές θα συνδέσουν τις σειρές με τις αναλυτικές συναρτήσεις, τις πιθανότητες, τις διαφορικές εξισώσεις και τα δυναμικά οικονομικά υποδείγματα.

Ιδιαίτερη έμφαση θα δοθεί στη διάκριση ανάμεσα:

• στην ύπαρξη ενός μαθηματικού αντικειμένου,

• στη συμβολική ή αλγοριθμική αναπαράστασή του,

• και στη δυνατότητα αποτελεσματικού υπολογισμού του με πιστοποιημένο σφάλμα.

Οι εφαρμογές από την οικονομική θεωρία, τη στατιστική και τη μηχανική μάθηση δεν θα αντιμετωπίζονται ως ανεξάρτητα παραδείγματα, αλλά ως διαφορετικές εκφράσεις των ίδιων μαθηματικών ιδεών: αναδρομή, φραγή, μονοτονία, σύγκλιση και έλεγχος σφάλματος.

Βασικές γνώσεις διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού θεωρούνται ιδιαίτερα χρήσιμες. Το εισαγωγικό κεφάλαιο των σημειώσεων υπενθυμίζει τη γλώσσα των συνόλων, των συναρτήσεων, των σχέσεων και ορισμένων βασικών αλγεβρικών δομών, χωρίς να αντικαθιστά ένα προηγούμενο μάθημα Λογισμού.

Οι σημειώσεις αποτελούν έργο υπό διαμόρφωση. Διορθώσεις, παρατηρήσεις και αναφορές για τυπογραφικά ή μαθηματικά σφάλματα είναι ευπρόσδεκτες. Οι φοιτητές και οι φοιτήτριες παρακαλούνται να συμβουλεύονται συστηματικά το eClass, όπου θα αναρτώνται το ημερολόγιο, οι σημειώσεις, οι ασκήσεις, οι διορθώσεις και οι σχετικές ανακοινώσεις.

Στη δεύτερη διάλεξη αρχίσαμε τη συστηματική μελέτη των πραγματικών ακολουθιών, οι οποίες θα αποτελέσουν το βασικό υπόβαθρο για την εισαγωγή στην έννοια του ορίου.

Ξεκινήσαμε από ένα πεπερασμένο διατεταγμένο διάνυσμα

(x₀, x₁, …, xₙ₋₁)

και εξετάσαμε τι συμβαίνει όταν ο αριθμός των συντεταγμένων δεν είναι πλέον πεπερασμένος. Η μετάβαση αυτή οδηγεί στην πραγματική ακολουθία

(x₀, x₁, x₂, …).

Τονίστηκε ότι η σειρά των όρων έχει σημασία: δύο ακολουθίες που περιέχουν τις ίδιες τιμές σε διαφορετικές θέσεις δεν είναι γενικά ίσες.

Παρουσιάστηκαν δύο ισοδύναμοι τρόποι ορισμού μιας πραγματικής ακολουθίας:

1. Ως άπειρο διατεταγμένο διάνυσμα:

(x₀, x₁, x₂, …).

2. Ως συνάρτηση από τους φυσικούς στους πραγματικούς αριθμούς:

x: ℕ → ℝ, n ↦ xₙ.

Η ισοδυναμία των δύο ορισμών προκύπτει από το γεγονός ότι κάθε διατεταγμένη οικογένεια όρων προσδιορίζει μια μοναδική συνάρτηση στο ℕ, ενώ κάθε συνάρτηση x: ℕ → ℝ προσδιορίζει τη διατεταγμένη οικογένεια

(x(0), x(1), x(2), …).

Οι δύο οπτικές είναι ισοδύναμες, αλλά εξυπηρετούν διαφορετικούς σκοπούς. Ο διανυσματικός συμβολισμός είναι ιδιαίτερα χρήσιμος για τις αλγεβρικές πράξεις μεταξύ ακολουθιών. Ο συναρτησιακός ορισμός είναι καταλληλότερος για τη μελέτη αναλυτικών ιδιοτήτων, όπως η φραγή, η μονοτονία και η σύγκλιση, και επιτρέπει ευκολότερα τη γενίκευση σε ακολουθίες διανυσμάτων, συναρτήσεων ή τυχαίων μεταβλητών.

Διευκρινίστηκε επίσης η διάκριση μεταξύ της ακολουθίας (xₙ) και του n-οστού όρου xₙ. Η πρώτη είναι ολόκληρο το άπειρο αντικείμενο, ενώ ο δεύτερος είναι ένας συγκεκριμένος πραγματικός αριθμός. Ανάλογα με την εφαρμογή, η αρίθμηση μπορεί να αρχίζει από το 0 ή από το 1, αρκεί η σχετική σύμβαση να δηλώνεται καθαρά.

Μελετήσαμε χαρακτηριστικά παραδείγματα:

• την ταυτοτική ακολουθία xₙ = n,

• τις σταθερές ακολουθίες xₙ = c,

• ακολουθίες που εναλλάσσονται μεταξύ δύο πραγματικών αριθμών,

• την ακολουθία των πρώτων αριθμών,

• την αρμονική ακολουθία xₙ = 1/(n+1),

• και γενικότερες ακολουθίες της μορφής xₙ = 1/(n+1)ᵖ.

Τα παραδείγματα χρησιμοποιήθηκαν για να γίνει σαφές ότι μια ακολουθία δεν είναι απαραίτητο να διαθέτει έναν απλό κλειστό τύπο. Μπορεί να προσδιορίζεται από μια ιδιότητα, έναν αναδρομικό κανόνα ή έναν αλγόριθμο, αρκεί ο n-οστός όρος να καθορίζεται χωρίς αμφισημία.

Στο οικονομικό μέρος της διάλεξης παρατηρήσαμε ότι πολλές οικονομικές μεταβλητές έχουν φυσικά τη μορφή ακολουθίας, επειδή παρατηρούνται σε διακριτές χρονικές περιόδους:

x₀, x₁, x₂, …

Εξετάσαμε ειδικότερα την εξέλιξη ενός αρχικού ποσού X > 0 με σταθερό επιτόκιο R. Η ακολουθία

X, X(1+R), X(1+R)², …, X(1+R)ⁿ, …

περιγράφεται από τη συνάρτηση

xₙ = X(1+R)ⁿ.

Το παράδειγμα δείχνει πώς μια οικονομική χρονική διαδρομή μπορεί να αντιμετωπιστεί ταυτόχρονα ως άπειρο διάνυσμα και ως συνάρτηση του χρόνου.

Αναφερθήκαμε επίσης σε μια ροή κατανάλωσης

(c₀, c₁, c₂, …),

όπου cₜ είναι η κατανάλωση στην περίοδο t. Η επιλογή μιας τέτοιας ακολουθίας αποτελεί τη φυσική μαθηματική διατύπωση ενός προβλήματος διαχρονικής επιλογής: ο οικονομικός φορέας δεν επιλέγει μία μόνο ποσότητα, αλλά ολόκληρη χρονική τροχιά κατανάλωσης. Η ιδέα αυτή θα επανέλθει αργότερα στη μελέτη της διαχρονικής χρησιμότητας και των προβλημάτων άπειρου ορίζοντα.

Το ευρύτερο μήνυμα της διάλεξης είναι ότι οι ακολουθίες αποτελούν τη γέφυρα ανάμεσα σε τρεις οπτικές:

διατεταγμένες συντεταγμένες ↔ συναρτήσεις του δείκτη ↔ χρονικές ή αλγοριθμικές τροχιές.

Οι σχετικές σημειώσεις βρίσκονται στο Κεφάλαιο 2 του βιβλίου, «Πραγματικές ακολουθίες και πρώτες εφαρμογές», εδώ.

Οι πίνακες της δεύτερης διάλεξης είναι διαθέσιμοι εδώ.