Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Προκειμένου για την κατανόηση της έννοιας του ορίου, ξεκινήσαμε την πραγμάτευση της έννοιας της πραγματικής ακολουθίας. Εξετάσαμε δύο ισοδύναμους ορισμούς, ο πρώτος εκ των οποίων είναι βολικός για την πραγμάτευση αλγεβρικών ιδιοτήτων ενώ ο δεύτερος για την πραγμάτευση αναλυτικών ιδιοτήτων και την γενίκευση της έννοιας. Παρουσιάσαμε παραδείγματα πραγματικών ακολουθιών, κάποια εκ των οποίων άπτονται της Οικονομικής θεωρίας και της θεωρίας πιθανοτήτων. Εξετάσαμε ζητήματα περιγραφής και συμβολισμών. Χρησιμοποιώντας τον διανυσματικό ορισμό εξετάσαμε την έννοια της ισότητας πραγματικών ακολουθιών η οποία και αποτελεί κατά "φυσικό τρόπο" επέκταση της έννοιας της ισότητας πραγματικών διανυσμάτων. Εξετάσαμε συνοπτικά μια γενίκευση αυτής, η οποία επιτρέπει την συσχέτιση δύο πραγματικών ακολουθιών ως σχεδόν παντού ίσες ακόμη και όταν έχουν διαφορετικές συνιστώσες σε πεπερασμένο πλήθος θέσεων.

Χρησιμοποιώντας τον διανυσματικό ορισμό εξετάσαμε παραδείγματα αλγεβρικών πράξεων μεταξύ ακολουθιών όπως η κατά σημείο πρόσθεση και ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός (ως προς αυτές το σύνολο των πραγματικών ακολουθιών είναι διανυσματικός χώρος) καθώς και την πράξη του σημειακού πολλαπλασιασμού.

Στην συνέχεια και χρησιμοποιώντας τον συναρτησιακό ορισμό ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με αναλυτικές ιδιότητες που μπορεί να έχουν πραγματικές ακολουθίες. Αρχίσαμε, διερευνώντας με λεπτομέρεια τον ορισμό του φραγμένου υποσυνόλου των πραγματικών, και συνακόλουθα της φραγμένης πραγματικής συνάρτησης.

Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ. 

Τους πίνακες των διαλέξεων που εμπεριέχουν την πραγμάτευση αντίστοιχων εννοιών στο Ακ. Έτος 2020-21 μπορείτε να βρείτε εδώ, εδώ (υπάρχει λάθος σε υπόδειξη που δίνεται για την μεταβατική ιδιότητα της σχεδόν παντού ισότητας-ποιό και πως μπορεί να αναταχθεί;),  και εδώ (σελ. 2).

Περαιτέρω Ασκήσεις

1. Να δειχθεί ότι αν για τρείς ακολουθίες, η πρώτη είναι σχεδόν παντού ίση με την δεύτερη, και η δεύτερη είναι σχεδόν παντού ίση με την τρίτη, τότε το πλήθος των θέσεων που μπορεί να έχουν διαφορετικούς όρους η πρώτη και η τρίτη είναι μικρότερο ίσο από το άθροισμα του αντίστοιχου πλήθους μεταξύ πρώτης και δεύτερης και αυτού μεταξύ δεύτερης και τρίτης.

2. Ως προς την παραπάνω άσκηση, να βρεθούν παραδείγματα όπου το πλήθος των θέσεων που μπορεί να έχουν διαφορετικούς όρους η πρώτη και η τρίτη, α) είναι μηδέν, β) είναι θετικό αλλά αυστηρά μικρότερο του παραπάνω αθροίσματος, γ) είναι θετικό και ίσο με το παραπάνω άθροισμα.

3. Να δειχθεί ότι η σχεδόν παντού ισότητα είναι μεταβατική.

4. Τι συμπεραίνετε από την χρήση της έννοιας της σχεδόν παντού ισότητας σε n-διάστατα πραγματικά διανύσματα;

5.  Να βρεθεί παράδειγμα πραγματικής ακολουθίας όπου η ιδιότητα P δεν ισχύει για θετικό αλλά πεπερασμένο πλήθος όρων, όταν α) P="ο πραγματικός x είναι άρτιος φυσικός", β) α) P="ο πραγματικός x είναι άρρητός".

6. Για P όπως στην προηγούμενη άσκηση, να βρεθεί παράδειγμα πραγματικής ακολουθίας όπου η ιδιότητα P ισχύει για άπειρο πλήθος όρων, και ταυτόγχρονα δεν ισχύει για άπειρο πλήθος όρων.