Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Προκειμένου για την κατανόηση της έννοιας του ορίου, ξεκινήσαμε την πραγμάτευση της έννοιας της πραγματικής ακολουθίας. Εξετάσαμε δύο ισοδύναμους ορισμούς, ο πρώτος εκ των οποίων είναι βολικός για την πραγμάτευση αλγεβρικών ιδιοτήτων ενώ ο δεύτερος για την πραγμάτευση αναλυτικών ιδιοτήτων και την γενίκευση της έννοιας. Παρουσιάσαμε παραδείγματα πραγματικών ακολουθιών.

Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Τους πίνακες της από απόστασης 2ης διάλεξης από το Ακ. Έτος 2020-21 μπορείτε να βρείτε εδώ.

Συνεχίσαμε με παραδείγματα πραγματικών ακολουθιών που άπτονται των οικονομικών και της θεωρίας πιθανοτήτων. Εξετάσαμε ζητήματα περιγραφής και συμβολισμών. Χρησιμοποιώντας τον διανυσματικό ορισμό εξετάσαμε την έννοια της ισότητας πραγματικών ακολουθιών η οποία και αποτελεί κατά "φυσικό τρόπο" επέκταση της έννοιας της ισότητας πραγματικών διανυσμάτων. Εξετάσαμε συνοπτικά μια γενίκευση αυτής, η οποία επιτρέπει την συσχέτιση δύο πραγματικών ακολουθιών ως σχεδόν παντού ίσες ακόμη και όταν έχουν διαφορετικές συνιστώσες σε πεπερασμένο πλήθος θέσεων.

Πρόχειρες σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Τους πίνακες της από απόστασης 3ης διάλεξης του Ακ. Έτους 2020-21 μπορείτε να βρείτε εδώ (οι σχετικές με την φετινή 3η διάλεξης σελίδες είναι οι μέχρι και το ήμιση της 7ης-παρατηρήστε ότι στο εν λόγω αρχείο και στην άσκηση που αφορά στην μεταβατική ιδιότητα της σχεδόν παντού ισότητας (στο τέλος της σελ. 6) δίνεται ως υπόδειξη μια ανισότητα η οποία δεν είναι γενικά σωστή (δείτε και την άσκηση 1 παρακάτω)-Άσκηση: μήπως η ορθότητα αυτής της ανισότητας αποκαθίσταται αν η δεξιά της πλευρά πολλαπλασιαστεί με επαρκώς μεγάλο αριθμό;).

Περαιτέρω Ασκήσεις

1. Να δειχθεί ότι αν για τρείς ακολουθίες, η πρώτη είναι σχεδόν παντού ίση με την δεύτερη, και η δεύτερη είναι σχεδόν παντού ίση με την τρίτη, τότε το πλήθος των θέσεων που μπορεί να έχουν διαφορετικούς όρους η πρώτη και η τρίτη είναι μικρότερο ίσο από το άθροισμα του αντίστοιχου πλήθους μεταξύ πρώτης και δεύτερης και αυτού μεταξύ δεύτερης και τρίτης.

2. Ως προς την παραπάνω άσκηση, να βρεθούν παραδείγματα όπου το πλήθος των θέσεων που μπορεί να έχουν διαφορετικούς όρους η πρώτη και η τρίτη, α) είναι μηδέν, β) είναι θετικό αλλά αυστηρά μικρότερο του παραπάνω αθροίσματος, γ) είναι θετικό και ίσο με το παραπάνω άθροισμα.

3. Να δειχθεί ότι η σχεδόν παντού ισότητα είναι μεταβατική.

4. Τι συμπεραίνετε από την χρήση της έννοιας της σχεδόν παντού ισότητας σε n-διάστατα πραγματικά διανύσματα;