Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Προκειμένου να μπορούμε να ασχοληθούμε με πολυπλοκότερα παραδείγματα αλλά και με την έννοια της δυναμοσειράς και τις συνακόλουθες εφαρμογές, ξεκινήσαμε την γενίκευση των έννοιών που έχουμε δει μέχρι τώρα εισάγωντας και την έννοια της ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού. Παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν να αντιληφθούμε μια ακολουθία πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού με τουλάχιστον δύο ισοδύναμους τρόπους. Ο δεύτερος την αναπαριστά ως "λίστα" πραγματικών ακολουθιών

Συνεχίσαμε την διερεύνηση της συμπεριφοράς του κριτηρίου μέσω παραδειγμάτων.

Παρατηρήσαμε ότι επί της ουσίας λειτουργεί μέσω της σύγκρισης με γεωμετρική σειρά ο συντελεστής της οποίας σχετίζεται με το όριο της βοηθητικής ακολουθίας των πηλίκων των απολύτων τιμών των διαδοχικών όρων. Συνεπώς είναι αναμενόμενο ότι όταν τέτοια σύγκριση είναι αδύνατη (π.χ. σε υπεραρμονικές σειρές) το κριτήριο θα είναι να είναι μη πληροφοριακό όταν υπάρχει το σχετικό όριο.

Μέσω παραδειγμάτων, είδαμε ότι η περίπτωση τ

Συνεχίσαμε την διερεύνηση του ζητήματος σύγκλισης της υπεραρμονικής σειράς.  Στα πλαίσια αυτού του παραδείγματος, είδαμε ότι είναι δυνατόν η φραγή της σχετικής ΑΜΑ να προκύπτει μέσω της επιλογής κατάλληλης βοηθητικής πραγματικής ακολουθίας η οποία δεν είναι γενικά προφανής. Κατανοήσαμε έτσι την ανάγκη ύπαρξης "υπολογιστικά απλού" τρόπου διαπίστωσης της σύγκλισης σε κάποιες τουλάχιστον περιπτώσεις.

Μέσω περαιτέρω παραδείγματος παρατηρήσαμε ότι σε κάποιες περιπτώσεις η φραγή της ΑΜΑ είναι δυνατόν

Στα πλαίσια των γενικών ερωτημάτων πέρι ύπαρξης και εύρεσης δεδομένης σειράς, εξετάσαμε το παράδειγμα της γεωμετρικής σειράς. Παρατηρήσαμε ότι σε αυτό είναι δυνατόν με στοιχειώδεις τρόπους να επιλυθεί η έκφραση του γενικού όρου της σχετικής ΑΜΑ και στην συνέχεια αυτός να εξεταστεί ως προς την σύγκλιση. 

Συνεχίσαμε με το παράδειγμα της αρμονικής σειράς και εκμεταλλευόμενοι την προεργασία που είχαμε κάνει για την προσέγγιση του γενικού όρου της αρμονικής ΑΜΑ από ολοκλήρωμα, δείξαμε ότι η εν λόγω σ

Συνεχίζοντας την χρήση του γεωμετρικού ορισμού, είδαμε ότι αφού μια συγκλίνουσα ακολουθία έχει όρους φραγμένους από πάνω (κάτω) από πραγματικό αριθμό, τότε και το όριο αυτής δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο (αντ. μικρότερο) του φράγματος, ότι ακολουθία που βρίσκεται κατά σημείο μεταξύ συγκλινουσών ακολουθίων στο ίδιο όριο, συγκλίνει και αυτή εκεί, και ότι το ζήτημα της σύγκλισης της ακολουθίας δεν επηρεάζεται καθόλου από την συμπεριφορά όποιου πεπερασμένου μέρους της ακολουθίας.

Παρατηρήσαμε ότι η

Προοικονομώντας την έννοια του ορίου, δείξαμε ότι όταν μια ακολουθία συνδυάζει τις ιδιότητες της μονοτονίας και της φραγής τότε διαθέτει ένα ενδιαφέρον χαρακτηριστικό συγκέντρωσης. Ξεκινήσαμε την ανάπτυξη της έννοιας χρησιμοποιώντας το γενικό παράδειγμα φραγμένης και αύξουσας ακολουθίας όπου και είδαμε ότι θα εμφανίζει μορφή "ασυμπτωτικής συγκέντρωσης" "γύρω από" το sypremum της. Δυικά ισχύει  "ασυμπτωτικής συγκέντρωσης" όποιας φραγμένης και φθίνουσας ακολουθίας "γύρω από" το infimum της.

Τα παρ

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με το ζήτημα της φραγής ως προς τις πραγματικές ακολουθίες εξετάζοντας παραδείγματα και άντιπαραδείγματα. Παρατηρήσαμε ότι ως προς το ερώτημα του αν δεδομένη ακολουθία είναι φραγμένη, η άμεση χρήση του ορισμού είναι γενικά δυσχερής. Προσπαθήσαμε να το αντιμετωπίσουμε, τουλάχιστον ως προς το ότι θα μας απασχολήσει στην συνέχεια, μέσω της ανάπτυξης ενός μικρού σχετικού λογισμού. Έτσι ασχοληθήκαμε με την εξαγωγή αποτελεσμάτων που π.χ. αποδίδουν την ιδιότητα της φραγής

Συνεχίσαμε με την διερεύνηση της έννοιας της φραγμένης πραγματικής συνάρτησης, εκκινώντας από την έννοια της φραγής από πάνω, εξετάζοντας παραδείγματα και άντι-παραδείγματα. Ασχοληθήκαμε αντιστοίχως με την δυική έννοια της φραγής από κάτω. Συνδυάζοντας τα προηγούμενα αποκτήσαμε τελικά την έννοια της φραγής για πραγματικές συναρτήσεις.

Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω διατυπώσαμε τελικά τον ορισμό της φραγμένης πραγματικής ακολουθίας χρησιμοποιώντας καταρχάς την συνάρτησιακή της μορφή. Είδαμε παραδείγ

Παρουσιάσαμε περαιτέρω παραδείγματα πραγματικών ακολουθιών, κάποια εκ των οποίων άπτονται της της θεωρίας πιθανοτήτων. Εξετάσαμε ζητήματα περιγραφής και συμβολισμών. Χρησιμοποιώντας τον διανυσματικό ορισμό εξετάσαμε την έννοια της ισότητας πραγματικών ακολουθιών η οποία και αποτελεί κατά "φυσικό τρόπο" επέκταση της έννοιας της ισότητας πραγματικών διανυσμάτων. Εξετάσαμε συνοπτικά μια γενίκευση αυτής, η οποία επιτρέπει την συσχέτιση δύο πραγματικών ακολουθιών ως σχεδόν παντού ίσες ακόμη και όταν

Η πρώτη διάλεξη είχε καταρχάς τον χαρακτήρα ενημέρωσης για ζητήματα που άπτονται της διεξαγωγής του μαθήματος. Τα παραπάνω εν μέρει περιγράφονται στην σύνοψη του μαθήματος η οποία βρίσκεται εδώ.

Επίσης, έγινε σύντομη περιγραφή και κινητροδότηση βασικών εννοιών που θα παρουσιαστούν κατά την διάρκεια του μαθήματος. Πρόχειρες σημειώσεις για αυτά όπως και ασκήσεις για επανάληψη προγενέστερων εννοιών που είναι δυνατόν να χρειαστούν βρίσκονται εδώ. 

Προκειμένου για την κατανόηση της έννοιας του ορίου,