Στατιστική ΙΙ

Συνεχίσαμε με το θεώρημα χαρακτηρισμού της αθροιστικής συνάρτησης, και το χρησιμοποιήσαμε προκειμένου να δούμε το πως περαιτέρω ιδιότητες των κατανομών αντανακλώνται στις αθοριστικές τους, στο πως μπορούμε να υπολογίζουμε πιθανότητες βάσει της αθροιστικής και στην διατύπωση περαιτέρω παραδειγμάτων κατανομών πιθανότητας στους προγματικούς.

Τους πίνακες των διαλέξεων μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ. Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Τελειώσαμε με την εισαγωγή στα παραδείγματα των διακριτών κατανομών εξετάζοντας περαιτέρω το παράδειγμα της Poisson. Δείτε εδώ συμπλήρωμα που αφορά στην ερμηνεία των διακριτών κατανομών που εξετάσαμε στις διαλέξεις. Θυμηθήκαμε την ταξινόμηση των κατανομών βάσει του στηρίγματος και αρχίσαμε την εξέταση περαιτέρω εννοιών που τις αναπαριστόύν. Ξεκινήσαμε με την αθροιστική συνάρτηση και εν μέρει δείξαμε χαρακτηριστικές ιδιότητες τους.

Τους πίνακες των διαλέξεων μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ. Σημειώ

Ασχοληθήακαμε ασχοληθήκαμε με την εξέταση παραδειγμάτων (οικογενειών) διακριτών κατανομών. Τα παραδείγματά μας αφορούσαν στις εκφυλισμένες κατανομές, στις κατανομές Bernoulli, στις διωνυμικές κατανομές και στις κατανομές Poisson.

Τους πίνακες των διαλέξεων μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ, ενώ πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Περαιτέρω 'Ασκηση

Έστω n πραγματικοί αριθμοί, με n>1. Να οριστεί η διακριτή κατανομή που ως στήριγμα έχει το σύνολο από αυτούς τους αριθμούς και σ

Η ανάλυση των ιδιοτήτων των κατανομών πιθανότητας επί των πραγματικών είναι σημαντική επειδή, σε αυτούς, ή σε "παρεμφερείς" χώρους, είναι συνήθως ορισμένες οι κατανομές που αφορούν την Οικονομική Θεωρία και την Οικονομετρία, και επίσης επειδή μέσω της έννοιας της τυχαίας μεταβλητής είναι δυνατή η "μεταφορά" κατανομών από αυθαίρετους χώρους στην πραγματική ευθεία η οποία έχει πλούσια μαθηματική δομή, και συνεπώς η μελέτη τους εκεί.

Από τα προηγούμενα γνωρίζουμε ότι τόσο στην πραγματική ευθεία, αλ

Συνεχίσαμε με μελέτη των έννοιών των αμελητέων συνόλων και των δυικών τους συνόλων πλήρους πιθανότητας, και είδαμε ότι τα τελευταία μπορούν να χρησιμοποιούνται προκειμένου να εκφράζονται οι πιθανότητες που αποδίδονται από την κατανομή ως προς αυτά, κάτι που είναι δυνατόν να διευκολύνει την περιγραφή κατανομής πιθανότητας σε κάποιες περιπτώσεις (όπως θα δούμε στην συνέχεια μέσω της έννοιας του στηρίγματος μιας κατανομής επί των πραγματικών). Παρατηρήσαμε ότι στην σχετική μελέτη μας διευκόλυνε η ι

Δεδομένης της προεργασίας μας με στοιχεία της θεωρίας συνόλων, συνεχίσαμε ορίζοντας την έννοια της πραγματικής συνολοσυνάρτησης ως συνάρτησης που ορίζεται στο δυναμοσύνολο (ή σε υποσυλλογή αυτού) και δίνει πραγματικές τιμές, και εξετάσαμε παραδείγματα και αντιπαραδείγματα. Παρατηρήσαμε ότι σε παραδείγματα όπως αυτό της πραγματικής ευθείας η περιγραφή τέτοιων συναρτήσεων είναι γενικά δύσκολη, οπότε είναι δυνατόν να μας χρειάζονται απλούστερες αναπαραστάσεις τους, παρόλο που διατυπώσαμε παράδειγμα

Σκοπός του μαθήματος είναι η περαιτέρω αυστηρή μαθηματική θεμελίωση εννοιών της θεωρίας πιθανοτήτων και διαδικασιών στατιστικής επαγωγής. Παιδαγωγικά μέσω της εν λόγω θεμελίωσης γίνεται ευχερής η ορισμός, η επέκταση και η κατανόηση των ιδιοτήτων περισσότερο περίπλοκων διαδικασιών όπως αυτές που θα συναντηθούν στα μετέπειτα μαθήματα της Οικονομετρίας.

Ως στατιστική επαγωγή νοείται το σύνολο των διαδικασιών επίλυσης του στατιστικού προβλήματος. Στατιστικό ονομάζεται όποιο πρόβλημα αφορά στην εύρεσ

Σε υποερώτημα του θέματος 1.α, ζητείται καταρχάς η εξαγωγή της  όταν η τ.μ. X ακολουθεί την Exp(λ). Από τις ιδιότητες του ολοκληρώματος έχουμε ότι αυτό (γιατί;) θα ισούται με  και επειδή  (το οποίο θα έχει εξαχθεί από προηγούμενο σκέλος του ερωτήματος) θα έχουμε τελικά ότι  για κάθε δυνατή τιμή της παραμέτρου λ. Συνεπώς η απάντηση στο τελευταίο υποερώτημα του 1.(α) είναι ότι αυτό ισχύει για κάθε εκθετική κατανομή. 

Η διευκρίνηση δίνεται επειδή από παραδρομή έδωσα λάθος απάντηση σε φοιτητές που μ