Ιστολόγιο μαθήματος Στατιστική ΙΙ

Σύνοψη Διαλέξεων 24ης-26ης (Ακ. Έτος 2023-24)

Fri, 07 Jun 2024 00:06:00 +0300

Aσχοληθήκαμε με περαιτέρω παραδείγματα που αφορούν στην έννοια της συνάρτησης πυκνότητας. Προχωρήσαμε στην εξέταση των κατανομών πιθανότητας ως διαδικασιών ολοκλήρωσης κατάλληλων συναρτήσεων, μελετήσαμε ιδιότητες των σχετικών ολοκληρωμάτων, και ασχοληθήκαμε με υπολογισμούς σε παραδείγματα.

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ. Τα σχεδιαγράμματα των εν λόγω διαλέξεων βρίσκονται εδώ.

Σύνοψη Διαλέξεων 22ης-23ης (Ακ. Έτος 2023-24)

Sat, 01 Jun 2024 00:40:10 +0300

Συμπληρώσαμε το παράδειγμα της εκθετικής κατανομής και ασχοληθήκαμε με αυτό της κανονικής κατανομής, στο οποίο και ανάμεσα στα άλλα παρατηρήσαμε ότι η αθροιστική συνάρτηση μπορεί να εκφρασθεί μόνο ως ορισμένο καταχρηστικό ολοκλήρωμα κατάλληλης συνάρτησης.

Έτσι, ξεκινήσαμε την εξέταση της έννοιας της συνάρτησης πυκνότητας, ασχολούμενοι με ιδιότητες και παραδείγματα που την αφορούν.

Σύνοψη Διαλέξεων 20ης-21ης (Ακ. Έτος 2023-24)

Sun, 26 May 2024 18:33:10 +0300

Ξεκινήσαμε την εξέταση παραδειγμάτων (και αντιπαραδείγματος) κατασκευής και περιγραφής κατανομών πιθανότητας μέσω των αντίστοιχων αθροιστικών. Σε αυτό το πλαίσιο ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με το παράδειγμα της ομοιόμορφης κατανομής, με ένα παράδειγμα συνεχούς κατανομής με ασυνεχή αθροιστική που προκύπτει από σχετική τροποποίηση της ομοιόμορφης, με ένα παράδειγμα μεικτής κατανομής και με το παράδειγμα της εκθετικής κατανομής.

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ. Τα σχεδιαγράμματα των διαλέξεων μπορείτε να βρείτε εδώ.(Προσοχή: στα σχεδιαγράμματα υπάρχει και η ανάταξη δύο λαθών που έγιναν κατά την διάρκεια των διαλέξεων, το πρώτο αφορά στο υποσύνολο του επιπέδου που αναπαριστά το πόσες ομοιόμορφες κατανομές υπάρχουν, και το δεύτερο στην συμπεριφορά της μεικτής κατανομής καθώς η παράμετρος q συγκλίνει στο 1.)

Σύνοψη Διαλέξεων 18ης-19ης (Ακ. Έτος 2023-24)

Sat, 18 May 2024 17:18:25 +0300

Συνεχίσαμε με την εν μέρει εξαγωγή χαρακτηριστικών ιδιοτήτων που μας οδήγησαν στο θεώρημα χαρακτηρισμού της αθροιστικής συνάρτησης, και το χρησιμοποιήσαμε προκειμένου να δούμε το πως περαιτέρω ιδιότητες των κατανομών αντανακλώνται στις αθροιστικές τους, και στο πως μπορούμε να υπολογίζουμε πιθανότητες βάσει της αθροιστικής.

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ. Τα σχεδιαγράμματα των εν λόγω διαλέξεων μπορείτε να βρείτε εδώ.

Σύνοψη Διαλέξεων 16ης-17ης (Ακ. Έτος 2023-24)

Sat, 27 Apr 2024 17:15:28 +0300

Θυμηθήκαμε την ταξινόμηση των κατανομών βάσει του στηρίγματος και αρχίσαμε την εξέταση περαιτέρω εννοιών που τις αναπαριστόύν. Ξεκινήσαμε με την αθροιστική συνάρτηση. Πέραν της εξέτασης του ορισμού και κάποιων αρχικών παραδειγμάτων, αρχίσαμε να ασχολούμαστε με την εν μέρει εξαγωγή χαρακτηριστικών ιδιοτήτων που θα μας οδηγήσουν σε θεμελιώδες αποτέλεσμα που ονομάζεται θεώρημα χαρακτηρισμού της αθροιστικής συνάρτησης.

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ. Σχεδιαγράμματα των διαλέξεων μπορείτε να βρείτε εδώ.

Σύνοψη Διαλέξεων 11ης-15ης (Ακ. Έτος 2023-24-η 13η διάλεξη συνιστούσε την τρίτη αναπλήρωση)

Sun, 14 Apr 2024 23:52:18 +0300

Ξεκινήσαμε την διερεύνηση της έννοιας του στηρίγματος. Είδαμε ότι μας χρησιμεύει στο να α) διευκολύνουμε σε κάποιες περιπτώσεις τον υπολογισμό των ιθανοτήτων που αποδίδει η κατανομή και β) να ταξινομήσουμε τις κατανομές στο μέσω των ιδιοτήτων των στηριγμάτων τους.

Δεδομένης της προαναφερθείσας ταξινόμησης, ασχοληθήκαμε καταρχάς με τον ορισμό και ιδιότητες των διακριτών κατανομών. Μέσω των όσων εξατάσαμε για το στήριγμα, και επειδή στις συγκεκριμένες κατανομές το στήριγμα είναι διακριτό, δείξαμε ότι οι συγκεκριμένες κατανομές είναι περιγράψιμες χωρίς την ανάγκη ανάπτυξης και χρήσης περαιτέρω εννοιών.

Καταλήξαμε σε ελάχιστες συνθήκες που χρειάζονται για να περιγράφουμε όποια τέτοια κατανομή, όπως και σε συνθήκες που είναι αναγκαίο και ικανό να ικανοποιούνται, προκειμένου αυτές να είναι καλώς ορισμένες.

Ξεκινήσαμε την διερεύνηση παραδειγμάτων (οικογενειών) διακριτών κατανομών, αφήνοντας το αντίστοιχο στήριγμα να κλιμακώνεται από παράδειγμα σε παράδειγμα, και ασχολούμενοι με τις εκφυλισμένες κατανομές, τις κατανομές Bernoulli, τις διωνυμικές κατανομές, και τις κατανομές Poisson.

Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ. Τα σχεδιαγράμματα των διαλέξεων μπορείτε να βρείτε εδώ, εδώ, εδώ, και εδώ. Συμπλήρωμα που αφορά σε ερμηνεία μέσω τυχαίων πειραμάτων των διακριτών με τις οποίες ασχολούμαστε (και της Poisson που θα εξετάσουμε στην επόμενη διάλεξη), ενός οριακού θεωρήματος, και ενός παραδείγματος χρήσης διωνυμικής κατανομής, μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Περαιτέρω 'Ασκηση

Έστω n πραγματικοί αριθμοί, με n>1. Να οριστεί η διακριτή κατανομή που ως στήριγμα έχει το σύνολο από αυτούς τους αριθμούς και σε κάθε έναν από αυτούς αποδίδει ακριβώς την ίδια πιθανότητα (μια τέτοια κατανομή θα μπορύσε να ονομαστεί και ως διακριτή ομοιόμορφη). Αποτελεί αυτή ειδική περίπτωση κάποιας από τις τέσσερις οικογένειες που αναφέρονται παραπάνω;

Σύνοψη Διαλέξεων 8ης-9ης-10ης (Ακ. Έτος 2023-24-η 10η διάλεξη συνιστούσε την δεύτερη αναπλήρωση)

Sat, 06 Apr 2024 16:12:14 +0300

Δεδομένου του ορισμού της κατανομής πιθανότητας, και χρησιμοποιώντας την προεργασία μας, προχωρήσαμε στην εξαγωγή περαιτέρω στοιχειωδών ιδιοτήτων των κατανομών, όπως η υπο-προσθετικότητα, παρατηρήρώντας ότι κάποιες από αυτές είναι δυνατόν να ερμηνευθούν ως ικανές συνθήκες υπό τις οποίες η εκάστοτε κατανομή μετασχηματίζει συνολοθεωρητικές πράξεις σε ”αντίστοιχες” πράξεις μεταξύ πραγματικών αριθμών.

Εξετάσαμε τις έννοιες των αμελητέων συνόλων και των δυικών τους συνόλων πλήρους πιθανότητας, και είδαμε ότι τα τελευταία μπορούν να χρησιμοποιούνται προκειμένου να εκφράζονται οι πιθανότητες που αποδίδονται από την κατανομή ως προς αυτά, κάτι που είναι δυνατόν να διευκολύνει την περιγραφή κατανομής πιθανότητας σε κάποιες περιπτώσεις (όπως θα δούμε στην συνέχεια μέσω της έννοιας του στηρίγματος μιας κατανομής επί των πραγματικών). Παρατηρήσαμε ότι στην σχετική μελέτη μας διευκόλυνε η ιδιότητα της μονοτονίας για τις κατανομές πιθανότητας.

Εξετάσαμε παραδείγματα και αντιπαραδείγματα σχετικά και με τα παραδείγματα συνολοσυναρτήσεων που είχαμε ήδη εξετάσει.

Συνεχίσαμε με την κατασκευή και ανάλυση παραδειγμάτων που καταρχάς εμπλέκουν πεπερασμένα σύνολα αναφοράς. Παρατηρήσαμε ότι όταν ένας μετρήσιμος χώρος είναι τετριμμένος (δηλαδή το Ω έχει μόνο ένα στοιχείο) τότε μόνο μία (εκφυλισμένη) κατανομή πιθανότητας είναι δυνατόν να ορίζεται σε αυτόν. Περνώντας στο αμέσως πολυπλοκότερο παράδειγμα, αυτό όπου το Ω έχει δύο στοιχεία, παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν να ορίζονται πολύ περισσότερες κατανομές πιθανότητας. Εξαιτίας αυτού προκύπτει το στατιστικό πρόβλημα.

Καταλήξαμε με το ερώτημα του αν οι κατανομές πιθανότητας επί των πραγματικών μπορούν να περιγράφονται γενικά χρησιμοποιώντας άμεσα τα παραπάνω, ή είναι αναγκαίο από αυτά να προκύπτουν αλλά αναλυτικά εργαλέια που μας βοηθούν στην περιγραφή τους.

Η ανάλυση των ιδιοτήτων των κατανομών πιθανότητας επί των πραγματικών είναι σημαντική επειδή, σε αυτούς, ή σε "παρεμφερείς" χώρους, είναι συνήθως ορισμένες οι κατανομές που αφορούν την Οικονομική Θεωρία και την Οικονομετρία, και επίσης επειδή μέσω της έννοιας της τυχαίας μεταβλητής είναι δυνατή η "μεταφορά" κατανομών από αυθαίρετους χώρους στην πραγματική ευθεία η οποία έχει πλούσια μαθηματική δομή, και συνεπώς η μελέτη τους εκεί.

Από τα προηγούμενα γνωρίζουμε ότι τόσο στην πραγματική ευθεία, αλλά και γενικότερα σε περιπτώσεις που η συλλογή από τα σχετικά μετρήσιμα υποσύνολα είναι "περίπλοκη" τότε γενικά είναι δυσχερής η χρήση του ορισμού για την περιγραφή κατανομής πιθανότητας. Επομένως μας χρειάζονται έννοιες που είναι δυνατόν να αναπαριστούν μια κατανομή αποφεύγοντας τον ορισμό, και οι οποίες είναι επίσης "οικείες" (π.χ. συναρτήσεις από το στο ) και "εύχρηστες". Προκύπτει επίσης το ερώτημα του πως είναι δυνατόν οι ιδιότητες της κατανομής να αντανακλώνται σε τυχόν "οικείες αναλυτικές" ιδιότητες όποιας τέτοιας αναπαράστασης. Θα ασχοληθούμε με αυτά τα ερωτήματα σε σημαντικό μέρος του μαθήματος.

Χρησιμοποιώντας παράδειγμα που έχουμε ήδη μελετήσει συμπεράναμε ότι υπάρχουν κάποιες κατανομές στους πραγματικούς που είναι "εύκολα περιγράψιμες" χωρίς την ανάγκη χρήσης επί της ουσίας νέων εννοιών πέρα του ορισμού. Αυτό επειδή η πιθανότητες που αυτές αποδίδουν σε κάποιο μετρήσιμο υποσύνολο των πραγματικών επί της ουσίας εξαρτώνται μόνο από την τομή του τελευταίου με "μικρό" υποσύνολο των πραγματικών, και από την πιθανότητα που η κατανομή αποδίδει στα μονοσύνολα που σχηματίζει κάθε ξεχωριστό στοιχείο αυτού του διακριτού συνόλου. Καταρχάς λοιπόν, η ανάλυση μας θα αφορά στην ταξινόμηση των κατανομών στους πραγματικούς βάσει της "ευκολίας περιγραφής".

Για να προχωρήσουμε με τα παραπάνω μας είναι χρήσιμες οι έννοιες: α) του κλειστού υποσυνόλου του , ως όποιου υποσυνόλου των πραγματικών με την ιδιότητα ότι δεν υπάρχει πραγματικός έξω από αυτό που να μπορεί να προκύψει ως όριο στοιχείων του υποσυνόλου, και β) του διακριτού υποσυνόλου του , ως συλλογή από "απομονωμένους" πραγματικούς, με την έννοια ότι κάθε στοιχείο του συνόλου μπορεί να απομονωθεί από τα υπόλοιπα μέσω κατάλληλου ανοικτού διαστήματος που θα το περιέχει και δεν θα περιέχει κάνενα άλλο στοιχείο του εν λόγω συνόλου.

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ, εδώ, εδώ και εδώ. Τα σχετικά σχεδιαγράμματα των διαλέξεων βρίσκονται εδώ, εδώ και εδώ.

Oι πίνακες σχετικών από απόσταση διαλέξεων του ακαδημαϊκού έτους (2020-21) βρίσκονται εδώ και εδώ. Προσοχή οι διαλέξεις αυτές δεν ταυτίζονται αναγκαστικά και απολύτως με τις αντίστοιχες φετινές, παρόλο που έχουν κοινά στοιχεία, συνεπώς οι σχετικοί πίνακες και οι βιντεοσκοπήσεις σας δίνονται συμπληρωματικά του φετινού υλικού.

Άσκηση: Είναι δυνατόν η ανισότητα της υποπροσθετικότητας να ισχύει και ως ισότητα ακόμη και στην περίπτωση που τα εμπλεκόμενα στην ένωση σύνολα δεν είναι ξένα μεταξύ τους; Μπορείτε να τεκμηριώσετε την απάντηση σας χρησιμοποιώντας μόνο την περίπτψση που η ένωση αποτελείται από δύο παράγοντες.

Σύνοψη Διαλέξεων 6ης-7ης (Ακ. Έτος 2023-24-η 7η διάλεξη συνιστούσε την πρώτη αναπλήρωση)

Sun, 31 Mar 2024 18:38:59 +0300

Συνεχίσαμε την εξέταση της έννοιας της (πραγματικής) συνολοσυνάρτησης επί συνόλου αναφορά. Εξετάσαμε παραδείγματα και κάποιες ιδιότητες (εν προκειμένω τις μονοτονία και προσθετικότητα) που είναι δυνατόν να έχουν κάποιες από αυτές, που θα είναι χρήσιμες αργότερα καθώς τις έχουν οι κατανομές πιθανότητας.

Προχωρήσαμε στον ορισμό της κατανομής πιθανότητας, ως πραγματικής συνολοσυνάρτησης ορισμένης στην εκάστοτε συλλογή από μετρήσιμα υποσύνολα, η οποία συνάρτηση ικανοποιεί τις ιδιότητες του θετικά ορισμένου, της τυποποίησης και της προσθετικότητας.

Συνεχίσαμε, χρησιμοποιώντας την προεργασία μας, με την εξαγωγή περαιτέρω ιδιοτήτων των κατανομών, όπως η μονοτονία, και παρατηρήσαμε ότι κάποιες από αυτές είναι δυνατόν να ερμηνευθούν ως ικανές συνθήκες υπό τις οποίες η εκάστοτε κατανομή μετασχηματίζει συνολοθεωρητικές πράξεις σε ”αντίστοιχες” πράξεις μεταξύ πραγματικών αριθμών.

Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ, και εδώ. Τα σχεδιαγράμματα των διαλέξεων μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ. Oι πίνακες σχετικών από απόσταση διαλέξεων του ακαδημαϊκού έτους 2020-21 βρίσκονται εδώ και εδώ, ενώ εδώ βρίσκονται βιντεοσκοπημένη σύνοψη μέρους αυτών που άπτονται της εξέτασης των συνολοσυναρτήσεων. Προσοχή οι διαλέξεις αυτές δεν ταυτίζονται αναγκαστικά και απολύτως με τις αντίστοιχες φετινές, παρόλο που έχουν κοινά στοιχεία, συνεπώς οι σχετικοί πίνακες και οι βιντεοσκοπήσεις σας δίνονται συμπληρωματικά του φετινού υλικού.

Εφόσον ενδιαφέρεστε τα παρακάτω αφορούν στην πιο ακριβή διατύπωση του ορισμού της κατανομής παθανότητας (και είναι εκτός του εύρος του μαθήματος):

Παρατηρήσαμε ότι ο ορισμός της κατανομής πιθανότητας που δώσαμε είναι ημιτελής. Αυτό ισχύει επειδή α. είναι δυνατόν να χρειάζεται να ενισχύσουμε την ιδιότητα της προσθετικότητας ώστε να ισχύει και για αριθμήσιμες (δηλαδή με πλήθος όχι μεγαλύτερο του πλήθους των φυσικών) ενώσεις ανά δύο ξένων μεταξύ τους υποσυνόλων του Ω και β. το σύνολο αναφοράς να είναι απειροπληθές, οπότε είναι δυνατόν να υπάρχουν υποσύνολα του στα οποία δεν μπορούν με συνεπή τρόπο να αποδοθούν πιθανότητες (μη μετρησιμότητα). Το α. μας είναι χρήσιμο επειδή συνεπάγεται χρήσιμες περαιτέρω ιδιότητες για τις κατανομές που βοηθούν στην αναλυτική μελέτη τους, και ονομάζεται αριθμήσιμη προσθετικότητα.

Προκειμένου να ξεπεραστεί η δυσκολία της μη μετρησιμότητας, το πεδίο ορισμού της κατανομής επιτρέπεταινα είναι υποσυλλογή του δυναμοσυνόλου, που θα αποτελείται από τα μετρήσιμα-δηλ. αυτά στα οποία μπορούν και είναι επιθυμητό να αποδοθούν πιθανότητες, υποσύνολά του. Αυτή η υποσυλλογή θα είναι κλειστή ως προς μικρά, δηλαδή αριθμήσιμα, πλήθη συνολοθεωρητικών πράξεων. Όταν το σύνολο αναφοράς είναι πεπερασμένο μπορεί να επιλεγεί να είναι το δυναμοσύνολο, ενώ σε σύνολα αναφοράς όπως οι πραγματικοί, μπορεί να επιλεγεί ώστε να περιέχει όλα τα "οικεία" σε εμάς υποσύνολα των πραγματικών. Αποκτούμε έτσι την έννοια του μετρήσιμου χώρου.

Μπορείτε να βρείτε μια βιντεοσκοπημένη και ανακριβή εισαγωγή στα παραπάνω εδώ.

Σύνοψη 5ης Διάλεξης (Ακ. Έτος 2023-24)

Sat, 23 Mar 2024 18:39:45 +0300

Συνεχίσαμε με την εξέταση της πράξης της συμπλήρωσης. Παρατηρήσαμε μεταξύ άλλων ότι είναι άντι-μονότονη ως προς την σχέση του εγκλεισμού, ενώ χαρακτηρίσαμε την συνολοθεωρητική διαφορά χρησιμοποιώντας το συμπλήρωμα και την τομή. Χρησιμοποιήσαμε τα προηγούμενα προκειμένου να ταξινομήσουμε τους τρόπους διαμέρισης όποιου συνόλου ως ένωση δύο υποσυνόλων του, χρησιμοποιώντας αυθαίρετο υποσύνολο του συνόλου αναφοράς.

Σχεδιάγραμμα της διάλεξης μπορείτε να βρείτε εδώ.

Oι πίνακες σχετικών από απόσταση διαλέξεων του ακαδημαϊκού έτους 2020-21 βρίσκονται εδώ. Προσοχή οι διαλέξεις αυτές δεν ταυτίζονται αναγκαστικά και απολύτως με τις αντίστοιχες φετινές, παρόλο που έχουν κοινά στοιχεία, συνεπώς οι σχετικοί πίνακες δίνονται συμπληρωματικά του φετινού υλικού.

Άσκηση: Περιγράψτε το πως είναι δυνατόν να παραγοντοποιηθεί υποσύνολο του συνόλου αναφοράς σε τρία, ανά δύο ξένα μεταξύ τους, υποσύνολα του χρησιμοποιώντας δύο αυθαίρετα υποσύνολα του συνόλου αναφοράς.

Σύνοψη Διαλέξεων 3ης-4ης (Ακ. Έτος 2023-24)

Sat, 16 Mar 2024 17:44:14 +0300

Συνεχίσαμε την διερεύνηση ορισμών και ιδιότητων της σχέσης του εγκλεισμού, και των πράξεων της ένωσης, τομής, διαφοράς και συμπληρώσης μέσα στο δυναμοσύνολο. Παρατηρήσαμε ότι η σχέση του εγκλεισμού έχει αναπαραστάσεις μέσω των πράξεων.

Οι πίνακες των διαλέξεων βρίσκονται εδώ και εδώ.

Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ (επίσης εδώ μπορείτε να βρείτε σημειώσεις σε έννοιες της συνολοθεωρίας οι οποίες όμως εκφεύγουν κατά πολύ του μαθήματος στην μεγαλύτερη έκταση τους).

Oι πίνακες σχετικών από απόσταση διαλέξεων του ακαδημαϊκού έτους (2020-21) βρίσκονται εδώ και εδώ, ενώ εδώ, εδώ, εδώ και εδώ βρίσκονται βιντεοσκοπημένες σχετικές συνόψεις μέρους αυτών. Προσοχή οι αυτέςοι διαλέξεις δεν ταυτίζονται αναγκαστικά και απολύτως με τις αντίστοιχες φετινές, παρόλο που έχουν κοινά στοιχεία, συνεπώς οι σχετικοί πίνακες και οι βιντεοσκοπήσεις σας δίνονται συμπληρωματικά του φετινού υλικού.

Σύνοψη Διαλέξεων 1ης-2ης (Ακ. Έτος 2023-24)

Sat, 09 Mar 2024 01:19:29 +0300

Ξεκινήσαμε το πρώτο μέρος του μαθήματος που άπτεται της εξέτασης βασικών εννοιών στην θεωρία πιθανοτήτων. Παρατηρήσαμε ότι το βασικό αντικείμενο της θεωρίας, δηλαδή η κατανομή πιθανότητας (δείτε και εδώ) μπορεί σε αδρες γραμμές να περιγραφεί ως μηχανισμός απόδοσης μεγέθους (ή ισοδύναμα μέτρησης) σε "κομμάτια" δεδομένου συνόλου, δηλαδή ως συνολοσυνάρτηση με πεδίο ορισμού κατάλληλη συλλογή από σύνολα, που ικανοποιεί ιδιότητες σχετικές με διαδικασίες μέτρησης.

Προκειμένου να καταλάβουμε το πως κατασκευάζεται αυτή η συλλογή και πως η έννοια της κατανομής πιθανότητας "αλληλεπιδρά" με τις συνολοθεωρητικές σχέσεις και πράξεις ξεκινήσαμε να θυμηθούμε εν μέρει και εν συντομία, κάποιες βασικές έννοιες από την θεωρία συνόλων, που άπτονται στην:

έννοια του δυναμοσυνόλου, ως την συλλογή από όλα τα δυνατά υποσύνολα δεδομένου συνόλου αναφοράς. Παρατηρήσαμε ότι η "πολυπλοκότητα" αυτής της συλλογής αυξάνεται με το πλήθος των στοιχείων του συνόλου αναφοράς. Στην συνέχεια θα θυμηθούμε/εξετάσουμε σχέσεις και πράξεις μέσα στο δυναμοσύνολο που σχετίζονται με τον ορισμό και τις ιδιότητες των κατανομών.

Οι πίνακες των εν λόγω εξ αποστάσεως διαλέξεων βρίσκονται εδώ και εδώ. Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ (επίσης εδώ μπορείτε να βρείτε σημειώσεις σε έννοιες της συνολοθεωρίας οι οποίες όμως εκφεύγουν κατά πολύ του μαθήματος στην μεγαλύτερη έκταση τους). Oι πίνακες της από απόσταση 2ης διάλεξης του μαθήματος του ακαδημαϊκού έτους (2020-21) βρίσκονται εδώ, ενώ εδώ και εδώ βρίσκονται βιντεοσκοπημένες σχετικές συνόψεις της. Προσοχή η διάλεξη του ακαδημαϊκού έτους (2020-21) δεν ταυτίζεται αναγκαστικά και απολύτως με την φετινή, παρόλο που έχουν κοινά στοιχεία, συνεπώς οι σχετικοί πίνακες και οι βιντεοσκοπήσεις σας δίνονται συμπληρωματικά του φετινού υλικού.

Σύνοψη Ενημερωτικής Διάλεξης (Ακ. Έτος 2023-24)

Sat, 02 Mar 2024 17:35:42 +0300

Σκοπός του μαθήματος είναι η περαιτέρω αυστηρή μαθηματική θεμελίωση εννοιών της θεωρίας πιθανοτήτων και διαδικασιών στατιστικής επαγωγής. Παιδαγωγικά μέσω της εν λόγω θεμελίωσης γίνεται ευχερής ο ορισμός, η επέκταση και η κατανόηση των ιδιοτήτων περισσότερο περίπλοκων διαδικασιών όπως αυτές που θα συναντηθούν στα μετέπειτα μαθήματα της Οικονομετρίας.

Ως στατιστική επαγωγή νοείται το σύνολο των διαδικασιών επίλυσης του στατιστικού προβλήματος. Στατιστικό ονομάζεται όποιο πρόβλημα αφορά στην εύρεση άγνωστης κατανομής πιθανότητας σε κάποιο χώρο πιθανότητας δεδομένης της διαθεσιμότητας δείγματος που εμπεριέχει πληροφορία για αυτή. Η άγνωστη αυτή κατανομή θεωρείται ότι περιγράφει πιθανοκρατικά κάποιο φαινόμενο το οποίο μας ενδιαφέρει να εξηγήσουμε. Υπενθυμίζεται ότι ως περιγραφική στατιστική ορίζεται ως η σύλλογή διαδικασιών που συνοψίζουν πληροφοριακά το διαθέσιμο δείγμα.

Οι έννοιες αυτές έχουν αυτόνομο ενδιαφέρον καθώς δεν συναντώνται μόνο σε ζητήματα στατιστικής επαγωγής (τα οποία θα αντιμετωπίσετε και σε μαθήματα όπως η Οικονομετρία Ι και ΙΙ) αλλά και σε ζητήματα που αφορούν στην μαθηματική αναπαράσταση της αβεβαιότητας και στην χρήση αυτής στα πλαίσια της οικονομικής θεωρίας (και συνεπώς θα σας επιτρέψουν να αντιμετωπίσετε ζητήματα που ανακύπτουν σε μαθήματα που αναφέρονται π.χ. σε ζητήματα βέλτιστης επιλογής, παίγνια, μακροοικονομικά υποδείγματα, κ.ο.κ., σε συνθήκες αβεβαιότητας).

Στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τις προηγούμενες κατασκευές, θα αποκτήσουμε τη δυνατότητα να περιγράψουμε με σχετική ακρίβεια το τι συνιστά το στατιστικό πρόβλημα, το πως δομούνται διαδικασίες στατιστικής επαγωγής (εκτιμητικής ή/και ελέγχου υποθέσεων) και πως προκύπτουν ιδιότητες τους, στα πλαίσια της θεωρίας πιθανοφάνειας, στο υπόβαθρο της διαθεσιμότητας δείγματος που αποτελείται από iid τυχαίες μεταβλητές.

Συνδυάστε τα παραπάνω με την ανάρτημένη σύνοψη του μαθήματος.

Σύνοψη Διαλέξεων: 22ης-24ης (Ακ. Έτος 2021-22)

Fri, 10 Jun 2022 23:25:27 +0300

Τους πίνακες των διαλέξεων μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ. Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Oι πίνακες σχετικών από απόσταση διαλέξεων του περυσινού ακαδημαϊκού έτους (2020-21) βρίσκονται εδώ και εδώ. Προσοχή οι περυσινές διαλέξεις δεν ταυτίζονται αναγκαστικά και απολύτως με τις αντίστοιχες φετινές, παρόλο που έχουν κοινά στοιχεία, συνεπώς οι σχετικοί πίνακες και οι βιντεοσκοπήσεις σας δίνονται συμπληρωματικά του φετινού υλικού.

Σύνοψη Διαλέξεων: 19ης-21ης (Ακ. Έτος 2021-22)

Sun, 05 Jun 2022 01:10:04 +0300

Συνεχίσαμε την εξέταση παραδειγμάτων κατανομών πιθανότητας μέσω της αθροιστικής τους συνάρτησης. Μετά το παράδειγμα της εκθετικής ασχοληθήκαμε με αυτό της κανονικής κατανομής, στο οποίο και ανάμεσα στα άλλα παρατηρήσαμε ότι η αθροιστική συνάρτηση μπορεί να εκφρασθεί μόνο ως ορισμένο καταχρηστικό ολοκλήρωμα κατάλληλης συνάρτησης.

Σύνοψη 18ης Διάλεξης (Ακ. Έτος 2021-22)

Sun, 29 May 2022 19:05:25 +0300

Συνεχίσαμε την εξέταση παραδειγμάτων κατανομών πιθανότητας μέσω της αθροιστικής (δείτε εδώ συμπληρωματικό παράδειγμα με μεικτή κατανομή). Ασχοληθήκαμε με το παράδειγμα της ομοιόμορφης, με ένα παράδειγμα συνεχούς κατανομής με ασυνεχή αθροιστική που προκύπτει από σχετική τροποποίηση της ομοιόμορφης, και με το παράδειγμα της εκθετικής κατανομής.

Τους πίνακες της υβριδικής διάλεξης μπορείτε να βρείτε εδώ. Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ. Oι πίνακες σχετικών από απόσταση διαλέξεων του περυσινού ακαδημαϊκού έτους (2020-21) βρίσκονται εδώ. Προσοχή οι περυσινές διαλέξεις δεν ταυτίζονται αναγκαστικά και απολύτως με τις αντίστοιχες φετινές, παρόλο που έχουν κοινά στοιχεία, συνεπώς οι σχετικοί πίνακες και οι βιντεοσκοπήσεις σας δίνονται συμπληρωματικά του φετινού υλικού.

Σύνοψη 17ης Διάλεξης (Ακ. Έτος 2021-22)

Sun, 22 May 2022 02:12:34 +0300

Συνεχίσαμε με την εξαγωγή των εκφράσεων πιθανοτήτων που αποδίδονται από την υποκείμενη κατανομή σε υποσύνολα των πραγματικών, μέσω της αθροιστικής της συνάρτησης. Ξεκινήσαμε την εξέταση παραδειγμάτων (και αντιπαραδείγματος) κατασκευής και περιγραφής κατανομών πιθανότητας μέσω των αντίστοιχων αθροιστικών. Σε αυτό το πλαίσιο ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με το παράδειγμα της ομοιόμορφης κατανομής.

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ. Τους πίνακες της υβριδικής διάλεξης μπορείτε να βρείτε εδώ.

Oι πίνακες σχετικών από απόσταση διαλέξεων του περυσινού ακαδημαϊκού έτους (2020-21) βρίσκονται εδώ. Προσοχή οι περυσινές διαλέξεις δεν ταυτίζονται αναγκαστικά και απολύτως με τις αντίστοιχες φετινές, παρόλο που έχουν κοινά στοιχεία, συνεπώς οι σχετικοί πίνακες και οι βιντεοσκοπήσεις σας δίνονται συμπληρωματικά του φετινού υλικού.

Σύνοψη Διαλέξεων: 15ης-16ης (Ακ. Έτος 2021-22)

Sat, 14 May 2022 23:20:23 +0300

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ. Τους πίνακες των υβριδικών διαλέξεων μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Σύνοψη Διαλέξεων: 13ης-14ης (Ακ. Έτος 2021-22)

Sat, 07 May 2022 19:51:20 +0300

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ. Τους πίνακες των διαλέξεων μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Σύνοψη Διαλέξεων: 10ης-11ης-12ης (Ακ. Έτος 2021-22)

Sun, 17 Apr 2022 18:35:42 +0300

Συνεχίσαμε την διερεύνηση της έννοιας του στηρίγματος. Είδαμε ότι μας χρησιμεύει στο να α) διευκολύνουμε σε κάποιες περιπτώσεις τον υπολογισμό των ιθανοτήτων που αποδίδει η κατανομή και β) να ταξινομήσουμε τις κατανομές στο μέσω των ιδιοτήτων των στηριγμάτων τους.

Ξεκινήσαμε την διερεύνηση παραδειγμάτων (οικογενειών) διακριτών κατανομών, αφήνοντας το αντίστοιχο στήριγμα να κλιμακώνεται από παράδειγμα σε παράδειγμα, και ασχολούμενοι με τις εκφυλισμένες κατανομές, τις κατανομές Bernoulli, και τις διωνυμικές κατανομές.

Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ. Τους πίνακες των διαλέξεων μπορείτε να βρείτε εδώ, εδώ, και εδώ. Συμπλήρωμα που αφορά σε ερμηνεία μέσω τυχαίων πειραμάτων των διακριτών με τις οποίες ασχολούμαστε (και της Poisson που θα εξετάσουμε στην επόμενη διάλεξη), ενός οριακού θεωρήματος, και ενός παραδείγματος χρήσης διωνυμικής κατανομής, μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Oι πίνακες σχετικών από απόσταση διαλέξεων του περυσινού ακαδημαϊκού έτους (2020 21) βρίσκονται εδώ και εδώ. Προσοχή οι περυσινές διαλέξεις δεν ταυτίζονται αναγκαστικά και απολύτως με τις αντίστοιχες φετινές, παρόλο που έχουν κοινά στοιχεία, συνεπώς οι σχετικοί πίνακες και οι βιντεοσκοπήσεις σας δίνονται συμπληρωματικά του φετινού υλικού.

Περαιτέρω 'Ασκηση

Σύνοψη Διαλέξεων: 7ης-8ης-9ης (Ακ. Έτος 2021-22)

Thu, 07 Apr 2022 13:14:35 +0300

Δεδομένου του ορισμού της κατανομής πιθανότητας, και χρησιμοποιώντας την προεργασία μας, προχωρήσαμε στην εξαγωγή περαιτέρω ιδιοτήτων των κατανομών, όπως η μονοτονία, και παρατηρήσαμε ότι κάποιες από αυτές είναι δυνατόν να ερμηνευθούν ως ικανές συνθήκες υπό τις οποίες η εκάστοτε κατανομή μετασχηματίζει συνολοθεωρητικές πράξεις σε ”αντίστοιχες” πράξεις μεταξύ πραγματικών αριθμών.

Καταλήξαμε με το ερώτημα του αν οι κατανομές πιθανότητας επί των πραγματικών μπορούν να περγράφονται γενικά χρησιμοποιώντας άμεσα τα παραπάνω, ή είναι αναγκαίο από αυτά να προκύπτουν αλλά αναλυτικά εργαλέια που μας βοηθούν στην περιγραφή τους.

Βάσει των παραπάνω δεδομένης όποιας κατανομής πιθανότητας στους πραγματικούς ξεκινήσαμε την διερεύνηση της έννοιας του στηρίγματος αυτής. Αυτή μας διευκολύνει στο να α) διευκολύνουμε σε κάποιες περιπτώσεις τον υπολογισμό των ιθανοτήτων που αποδίδει η κατανομή και β) να ταξινομήσουμε τις κατανομές στο μέσω των ιδιοτήτων των στηριγμάτων τους.

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ, εδώ, εδώ και εδώ. Οι σχετικοί πίνακες των υβριδικών διαλέξεων βρίσκονται εδώ, εδώ και εδώ.

Σύνοψη Διαλέξεων: 5ης-6ης (Ακ. Έτος 2021-22)

Sun, 27 Mar 2022 18:41:50 +0300

Έξετάσαμε την έννοια της (πραγματικής) συνολοσυνάρτησης επί συνόλου αναφοράς, ως συνάρτηση που ορίζεται επί του δυναμοσυνόλου (ή σε κάποια υποσυλλογή αυτού) του συνόλου αναφοράς και μας δίνει πραγματικές τιμές. Εξετάσαμε παραδείγματα και κάποιες ιδιότητες (εν προκειμένω τις μονοτονία και προσθετικότητα) που είναι δυνατόν να έχουν κάποιες από αυτές, που θα είναι χρήσιμες αργότερα καθώς τις έχουν οι κατανομές πιθανότητας.

Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ, εδώ και εδώ. Τους πίνακες της υβριδικής 6ης διάλεξης μπορείτε να βρείτε εδώ.

Oι πίνακες σχετικών από απόσταση διαλέξεων του περυσινού ακαδημαϊκού έτους (2020-21) βρίσκονται εδώ και εδώ, ενώ εδώ βρίσκονται βιντεοσκοπημένη σύνοψη μέρους αυτών που άπτονται της εξέτασης των συνολοσυναρτήσεων. Προσοχή οι περυσινές διαλέξεις δεν ταυτίζονται αναγκαστικά και απολύτως με τις αντίστοιχες φετινές, παρόλο που έχουν κοινά στοιχεία, συνεπώς οι σχετικοί πίνακες και οι βιντεοσκοπήσεις σας δίνονται συμπληρωματικά του φετινού υλικού.

Μπορείτε να βρείτε μια βιντεοσκοπημένη και ανακριβή εισαγωγή στα παραπάνω εδώ.

Σύνοψη Διαλέξεων: 3ης-4ης (Ακ. Έτος 2021-22)

Sun, 20 Mar 2022 16:55:18 +0300

Συνεχίσαμε την σύντομη αναδρομή σε χρήσιμες έννοιες από την συνολοθωρία:

μελετήσαμε σχετικές σχέσεις και αλγεβρικές πράξεις, και καταλήξαμε στις ταυτότητες , που ισχύει για οποιαδήποτε Α,Β υποσύνολα του συνόλου αναφοράς, και χρησιμέυει στο να παραγοντοποεί το Α ως ένωση ξένων μεταξύ τους "κομματιών", και συνεπώς μπορεί να είναι επιβοηθητική σε διαδικασίες μέτρησης.
αρχίσαμε να εξετάζουμε την έννοια της (πραγματικής) συνολοσυνάρτησης επί συνόλου αναφοράς, ως συνάρτηση που ορίζεται επί του δυναμοσυνόλου (ή σε κάποια υποσυλλογή αυτού) του συνόλου αναφοράς και μας δίνει πραγματικές τιμές. Εξετάσαμε παραδείγματα.

Oι πίνακες σχετικών από απόσταση διαλέξεων του περυσινού ακαδημαϊκού έτους (2020-21) βρίσκονται εδώ και εδώ, ενώ εδώ, εδώ, εδώ και εδώ βρίσκονται βιντεοσκοπημένες σχετικές συνόψεις μέρους αυτών. Προσοχή οι περυσινές διαλέξεις δεν ταυτίζονται αναγκαστικά και απολύτως με τις αντίστοιχες φετινές, παρόλο που έχουν κοινά στοιχεία, συνεπώς οι σχετικοί πίνακες και οι βιντεοσκοπήσεις σας δίνονται συμπληρωματικά του φετινού υλικού.

Σύνοψη Διαλέξεων: 1ης-2ης (Ακ. Έτος 2021-22)

Sun, 13 Mar 2022 17:43:23 +0300

Θα μας χρειαστούν έννοιες που προκύπτουν στα πλαίσια της μαθηματικής ανάλυσης (όπως π.χ. συνέχεια, παραγωγισιμότητα, μονοτονία, ολοκλήρωση πραγματικών συναρτήσεων), της θεωρίας βελτιστοποίησης ("αρκούντως ομαλών") πλειομεταβλητών πραγματικών συναρτήσεων (μέσω συνθηκών πρώτης και δεύτερης τάξης) και συνακόλουθα της γραμμικής άλγεβρας (όπως π.χ. ορισμένες συμμετρικές μήτρες, ιδιοτιμές κ.ο.κ.). Κάποιες βασικές έννοιες συνολοθεωρίας θα επισημανθούν όταν χρειαστούν στις αμέσως επόμενες διαλέξεις, ενώ άλλες αναλυτικές έννοιες, όπως π.χ. οι έννοιες της σειράς και της δυναμοσειράς θα επισημανθούν και χρησιμοποιηθούν όταν χρειαστεί χωρίς εξαντλητική διερεύνηση τους.

Στην συνέχεια, ξεκινήσαμε το πρώτο μέρος του μαθήματος που άπτεται της εξέτασης βασικών εννοιών στην θεωρία πιθανοτήτων. Παρατηρήσαμε ότι το βασικό αντικείμενο της θεωρίας, δηλαδή η κατανομή πιθανότητας (δείτε και εδώ) μπορεί σε αδρες γραμμές να περιγραφεί ως μηχανισμός απόδοσης μεγέθους (ή ισοδύναμα μέτρησης) σε "κομμάτια" δεδομένου συνόλου, δηλαδή ως συνολοσυνάρτηση με πεδίο ορισμού κατάλληλη συλλογή από σύνολα, που ικανοποιεί ιδιότητες σχετικές με διαδικασίες μέτρησης.

έννοια του δυναμοσυνόλου, ως την συλλογή από όλα τα δυνατά υποσύνολα δεδομένου συνόλου αναφοράς. Παρατηρήσαμε ότι η "πολυπλοκότητα" αυτής της συλλογής αυξάνεται με το πλήθος των στοιχείων του συνόλου αναφοράς. Στην συνέχεια θα θυμηθούμε/εξετάσουμε σχέσεις και πράξεις μέσα στο δυναμοσύνολο που σχετίζονται με τον ορισμό και τις ιδιότητες των κατανομών.

Συνδυάστε τα παραπάνω με την ανάρτημένη σύνοψη του μαθήματος. Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ (επίσης εδώ μπορείτε να βρείτε σημειώσεις σε έννοιες της συνολοθεωρίας οι οποίες όμως εκφεύγουν κατά πολύ του μαθήματος στην μεγαλύτερη έκταση τους). Oι πίνακες της από απόσταση 2ης διάλεξης του μαθήματος του περυσινού ακαδημαϊκού έτους (2020-21) βρίσκονται εδώ, ενώ εδώ και εδώ βρίσκονται βιντεοσκοπημένες σχετικές συνόψεις της. Προσοχή η περυσινή διάλεξη δεν ταυτίζεται αναγκαστικά και απολύτως με την φετινή, παρόλο που έχουν κοινά στοιχεία, συνεπώς οι σχετικοί πίνακες και οι βιντεοσκοπήσεις σας δίνονται συμπληρωματικά του φετινού υλικού.

Σύνοψη από απόσταση διαλέξεων (ακ. έτος 2020-21): 24η-25η-26η

Sun, 13 Jun 2021 23:23:30 +0300

Χρησιμοποιώντας ως ειδικές περιπτώσεις προς ολοκλήρωση συναρτήσεων κατάλληλα, ασχοληθήκαμε με την εισαγωγή στην έννοια των ροπών μιας κατανομής πιθανότητας στους πραγματικούς. Πέραν του ορισμού και σχετικών ιδιοτήτων, είδαμε παραδείγματα υπολογισμού ροπών για διάφορες κατανομές πιθανότητας. Ανάμεσα στα άλλα εξετάσαμε το παράδειγμα της τυπικής κατανομής Cauchy, για την οποία δείξαμε ότι δεν υπάρχει καμμία ροπή πέραν αυτής της μηδενικής τάξης (τετριμμένη). Για το τελευταίο ήταν αρκετό να δείξουμε ότι δεν υπάρχει ως πραγματικός αριθμός η απόλυτη ροπή πρώτης τάξης (γιατί;). Τελειώσαμε με ένα απλό παράδειγμα εμφάνισης της έννοιας των ροπών σε ζητήμα βέλτιστης επιλογής σε συνθήκες αβεβαιότητας.

Τους πίνακες των διαλέξεων μπορείτε να βρείτε εδώ. Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ, και εδώ.

Σύνοψη από απόσταση διαλέξεων (ακ. έτος 2020-21): 22η-23η

Sat, 05 Jun 2021 01:29:21 +0300

Συνεχίσαμε με παραδείγματα υπολογισμών ολοκληρωμάτων συναρτήσεων ως προς κατανομές.

Τους πίνακες των διαλέξεων μπορείτε να βρείτε εδώ. Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Σύνοψη από απόσταση διαλέξεων (ακ. έτος 2020-21): 20η-21η

Sat, 29 May 2021 03:16:50 +0300

Aσχοληθήκαμε με περαιτέρω παραδείγματα που αφορούν στην έννοια της συνάρτησης πυκνότητας. Προχωρήσαμε στην εξέταση των κατανομών πιθανότητας ως διαδικασιών ολοκλήρωσης κατάλληλων συναρτήσεων και ξεκινήσαμε την εξέταση παραδειγμάτων.

Τους πίνακες των διαλέξεων μπορείτε να βρείτε εδώ. Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Σύνοψη από απόσταση διαλέξεων (ακ. έτος 2020-21): 19η

Sun, 23 May 2021 00:08:08 +0300

Aσχοληθήκαμε με ιδιότητες και παραδείγματα που αφορούν στην έννοια της συνάρτησης πυκνότητας.

Τους πίνακες των διαλέξεων μπορείτε να βρείτε εδώ. Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Σύνοψη από απόσταση διαλέξεων (ακ. έτος 2020-21): 17η-18η

Sun, 16 May 2021 02:17:53 +0300

Συνεχίσαμε την εξέταση παραδειγμάτων κατανομών πιθανότητας μέσω της αθροιστικής (δείτε εδώ συμπληρωματικό παράδειγμα με μεικτή κατανομή). Παρατηρήσαμε ότι η αθροιστική της κανονικής κατανομής μπορεί να εκφρασθεί μόνο ως ορισμένο ολοκλήρωμα. Έτσι, ξεκινήσαμε την εξέταση της έννοιας της συνάρτησης πυκνότητας.

Τους πίνακες των διαλέξεων μπορείτε να βρείτε εδώ. Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Σύνοψη από απόσταση διαλέξεων (ακ. έτος 2020-21): 15η-16η

Sun, 02 May 2021 16:57:06 +0300

Συνεχίσαμε με την εξαγωγή των εκφράσεων πιθανοτήτων που αποδίδονται από την υποκείμενη κατανομή σε υποσύνολα των πραγματικών, μέσω της αθροιστικής της συνάρτησης. Ξεκινήσαμε την εξέταση παραδειγμάτων (και αντιπαραδείγματος) κατασκευής και περιγραφής κατανομών πιθανότητας μέσω των αντίστοιχων αθροιστικών. Σε αυτό το πλαίσιο ασχοληθήκαμε με το παράδειγμα της ομοιόμορφης κατανομής.

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ. Τους πίνακες των από απόσταση διαλέξεων μπορείτε να βρείτε εδώ.

Σύνοψη από απόσταση διαλέξεων (ακ. έτος 2020-21): 13η-14η

Sun, 25 Apr 2021 17:09:57 +0300

Τους πίνακες των διαλέξεων μπορείτε να βρείτε εδώ. Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Σύνοψη από απόσταση διαλέξεων (ακ. έτος 2020-21): 11η-12η

Sun, 18 Apr 2021 01:27:15 +0300

Τελειώσαμε με την εισαγωγή στα παραδείγματα των διακριτών κατανομών εξετάζοντας περαιτέρω το παράδειγμα της διωνυμικής κατανομής και της κατανομής Poisson. Δείτε εδώ συμπλήρωμα που αφορά στην ερμηνεία των διακριτών κατανομών που εξετάσαμε στις διαλέξεις. Θυμηθήκαμε την ταξινόμηση των κατανομών βάσει του στηρίγματος και αρχίσαμε την εξέταση περαιτέρω εννοιών που τις αναπαριστόύν. Ξεκινήσαμε με την αθροιστική συνάρτηση.

Τους πίνακες των διαλέξεων μπορείτε να βρείτε εδώ. Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Σύνοψη από απόσταση διαλέξεων (ακ. έτος 2020-21): 9η-10η

Mon, 12 Apr 2021 00:43:54 +0300

Ασχοληθήκαμε με την εξέταση παραδειγμάτων (οικογενειών) διακριτών κατανομών. Τα παραδείγματά μας αφορούσαν μέχρι στιγμής στις εκφυλισμένες κατανομές, στις κατανομές Bernoulli, και στις διωνυμικές κατανομές.

Τους πίνακες των διαλέξεων μπορείτε να βρείτε εδώ, ενώ πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Περαιτέρω 'Ασκηση

Σύνοψη από απόσταση διαλέξεων (ακ. έτος 2020-21): 7η-8η

Sun, 04 Apr 2021 18:35:31 +0300

Κατασκευάσαμε παράδειγμα που μας δείχνει ότι υπάρχουν κάποιες κατανομές στους πραγματικούς που είναι "εύκολα περιγράψιμες" χωρίς την ανάγκη χρήσης επί της ουσίας νέων εννοιών πέρα του ορισμού. Αυτό επειδή η πιθανότητες που αυτές αποδίδουν σε κάποιο μετρήσιμο υποσύνολο των πραγματικών επί της ουσίας εξαρτώνται μόνο από την τομή του τελευταίου με "μικρό" υποσύνολο των πραγματικών, και από την πιθανότητα που η κατανομή αποδίδει στα μονοσύνολα που σχηματίζει κάθε ξεχωριστό στοιχείο αυτού του διακριτού συνόλου. Καταρχάς λοιπόν, η ανάλυση μας θα αφορά στην ταξινόμηση των κατανομών στους πραγματικούς βάσει της "ευκολίας περιγραφής".

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Τους πίνακες των από απόσταση διαλέξεων μπορείτε να βρείτε εδώ.

Σύνοψη από απόσταση διαλέξεων (ακ. έτος 2020-21): 5η-6η και συμπληρωματική ασύγχρονη

Sun, 28 Mar 2021 13:15:04 +0300

Παρατηρήσαμε ότι όταν α. επιθυμούμε να ενισχύσουμε την ιδιότητα της προσθετικότητας ώστε να ισχύει και για αριθμήσιμες (δηλαδή με πλήθος όχι μεγαλύτερο του πλήθους των φυσικών) ενώσεις ανά δύο ξένων μεταξύ τους υποσυνόλων του Ω και β. το σύνολο αναφοράς είναι απειροπληθές, τότε είναι δυνατόν να υπάρχουν υποσύνολα του στα οποία δεν μπορούν με συνεπή τρόπο να αποδοθούν πιθανότητες (μη μετρησιμότητα). Το α. μας είναι χρήσιμο επειδή συνεπάγεται χρήσιμες περαιτέρω ιδιότητες για τις κατανομές που βοηθούν στην αναλυτική μελέτη τους, και ονομάζεται αριθμήσιμη προσθετικότητα.

Προκειμένου να ξεπεραστεί η δυσκολία της μη μετρησιμότητας, το πεδίο ορισμού της κατανομής επιτρέπεταινα είναι υποσυλλογή του δυναμοσυνόλου, που θα αποτελείται από τα μετρήσιμα-δηλ. αυτά στα οποία μπορούν και είναι επιθυμητό να αποδοθούν πιθανότητες, υποσύνολά του. Αυτή η υποσυλλογή θα είναι κλειστή ως προς μικρά, δηλαδή αριθμήσιμα, πλήθη συνολοθεωρητικών πράξεων. Όταν το σύνολο αναφοράς είναι πεπερασμένο μπορεί να επιλεγεί να είναι το δυναμοσύνολο, ενώ σε σύνολα αναφοράς όπως οι πραγματικοί, μπορεί να επιλεγεί ώστε να περιέχει όλα τα "οικεία" σε εμάς υποσύνολα των πραγματικών. Αποκτήσαμε έτσι την έννοια του μετρήσιμου χώρου.

Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ, εδώ και εδώ.

Τους πίνακες των εξ' αποστάσεως διαλέξεων μπορείτε να βρείτε εδώ.

Το αρχείο που περιέχει το βίντεο της συμπληρωματικής διάλεξης μπορείτε να βρείτε εδώ.

Σύνοψη από απόσταση διαλέξεων (ακ. έτος 2020-21): 3η-4η

Sun, 21 Mar 2021 23:24:11 +0300

Συνεχίσαμε την σύντομη αναδρομή σε χρήσιμες έννοιες από την συνολοθωρία εξετάζοντας:

την πράξη της διαφοράς, και στο πως είναι δυνατόν η τομή και η διαφορά να παράγουν την έννοια του συμπληρώματος. Kαταλήξαμε στην ταυτότητα , που ισχύει για οποιαδήποτε Α,Β υποσύνολα του συνόλου αναφοράς, και χρησιμέυει στο να παραγοντοποεί το Α ως ένωση ξένων μεταξύ τους "κομματιών", και συνεπώς μπορεί να είναι επιβοηθητική σε διαδικασίες μέτρησης.
στην έννοια της (πραγματικής) συνολοσυνάρτησης επί συνόλου αναφοράς, ως συνάρτηση που ορίζεται επί του δυναμοσυνόλου (ή σε κάποια υποσυλλογή αυτού) του συνόλου αναφοράς και μας δίνει πραγματικές τιμές. Εξετάσαμε παραδείγματα και κάποιες ιδιότητες που είναι δυνατόν να έχουν κάποιες από αυτές, που θα είναι χρήσιμες αργότερα.

Τους πίνακες των από απόσταση διαλέξεων μπορείτε να βρείτε εδώ.

Δεδομένων των προβλημάτων σύνδεσης που αντιμετωπίσαμε, και προκειμένου να αναταχθούν τα προβλήματα παρακολούθησης, εδώ (χρειάζεται πρόσβαση στο κανάλι των διαλέξεων της ομάδας του μαθήματος στο MS Teams) μπορείτε να βρείτε βιντεοσκοπημένες εκτεταμμένες συνόψεις των διαλέξεων 2-3-4.

Σύνοψη από απόσταση διαλέξεων (ακ. έτος 2020-21): 1η-2η

Sun, 14 Mar 2021 23:20:21 +0300

Σκοπός του μαθήματος είναι η περαιτέρω αυστηρή μαθηματική θεμελίωση εννοιών της θεωρίας πιθανοτήτων και διαδικασιών στατιστικής επαγωγής. Παιδαγωγικά μέσω της εν λόγω θεμελίωσης γίνεται ευχερής η ορισμός, η επέκταση και η κατανόηση των ιδιοτήτων περισσότερο περίπλοκων διαδικασιών όπως αυτές που θα συναντηθούν στα μετέπειτα μαθήματα της Οικονομετρίας.

Συνδυάστε τα παραπάνω με την ανάρτημένη σύνοψη του μαθήματος, ενώ οι πίνακες της από απόσταση διάλεξης βρίσκονται και εδώ.

Προκειμένου να καταλάβουμε το πως κατασκευάζεται αυτή η συλλογή και πως η έννοια της κατανομής πιθανότητας "αλληλεπιδρά" με τις συνολοθεωρητικές πράξεις ξεκινήσαμε να θυμηθούμε εν μέρει και κυρίως περιφραστικά, κάποιες βασικές έννοιες από την θεωρία συνόλων, που άπτονται στα εξής:

στην έννοια του δυναμοσυνόλου, ως την συλλογή από όλα τα δυνατά υποσύνολα δεδομένου συνόλου αναφοράς. Παρατηρήσαμε ότι η "πολυπλοκότητα" αυτής της συλλογής αυξάνεται με το πλήθος των στοιχείων του συνόλου αναφοράς.
Στις συνολοθεωρητικές πράξεις όπως η ένωση, η τομή (η κακή σύνδεση δεν μας επέτρεψε να προχωρήσουμε στην ολοκλήρωση αυτής της προεργασίας-θα συνεχίσουμε στις επόμενες διαλέξεις).

Σύνοψη Διαλέξεων 20ης-21ης (2019-20-από απόσταση)

Fri, 29 May 2020 02:55:52 +0300

Συνεχίσαμε με παραδείγματα υπολογισμών ολοκληρωμάτων συναρτήσεων ως προς κατανομές. Χρησιμοποιώντας ως ειδικές περιπτώσεις τέτοιων συναρτήσεων κατάλληλα πολυώνυμα τελειώσαμε με εισαγωγή στην έννοια των ροπών μιας κατανομής πιθανότητας στους πραγματικούς.

Τους πίνακες των διαλέξεων μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ. Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ, εδώ, και εδώ.

Σύνοψη Διαλέξεων 18ης-19ης (2019-20-από απόσταση)

Fri, 22 May 2020 21:21:35 +0300

Aσχοληθήκαμε με περαιτέρω ιδιότητες και παραδείγματα που αφορούν στην έννοια της συνάρτησης πυκνότητας. Προχωρήσαμε στην εξέταση των κατανομών πιθανότητας ως διαδικασιών ολοκλήρωσης κατάλληλων συναρτήσεων και ξεκινήσαμε την εξέταση παραδειγμάτων.

Σύνοψη Διαλέξεων 16ης-17ης (2019-20-από απόσταση)

Fri, 15 May 2020 13:45:30 +0300

Ομάδα Ασκήσεων 2

Sat, 09 May 2020 19:26:50 +0300

Εφόσον έχετε πρόβλημα με τον σύνδεσμο της άσκησης 14 στην ομάδα ασκήσεων 2 δοκιμάστε το παρακάτω:

https://eclass.aueb.gr/modules/blog/index.php?course=OIK229&action=showPost&pId=160

Σύνοψη Διαλέξεων 14ης-15ης (2019-20-από απόσταση)

Sat, 09 May 2020 03:12:55 +0300

Συνεχίσαμε με το θεώρημα χαρακτηρισμού της αθροιστικής συνάρτησης, και το χρησιμοποιήσαμε προκειμένου να δούμε το πως περαιτέρω ιδιότητες των κατανομών αντανακλώνται στις αθοριστικές τους, στο πως μπορούμε να υπολογίζουμε πιθανότητες βάσει της αθροιστικής και στην διατύπωση περαιτέρω παραδειγμάτων κατανομών πιθανότητας στους προγματικούς.

Σύνοψη Διαλέξεων 12ης-13ης (2019/20-από απόσταση)

Fri, 01 May 2020 21:10:06 +0300

Τελειώσαμε με την εισαγωγή στα παραδείγματα των διακριτών κατανομών εξετάζοντας περαιτέρω το παράδειγμα της Poisson. Δείτε εδώ συμπλήρωμα που αφορά στην ερμηνεία των διακριτών κατανομών που εξετάσαμε στις διαλέξεις. Θυμηθήκαμε την ταξινόμηση των κατανομών βάσει του στηρίγματος και αρχίσαμε την εξέταση περαιτέρω εννοιών που τις αναπαριστόύν. Ξεκινήσαμε με την αθροιστική συνάρτηση και εν μέρει δείξαμε χαρακτηριστικές ιδιότητες τους.

Σύνοψη Διαλέξεων 10ης-11ης (2019-20/από Απόσταση)

Fri, 17 Apr 2020 03:45:14 +0300

Ασχοληθήακαμε ασχοληθήκαμε με την εξέταση παραδειγμάτων (οικογενειών) διακριτών κατανομών. Τα παραδείγματά μας αφορούσαν στις εκφυλισμένες κατανομές, στις κατανομές Bernoulli, στις διωνυμικές κατανομές και στις κατανομές Poisson.

Τους πίνακες των διαλέξεων μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ, ενώ πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Περαιτέρω 'Ασκηση

Σύνοψη Διαλέξεων 8ης-9ης (2019-20/από απόσταση)

Fri, 10 Apr 2020 04:37:40 +0300

Μετά από σχετική προεργασία που αφορούσε στις έννοιες του κλειστού, και του διακριτού υποσυνόλου των πραγματικών ασχοληθήκαμε με την έννοια του στηρίγματος κατανομής πιθανότητας επί των πραγματικών. Είδαμε ότι η χρήση του είναι δυνατόν να είναι επιβοηθητική στον υπολογισμό πιθανοτήτων, ενώ η έννοια χρησιμοποιείται για την ταξινόμηση των κατανομών ανάλογα με τα χαρακτηριστικά των στηριγμάτων αυτών. Η πρώτη κατηγορία στην ταξινόμηση είναι αυτή των διακριτών κατανομών. Ασχοληθήκαμε με γενικές ιδιότητες τους, και ξεκινήσαμε να βλέπουμε παραδείγματα.

Μπορείτε να βρείτε τους πίνακες των διαλέξεων εδώ και εδώ. Σημειώσεις για αυτές μπορείτε να βρείτε εδώ.

Σύνοψη Διαλέξεων 6ης-7ης (2019-20/από Απόσταση)

Fri, 03 Apr 2020 03:29:14 +0300

Ασχοληθήκαμε με την περαιτέρω διερεύνηση του παραδείγματος που ξεκινήσαμε να αναπτύσσουμε κατά την τελευταία διάλεξη στο αμφιθέατρο. Επισημάναμε παράδειγμα κατανομής πιθανότητας επί των πραγματικών, και ξεκινήσαμε την εισαγωγή στο κυρίως μέρος του μαθήματος που αφορά στην μελέτη των κατανομών πιθανότητας στους πραγματικούς.

Μπορείτε να βρείτε τους πίνακες των διαλέξεων εδώ και εδώ. Σημειώσεις για αυτές μπορείτε να βρείτε εδώ.

Περαιτέρω Άσκηση:

Να βρεθούν όλες οι κατανομές πιθανότητας ως προς σύνολο αναφοράς που περιέχει τρία στοιχεία.

Προεργασία για τις διαλέξεις που θα αφορούν στην Εισαγωγή στις Κατανομές Πιθανότητας επί των Πραγματικών και τις περιπτώσεις των Διακριτών Κατανομών

Sat, 21 Mar 2020 23:46:00 +0300

Όπως θα δούμε έχουμε ήδη κατασκευάσει παράδειγμα που μας δείχνει ότι υπάρχουν κάποιες κατανομές στους πραγματικούς που είναι "εύκολα περιγράψιμες" χωρίς την ανάγκη χρήσης επί της ουσίας νέων εννοιών πέρα του ορισμού. Αυτό επειδή η πιθανότητες που αυτές αποδίδουν σε κάποιο μετρήσιμο υποσύνολο των πραγματικών επί της ουσίας εξαρτώνται μόνο από την τομή του τελευταίου με "μικρό" υποσύνολο των πραγματικών, και από την πιθανότητα που η κατανομή αποδίδει στα μονοσύνολα που σχηματίζει κάθε ξεχωριστό στοιχείο αυτού του διακριτού συνόλου. Καταρχάς λοιπόν, η ανάλυση μας θα αφορά στην ταξινόμηση των κατανομών στους πραγματικούς βάσει της "ευκολίας περιγραφής"

Σε αυτά θα μας είναι χρήσιμες οι έννοιες: α) του κλειστού υποσυνόλου του , ως όποιου υποσυνόλου των πραγματικών με την ιδιότητα ότι δεν υπάρχει πραγματικός έξω από αυτό που να μπορεί να προκύψει ως όριο στοιχείων του υποσυνόλου, και β) του διακριτού υποσυνόλου του , ως συλλογή από "απομονωμένους" πραγματικούς, με την έννοια ότι κάθε στοιχείο του συνόλου μπορεί να απομονωθεί από τα υπόλοιπα μέσω κατάλληλου ανοικτού διαστήματος που θα το περιέχει και δεν θα περιέχει κάνενα άλλο στοιχείο του εν λόγω συνόλου.

Βάσει των παραπάνω δεδομένης όποιας κατανομής πιθανότητας στους πραγματικούς θα διερευνήσουμε την έννοια του στηρίγματος αυτής. Θα μας διευκολύνει στο να α) διευκολύνουμε σε κάποιες περιπτώσεις τον υπολογισμό των ιθανοτήτων που αποδίδει η κατανομή και β) να ταξινομήσουμε τις κατανομές στο μέσω των ιδιοτήτων των στηριγμάτων τους. Έτσι θα καταλήξουμε καταρχάς στον ορισμό της διακριτής κατανομής.

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Σύνοψη 5ης Διάλεξης

Sat, 21 Mar 2020 23:36:43 +0300

Συνεχίσαμε με μελέτη των έννοιών των αμελητέων συνόλων και των δυικών τους συνόλων πλήρους πιθανότητας, και είδαμε ότι τα τελευταία μπορούν να χρησιμοποιούνται προκειμένου να εκφράζονται οι πιθανότητες που αποδίδονται από την κατανομή ως προς αυτά, κάτι που είναι δυνατόν να διευκολύνει την περιγραφή κατανομής πιθανότητας σε κάποιες περιπτώσεις (όπως θα δούμε στην συνέχεια μέσω της έννοιας του στηρίγματος μιας κατανομής επί των πραγματικών). Παρατηρήσαμε ότι στην σχετική μελέτη μας διευκόλυνε η ιδιότητα της μονοτονίας για τις κατανομές πιθανότητας.

Συμπληρώσαμε τον αρχικό λογισμό ως προς τις ιδιότητες των κατανομών διατυπώνοντας την γενίκευση της τρίτης οριστικής ιδιότητας των κατανομών σε όχι αναγκαστικά ξένες ενώσεις, αποκτώντας την ιδιότητα της αριθμήσιμης υποπροσθετικότητας χρησιμοποιώντας και πάλι την ιδιότητα της μονοτονίας.

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Σύνοψη Διαλέξεων 3ης-4ης (2019-20)

Sun, 08 Mar 2020 02:59:32 +0300

Δεδομένης της προεργασίας μας με στοιχεία της θεωρίας συνόλων, συνεχίσαμε ορίζοντας την έννοια της πραγματικής συνολοσυνάρτησης ως συνάρτησης που ορίζεται στο δυναμοσύνολο (ή σε υποσυλλογή αυτού) και δίνει πραγματικές τιμές, και εξετάσαμε παραδείγματα και αντιπαραδείγματα. Παρατηρήσαμε ότι σε παραδείγματα όπως αυτό της πραγματικής ευθείας η περιγραφή τέτοιων συναρτήσεων είναι γενικά δύσκολη, οπότε είναι δυνατόν να μας χρειάζονται απλούστερες αναπαραστάσεις τους, παρόλο που διατυπώσαμε παράδειγμα που περιγράφεται εύκολα.

Αναμένουμε ότι κατανομή πιθανότητας θα είναι πραγματική συνολοσυνάρτηση με ιδιότητες που α. συνάδουν με την διαίσθηση μας για τις διαδικασίες μέτρησης, και β. αποδίδουν στην κατανομή επιθυμητές αναλυτικές ιδιότητες. Παρατηρήσαμε ότι όταν το σύνολο αναφοράς είναι απειροπληθές, τότε είναι δυνατόν να υπάρχουν υποσύνολα του στα οποία δεν μπορούν με συνεπή τρόπο να αποδοθούν πιθανότητες αν επιμένουμε στο β. Προκειμένου να διεκολυνθούμε στα παρακάτω, αναφερθήκαμε περιγραφικά στην έννοια της πληθικότητας ενός συνόλου, παρατηρώντας ότι τα πεπερασμένα σύνολα αλλά και κάποια απειροσύνολα όπως οι φυσικοί, έχουν μικρό (ή αλλιώς αριθμήσιμο) πλήθος στοιχείων, συγκρινόμενα με απειροσύνολα όπως οι πραγματικοί.

Το πεδίο ορισμού της κατανομής θα είναι δυνατόν να είναι υποσυλλογή του δυναμοσυνόλου, που θα αποτελείται από τα μετρήσιμα-δηλ. αυτά στα οποία μπορούν και είναι επιθυμητό να αποδοθούν πιθανότητες, υποσύνολά του. Αυτή η υποσυλλογή θα είναι κλειστή ως προς μικρά, δηλαδή αριθμήσιμα, πλήθη συνολοθεωρητικών πράξεων. Όταν το σύνολο αναφοράς είναι πεπερασμένο μπορεί να επιλεγεί να είναι το δυναμοσύνολο, ενώ σε σύνολα αναφοράς όπως οι πραγματικοί, μπορεί να επιλεγεί ώστε να περιέχει όλα τα "οικεία" σε εμάς υποσύνολα των πραγματικών. Αποκτήσαμε έτσι την έννοια του μετρήσιμου χώρου.

Δεδομένου του παραπάνω, προχωρήσαμε στον ορισμό της κατανομής πιθανότητας, ως πραγματικής συνολοσυνάρτησης ορισμένης στην εκάστοτε συλλογή από μετρήσιμα υποσύνολα, η οποία συνάρτηση ικανοποιεί τις ιδιότητες του θετικά ορισμένου, της τυποποίησης και της αριθμήσιμης προσθετικότητας. Οι ιδιότητες αυτές συνάδουν με το α. παραπάνω καθώς (ιδιαίτερα η τρίτη) και με το β. αφού εξαιτίας αυτών οι κατανομές αποκτούν χρήσιμες αναλυτικές ιδιότητες.

Εξετάσαμε παραδείγματα και αντιπαραδείγματα σχετικά και με τα παραδείγματα συνολοσυναρτήσεων που είχαμε ήδη εξετάσει. Παρατηρήσαμε ότι ακόμη και στην περίπτωση των πραγματικών και της δυσκολίας περιγραφής που είδαμε παραπάνω, υπάρχουν κατανομές που περιγράφονται εύκολα επειδή οι υπολογισμοί των πιθανοτήτων που αποδίδουν γίνονται βάσει μικρών πληθών από κριτήρια, οπότε και αποκτήσαμε μια πρώτη αίσθηση των διακριτών κατανομών στους πραγματικούς.

Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ, εδώ, εδώ και εδώ.

Σύνοψη Διαλέξεων 1ης-2ης (2019-20)

Mon, 02 Mar 2020 18:41:52 +0300

Σκοπός του μαθήματος είναι η περαιτέρω αυστηρή μαθηματική θεμελίωση εννοιών της θεωρίας πιθανοτήτων και διαδικασιών στατιστικής επαγωγής. Παιδαγωγικά μέσω της εν λόγω θεμελίωσης γίνεται ευχερής η ορισμός, η επέκταση και η κατανόηση των ιδιοτήτων περισσότερο περίπλοκων διαδικασιών όπως αυτές που θα συναντηθούν στα μετέπειτα μαθήματα της Οικονομετρίας.

Συνδυάστε τα παραπάνω με την ανάρτημένη σύνοψη του μαθήματος.

Προκειμένου να καταλάβουμε το πως κατασκευάζεται αυτή η συλλογή και πως η έννοια της κατανομής πιθανότητας "αλληλεπιδρά" με τις συνολοθεωρητικές πράξεις θυμηθήκαμε εν μέρει και κυρίως περιφραστικά, κάποιες βασικές έννοιες από την θεωρία συνόλων, που άπτονται στα εξής:

στην έννοια του δυναμοσυνόλου, ως την συλλογή από όλα τα δυνατά υποσύνολα δεδομένου συνόλου αναφοράς. Παρατηρήσαμε ότι η "πολυπλοκότητα" αυτής της συλλογής αυξάνεται με το πλήθος των στοιχείων του συνόλου αναφοράς.
Στις συνολοθεωρητικές πράξεις όπως η ένωση, η τομή και η διαφορά, στο πως είναι δυνατόν αυτές να παράγουν την έννοια του συμπληρώματος. Kαταλήξαμε στην ταυτότητα , που ισχύει για οποιαδήποτε Α,Β υποσύνολα του συνόλου αναφοράς, και χρησιμέυει στο να παραγοντοποεί το Α ως ένωση ξένων μεταξύ τους "κομματιών", και συνεπώς μπορεί να είναι επιβοηθητική σε διαδικασίες μέτρησης.
στην έννοια της (πραγματικής) συνολοσυνάρτησης επί συνόλου αναφοράς, ως συνάρτηση που ορίζεται επί του δυναμοσυνόλου (ή σε κάποια υποσυλλογή αυτού) του συνόλου αναφοράς και μας δίνει πραγματικές τιμές. Θα δούμε ότι και οι κατανομές πιθανότητας είναι τέτοιες συνολοσυναρτήσεις με κάποιες ιδιαίτερες ιδιότητες.

Διευκρίνηση για το Υποχρεωτικό Θέμα

Tue, 11 Jun 2019 11:13:21 +0300

Σε υποερώτημα του θέματος 1.α, ζητείται καταρχάς η εξαγωγή της όταν η τ.μ. X ακολουθεί την Exp(λ). Από τις ιδιότητες του ολοκληρώματος έχουμε ότι αυτό (γιατί;) θα ισούται με και επειδή (το οποίο θα έχει εξαχθεί από προηγούμενο σκέλος του ερωτήματος) θα έχουμε τελικά ότι για κάθε δυνατή τιμή της παραμέτρου λ. Συνεπώς η απάντηση στο τελευταίο υποερώτημα του 1.(α) είναι ότι αυτό ισχύει για κάθε εκθετική κατανομή.

Η διευκρίνηση δίνεται επειδή από παραδρομή έδωσα λάθος απάντηση σε φοιτητές που με ρώτησαν για το συγκεκριμένο υποερώτημα αφού είχαν ολοκληρώσει την εξέταση τους.

Στέλιος Αρβανίτης

Σύνοψη Διαλέξεων 24ης-25ης (2018-19)

Sun, 26 May 2019 03:16:56 +0300

Έχοντας ως κίνητρα τα ζητήματα της διατύπωσης ικανών και αναγκάιων συνθηκών για την αναπαράσταση κατανομής ως από τις ροπές της, όπως και αυτό του κόστους υπολογισμού των ροπών μέσω του ορισμού, ασχοληθήκαμε με την έννοια της ροπογεννήτριας συνάρτησης κατανομής.

Διατυπώσαμε κριτήριο καλώς ορισμένου αυτής που αφορά στην ύπαρξη του οριστικού της ολοκληρώματος για κάθε τιμή του ορίσματος τουλάχιστον σε ανοικτό διάστημα με κέντρο το μηδέν, όπως και το θεώρημα ότι ανν αυτή είναι καλώς ορισμένη, τότε αυτή αναπαριστά την κατανομή, οι ροπές κάθε τάξης υπάρχουν ΚΑΙ αναπαριστούν την κατανομή, και η ροπή όποιας τάξης μπορεί να υπολογιστεί ως η ανάλογης τάξης παράγωγος της ροπογεννήτριας στο μηδέν.

Κάναμε τους σχετικούς υπολογισμούς στα πλαίσια παραδειγμάτων μας, τους συσχετίσαμε με τα παραπάνω, και είδαμε ότι σε κάποιες τουλάχιστον περιπτώσεις η καλώς ορισμένη ροπογεννήτρια είναι πιο "εύχρηστη" στον υπολογισμό ροπών σε σχέση με τον ορισμό αυτών. Παρατηρήσαμε επίσης ότι οι σχέσεις μεταξύ ροπών διαφορετικής τάξης που είδαμε σε προηγούμενους υπολογισμούς ροπών προκύπτουν από την σχέση μεταξύ των παραγώγων διαφορετικής τάξης της ροπογεννήτριας στο μηδέν.

Στο παράδειγμα της τυπικής κατανομής Cauchy παρατηρήσαμε ότι η ροπογεννήτρια δεν είναι καλώς ορισμένη οπότε σύμφωνα με το θεώρημα οι ροπές δεν είναι δυνατόν να αναπαριστούν την κατανομή (στο εν λόγω παράδειγμα επειδή κάποιες από αυτές δεν υπάρχουν). Αναφερθήκαμε και σε παράδειγμα κατανομής για την οποία παρόλο που υπάρχουν οι ροπές κάθε τάξης, η ροπογεννήτρια δεν είναι καλως ορισμένη οπότε βάσει του θεωρήματος μας οι ροπές δεν αναπαριστούν την κατανομή (επειδή σε αυτό το παράδειγμα η ροπή κ-τάξης καθώς το κ μεγαλώνει δεν συμπεριφέρεται κατάλληλα ώστε η ροπογεννήτρια να γίνεται καλώς ορισμένη-δείτε το παράδειγμα της λογαριθμο-κανονικής κατανομής).

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Σύνοψη 8ου & 9ου Φροντιστηρίου

Fri, 24 May 2019 19:59:25 +0300

Στο 8^ο και 9^ο Φροντιστήριο του μαθήματος ορίσαμε γενικώς την ροπογεννήτρια συνάρηση Μ(t) και είδαμε υπό ποιες προϋποθέσεις είναι καλώς ορισμένη. Ουσιαστικά, για να είναι καλώς ορισμένη η Μ(t) θα πρέπει να είναι πραγματικός αριθμός για κάθε -t^*<t<t^*. Στη συνέχεια διατυπώσαμε Θεώρημα βάσει του οποίου ο υπολογισμός ροπής k-τάξης ισοδυναμεί με την k-οστή παράγωγο της ροπομεγγενήτριας, υπολογισμένης στο t=0. Για την κατανομή πιθανότητας P υπάρχουν οι ροπές κάθε τάξης και χαρακτηρίζουν την P αν και μόνο αν η Μ(t) είναι καλώς ορισμένη.

Υποστηρίξαμε τα παραπάνω μέσω παραδειγμάτων σε γνωστές κατανομές πιθανότητας όπως η κατανομή Gamma(a,b), η κανονική κατανομή N(μ,σ²), η εκθετική κατανομή, η ομοιόμορφη κατανομή κ.α.

Για περισσότερες πληροφορίες μπορείτε να ανατρέξετε στους παρακάτω συνδέσμους:

Ροπές - Ορισμός

Ροπές - Περαιτέρω Παραδείγματα

Φροντιστήριο 8

Φροντιστήριο 9

Σύνοψη Διαλέξεων 22ης-23ης (2018-19)

Sun, 19 May 2019 23:38:56 +0300

Συνεχίσαμε τους υπολογισμούς που αφορούσαν σε ροπές, εξετάζοντας παραδείγματα διωνυμικών και κανονικών κατανομών όπως και το παράδειγμα της τυπικής κατανομής Cauchy, για την οποία δείξαμε ότι δεν υπάρχει καμμία ροπή πέραν αυτής της μηδενικής τάξης. Για το τελευταίο ήταν αρκετό να δείξουμε ότι δεν υπάρχει ως πραγματικός αριθμός η απόλυτη ροπή πρώτης τάξης (γιατί;).

Στα παραδείγματα που αφορούσαν στην οικογένεια των κανονικών κατανομών παρατηρήσαμε ότι και εδώ οι υπολογισμοί είναι δυνατόν να ενέχουν πολλές πράξεις, ότι αυτοί διευκολύνονται από τον υπολογισμό κατάλληλων ολοκληρωμάτων ως προς την τυπική κανονική κατανομή και ότι και εδώ αναδεικνύονται σχέσεις μεταξύ ροπών διαφορετικής τάξης. Επίσης διακρίναμε στο παράδειγμα της τυπικής κανονικής κατανομής την διαφορά μεταξύ ροπών και απολύτων ροπών ίδιας περιττής τάξης.

Παρατηρήσαμε τέλος ότι ο κατάλογος των ροπών μιας κατανομής πιθανότητας, δεν χαρακτηρίζει γενικά την κατανομή, είτε επειδή για κάποια τάξη η ανάλογη ροπή δεν υπάρχει, είτε επειδή ακόμη και όταν υπάρχουν οι ροπές κάθε τάξης η συμπεριφορά τους καθώς η τάξη μεγαλωνεί δεν είναι η κατάλληλη ώστε να επιτρέπει τον χαρακτηρισμό. Το ζήτημα της διατύπωσης ικανών και αναγκάιων συνθηκών για την αναπαράσταση κατανομής ως από τις ροπές της, θα αποσαφηνιστεί μέσω της έννοιας της ροπογεννήτριας συνάρτησης με την οποία θα ασχοληθούμε στις τελευταίες διαλέξεις του μαθήματος.

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Σύνοψη 6ου και 7ου Φροντιστηρίου

Sat, 18 May 2019 20:35:23 +0300

Στο 6^ο Φροντιστήριο αναλύσαμε την έννοια της συνάρτησης πυκνότητας-πιθανότητας. Συγκεκριμένα, είδαμε πώς ορίζεται η f (probability density function) και ποιες είναι οι αναγκαίες προϋποθέσεις ύπαρξής της (βλ. Θεώρημα Ύπαρξης). Ακολουθώντας την αντίστροφη συλλογιστική πορεία, διατυπώσαμε αναγκαίες και ικανές συνθήκες καλώς ορισμένης συνάρτησης πυκνότητας (Θεώρημα Χαρακτηρισμού). Τέλος, βάσει των παραπάνω, καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι μπορούμε να υπολογίσουμε πιθανότητες με τη χρήση της συνάρτησης πυκνότητας-πιθανότητας, υποστηρίζοντας επαρκώς τον ισχυρισμό μας με τη βοήθεια σχετικού παραδείγματος.

Στο 7^ο Φροντιστήριο αναλύσαμε την έννοια των ροπών μιας κατανομής στον χώρο των πραγματικών, με τη βοήθεια παραδειγμάτων σε συγκεκριμένες κατανομές. Επίσης, μελετήσαμε (ακροθιγώς) την αναμένομενη τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής g(X), χρησιμοποιώντας τον ορισμό (Σημειώσεις Διαλέξεων, Πιττής, σ.316) σε συγκεκριμένο παράδειγμα.

Περισσότερες πληροφορίες για τα άνωθεν ζητήματα μπορείτε να βρείτε στους παρακάτω συνδέσμους:

Συνάρτηση Πυκνότητας

Αναμενόμενη Τιμή Τυχαίας Μεταβλητής

Ροπές: Ορισμός και παραδείγματα

Ροπές: Περαιτέρω παραδείγματα

Φροντιστήριο 6

Φροντιστήριο 7

Σύνοψη Διαλέξεων 18ης-21ης (2018-19)

Mon, 13 May 2019 14:50:44 +0300

Συνεχίσαμε με υπολογισμούς ολοκληρωμάτων της εκθετικής συνάρτησης ως προς παραδείγματα κατανομών που έχουμε ήδη ορίσει. Στο παράδειγμα της εκθετικής κατανομής εξάγαμε περιπτώσεις μη ύπαρξης του σχετικού ολοκληρώματος εξαιτίας της απόκλισης του προς κάποιο άπειρο.

Δεδομένης της έννοιας της ολοκλήρωσης έγινε ενασχόληση με την έννοια των ροπών κατανομής πιθανότητας, μελετώντας καταρχάς τους σχετικούς ορισμού όπως και ιδιότητες και σχόλια που αφορούν ανάμεσα στα άλλα σε ζητήματα ύπαρξης, σχέσης μεταξύ των δύο εκδοχών, κ.ο.κ, όπως και με κάποια παραδείγματα σχετικού σχολιασμού αναφορικά με ροπές σε διάφορες περιπτώσεις κατανομών πιθανότητας.

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με την έννοια των ροπών κατανομής πιθανότητας, ασχολούμενοι με την ερμηνεία και την απόδειξη της ανισότητας του Markov. Συνεχίσαμε με περαιτέρω παραδείγματα υπολογισμού και σχετικού σχολιασμού αναφορικά με ροπές σε διάφορες περιπτώσεις κατανομών πιθανότητας. Παρατηρήσαμε, π.χ. στο παράδειγμα των εκθετικών κατανομών ότι είναι δυνατόν να υπάρχει σύνδεση μεταξύ ροπών διαφορετικής τάξης μέσω αναδρομικών σχέσεων. Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Άσκηση

Να βρεθεί το ολοκλήρωμα της εκθετικής συνάρτησης ως προς αυθαίρετη κανονική κατανομή.

Σύνοψη 4ου και 5ου Φροντιστηρίου

Mon, 29 Apr 2019 09:43:52 +0300

Στο 4^ο Φροντιστήριο χρησιμοποιήσαμε την έννοια της κατανομής πιθανότητας, P, και της τυχαίας μεταβλητής, X, προκειμένου να υπολογίσουμε την κατανομή που προκύπτει, έστω P_x, από τη μεταφορά της P μέσω της συνάρτησης Χ. Τα παραδείγματα που συναντήσαμε αφορούν στις κατανομές Poisson και Binomial.

Στο 5^ο Φροντιστήριο εστιάσαμε την προσοχή μας στις συνθήκες που απαιτούνται έτσι ώστε η συνάρτηση F που μας δίνεται να είναι πράγματι αθροιστική συνάρτηση της κατανομής P. Οι περιπτώσεις που εξετάσαμε περιλαμβάνουν διακριτές και συνεχείς κατανομές.

Για περισσότερες πληροφορίες μπορείτε να ανατρέξετε στους παρακάτω συνδέσμους

Κατανομή Πιθανότητας στους Πραγματικούς - Αθροιστική Συνάρτηση

Κατανομή Πιθανότητας στους Πραγματικούς - Αθροιστική Συνάρτηση(Παραδείγματα)

Φροντιστήριο 4

Φροντιστήριο 5

Σύνοψη 1ου, 2ου και 3ου φροντιστηρίου

Thu, 11 Apr 2019 16:07:02 +0300

Στο 1^ο Φροντιστήριο η πρώτη βασική έννοια που συναντήσαμε ήταν ο Χώρος Πιθανότητας P. Συγκεκριμένα, ορίσαμε τα συστατικά του (δειγματικός χώρος Ω, συλλογή μετρήσιμων υποσυνόλων του δειγματικού χώρου Σ_Ω) και παραθέσαμε συγκεκριμένες ιδιότητες έτσι ώστε αυτός να είναι πράγματι χώρος πιθανότητας. Επιπλέον, κατασκευάσαμε συνάρτηση πιθανότητας P και δώσαμε ορισμένα παραδείγματα. Τελικώς, είδαμε την αναγκαιότητα ορισμού μιας συνάρτησης η οποία είναι δυνατόν να παίρνει τιμές στον δειγματικό χώρο Ω και να δίνει τιμές στο σύνολο των πραγματικών R. Αυτή η συνάρτηση δεν είναι άλλη από την τυχαία μεταβλητή Χ, της οποίας απαραίτητη προϋπόθεση ύπαρξης είναι να ορίζεται η αντίστροφη εικόνα της.

Στο 2^ο Φροντιστήριο αρχικά είδαμε πως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την αντιστροφή εικόνα της τυχαίας μεταβλητής Χ^-1 έτσι ώστε να προσάψουμε πιθανότητα σε ένα μετρήσιμο υποσύνολο των πραγματικών αριθμών. Ακολούθως, ορίσαμε το στήριγμα (supp) κατανομής πιθανότητας στο R και παρατηρήσαμε τη χρησιμότητά στον υπολογισμό πιθανοτήτων. Απόρροια της μορφής του στηρίγματος είναι και η διάκριση μεταξύ 1. διακριτών, 2. συνεχών και 3. μικτών κατανομών. Όλα τα παραπάνω υποστήριχτηκαν επαρκώς με τη βοήθεια παραδειγμάτων για τις κατανομές Εκφυλισμένη, Bernoulli, Poisson, Binomial.

Στο 3^ο Φροντιστήριο συζητήσαμε ακροθιγώς τους λόγους για τους οποίους υπάρχει δυσκολία περιγραφής μιας κατανομής P στο R, συμπεραίνοντας ότι για αυτόν τον σκοπό χρειαζόμαστε έννοιες που να μας είναι πιο οικείες. Η πρώτη έννοια που συναντήσαμε ήταν η έννοια της αθροιστικής κατανομής F, για την οποία διατυπώσαμε τον ορισμό της και παραθέσαμε κάτω από ποιες προϋποθέσεις μπορεί πράγματι η συγκεκριμένη συνάρτηση να αποτελεί αθροιστική μιας δοθείσας κατανομής. Επιπλέον, βάσει του θεωρήματος αναπαράστασης, παρατηρήσαμε ότι η αθροιστική συνάρτηση αναπαριστά τέλεια μια κατανομή, που σημαίνει ότι μπορούμε να ορίζουμε την P μέσω της F και να βρίσκουμε τις πιθανότητες που αυτή αποδίδει. Τελικώς, υπολογίσαμε πιθανότητες μέσω της F και βρήκαμε την αθροιστική συνάρτηση της κατανομής Poisson.

Για περισσότερες λεπτομέρειες μπορείτε να ανατρέξετε στους παρακάτω συνδέσμους:

Αθροιστική Συνάρτηση

Αθροιστική Συνάρτηση - Παραδείγματα

Στήριγμα

Κατανομή Πιθανότητας

Κατανομή Πιθανότητας - Παραδείγματα

Φροντιστήριο 1

Φροντιστήριο 2

Φροντιστήριο 3

Σύνοψη Διαλέξεων 15ης-16ης-17ης (2018-19)

Sat, 06 Apr 2019 22:17:51 +0300

Συνεχίσαμε με περαιτέρω ιδιότητες της συνάρτησης πυκνότητας, και παρατηρήσαμε ότι αν συνάρτηση με πεδία ορισμού και τιμών τους πραγματικούς είναι μη αρνητική και το ολοκλήρωμα αυτής επί της πραγματικής ευθείας υπάρχει και ισούται με ένα, τότε αυτή αποτελεί συνάρτηση πυκνότητας μοναδικής κατανομής στους πραγματικούς.

Συνεχίσαμε εξετάζοντας παραδείγματα κατανομών που έχουν συναρτήσεις πυκνότητας. Έτσι π.χ. στα πλαίσια του παραδείγματος της εκθετικής κατανομής και εξαιτίας της μη παραγωγισιμότητας της αθροιστικής στο 0, προέκυψε η μη μοναδικότητα της συνάρτησης πυκνότητας. Παρατηρήσαμε ότι η συμβατική εκδοχή της συνάρτησης πυκνότητας είναι και η μοναδική για την οποία έχουμε συνέχεια της πυκνότητας στο στήριγμα. Ανάλογους συλλογισμούς εξετάσαμε στα πλαίσια του παραδείγματος της ομοιόμορφης κατανομής.

Στην συνέχεια, ξεκινήσαμε την (αναγκαστικά ελλειπή) μελέτη της αναπαράστασης κατανομής πιθανότητας στους προγματικούς ως διαδικασίας ολοκλήρωσης κατάλληλων συναρτήσεων, παραθέσαμε ορισμούς και ιδιότητες και ξεκινήσαμε την ενασχόληση με υπολογισμούς σε διάφορα παραδείγματα, φθάνοντας μέχρι και το παράδειγμα της εκθετικής κατανομής ως προς την οποία είδαμε ότι η εκθετική συνάρτηση δεν είναι ολοκληρώσιμη όταν η παράμετρος της κατανομής είναι μικρότερη ή ίση του ένα, αποκτώντας έτσι και ένα παράδειγμα μη ολκληρωσιμότητας.

Και για την έννοια της ολοκλήρωσης, ισχύει ότι για την πλήρη κατανόηση της απαιτεί την έννοια ολοκλήρωσης κατά Lebesgue-Stieljes από την μαθηματική ανάλυση οι οποία δεν μας είναι επίσης διαθέσιμη και προφανώς βρίσκεται εκτός του εύρους του μαθήματος.

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Ασκήσεις:

1. Στα παραδείγματα της ομοιόμορφης και της εκθετικής κατανομής να βρεθούν μέσω των συναρτήσεων πυκνότητας που έχουμε εξάγει οι αντίστοιχες αθροιστικές συναρτήσεις.

2. Χρησιμοποιώντας την έννοια της συνάρτησης τόξο εφαπτομένη (τοξεφ-arctan)-δείτε εδώ, να δείξετε ότι η συνάρτηση

είναι καλώς ορισμένη συνάρτηση πυκνότητας, και συνεπώς αναπαριστά μοναδική κατανομή στους πραγματικούς (η οποία ονομάζεται τυπική κατανομή Cauchy-standard Cauchy distribution).

Σύνοψη Διαλέξεων 13ης-14ης (2018-19)

Sun, 31 Mar 2019 00:36:09 +0300

Ολοκληρώσαμε την εξέταση του παραδείγματος της οικογένειας των εκθετικών κατανομών, και συνεχίσαμε με την εξέταση του παραδείγματος της οικογένειας των κανονικών κατανομών. Μέσω αυτού του παραδείγματος παρατηρήσαμε ότι υπάρχει περίπτωση η αθροιστική συνάρτηση να έχει την μορφή κατάλληλου ολοκληρώματος, και χρησιμοποιώντας το ολοκλήρωμα του Gauss, και (κάπως καταχρηστικά) τον κανόνα παραγώγισης του Leibniz, δείξαμε το καλώς ορισμένο αυτής.

Μέσω αυτής της παρατήρησης οδηγηθήκαμε στην έννοια της συνάρτησης πυκνότητας κατανομής πιθανότητας στους πραγματικούς, οπότε ξεκινήσαμε την μελέτη ιδιοτήτων και παραδειγμάτων. Έτσι προέκυψε μια ακόμη αναπαράσταση κατανομής πιθανότητας, η οποία όμως βασίζεται στην προαναφερθείσα έννοια και αυτή είναι δυνατόν να μην υπάρχει σε κάποιες περιπτώσεις, ενώ σε άλλες να μην είναι μοναδική, σε αντιδιαστολή με την αθροιστική συνάρτηση που υπάρχει και είναι μοναδική σε κάθε περίπτωση.

Σημειώσαμε ότι η πλήρης κατανόηση της έννοιας της συνάρτησης πυκνότητας, απαιτεί έννοιες από την μαθηματική ανάλυση οι οποίες δεν μας είναι διαθέσιμες όπως αυτή της απόλυτης συνέχειας ή αυτή της ολοκλήρωσης κατά Lebesgue, οι οποίες προφανώς βρίσκονται εκτός του εύρους του μαθήματος.

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Σύνοψη Διαλέξεων 11ης-12ης (2018-19)

Sun, 24 Mar 2019 18:16:53 +0300

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας εξάγωντας (όχι εξαντλητικά ή/και αναγκαστικά σχολαστικά) περαιτέρω ιδιότητες που είναι δυνατόν να έχει η αθροιστική συνάρτηση και οι οποίες προφανώς θα αντανακλούν πιστά σχετικές ιδιότητες της κατανομής. Έτσι π.χ. δεδομένων των ιδιοτήτων συνέχειας που εξάγαμε προηγουμένως, είδαμε ότι η αθροιστική συνάρτηση θα είναι αναγκαστικά συνεχής εκτός του στηρίγματος, ενώ αν έχει ασυνέχειες αυτές θα έχουν την μορφή θετικού άλματος και θα εντοπίζονται αναγκαστικά σε στοιχεία του στηρίγματος. Επίσης είδαμε ότι η αθροιστική θα είναι γνησίως αύξουσα στο στήριγμα και κατά τμήματα σταθερή εκτός του στηρίγματος. Έτσι π.χ. αν η κατανομή είναι διακριτή τότε αναγκαστικά η αθροιστική αυτής θα έχει ασυνέχειες που θα εντοπίζονται σε διακριτό υποσύνολο των πραγματικών που ταυτίζεται με το στήριγμα, ενώ θα παραμένει τμηματικά σταθερή όπου αλλού. Παρατηρήσαμε (χωρίς να δωθούν αναγκαστικά όλες οι σχετικές λεπτομέρειες) ότι τέτοιου είδους ιδιότητες είναι δυνατόν να μας βοηθούν να βρίσκουμε π.χ. το στήριγμα της κατανομής μέσω της αθροιστικής (αρκεί να βρούμε το μεγαλύτερο υποσύνολο των πραγματικών στο οποίο όταν περιοριστεί η αθροιστική είναι γνησίως μονότονη και το οποίο έχει ταυτόγχρονα και την οριστική ιδιότητα του στηρίγματος).

Δεδομένου του θεωρήματος χαρακτηρισμού γνωρίζουμε ότι θα πρέπει να μπορούμε να υπολογίζουμε τις πιθανότητες που αποδίδει η κατανομή χρησιμοποιώντας την αθροιστική. Έτσι είδαμε βασικά παραδείγματα του πως είναι δυνατόν να υπολογίζουμε μέσω της αθροιστικής την πιθανότητα που η κατανομή αποδίδει σε μετρήσιμα υποσύνολα των πραγματικών όταν αυτά έχουν διάφορες μορφές.

Από τα παραπάνω μας έγινε σαφές ότι είναι δυνατόν να ορίζουμε κατανομές πιθανότητας στους πραγματικούς ορίζοντας απλώς τις σχετικές αθροιστικές συναρτήσεις. Έτσι ξεκινήσαμε την περιγραφή περαιτέρω παραδειγμάτων κατανομών πιθανότητας στους πραγματικούς. Τα παραδείγματα αυτά αφορούν σε κατανομές όπως η ομοιόμορφη, ή η εκθετική, και σε κάθε ένα από αυτά ελέγξαμε το αν η εκάστοτε δεδομένη ως αθροιστική συνάρτηση είναι καλώς ορισμένη.

Μέσω των παραδείγματων παρατηρήσαμε ανάμεσα στα άλλα:

Eίναι δυνατόν μια κατανομή να αποδίδει μηδενική πιθανότητα σε μονοσύνολο που αποτελείται από κάποιο στοιχείο του στηρίγματός της (αυτό είναι δυνατόν να συμβαίνει σε κάθε μονοσύνολο που αποτελείται από όποιο στοιχείο του στηρίγματος, όπως π.χ. στο παράδειγμα της ομοιόμορφης κατανομής). Προφανώς κάτι τέτοιο είναι αδύνατον για διακριτές κατανομές (γιατί;).
Ο ορισμός που έχουμε υιοθετήσει για το πότε μια κατανομή θεωρείται συνεχής, αφορά στην "τοπολογική" μορφή του supp και όχι στο αν η αθροιστική της είναι συνεχής συνάρτηση. Έτσι, π.χ. είδαμε παράδειγμα συνεχούς κατανομής που έχει αθροιστική που εμφανίζει ασυνέχεια. Αναλόγως είδαμε παραδείγματα συνεχών κατανομών με συνεχείς αθροιστικές. Είναι δυνατόν να περιγραφούν και παραδείγματα μη συνεχών κατανομών που έχουν συνεχή αθροιστική (των οποίων το supp αναγκαστικά δεν μπορεί να έχει διακριτό μέρος-γιατί;). Τέτοια παραδείγματα (όπως αυτό της κατανομής Cantor) εκφεύγουν του εύρους του μαθήματος.
Κατασκευάσαμε παράδειγμα όπου το στήριγμα είναι η ένωση ενός διακριτού υποσυνόλου των πραγματικών και ενός διαστήματος ξένου ως προς το προηγούμενο. Αυτό προφανώς είναι παράδειγμα κατανομής που δεν είναι ούτε διακριτή, ούτε συνεχής.
Οι αθροιστικές είναι δυνατόν να εξαρτώνται μονοσήμαντα από παραμέτρους, το οποίο σημαίνει ότι αν τις αντιληφθούμε ταυτόγχρονα και ως συναρτήσεις των παραμέτρων τότε περιγράφουν ολόκληρες σχετικές οικογένειες από κατανομές.

Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Ασκήσεις:

Να δειχθεί ότι εντός του στηρίγματος η αθροιστική συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.
Έστω P κατανομή πιθανότητας με αθροιστική την F. Να εκφρασθεί μέσω της F η πιθανότητα που η P αποδίδει στα εξής:
Να κατασκευαστεί κατανομή με στήριγμα της μορφής [α,β] όπου η αθροιστική εμφανίζει ασυνέχειες στα α και β.
Να κατασκευαστεί κατανομή με στήριγμα της μορφής [α,β] όπου η αθροιστική εμφανίζει ασυνέχειες σε δύο αυθαίρετα σημεία του στηρίγματος.
Για γ<δ<α<β, να κατασκευαστεί κατανομή με στήριγμα το .
Για γ<α<β<δ, να κατασκευαστεί κατανομή με στήριγμα το .

Σύνοψη Διαλέξεων 9ης-10ης (2018-19)

Mon, 18 Mar 2019 19:45:18 +0300

Προχωρήσαμε σε πρόχειρη (και όχι ιδιαίτερα ακριβή) ταξινόμηση των κατανομών πιθανότητας ανάλογα με ιδιότητες των στηριγμάτων αυτών. Η ταξινόμηση είναι αναγκαστικά ανακριβής επειδή η ακρίβεια απαιτεί εμβάθυνση στην τοπολογία των πραγματικών αριθμών, κάτι εκτός του εύρους του μαθήματος. Έτσι διακρίναμε τις μη διακριτές κατανομές σε α) συνεχείς, ως αυτές που έχουν ως στήριγμα κλειστό διάστημα ή ένωση κλειστών διαστημάτων, β) μεικτές, αυτές των οποίων το στήριγμα είναι ξένη ένωση μεταξύ κλειστού διαστήματος (ή ένωσης τέτοιων) με διακριτό υποσύνολο των πραγματικών, γ) ιδιάζουσες, αυτές των οποίων το στήριγμα δεν εμπίπτει σε καμμία από τις παραπάνω περιπτώσεις (δείτε π.χ. το σύνολο Cantor, και συνακόλουθα την κατανομή Cantor), και δ) περαιτέρω αναμείξεις μεταξύ των α, β και γ.

Εφόσον η ευκολία περιγραφής των διακριτών δεν ισχύει για τις α, β, γ, και δ, και ξεκινώντας την προσπάθεια μας για αναπαράσταση όποιας κατανομής πιθανότητας στους πραγματικούς από κατάλληλες και οικείες έννοιες ώστε να αποφεύγεται ο δύσχρηστος ορισμός, ξεκινήσαμε την εξέταση της έννοιας της αθροιστικής συνάρτησης. Δεδομένου του ορισμού και του καλώς ορισμένου της έννοιας, αναφερθήκαμε σε σε απλά παραδείγματα, και σε θεώρημα χαρακτηρισμού που απαριθμεί τις χαρακτηριστικές της ιδιότητες, και δείχνει ότι η αθροιστική αναπαριστά την κατανομή της "τέλεια".

Σκιαγραφήσαμε την απόδειξη του πρώτου μέρους του θεωρήματος χαρακτηρισμού. Κάποιες από τις ιδιότητες της αθροιστικής προκύπτουν από την χρήση μιας ιδιότητας συνέχειας της κατανομής που είναι εκτός του εύρους του μαθήματος και σχετίζεται με την "μικρού πλήθους" προσθετικότητα. Θεωρώντας δεδομένο το τι συνεπάγεται αυτή η ιδιότητα συνέχειας σε κάθε σχετική περίπτωση δείξαμε το πως προκύπτουν οι χαρακτηριστικές ιδιότητες της αθροιστικής συνάρτησης.

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Ομάδες Ασκήσεων σχετικές με τις Διαλέξεις 2-8

Sun, 10 Mar 2019 23:39:20 +0300

Μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ ομάδες ασκήσεων που σχετίζονται με τις πρώτες οκτώ διαλέξεις.

Σύνοψη Διαλέξεων 7ης-8ης (2018-19)

Sun, 10 Mar 2019 22:39:45 +0300

Συνεχίζοντας την ενασχόληση μας με τις διακριτές κατανομές, και εξάγωντας τις σχετικές διότητες, παρατηρήσαμε ότι για την περιγραφή τους αρκεί να δοθεί το στήριγμα και η πιθανότητα που αποδίδεται στα μονοσύνολα που αποτελούνται από τα στοιχεία του στηρίγματος. Αυτό εξαιτίας της διακριτότητας του στηρίγματος, και συνεπώς του αριθμήσιμου πλήθους των στοιχείων του, ο υπολογισμός της πιθανότητας που αποδίδεται από τέτοια κατανομή σε μετρήσιμο υποσύνολο των πραγματικών, συνίσταται στον έλεγχο αριθμήσιμου πλήθους κριτηρίων για το ποιά στοιχεία του στηρίγματος βρίσκονται στο εν λόγω σύνολο και προκύπτει από το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των στοιχείων.

Παρατηρήσαμε ότι κάθε τέτοια περιγραφή θα αποδίδει μια καλώς ορισμένη διακριτή κατανομή εφόσον α) το δεδομένο στήριγμα είναι διακριτό, β) σε κάθε στοιχείο του στηρίγματος (αυστηρότερα, σε κάθε μονοσύνολο που αποτελείται από στοιχείο του στηρίγματος) αποδίδεται αυστηρά θετική πιθανότητα και γ) η πιθανότητα που αποδίδεται στο δεδομένο στήριγμα ισούται με ένα. Το β) προκύπτει από θεώρημα που αποδείξαμε που λέει ότι για διακριτή κατανομή, η πιθανότητα που αυτή αποδίδει στο σύνολο {x} θα είναι αυστηρά θετική ανν το x ανήκει στο στήριγμα της κατανομής. Παρόλο που είδαμε ότι το (=>) μέρος του προηγούμενου ισχύει για κάθε κατανομή στους πραγματικούς, το (<=) είναι ιδιότητα που αναγκαστικά έχουν οι διακριτές, ενώ όπως θα δούμε υπάρχουν μη διακριτές κατανομές που αποδίδουν μηδενική πιθανότητα και σε κάθε στοιχείο του στηρίγματος.

Δεδομένων αυτών ασχοληθήκαμε με την εξέταση παραδειγμάτων (οικογενειών) διακριτών κατανομών. Τα παραδείγματά μας αφορούσαν στις εκφυλισμένες κατανομές, στις κατανομές Bernoulli, στις διωνυμικές κατανομές και στις κατανομές Poisson.

Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Ασκήσεις

Στο παραπάνω θεώρημα είδαμε ότι αν η P διακριτή, τότε αν το x είναι στοιχείο του supp αυτής, P({x})>0. Ισχύει το αντίστροφο; (δηλαδή, αν για κάθε x στο supp της P ισχύει ότι P({x})>0, είναι η P διακριτή;)
Έστω n πραγματικοί αριθμοί, με n>1. Να οριστεί η διακριτή κατανομή που ως στήριγμα έχει το σύνολο από αυτούς τους αριθμούς και σε κάθε έναν από αυτούς αποδίδει ακριβώς την ίδια πιθανότητα (μια τέτοια κατανομή θα μπορύσε να ονομαστεί και ως διακριτή ομοιόμορφη). Αποτελεί αυτή ειδική περίπτωση κάποιας από τις τέσσερις οικογένειες που αναφέρονται παραπάνω;

Σύνοψη Διαλέξεων 5ης-6ης (2018-19)

Fri, 01 Mar 2019 19:29:36 +0300

Συνεχίσαμε (και μέσω παραδειγμάτων) με τις έννοιες των αμελητέων συνόλων και των δυικών τους συνόλων πλήρους πιθανότητας, και είδαμε ότι τα τελευταία μπορούν να χρησιμοποιούνται προκειμένου να εκφράζονται οι πιθανότητες που αποδίδονται από την κατανομή ως προς αυτά, κάτι που είναι δυνατόν να διευκολύνει την περιγραφή κατανομής πιθανότητας σε κάποιες περιπτώσεις (*-όπως θα δούμε στην συνέχεια μέσω της έννοιας του στηρίγματος μιας κατανομής επί των πραγματικών).

Συμπληρώσαμε τον αρχικό λογισμό ως προς τις ιδιότητες των κατανομών, εκφράζοντας ικανές συνθήκες που συνεπάγονται ότι η πιθανότητα της συνολοθεωρητικής διαφοράς γίνεται διαφορά πιθανοτήτων, και διατυπώνοντας την γενίκευση της τρίτης οριστικής ιδιότητας των κατανομών σε όχι αναγκαστικά ξένες ενώσεις, αποκτώντας την ιδιότητα της αριθμήσιμης υποπροσθετικότητας.

Συνεχίσαμε με την κατασκευή και ανάλυση παραδειγμάτων που καταρχάς εμπλέκουν πεπερασμένα σύνολα αναφοράς. Παρατηρήσαμε ότι όταν ένας μετρήσιμος χώρος είναι τετριμμένος (δηλαδή το Ω έχει μόνο ένα στοιχείο) τότε μόνο μία (εκφυλισμένη) κατανομή πιθανότητας είναι δυνατόν να ορίζεται σε αυτόν. Όταν έχει πάνω από ένα στοιχεία, τότε είναι δυνατόν να ορίζονται πολύ περισσότερες κατανομές πιθανότητας σε αυτόν. Εξαιτίας αυτού προκύπτει το στατιστικό πρόβλημα.

Παρατηρήσαμε επίσης ότι συλλογές από κατανομές πιθανότητας οριζόμενες στον ίδιο χώρο είναι δυνατόν να βρίσκονται σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία με υποσύνολα Ευκλείδιων χώρων (π.χ. οι κατανομές που μπορούν να ορισθούν σε σύνολο αναφοράς με δύο στοιχεία, και η λίστα από τα μετρήσιμα υποσύνολα περιλαμβάνει όλα τα υποσύνολα του συνόλου αναφοράς, περιγράφονται συνολικά από παράμετρο με τιμές στο [0,1]). Αυτό είναι δυνατόν να διευκολύνει τον σχεδιασμό διαδιακασιών στατιστικής επαγωγής, καθώς σε περιπτώσεις που η ανάλογη κατανομή γνωρίζουμε ότι βρίσκεται στην σχετική οικογένεια, τότε η εύρεση της είναι δυνατόν να μπορεί να αναχθεί στον εντοπισμό της ανάλογης τιμής της σχετικής παραμέτρου. Οπότε η σχετική αναζήτηση είναι δυνατόν να διευκολύνεται από "οικείες" έννοιες για τον εντοπισμό τέτοιων τιμών, όπως π.χ. η επίλυση εξισώσεων, η βελτιστοποίηση συναρτήσεων, κ.ο.κ.

Στην συνέχεια μπήκαμε στο σημαντικό μέρος του μαθήματος που αφορά στην μελέτη των κατανομών πιθανότητας επί των πραγματικών (και επί "παρεμφερών" χώρων). Παρατηρήσαμε ότι η ανάλυση των ιδιοτήτων των κατανομών πιθανότητας επί των πραγματικών είναι σημαντική επειδή, σε αυτούς, ή σε "παρεμφερείς" χώρους, είναι συνήθως ορισμένες οι κατανομές που αφορούν την Οικονομική Θεωρία και την Οικονομετρία, και επίσης επειδή μέσω της έννοιας της τυχαίας μεταβλητής είναι δυνατή η "μεταφορά" κατανομών από αυθαίρετους χώρους στην πραγματική ευθεία η οποία έχει πλούσια μαθηματική δομή, και συνεπώς η μελέτη τους εκεί.

Παρόλα αυτά παρατηρήσαμε ότι όπως μας πληροφορεί το παράδειγμα που έχουμε ήδη κατασκευάσει, είναι δυνατόν να υπάρχουν κατανομές στους πραγματικούς που είναι "εύκολα περιγράψιμες" χωρίς την ανάγκη χρήσης επί της ουσίας νέων εννοιών πέρα του ορισμού. Αυτό επειδή η πιθανότητες που αυτές αποδίδουν σε κάποιο μετρήσιμο υποσύνολο των πραγματικών επί της ουσίας εξαρτώνται μόνο από την τομή του τελευταίου με διακριτό υποσύνολο των πραγματικών, και από την πιθανότητα που η κατανομή αποδίδει στα μονοσύνολα που σχηματίζει κάθε ξεχωριστό στοιχείο αυτού του διακριτού συνόλου. Καταρχήν η ανάλυση μας θα αφορά στην ταξινόμηση των κατανομών στους πραγματικούς βάσει της "ευκολίας περιγραφής"

Έτσι αρχικά κάναμε μια προεργασία που αφορούσε στην γρήγορη μελέτη των εννοιών: α) του κλειστού υποσυνόλου του , ως όποιου υποσυνόλου των πραγματικών με την ιδιότητα ότι δεν υπάρχει πραγματικός έξω από αυτό που να μπορεί να προκύψει ως όριο στοιχείων του υποσυνόλου, και β) του διακριτού υποσυνόλου του , ως συλλογή από "απομονωμένους" πραγματικούς, με την έννοια ότι κάθε στοιχείο του συνόλου μπορεί να απομονωθεί από τα υπόλοιπα μέσω κατάλληλου ανοικτού διαστήματος που θα το περιέχει και δεν θα περιέχει κάνενα άλλο στοιχείο του εν λόγω συνόλου. Ορίσαμε την έννοια του στηρίγματος, σημειώσαμε ότι αυτή είναι καλώς ορισμένη για κάθε κατανομή στους πραγματικούς και ότι μπορούμε να την χρησιμοποιήσουμε για να α) διευκολύνουμε σε κάποιες περιπτώσεις τον υπολογισμό των ιθανοτήτων που αποδίδει η κατανομή (συνδέστε το με το * παραπάνω), και β) να ταξινομήσουμε τις κατανομές στο μέσω των ιδιοτήτων των στηριγμάτων τους. Έτσι καταλήξαμε στον ορισμό της διακριτής κατανομής.

Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ, εδώ, εδώ και εδώ.

Σύνοψη Διαλέξεων 3ης-4ης (2018-19)

Sat, 23 Feb 2019 02:22:39 +0300

Ξεκινήσαμε παρατηρώντας ότι το δυναμοσύνολο είναι κλειστό ως προς όποιο πλήθος συνολοθεωρητικών πράξεων. Συνεχίσαμε ορίζοντας την έννοια της πραγματικής συνολοσυνάρτησης ως συνάρτησης που ορίζεται στο δυναμοσύνολο (ή σε υποσυλλογή αυτού) και δίνει πραγματικές τιμές, και εξετάσαμε παραδείγματα. Παρατηρήσαμε ότι σε παραδείγματα όπως αυτό της πραγματικής ευθείας η περιγραφή τέτοιων συναρτήσεων είναι γενικά δύσκολη, οπότε είναι δυνατόν να μας χρειάζονται απλούστερες αναπαραστάσεις τους.

Αναμένουμε ότι κατανομή πιθανότητας θα είναι πραγματική συνολοσυνάρτηση με ιδιότητες που α. συνάδουν με την διαίσθηση μας για τις διαδικασίες μέτρησης, και β. αποδίδουν στην κατανομή επιθυμητές αναλυτικές ιδιότητες. Παρατηρήσαμε ότι όταν το σύνολο αναφοράς είναι απειροπληθές, τότε είναι δυνατόν να υπάρχουν υποσύνολα του στα οποία δεν μπορούν με συνεπή τρόπο να αποδοθούν πιθανότητες αν επιμένουμε στο β. Συνεπώς το πεδίο ορισμού της κατανομής θα είναι δυνατόν να είναι υποσυλλογή του δυναμοσυνόλου, που θα αποτελείται από τα μετρήσιμα-δηλ. αυτά στα οποία μπορούν και είναι επιθυμητό να αποδοθούν πιθανότητες, υποσύνολά του. Αυτή η υποσυλλογή θα είναι κλειστή ως προς μικρά, δηλαδή αριθμήσιμα, πλήθη συνολοθεωρητικών πράξεων. Όταν το σύνολο αναφοράς είναι πεπερασμένο μπορεί να επιλεγεί να είναι το δυναμοσύνολα, ενώ σε σύνολα αναφοράς όπως οι πραγματικοί, μπορεί να επιλεγεί ώστε να περιέχει όλα τα "οικεία" σε εμάς υποσύνολα των πραγματικών. Αποκτήσαμε έτσι την έννοια του μετρήσιμου χώρου.

Δεδομένου του παραπάνω, προχωρήσαμε στον ορισμό της κατανομής πιθανότητας, ως πραγματικής συνολοσυνάρτησης που ικανοποιεί τις ιδιότητες του θετικά ορισμένου, της τυποποίησης και της αριθμήσιμης προσθετικότητας. Αυτές ικανοποιούν το α. παραπάνω ενώ η τρίτη συνάδει και με το β. αφού εξαιτίας της οι κατανομές αποκτούν χρήσιμες αναλυτικές ιδιότητες.

Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ, εδώ, εδώ και εδώ.

Σύνοψη 2ης Διάλεξης (2019)

Fri, 15 Feb 2019 15:30:05 +0300

Ξεκινήσαμε το πρώτο μέρος του μαθήματος που άπτεται της εξέτασης βασικών εννοιών στην θεωρία πιθανοτήτων. Παρατηρήσαμε ότι το βασικό αντικείμενο της θεωρίας, δηλαδή η κατανομή πιθανότητας (δείτε και εδώ) μπορεί σε αδρες γραμμές να περιγραφεί ως μηχανισμός απόδοσης μεγέθους (ή ισοδύναμα μέτρησης) σε "κομμάτια" δεδομένου συνόλου, δηλαδή ως συνολοσυνάρτηση με πεδίο ορισμού κατάλληλη συλλογή από σύνολα, που ικανοποιεί ιδιότητες σχετικές με διαδικασίες μέτρησης.

στην έννοια του δυναμοσυνόλου, ως την συλλογή από όλα τα δυνατά υποσύνολα δεδομένου συνόλου αναφοράς. Παρατηρήσαμε ότι η "πολυπλοκότητα" αυτής της συλλογής αυξάνεται με το πλήθος των στοιχείων του συνόλου αναφοράς.
Στην έννοια της πληθικότητας ενός συνόλου, παρατηρώντας ότι τα πεπερασμένα σύνολα αλλά και κάποια απεριροσύνολα όπως οι φυσικοί, έχουν μικρό (ή αλλιώς αριθμήσιμο) πλήθος στοιχείων, συγκρινόμενα με απειροσύνολα όπως οι πραγματικοί.
Στις συνολοθεωρητικές πράξεις όπως η ένωση, η τομή και η διαφορά, στο πως είναι δυνατόν αυτές να παράγουν την έννοια του συμπληρώματος. Kαταλήξαμε στην ταυτότητα , που ισχύει για οποιαδήποτε Α,Β υποσύνολα του συνόλου αναφοράς, και χρησιμέυει στο να παραγοντοποεί το Α ως ένωση ξένων μεταξύ τους "κομματιών", και συνεπώς μπορεί να είναι επιβοηθητική σε διαδικασίες μέτρησης.

Σύνοψη 1ης Διάλεξης (2019)

Fri, 15 Feb 2019 14:51:02 +0300

Σκοπός του μαθήματος είναι η περαιτέρω αυστηρή μαθηματική θεμελίωση εννοιών της θεωρίας πιθανοτήτων και διαδικασιών στατιστικής επαγωγής. Παιδαγωγικά μέσω της εν λόγω θεμελίωσης γίνεται ευχερής η ορισμός, η επέκταση και η κατανόηση των ιδιοτήτων περισσότερο περίπλοκων διαδικασιών όπως αυτές που θα συναντηθούν στα μετέπειτα μαθήματα της Οικονομετρίας.

Συνδυάστε τα παραπάνω με την ανάρτημένη σύνοψη του μαθήματος.

Διορθώσεις Δύο Τυπογραφικών Λαθών στις Σημειώσεις: "Τυχαίες Μεταβλητές και Κατανομές από Μεταφορά "

Mon, 28 May 2018 01:34:31 +0300

Κατόπιν υπόδειξης συναδέλφου σας επισημαίνονται και διορθώνονται στο φυλλάδιο "Τυχαίες Μεταβλητές και Κατανομές από Μεταφορά" τα παρακάτω τυπογραφικά λάθη:

A. σελ. 1, (2 §) "Ορίσαμε την τυχαία μεταβλητή ως μια πραγματική συνάρτηση η δημιουργεί ...",

Διόρθωση: "Ορίσαμε την τυχαία μεταβλητή ως μια πραγματική συνάρτηση η οποία δημιουργεί ...".

B. σελ. 2, (1 §) "Δηλαδή η ύπαρξη μη μετρήσιμων συνόλων συνεάγεται την...",

Διόρθωση: "Δηλαδή η ύπαρξη μη μετρήσιμων συνόλων συνεπάγεται την...".

Σύνοψη Διαλέξεων 23ης-25ης

Sat, 26 May 2018 03:21:32 +0300

Συνεχίσαμε τους υπολογισμούς που αφορούσαν σε ροπές, εξετάζοντας παραδείγματα κανονικών κατανομών όπως και το παράδειγμα της τυπικής κατανομής Cauchy, για την οποία δείξαμε ότι δεν υπάρχει καμμία ροπή πέραν αυτής της μηδενικής τάξης. Για το τελευταίο ήταν αρκετό να δείξουμε ότι δεν υπάρχει ως πραγματικός αριθμός η απόλυτη ροπή πρώτης τάξης (γιατί;). Στα παραδείγματα που αφορούσαν στην οικογένεια των κανονικών κατανομών παρατηρήσαμε ότι οι υπολογισμοί είναι δυνατόν να ενέχουν πολλές πράξεις, ότι αυτοί διευκολύνονται από τον υπολογισμό κατάλληλων ολοκληρωμάτων ως προς την τυπική κανονική κατανομή και ότι αναδεικνύονται σχέσεις μεταξύ ροπών διαφορετικής τάξης. Επίσης διακρίναμε στο παράδειγμα της τυπικής κανονικής κατανομής την διαφορά μεταξύ ροπών και απολύτων ροπών ίδιας περιττής τάξης. Σημειώσεις για αυτά μπορείτε να βρείτε εδώ.

Έχοντας ως κίνητρο τα ζητήματα της διατύπωσης ικανών και αναγκάιων συνθηκών για την αναπαράσταση κατανομής ως από τις ροπές της, και του κόστους υπολογισμού των ροπών μέσω του ορισμού, ασχοληθήκαμε με την έννοια της ροπογεννήτριας συνάρτησης κατανομής. Διατυπώσαμε κριτήριο καλώς ορισμένου αυτής που αφορά στην ύπαρξη του οριστικού της ολοκληρώματος για κάθε τιμή του ορίσματος τουλάχιστον σε ανοικτό διάστημα με κέντρο το μηδέν, όπως και το θεώρημα ότι ανν αυτή είναι καλώς ορισμένη, τότε αυτή αναπαριστά την κατανομή, οι ροπές κάθε τάξης υπάρχουν ΚΑΙ αναπαριστούν την κατανομή, και η ροπή όποιας τάξης μπορεί να υπολογιστεί ως η ανάλογης τάξης παράγωγος της ροπογεννήτριας στο μηδέν. Κάναμε τους σχετικούς υπολογισμούς στα πλαίσια παραδειγμάτων μας, τους συσχετίσαμε με τα παραπάνω, και είδαμε ότι σε κάποιες τουλάχιστον περιπτώσεις η καλώς ορισμένη ροπογεννήτρια είναι πιο "εύχρηστη" στον υπολογισμό ροπών σε σχέση με τον ορισμό αυτών. Παρατηρήσαμε επίσης ότι οι σχέσεις μεταξύ ροπών διαφορετικής τάξης που είδαμε σε προηγούμενους υπολογισμούς ροπών προκύπτουν από την σχέση μεταξύ των παραγώγων διαφορετικής τάξης της ροπογεννήτριας στο μηδέν. Στο παράδειγμα της τυπικής κατανομής Cauchy παρατηρήσαμε ότι η ροπογεννήτρια δεν είναι καλώς ορισμένη οπότε σύμφωνα με το θεώρημα οι ροπές δεν είναι δυνατόν να αναπαριστούν την κατανομή (στο εν λόγω παράδειγμα επειδή κάποιες από αυτές δεν υπάρχουν). Αναφερθήκαμε και σε παράδειγμα κατανομής για την οποία παρόλο που υπάρχουν οι ροπές κάθε τάξης, η ροπογεννήτρια δεν είναι καλως ορισμένη οπότε βάσει του θεωρήματος μας οι ροπές δεν αναπαριστούν την κατανομή (επειδή σε αυτό το παράδειγμα η ροπή κ-τάξης καθώς το κ μεγαλώνει δεν συμπεριφέρεται κατάλληλα ώστε η ροπογεννήτρια να γίνεται καλώς ορισμένη-αν ενδιαφέρεστε δείτε το παράδειγμα της λογαριθμο-κανονικής κατανομής). Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Σύνοψη 8ου Φροντιστηρίου

Fri, 25 May 2018 19:54:05 +0300

Στο 8ο φροντιστήριο ορίσαμε την ροπογεννήτρια συνάρτηση μίας τυχαίας(συνεχούς ή διακριτής) μεταβλητής Χ και διαπιστώσαμε ότι μπορεί να μην ορίζεται για κάθε t. Η χρησιμότητά της ροπογεννήτριας συνάρτησης έγκειται στο γεγονός ότι μπορούμε να υπολογίσουμε την ροπή k-τάξης, απλά και μόνο παραγωγίζοντάς τη k-φορές και θέτωντας στη συνέχεια t=0. Αυτή η διαδικασία υπολογισμού ροπών είναι ως επί το πλείστον πιο απλή από την ολοκλήρωση(όπως είδαμε σε προηγούμενο φροντιστήριο). Εξαίρεση αποτελεί η ομοιόμορφη κατανομή που, όπως είδαμε, εμφανίζει πλήθος απροσδιοριστιών και χρειάζεται να χρησιμοποιήσουμε πολλαπλές φορές τον κανόνα De L'Hospital. Ακολούθως, ορίσαμε την ροπογεννήτρια συνάρτηση για την κατανομή Gamma(Gamma(a,b)), την κανονική κατανομή (μ,σ^2), την εκθετική(α^x) και την ομοιόμορφη(unif[a,b]).

Σημειώσεις μπορείτε να βρείτε παρακάτω:

Περαιτέρω Έννοιες Στην Θεωρία Των Ροπών: Ροπογεννήτρια Συνάρτηση

Ομάδα Ασκήσεων 5

Φροντιστήριο 8

Σύνοψη 7ου Φροντιστηρίου

Sun, 20 May 2018 08:50:10 +0300

Στο 7ο φροντιστήριο εστιάσαμε στην έννοια των ροπών και είδαμε τις ιδιότητες που πρέπει να ικανοποιούνται έτσι ώστε η ροπή κ-τάξης να είναι καλώς ορισμένη. Ακολούθως, υπολογίσαμε τις ροπές 1ης και 2ης τάξης για ένα πλήθος κατανομών όπως, εκθετική, Γάμμα, Weibull, κ.α.

Σημειώσεις μπορείτε να βρείτε στους παρακάτω συνδέσμους,

Κατανομές Στους Πραγματικούς: Ολοκλήρωση και Ροπές

Περαιτέρω Παραδείγματα Υπολογισμού Ροπών

Φροντιστήριο 7

Σύνοψη 22ης Διάλεξης (2018)

Sat, 19 May 2018 01:49:07 +0300

Συνεχίσαμε με περαιτέρω παραδείγματα υπολογισμού και σχετικού σχολιασμού αναφορικά με ροπές σε διάφορες περιπτώσεις κατανομών πιθανότητας. Παρατηρήσαμε, π.χ. στο παράδειγμα των εκθετικών κατανομών ότι είναι δυνατόν να υπάρχει σύνδεση μεταξύ ροπών διαφορετικής τάξης μέσω αναδρομικών σχέσεων. Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Σύνοψη 6ου Φροντιστηρίου

Sun, 13 May 2018 11:34:17 +0300

Στο τελευταίο φροντιστήριο ασχοληθήκαμε με την έννοια της συνάρτησης πυκνότητας μιας κατανομής και προσδιορίσαμε τις αναγκαίες συνθήκες προκειμένου η f(probability density function, pdf) να υπάρχει (Θεώρημα Ύπαρξης) και να χαρακτηρίζεται (Θεώρημα Χαρακτηρισμού). Ακολούθως, εφαρμόσαμε τις παραπάνω έννοιες σε συγκεκριμένα παραδείγματα.

Για περισσότερες πληροφορίες, ακολουθείστε τους παρακάτω συνδέσμους:
Κατανομές Πιθανότητας στους Πραγματικούς- Συνάρτηση Πυκνότητας
Ομάδα Ασκήσεων 3 (2018)
και στις σημειώσεις των διαλέξεων/φροντιστηρίων
Φροντιστήριο 6

Σύνοψη Διαλέξεων 20ης-21ης (2018)

Sat, 12 May 2018 23:54:18 +0300

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με την έννοια των ροπών κατανομής πιθανότητας δίνοντας σχόλια και ιδιότητες που αφορούν ανάμεσα στα άλλα σε ζητήματα ύπαρξης, σχέσης των δύο εκδοχών, αναπαράστασης ιδιοτήτων της κατανομής από αυτές. Ασχοληθήκαμε με την ερμηνεία και την απόδειξη της ανισότητας του Markov. Συνεχίσαμε με περαιτέρω παραδείγματα υπολογισμού και σχετικού σχολιασμού αναφορικά με ροπές σε διάφορες περιπτώσεις κατανομών πιθανότητας. Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Σύνοψη 19ης Διάλεξης

Sun, 06 May 2018 20:27:27 +0300

Δεδομένης της έννοιας της ολοκλήρωσης ασχοληθήκαμε με την έννοια των ροπών κατανομής πιθανότητας, δίνοντας καταρχάς τους σχετικούς ορισμού. Σημειώσεις για αυτό μπορείτε να βρείτε εδώ.

Άσκηση

Να βρεθεί το ολοκλήρωμα της εκθετικής συνάρτησης ως προς αυθαίρετη κανονική κατανομή.

Σύνοψη Διαλέξεων 17ης-18ης (2018)

Sat, 28 Apr 2018 23:31:25 +0300

Συνεχίσαμε με περαιτέρω παραδείγματα κατανομών που έχουν συναρτήσεις πυκνότητας. Έτσι π.χ. στα πλαίσια του παραδείγματος της εκθετικής κατανομής και εξαιτίας της μη παραγωγισιμότητας της αθροιστικής στο 0, προέκυψε η μη μοναδικότητα της συνάρτησης πυκνότητας. Παρατηρήσαμε ότι η συμβατική εκδοχή της συνάρτησης πυκνότητας είναι και η μοναδική για την οποία έχουμε συνέχεια της πυκνότητας στο στήριγμα. Ανάλογους συλλογισμούς εξετάσαμε στα πλαίσια του παραδείγματος της ομοιόμορφης κατανομής. Τέλος ορίσαμε ένα ακόμη παράδειγμα κατανομής μέσω αυτή την φορά της σχετικής συνάρτησης πυκνότητας. Πρόκειται για το παράδειγμα της τυπικής κατανομής Cauchy. Σημειώσεις για αυτά μπορείτε να βρείτε εδώ.

Στην συνέχεια, ξεκινήσαμε την (αναγκαστικά ελλειπή) μελέτη της αναπαράστασης κατανομής πιθανότητας στους προγματικούς ως διαδικασίας ολοκλήρωσης κατάλληλων συναρτήσεων, παραθέσαμε ορισμούς και ιδιότητες και ασχοληθήκαμε με υπολογισμούς σε διάφορα παραδείγματα. Σημειώσεις για αυτά μπορείτε να βρείτε εδώ. Και για αυτή την έννοια, ισχύει ότι για την πλήρη κατανόηση της απαιτεί την έννοια ολοκλήρωσης κατά Lebesgue-Stieljes από την μαθηματική ανάλυση οι οποία δεν μας είναι επίσης διαθέσιμη και προφανώς βρίσκεται εκτός του εύρους του μαθήματος.

Ασκήσεις:

2. Στο παράδειγμα της τυπικής κατανομής Cauchy να δειχθεί ότι η συνάρτηση πυκνότητας που μας δόθηκε στα πλαίσια του ορισμού της κατανομής είναι καλώς ορισμένη.

Σύνοψη 5ου Φροντιστηρίου

Sat, 28 Apr 2018 17:44:53 +0300

Στο 5ο φροντιστήριο διακρίναμε τις τρεις κατηγορίες κατανομών, ανάλογα με το στήριγμά τους:
α.Διακριτές,
β.Συνεχείς,
γ.Μεικτές
Επιπροσθέτως, ακολουθήσαμε συγκεκριμένη μεθοδολογία προκειμένου να αποδείξουμε ότι, η εκάστοτε αθροιστική κατανομή F(x), που μας δίνεται, είναι πράγματι αθροιστική και ορίζει καλώς την κατανομή πιθανότητας P(x) στο R.
Τέλος, σχεδιάσαμε τα γραφήματα για κάθε μία από τις κατανομές που εξετάσαμε.
Για περισσότερες πληροφορίες, μπορείτε να ανατρέξετε στις σημειώσεις του μαθήματος, του φροντιστηρίου και στους παρακάτω συνδέσμους.

Κατανομές Πιθανότητας στους Πραγματικούς
Κατανομές Πιθανότητας στους Πραγματικούς - Αθροιστική Συνάρτηση
Παραδείγματα
Φροντιστήριο 5

Σύνοψη Διαλέξεων 15ης-16ης (2018)

Sat, 21 Apr 2018 22:51:09 +0300

Συνεχίσαμε την εξέταση του παραδείγματος της οικογένειας των κανονικών κατανομών. Μέσω αυτού του παραδείγματος παρατηρήσαμε ότι υπάρχει περίπτωση η αθροιστική συνάρτηση να έχει την μορφή κατάλληλου ολοκληρώματος, και χρησιμοποιώντας το ολοκλήρωμα του Gauss, και (κάπως καταχρηστικά) τον κανόνα παραγώγισης του Leibniz, δείξαμε το καλώς ορισμένο αυτής. Σημειώσεις για το εν λόγω παράδειγμα μπορείτε να βρείτε εδώ.

Μέσω αυτής της παρατήρησης οδηγηθήκαμε στην έννοια της συνάρτησης πυκνότητας κατανομής πιθανότητας στους πραγματικούς, οπότε ξεκινήσαμε την μελέτη της και αναλύσαμε ιδιότητες και παραδείγματα. Σημειώσεις για αυτά μπορείτε να βρείτε εδώ. Έτσι προέκυψε μια ακόμη αναπαράσταση κατανομής πιθανότητας, η οποία όμως βασίζεται στην προαναφερθείσα έννοια και αυτή είναι δυνατόν να μην υπάρχει σε κάποιες περιπτώσεις, ενώ σε άλλες να μην είναι μοναδική, σε αντιδιαστολή με την αθροιστική συνάρτηση που υπάρχει και είναι μοναδική σε κάθε περίπτωση.

Άσκηση. Χρησιμοποιώντας την έννοια της συνάρτησης τόξο εφαπτομένη (τοξεφ-arctan)-δείτε εδώ, να δείξετε ότι η συνάρτηση

Σύνοψη 4ου Φροντιστηρίου

Fri, 20 Apr 2018 19:06:29 +0300

Στο 4ο φροντιστήριο του μαθήματος μιλήσαμε γενικά για την μορφή της Διωνυμικής Κατανομής(Binomial), είδαμε πως μπορούμε(παράδειγμα) να υπολογίσουμε απλές πιθανότητες χρησιμοποιώντας τον τύπο της και εξηγάγαμε την αθροιστική(CDF) της κατανομής. Επιπρόσθετα, μας δόθηκε κατανομή Poisson, τυχαία μεταβλητή Χ1(z)=-z και επιτυχώς υπολογίσαμε

α. το στήριγμά της,
β. τη συνάρτηση πιθανότητάς της και
γ. την αθροιστική συνάρτηση κατανομής πιθανότητας που προκύπτει από τη μεταφορά της P μέσω της συνάρτησης Χ1.

Σας ζητήθηκε(ως άσκηση) να υπολογίσετε τα παραπάνω για την τυχαία μεταβλητή Χ2(z)=z^2.
Για περισσότερες πληροφορίες μπορείτε να ανατρέξετε στις σημειώσεις του φροντιστηρίου και στους παρακάτω συνδέσμους.

Κατανομές Πιθανότητας Στους Πραγματικούς - Αθροιστική Συνάρτηση
Φροντιστήρια 3 και 4
Φροντιστήριο 4

Σύνοψη 3ου Φροντιστηρίου

Sun, 01 Apr 2018 16:15:07 +0300

Στο 3ο φροντιστήριο, ορίσαμε την αθροιστική συνάρτηση, είδαμε τις ιδιότητές της και πως μπορούμε να υπολογίσουμε πιθανότητες για τις παρακάτω κατανομές: εκφυλισμένη στο R, Bernoulli και Poisson. Περισσότερες πληροφορίες μπορείτε να βρείτε στους παρακάτω συνδέσμους:

Αθροιστική Κατανομή
Επισήμανση τυπογραφικού λάθους φροντιστήριο 3
Φροντιστήριο 3

Σύνοψη 1ου και 2ου Φροντιστηρίου

Sun, 01 Apr 2018 15:59:22 +0300

Σύνοψη 1^ου Φροντιστηρίου

Στο 1ο φροντιστήριο είδαμε κάποια βασικά στοιχεία θεωρίας πιθανοτήτων, όπως ο χώρος πιθανότητας, ο μετρήσιμος χώρος και η κατανομή πιθανότητας. Βασιζόμενοι σε αυτές τις έννοιες, αποδείξαμε κάποια από τα βασικά πορίσματα και είδαμε έμπρακτα πώς αυτά εφαρμόνται σε κάποιες κατανομές, π.χ. εκφυλισμένη κατανομή κ.α.

Ακολούθως ορίσαμε την Τυχαία Μεταβλητή και τις προϋποθέσεις κάτω από τις οποίες μία μεταβλητή μπορεί να θεωρηθεί τυχαία. Συνεπώς, η έννοια της τυχαίας μεταβλητής είσαγαγε στο προσκήνιο και την έννοια της αντίστροφης εικόνας, την οποία και εξηγήσαμε ενδελεχώς βάσει παραδειγμάτων και κάναμε τη σύνδεση μεταξύ τυχαίων μεταβλητών και κατανομών από μεταφορά και προσδιορίσαμε μονοσήμαντα μία τέτοια κατανομή στο R. Τέλος, λύσαμε την άσκηση του 1^ου φροντιστηρίου.

Για περισσότερες λεπτομέρειες, μπορείτε να ανατρέξετε στις σημειώσεις σας από τις διαλέξεις και τα φροντίστηρια και στους ακόλουθους συνδέσμους:

Κατανομές Πιθανότητας: Ορισμός και Ιδιότητες

Τυχαίες Μεταβλητές και Κατανομές από Μεταφορά και Ασκήσεις

Σύνοψη 2ης Διάλεξης και Ασκήσεις

Ομάδα Ασκήσεων 1

Φροντιστήριο 1 - Άσκηση

Διαφάνειες 1ου Φροντιστηρίου

Φροντιστήριο 1

Σύνοψη 2^ου Φροντιστηρίου

Στο 2ο φροντιστήριο είδαμε την έννοια του στηρίγματος και γιατί μας είναι χρήσιμο στην περιγραφή μιας διακριτής κατανομής στο R. Ακόμη, μελετήσαμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες μία διακριτή κατανομή είναι καλώς ορισμένη στο R, και λύσαμε παραδείγματα διακριτών κατανομών στο R, όπως εκφυλισμένη κατανομή στο R, κατανομή Bernoulli, διωνυμική κατανομή και κατανομή Poisson. Τέλος, λύσαμε την άσκηση του δεύτερου φροντιστηρίου.

Για περισσότερες λεπτομέρειες, μπορείτε να ανατρέξετε στους παρακάτω συνδέσμους:

Κατανομές Πιθανότητας στους Πραγματικούς, η έννοια του στηρίγματος, διακριτές κατανομές

Διαφάνεις 2ου Φροντιστηρίου

Ομάδα Ασκήσεων 2

Φροντιστήριο 2 - Άσκηση

Φροντιστήριο 2

Σύνοψη Διαλέξεων 13ης-14ης (2018)

Sat, 31 Mar 2018 19:07:36 +0300

Δεδομένου ότι από τα προηγούμενα έγινε σαφές ότι μπορούμε να ορίζουμε κατανομές πιθανότητας στους πραγματικούς ορίζοντας τις σχετικές αθροιστικές συναρτήσεις, περιγράψαμε περαιτέρω παραδείγματα κατανομών πιθανότητας στους πραγματικούς. Τα παραδείγματα αυτά αφορούν σε κατανομές όπως η ομοιόμορφη, η εκθετική και η κανονική και σε κάθε ένα από αυτά ελέγξαμε το αν η εκάστοτε δεδομένη ως αθροιστική συνάρτηση είναι καλώς ορισμένη.

Πρόχειρες σημειώσεις για αυτά μπορείτε να βρείτε εδώ.

Μέσω των παραδείγματων παρατηρήσαμε ανάμεσα στα άλλα:

Eίναι δυνατόν μια κατανομή να αποδίδει μηδενική πιθανότητα σε μονοσύνολο που αποτελείται από κάποιο στοιχείο του στηρίγματός της (αυτό είναι δυνατόν να συμβαίνει σε κάθε μονοσύνολο που αποτελείται από όποιο στοιχείο του στηρίγματος, όπως δείχνουν τα παραδείγματα της ομοιόμορφης, της εκθετικής και της κανονικής κατανομής). Προφανώς κάτι τέτοιο είναι αδύνατον για διακριτές κατανομές (γιατί;).
Ο ορισμός που έχουμε υιοθετήσει για το πότε μια κατανομή θεωρείται συνεχής, αφορά στην "τοπολογική" μορφή του supp και όχι στο αν η αθροιστική της είναι συνεχής συνάρτηση. Έτσι, π.χ. είδαμε παράδειγμα συνεχούς κατανομής που έχει αθροιστική που εμφανίζει ασυνέχεια. Αναλόγως είδαμε παραδείγματα συνεχών κατανομών με συνεχείς αθροιστικές. Είναι δυνατόν να περιγραφούν και παραδείγματα μη συνεχών κατανομών που έχουν συνεχή αθροιστική (των οποίων το supp αναγκαστικά δεν μπορεί να έχει διακριτό μέρος-γιατί;). Τέτοια παραδείγματα (όπως αυτό της κατανομής Cantor) εκφεύγουν του εύρους του μαθήματος.
Κατασκευάσαμε παράδειγμα όπου το στήριγμα είναι η ένωση ενός διακριτού υποσυνόλου των πραγματικών και ενός διαστήματος ξένου ως προς το προηγούμενο. Αυτό προφανώς είναι παράδειγμα κατανομής που δεν είναι ούτε διακριτή, ούτε συνεχής.
Οι αθροιστικές είναι δυνατόν να εξαρτώνται μονοσήμαντα από παραμέτρους, το οποίο σημαίνει ότι αν τις αντιληφθούμε ταυτόγχρονα και ως συναρτήσεις των παραμέτρων τότε περιγράφουν ολόκληρες σχετικές οικογένειες από κατανομές.
Χωρίς ιδιαίτερη αυστηρότητα παρατηρήσαμε ότι κάποιες κατανομές είναι δυνατόν να προκύπτουν "ως οριακές περιπτώσεις" άλλων παίρνοντας κατά σημείο (δηλ. για κάθε x) όρια στις ανάλογες αθροιστικές ως προς τις παραμέτρους από τις οποίες αυτές είναι δυνατόν να εξαρτώνται.
Στο παράδειγμα της κανονικής κατανομής (που δεν ολοκληρώσαμε ακόμη) παρατηρήσαμε ότι η αθροιστική έχει την μορφή ολοκληρώματος. Προκειμένου να δείξουμε το αν αυτή είναι καταρχάς καλώς ορισμένη ως πραγματική συνάρτηση (δηλ. το αν το ολοκλήρωμα συγκλίνει για κάθε τιμή του x) χρησιμοποιήσαμε το ολοκλήρωμα του Gauss.

Ασκήσεις:

Να κατασκευαστεί κατανομή με στήριγμα της μορφής [α,β] όπου η αθροιστική εμφανίζει ασυνέχειες στα α και β.
Να κατασκευαστεί κατανομή με στήριγμα της μορφής [α,β] όπου η αθροιστική εμφανίζει ασυνέχειες σε δύο αυθαίρετα σημεία του στηρίγματος.
Για γ<δ<α<β, να κατασκευαστεί κατανομή με στήριγμα το .
Για γ<α<β<δ, να κατασκευαστεί κατανομή με στήριγμα το .

Σύνοψη Διαλέξεων 11ης-12ης (2018)

Sat, 24 Mar 2018 23:50:51 +0300

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας εξάγωντας (όχι εξαντλητικά και χωρίς ιδιαίτερη σχολαστικότητα) περαιτέρω ιδιότητες που είναι δυνατόν να έχει η αθροιστική συνάρτηση και οι οποίες προφανώς θα αντανακλούν πιστά σχετικές ιδιότητες της κατανομής. Έτσι π.χ. είδαμε ότι η αθροιστική θα είναι ασυνεχής σε σημείο ανν η κατανομή αποδίδει αυστηρά θετική πιθανότητα στο σύνολο που αποτελείται από αυτό το μεμονωμένο σημείο. Αυτό μας οδήγησε στο συμπέρασμα ότι η συνάρτηση θα είναι αναγκαστικά συνεχής εκτός του στηρίγματος, ενώ αν έχει ασυνέχειες αυτές θα έχουν την μορφή θετικού άλματος και θα εντοπίζονται αναγκαστικά σε στοιχεία του στηρίγματος. Επίσης είδαμε ότι η αθροιστική θα είναι γνησίως αύξουσα στο στήριγμα και κατά τμήματα σταθερή εκτός του στηρίγματος. Έτσι π.χ. αν η κατανομή είναι διακριτή τότε αναγκαστικά η αθροιστική αυτής θα έχει ασυνέχειες που θα εντοπίζονται σε διακριτό υποσύνολο των πραγματικών που ταυτίζεται με το στήριγμα, ενώ θα παραμένει τμηματικά σταθερή όπου αλλού. Παρατηρήσαμε (χωρίς να δωθούν οι σχετικές λεπτομέρειες) ότι τέτοιου είδους ιδιότητες είναι δυνατόν να μας βοηθούν να βρίσκουμε π.χ. το στήριγμα της κατανομής μέσω της αθροιστικής (αρκεί να βρούμε το μεγαλύτερο υποσύνολο των πραγματικών στο οποίο όταν περιοριστεί η αθροιστική είναι γνησίως μονότονη και το οποίο έχει ταυτόγχρονα και την οριστική ιδιότητα του στηρίγματος).

Δεδομένου του θεωρήματος χαρακτηρισμού γνωρίζουμε ότι θα πρέπει να μπορούμε να υπολογίζουμε τις πιθανότητες που αποδίδει η αθροιστική . Έτσι είδαμε βασικά παραδείγματα του πως είναι δυνατόν να υπολογίζουμε μέσω της αθροιστικής την πιθανότητα που η κατανομή αποδίδει μετρήσιμα υποσύνολα των πραγματικών όταν αυτά έχουν διάφορες μορφές.

Από τα παραπάνω μας έγινε σαφές ότι είναι δυνατόν να ορίζουμε κατανομές πιθανότητας στους πραγματικούς ορίζοντας απλώς τις σχετικές αθροιστικές συναρτήσεις.

Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Άσκηση. Έστω P κατανομή πιθανότητας με αθροιστική την F. Να εκφρασθεί μέσω της F η πιθανότητα που η P αποδίδει στα εξής:

Σύνοψη Διαλέξεων 9ης-10ης (2018)

Sun, 18 Mar 2018 01:19:23 +0300

Συνεχίζοντας την ενασχόληση μας με τις διακριτές κατανομές, και χρησιμοποιώντας τις σχετικές διότητες, παρατηρήσαμε ότι για την περιγραφή τους αρκεί να δοθεί το στήριγμα και η πιθανότητα που αποδίδεται στα μονοσύνολα που αποτελούνται από τα στοιχεία του στηρίγματος. Κάθε τέτοια περιγραφή θα αποδίδει μια καλώς ορισμένη διακριτή κατανομή εφόσον το δεδομένο στήριγμα είναι διακριτό, κάθε μία από τις παραπάνω πιθανότητες είναι αυστηρά θετική και η πιθανότητα που αποδίδεται στο δεδομένο στήριγμα ισούται με ένα. Δεδομένων αυτών ασχοληθήκαμε με την εξέταση παραδειγμάτων (οικογενειών) διακριτών κατανομών. Τα παραδείγματά μας αφορούσαν στις εκφυλισμένες κατανομές, στις κατανομές Bernoulli, στις διωνυμικές κατανομές και στις κατανομές Poisson. Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Στην συνέχεια, και ξεκινώντας την προσπάθεια μας για αναπαράσταση όποιας κατανομής πιθανότητας στους πραγματικούς από κατάλληλες και οικείες έννοιες ώστε να αποφεύγεται ο δύσχρηστος ορισμός, ξεκινήσαμε την εξέταση της έννοιας της αθροιστικής συνάρτησης. Δεδομένου του ορισμού και του καλώς ορισμένου της έννοιας, αναφερθήκαμε σε σε απλά παραδείγματα, και σε θεώρημα που απαριθμεί τις χαρακτηριστικές της ιδιότητες, και δείχνει ότι η αθροιστική αναπαριστά την κατανομή της "τέλεια". Πρόχειρες σημειώσεις για τα όσα παραπάνω αναφέρονται στην έννοια της αθροιστικής συνάρτησης κατανομής πιθανότητας στους πραγματικούς, μπορείτε να βρείτε εδώ.

Σύνοψη Διαλέξεων 7ης-8ης (2018)

Sat, 10 Mar 2018 21:28:37 +0300

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με την έννοια της τυχαίας μεταβλητής και της κατανομής από μεταφορά εξετάζοντας περαιτέρω το παράδειγμα που αναπτύξαμε. Έτσι παρατηρήσαμε π.χ. ότι η κατανομή από μεταφορά εξαρτάται γενικά τόσο από την αρχική κατανομή όσο και από την τυχαία μεταβλητή μέσω των οποίων ορίζεται. Σχετικές πρόχειρες σημειώσεις μπορείτε να βρείτε εδώ.

Στο εν λόγω παράδειγμα παρατηρήσαμε ότι η κατανομή που προέκυψε από μεταφορά είναι "εύκολα περιγράψιμη" χωρίς την ανάγκη χρήσης επί της ουσίας νέων εννοιών πέρα του ορισμού. Αυτό επειδή η πιθανότητα που αυτή αποδίδει σε κάποιο μετρήσιμο υποσύνολο των πραγματικών εξαρτώταν μόνο από την τομή του τελευταίου με διακριτό υποσύνολο των πραγματικών, και από την πιθανότητα που η κατανομή αποδίδει στα μονοσύνολα που σχηματίζει κάθε ξεχωριστό στοιχείο αυτού του διακριτού συνόλου.

Δεδομένων των παραπάνω, ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με το ζήτημα της αναπαράστασης κατανομών στους πραγματικούς. Ορίσαμε την έννοια του στηρίγματος, και χρησιμοποιώντας την εξετάσαμε ορισμούς και ιδιότητες που αφορούν κατηγορία κατανομών στους πραγματικούς που είναι αναλόγως "εύκολα περιγράψιμες", τις λεγόμενες διακριτές κατανομές. Χρησιμοποιώντας αυτές τις ιδιότητες αμέσως μετά θα εξετάσουμε το πως μπορούμε να τις περιγράφουμε εύκολα και να ελέγχουμε το αν η περιγραφή που χρησιμοποιούμε αντιστοιχεί πράγματι σε σχετική κατανομή. Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Aσκήσεις

Στο παράδειγμα που εξετάσαμε και δεδομένης της P, πως πρέπει να τροποποιηθεί η Χ ώστε η P^{*} να έχει supp το {-1,3};
Στο ίδιο παράδειγμα και δεδομένης της αρχικής Χ, πως πρέπει να τροποποιηθεί η P ώστε να έχουμε P^{*}({0})=1/3 και P^{*}({1})=2/3;
Στο ίδιο παράδειγμα πως πρέπει να τροποποιηθούν οι P και Χ ώστε η P^{*} να έχει supp το {-1,3} και να έχουμε ότι P^{*}({-1})=1/3 και P^{*}({3})=2/3;

Σύνοψη Διαλέξεων 5ης-6ης (2018)

Sat, 03 Mar 2018 23:39:14 +0300

Συνεχίσαμε με την κατασκευή και ανάλυση παραδειγμάτων (και άντιπαραδειγμάτων) που καταρχάς εμπλέκουν πεπερασμένα σύνολα αναφοράς. Παρατηρήσαμε ότι όταν ένας μετρήσιμος χώρος είναι τετριμμένος (δηλαδή το Ω έχει μόνο ένα στοιχείο) τότε μόνο μία (εκφυλισμένη) κατανομή πιθανότητας είναι δυνατόν να ορίζεται σε αυτόν. Όταν έχει πάνω από ένα στοιχεία, τότε είναι δυνατόν να ορίζονται πολύ περισσότερες κατανομές πιθανότητας σε αυτόν. Εξαιτίας αυτού προκύπτει το στατιστικό πρόβλημα.

Παρατηρήσαμε επίσης ότι συλλογές από κατανομές πιθανότητας οριζόμενες στον ίδιο χώρο πιθανότητας είναι δυνατόν να βρίσκονται σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία με υποσύνολα Ευκλείδειων χώρων (π.χ. οι κατανομές που μπορούν να ορισθούν σε σύνολο αναφοράς με δύο στοιχεία, και η λίστα από τα μετρήσιμα υποσύνολα περιλαμβάνει όλα τα υποσύνολα του συνόλου αναφοράς, περιγράφονται συνολικά από παράμετρο με τιμές στο [0,1], ή σε ένα πιο περίπλοκο παράδειγμα, η συλλογή βρίσκεται σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία με το ). Αυτό είναι δυνατόν να διευκολύνει τον σχεδιασμό διαδιακασιών στατιστικής επαγωγής, καθώς σε περιπτώσεις που η ανάλογη κατανομή γνωρίζουμε ότι βρίσκεται στην σχετική οικογένεια, τότε η εύρεση της είναι δυνατόν να μπορεί να αναχθεί στον εντοπισμό της ανάλογης τιμής της σχετικής παραμέτρου. Οπότε η σχετική αναζήτηση είναι δυνατόν να διευκολύνεται από "οικείες" έννοιες για τον εντοπισμό τέτοιων τιμών, όπως π.χ. η επίλυση εξισώσεων, η βελτιστοποίηση συναρτήσεων, κ.ο.κ.

Εξετάζοντας το παράδειγμα της πραγματικής ευθείας, παρατηρήσαμε ότι όταν η συλλογή από τα σχετικά μετρήσιμα υποσύνολα είναι "περίπλοκη" τότε είναι δυσχερής ο ορισμός για την περιγραφή κατανομής πιθανότητας. Επομένως μας χρειάζονται έννοιες που είναι δυνατόν να αναπαριστούν μια κατανομή αποφεύγοντας τον ορισμό, και οι οποίες είναι επίσης "οικείες" (π.χ. συναρτήσεις από το στο ) και "εύχρηστες". Προκύπτει επίσης το ερώτημα του πως είναι δυνατόν οι ιδιότητες της κατανομής να αντανακλώνται σε τυχόν "οικείες αναλυτικές" ιδιότητες όποιας τέτοιας αναπαράστασης. Θα ασχοληθούμε με αυτά τα ερωτήματα σε σημαντικό μέρος του μαθήματος.

Πρόχειρες σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Προτού μεταφέρουμε την ανάλυση μας στους πραγματικούς, ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με την έννοια της τυχαίας μεταβλητής (ή γενικότερα μετρήσιμης συνάρτησης) και του πως μια τυχαία μεταβλητή μεταφέρει μια κατανομή πιθανότητας στους πραγματικούς. Η οριστική ιδιότητα που επιτρέπει κάτι τέτοιο αφορά στο ότι η αντίστροφη εικόνα όποιου μετρήσιμου υποσυνόλου των πραγματικών μέσω της τυχαίας μεταβλητής είναι μετρήσιμο υποσύνολο του πεδίου ορισμού. Συνεπώς προκειμένου να κατανοήσουμε τον σχετικό ορισμό ασχοληθήκαμε γρήγορα με την έννοια της αντίστροφης εικόνας πραγματικής συνάρτησης (δείτε ενδεικτικά και εδώ ή/και την IV στην σελ. 11 εδώ-η έννοια είναι καλώς ορισμένη για κάθε συνάρτηση με όποιο πεδίο ορισμού). Δεδομένου αυτού είδαμε τον σχετικό ορισμό και κατασκευάσαμε παράδειγμα. Στην συνέχεια περιγράψαμε το πως είναι δυνατόν μια τυχαία μεταβλητή να μεταφέρει κατανομή πιθανότητας στους πραγματικούς εξαιτίας της σχετικής ιδιότητας της, και εξετάσαμε τον σχετικό ορισμό στα πλαίσια του παραπάνω παραδείγματος.

Πρόχειρες σημειώσεις για αυτό μπορείτε να βρείτε εδώ.

Σύνοψη Διαλέξεων 3ης-4ης (2018)

Sun, 25 Feb 2018 18:14:49 +0300

Ξεκινήσαμε παρατηρώντας ότι ως προς τις συνολοθεωρητικές ταυτότητες που είχαμε διατυπώσει και που αφορούσαν διαμερίσεις έχουμε ότι η τελευταία μπορεί να γραφεί και ως (γιατί;)

και είναι η γενικότερη από όλες καθώς οι υπόλοιπες αποτελούν υποπεριπτώσεις αυτής (γιατί;).

Δεδομένης της προηγούμενης κατασκευής μας για την έννοια του μετρήσιμου χώρου δώσαμε τον ορισμό της έννοιας της κατανομής ή μέτρου πιθανότητας επί του Ω, ως κατάλληλης πραγματικής συνάρτησης ορισμένης επί της συλλογής των μετρήσιμων υποσυνόλων του Ω. Υπενθυμίζουμε ότι ένας βασικός σκοπός μας είναι να κατανοήσουμε ανάμεσα στα άλλα το πόσο δυσχερής είναι δυνατόν να είναι η χρήση του ορισμού για την περιγραφή κατανομών όταν το Ω είναι "περίπλοκο" (π.χ. η πραγματική ευθεία) και να αναπτύξουμε ισοδύναμες έννοιςε που είναι ευκολότερα διαχειρίσιμες.

Χρησιμοποιώντας τις προαναφερθείσες ταυτότητες και τις ιδιότητες που προδιαγράφει ο ορισμός, ασχοληθήκαμε με την εξαγωγή ιδιοτήτων που θα έχει αναγκαστικά κάθε καλώς ορισμένη κατανομή. Αυτές μπορούμε να τις συλλάβουμε τόσο μέσω τις διαίσθησης μας για τις διαδικασίες μέτρησης αλλά και ως αλγεβρικούς μετασχηματισμούς, καθώς κάποιες από αυτές είναι δυνατόν να ερμηνευθούν ως ικανές συνθήκες υπό τις οποίες η εκάστοτε κατανομή μετασχηματίζει συνολοθεωρητικές πράξεις σε ”αντίστοιχες” πράξεις μεταξύ πραγματικών αριθμών. Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Ξεκινήσαμε την κατασκευή παραδειγμάτων και παρατηρήσαμε μέσω της ιδιότητας της ισότητας μεταξύ κατανομών, ότι όταν ένας μετρήσιμος χώρος είναι τετριμμένος (δηλαδή το Ω έχει μόνο ένα στοιχείο) τότε μόνο μία (εκφυλισμένη) κατανομή πιθανότητας είναι δυνατόν να ορίζεται σε αυτόν. Όταν έχει πάνω από ένα στοιχεία, τότε είναι δυνατόν να ορίζονται πολύ περισσότερες κατανομές πιθανότητας σε αυτόν.

Σύνοψη 2ης Διάλεξης (2018)

Sun, 18 Feb 2018 01:04:51 +0300

Ξεκινήσαμε το πρώτο μέρος του μαθήματος που άπτεται της εξέτασης βασικών εννοιών στην θεωρία πιθανοτήτων. Παρατηρήσαμε ότι το βασικό αντικείμενο της θεωρίας, δηλαδή η κατανομή πιθανότητας (δείτε και εδώ) είναι συνολοσυνάρτηση με πεδίο ορισμού κατάλληλη συλλογή από σύνολα που ικανοποιεί κάποιες ιδιότητες. Προκειμένου να καταλάβουμε το πως κατασκευάζεται αυτή η συλλογή και πως η έννοια της κατανομής "αλληλεπιδρά" με τις συνολοθεωρητικές πράξεις θυμηθήκαμε κάποιες βασικές έννοιες από την θεωρία συνόλων, σημειώσεις για τις οποίες και ασκήσεις μπορείτε να βρείτε εδώ (επίσης εδώ μπορείτε να βρείτε σημειώσεις σε έννοιες της συνολοθεωρίας οι οποίες όμως εκφεύγουν κατά πολύ του μαθήματος στην μεγαλύτερη έκταση τους). Μέσω αυτών περιγράψαμε την έννοια της σ-άλγεβρας ως του κατάλληλου πεδίου ορισμού και συνακόλουθα του μετρήσιμου χώρου. Σημειώσεις για αυτές μπορείτε να βρείτε εδώ. Δεδομένων αυτών θα μπορέσουμε στην συνέχεια να διατυπώσουμε τον ορισμό της κατανομής πιθανότητας, όπως και να τον παρακάμψουμε χρησιμοποιώντας πιο οικείες και εύχρηστες έννοιες.

Σύνοψη 1ης Διάλεξης (2018)

Sun, 18 Feb 2018 00:39:09 +0300

Σκοπός του μαθήματος είναι η περαιτέρω αυστηρή μαθηματική θεμελίωση εννοιών της θεωρίας πιθανοτήτων και διαδικασιών στατιστικής επαγωγής. Παιδαγωγικά μέσω της εν λόγω θεμελίωσης γίνεται ευχερής η ορισμός, η επέκταση και η κατανόηση των ιδιοτήτων περισσότερο περίπλοκων διαδικασιών όπως αυτές που θα συναντηθούν στα μετέπειτα μαθήματα της Οικονομετρίας.

Συνδυάστε τα παραπάνω με την ανάρτημένη σύνοψη του μαθήματος.

Σύνοψη Διαλέξεων 23ης-24ης (2016-17)

Thu, 01 Jun 2017 01:53:01 +0300

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με στοιχεία της θεωρίας πιθανοφάνειας στο περιορισμένο υπόβαθρο μας. Ασχοληθήκαμε με την ασυμπτωτική έννοια της (ασθενούς) συνέπειας εκτιμητή, την οποία και εξάγαμε στο πρώτο μας παράδειγμα χρησιμοποιώντας την αμεροληψία του εκτιμητή μέγιστης πιθανοφάνειας στο συγκεκριμένο παράδειγμα και την ανισότητα του Chebychev.

Εξετάσαμε περαιτέρω παραδείγματα σε κάποια εκ των οποίων ο εκτιμητής μέγιστης πιθανοφάνειας είναι μεροληπτικός, ενώ παρατηρήσαμε ότι η ιδιότητα της αμεροληψίας μπορεί να εξαρτάται και από τον τρόπο με τον οποίο παραμετράται το στατιστικό υπόδειγμα.

Εξετάσαμε και παράδειγμα στο οποίο ο παραμετρικός χώρος είναι διάστασης μεγαλύτερης του ένα, παρατηρώντας ότι στο εν λόγω παράδειγμα είναι σχετικά εύκολη η διόρθωση της μεροληψίας.

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Σύνοψη Διαλέξεων 21ης-22ης (2016-17)

Sat, 27 May 2017 15:41:12 +0300

Ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με "περιορισμένη" εκδοχή του στατιστικού προβλήματος. Στα πλαίσια αυτής της εκδοχής ασχοληθήκαμε με την έννοια του (παραμετρικού) στατιστικού υποδείγματος, η επιλογή του οποίου είναι κεφαλαιώδους σημασίας για την "ποιότητα" της στατιστικής επαγωγής. Στο περιορισμένο υπόβαθρο μας δεν μας απασχόλησε η επιλογή υποδείγματος καθώς αυτή γίνεται μονοσήμαντα αν θέλουμε το τελευταίο να είναι καλώς εξειδικευμένο και να αντανακλά πληρως την πληροφορία που έχουμε για την άγνωστη κατανομή. Στα πλαίσια της υπόθεσης μας του iid δειγματος, ορίσαμε την έννοια της συνάρτησης πιθανοφάνειας, ως συνάρτησης που αναπαριστά τττην δομή του στατιστικού υποδείγμτοςκαι του δείγματος, και συνακόλουθα του εκτιμητή μέγιστης πιθανοφάνειας ο οποίος προκύπτει μέσω της αρχής της αναλογίας. Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Φροντιστήρια 7 και 8

Wed, 24 May 2017 00:07:20 +0300

Στα τελευταία δύο φροντιστήρια, είδαμε πως μπορούμε να εξάγουμε τις 3 μορφές της συνάρτησης πιθανοφάνειας και τον εκτιμητή μέγιστης πιθανοφάνειας σε 3 παραδείγματα διακριτών κατανομών και σε ένα παράδειγμα συνεχούς κατανομής. Ακόμα, είδαμε ένα παράδειγμα μεροληπτικού εκτιμητή. Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Φροντιστήριο- Διάλεξη

Sat, 20 May 2017 14:11:03 +0300

Στη φροντιστηριακή διάλεξη της Τρίτης 16/05, συζητήσαμε για τις έννοιες της ανεξαρτησίας και της ομοιογένειας. Σημειώσεις μπορείτε να βρείτε εδώ.

Σύνοψη 19ης Διάλεξης (2016-17)

Fri, 19 May 2017 23:38:05 +0300

Σύνοψη διαλέξεων 17ης-18ης (2016-17)

Sat, 13 May 2017 20:05:17 +0300

Ασχοληθήκαμε με την ερμηνεία και την απόδειξη της ανισότητας του Markov. Συνεχίσαμε με περαιτέρω παραδείγματα υπολογισμού και σχετικού σχολιασμού αναφορικά με ροπές σε διάφορες περιπτώσεις κατανομών πιθανότητας. Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Σύνοψη 16ης Διάλεξης (2016-17)

Sat, 06 May 2017 17:55:03 +0300

Σχολιάσαμε το ζήτημα της αναπάραστασης κατανομής από τον κατάλογο που αποτελείται από την ολοκλήρωση ως προς αυτή κάθε σχετικής συνάρτησης, οπότε και αντιληφθήκαμε κάθε κατανομή πιθανότητας ως κάποιου είδους "διαδικασία ολοκλήρωσης" πραγματικών συναρτήσεων. Σημειώσεις και αυτό μπορείτε να βρείτε εδώ. Δεδομένης της έννοιας της ολοκλήρωσης ασχοληθήκαμε με την έννοια των ροπών κατανομής πιθανότητας, δίνοντας ορισμούς σχόλια και ιδιότητες. Σημειώσεις για αυτά μπορείτε να βρείτε εδώ.

Φροντιστήριο 5

Sat, 29 Apr 2017 17:03:15 +0300

Στο 5ο φροντήριο συζητήσαμε την έννοια της συνάρτησης πυκνότητας καθώς και την έννοια της ολοκλήρωσης μίας συνάρτησης ως προς κάποια κατανομή. Σημειώσεις μπορείτε να βρείτε εδώ

Φροντιστήρια 3 και 4

Sat, 29 Apr 2017 16:56:31 +0300

Στο 3ο και στο 4ο φροντιστήριο συζητήσαμε ζητήματα σχετικά με τον ορισμό, τη χρήση και την εύρεση της αθροιστικής συνάρτησης πιθανότητας. Σχετικές σημειώσεις μπορείτε να βρείτε εδώ

Σύνοψη Διαλέξεων 14ης-15ης (2016-17)

Fri, 28 Apr 2017 14:20:50 +0300

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με παραδείγματα συνάρτησης πυκνότητας. Σημειώσεις για αυτά μπορείτε να βρείτε εδώ.

Στην συνέχεια, ξεκινήσαμε την (αναγκαστικά ελλειπή) μελέτη της αναπαράστασης κατανομής πιθανότητας στους προγματικούς ως διαδικασίας ολοκλήρωσης κατάλληλων συναρτήσεων, παραθέσαμε ορισμούς και ιδιότητες και ασχοληθήκαμε με υπολογισμούς σε διάφορα παραδείγματα. Σημειώσεις για αυτά μπορείτε να βρείτε εδώ. Και για αυτή την έννοια, ισχύει ότι για την πλήρη κατανόηση της απαιτεί την έννοια ολοκλήρωσης κατά Lebesgue-Stieljes από την μαθηματική ανάλυση οι οποία δεν μας είναι επίσης διαθέσιμη και προφανώς βρίσκεται εκτός του εύρους του μαθήματος.

Σύνοψη Διαλέξεων 12ης-13ης (2016-17)

Sat, 08 Apr 2017 16:58:10 +0300

Εξετάσαμε το παράδειγμα της οικογένειας των κανονικών κατανομών. Μέσω αυτού του παραδείγματος παρατηρήσαμε ότι υπάρχει περίπτωση η αθροιστική να έχει την μορφή ολοκληρώματος. Σημειώσεις για το εν λόγω παράδειγμα μπορείτε να βρείτε εδώ. Μέσω αυτής της παρατήρησης οδηγηθήκαμε στην έννοια της συνάρτησης πυκνότητας κατανομής πιθανότητας στους πραγματικούς, οπότε ξεκινήσαμε την μελέτητης και είδαμε ιδιότητες και παραδείγματα. Σημειώσεις για αυτά μπορείτε να βρείτε εδώ. Έτσι προέκυψε μια ακόμη αναπαράσταση κατανομής πιθανότητας, η οποία όμως βασίζεται στην προαναφερθείσα έννοια και αυτή είναι δυνατόν να μην υπάρχει σε κάποιες περιπτώσεις, ενώ σε άλλες να μην είναι μοναδική, σε αντιδιαστολή με την αθροιστική συνάρτηση που υπάρχει και είναι μοναδική σε κάθε περίπτωση. Η πλήρης κατανόηση της έννοιας της συνάρτησης πυκνότητας, απαιτεί έννοιες από την μαθηματική ανάλυση οι οποίες δεν μας είναι διαθέσιμες όπως αυτή της απόλυτης συνέχειας ή αυτή της ολοκλήρωσης κατά Lebesgue, οι οποίες προφανώς βρίσκονται εκτός του εύρους του μαθήματος.

Σύνοψη Διαλέξεων 10ης-11ης (2016-17)

Fri, 31 Mar 2017 15:00:45 +0300

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με την έννοια της αθροιστικής και εξάγαμε ιδιότητες που προκύπτουν από τις τρεις χαρακτηριστικές ιδιότητες της, όπως π.χ. ότι η αθροιστική θα είναι ασυνεχής σε σημείο ανν η κατανομή αποδίδει αυστηρά θετική πιθανότητα στο σύνολο που αποτελείται από αυτό το μεμονωμένο σημείο, ή ότι αυτή είναι γνησίως αύξουσα στο στήριγμα και κατά τμήματα σταθερή εκτός του στηρίγματος. Είδαμε παραδείγματα του πως είναι δυνατόν να υπολογίζουμε μέσω της αθροιστικής την πιθανότητα που η κατανομή αποδίδει μετρήσιμα υποσύνολα των πραγματικών όταν αυτά 'εχουν διάφορες μορφές. Πρόχειρες σημειώσεις για αυτά μπορείτε να βρείτε εδώ.

Χρησιμοποιώντας την έννοια της αθροιστικής συνάρτησης περιγράψαμε περαιτέρω παραδείγματα κατανομών πιθανότητας στους πραγματικούς. Πρόχειρες σημειώσεις για αυτά μπορείτε να βρείτε εδώ. Μέσω των παραδείγματων αυτά, παρατηρήσαμε ανάμεσα στα άλλα:

Eίναι δυνατόν μια κατανομή να αποδίδει μηδενική πιθανότητα σε μονοσύνολο που αποτελείται από κάποιο στοιχείο του στηρίγματός της (αυτό είναι δυνατόν να συμβαίνει σε κάθε μονοσύνολο που αποτελείται από όποιο στοιχείο του στηρίγματος, όπως δείχνουν τα παραδείγματα της ομοιόμορφης, της εκθετικής και της κανονικής κατανομής). Προφανώς κάτι τέτοιο είναι αδύνατον για διακριτές κατανομές (γιατί;).
Ο ορισμός που έχουμε υιοθετήσει για το πότε μια κατανομή θεωρείται συνεχής, αφορά στην "τοπολογική" μορφή του supp και όχι στο αν η αθροιστική της είναι συνεχής συνάρτηση. Έτσι, π.χ. είδαμε παράδειγμα συνεχούς κατανομής που έχει αθροιστική που εμφανίζει ασυνέχεια. Αναλόγως είδαμε παραδείγματα συνεχών κατανομών με συνεχείς αθροιστικές.
Κατασκευάσαμε παράδειγμα όπου το στήριγμα είναι η ένωση ενός διακριτού υποσυνόλου των πραγματικών και ενός διαστήματος ξένου ως προς το προηγούμενο. Αυτό προφανώς είναι παράδειγμα κατανομής που δεν είναι ούτε διακριτή, ούτε συνεχής.
Χωρίς ιδιαίτερη αυστηρότητα παρατηρήσαμε ότι κάποιες κατανομές είναι δυνατόν να προκύπτουν "ως οριακές περιπτώσεις" άλλων παίρνοντας κατάλληλα όρια στις ανάλογες αθροιστικές.

Φροντιστήριο 2

Fri, 24 Mar 2017 17:31:24 +0300

Στο δεύτερο φροντιστήριο είδαμε πως μπορούμε να μεταφέρουμε την κατανομή Poisson μέσω μίας τυχαίας μεταβλητής, καθώς και παραδείγματα κατασκευής της αθροιστικής συνάρτησης πιθανότητας διακριτών κατανομών. Σημειώσεις μπορείτε να βρείτε εδώ.

Σύνοψη Διαλέξεων 8ης-9ης (2016-17)

Fri, 24 Mar 2017 16:31:40 +0300

Συνεχίζοντας την ενασχόληση μας με τις διακριτές κατανομές, εξετάσαμε το παράδειγμα κατανομής με στήριγμα το σύνολο των φυσικών, αναφερόμενοι στο παράδειγμα της κατανομής Poisson.

Στην συνέχεια, και στην προσπάθεια μας για αναπαράσταση όποιας κατανομής πιθανότητας στους πραγματικούς από κατάλληλες και οικείες έννοιες, ώστε να αποφεύγεται ο δύσχρηστος ορισμός, ξεκινήσαμε την εξέταση της έννοιας της αθροιστικής συνάρτησης. Αναφερθήκαμε σε θεώρημα που απαριθμεί τις χαρακτηριστικές της ιδιότητες, και δείχνει ότι η αθροιστική αναπαριστά την κατανομή της "τέλεια". Σκιαγραφήσαμε την απόδειξη των χαρακτηριστικών ιδιοτήτων. Πρόχειρες σημειώσεις για τα όσα παραπάνω αναφέρονται στην έννοια της αθροιστικής συνάρτησης κατανομής πιθανότητας στους πραγματικούς, μπορείτε να βρείτε εδώ.

Φροντιστήριο 1

Fri, 17 Mar 2017 17:20:24 +0300

Στο Φροντιστήριο 1 συζητήσαμε έννοιες όπως οι μετρήσιμοι χώροι, οι χώροι πιθανότητας, τα μέτρα πιθανότητας, οι τυχαίες μεταβλητές, τα μέτρα από μεταφορά, η αντίστροφη εικόνα και το στήριγμα. Σημειώσεις μπορείτε να βρείτε εδώ

Σύνοψη Διαλέξεων 6ης-7ης (2016-17)

Fri, 17 Mar 2017 15:58:18 +0300

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με την έννοια της τυχαίας μεταβλητής εξετάζοντας περαιτέρω παράδειγμα. Σημειώσεις μπορείτε να βρείτε εδώ.

Δεδομένων των παραπάνω, ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με το ζήτημα της αναπαράστασης κατανομών στους πραγματικούς. Ορίσαμε την έννοια του στηρίγματος, και χρησιμοποιώντας την εξετάσαμε κατηγορία κατανομών στους πραγματικούς που είναι "εύκολα περιγράψιμες", τις λεγόμενες διακριτές κατανομές. Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Σύνοψη Διαλέξεων 4ης-5ης (2016-17)

Fri, 10 Mar 2017 02:20:14 +0300

Κατασκευάσαμε παραδείγματα και παρατηρήσαμε ότι όταν ένας μετρήσιμος χώρος είναι τετριμμένος (δηλαδή το Ω έχει μόνο ένα στοιχείο) τότε μόνο μία (εκφυλισμένη) κατανομή πιθανότητας είναι δυνατόν να ορίζεται σε αυτόν. Όταν έχει πάνω από ένα στοιχεία, τότε είναι δυνατόν να ορίζονται πολύ περισσότερες κατανομές πιθανότητας σε αυτόν. Εξαιτίας αυτού προκύπτει το στατιστικό πρόβλημα.

Εξετάζοντας το παράδειγμα της πραγματικής ευθείας, παρατηρήσαμε ότι όταν η συλλογή από τα σχετικά μετρήσιμα υποσύνολα είναι "περίπλοκη" τότε είναι δυσχερής ο ορισμός για την περιγραφή κατανομής πιθανότητας. Επομένως μας χρειάζονται έννοιες που είναι δυνατόν να αναπαριστούν μια κατανομή αποφεύγοντας τον ορισμό, και οι οποίες είναι επίσης "οικείες" (π.χ. συναρτήσεις από το στο ). Προκύπτει επίσης το ερώτημα του πως είναι δυνατόν οι ιδιότητες της κατανομής να αντανακλώνται σε τυχόν "οικείες αναλυτικές" ιδιότητες όποιας τέτοιας αναπαράστασης. Θα ασχοληθούμε με αυτά τα ερωτήματα σε σημαντικό μέρος του μαθήματος.

Προτού μεταφέρουμε την ανάλυση μας στους πραγματικούς, ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με την έννοια της τυχαίας μεταβλητής και του πως μια τυχαία μεταβλητή μεταφέρει μια κατανομή πιθανότητας στους πραγματικούς. Πρόχειρες σημειώσεις για αυτό μπορείτε να βρείτε εδώ.

Επαναληπτικό Υλικό σε Μαθηματική Ανάλυση, και Ολοκληρωτικό Λογισμό

Sat, 04 Mar 2017 05:31:54 +0300

Ενδεικτική πηγή (μπορείτε εύκολα να βρείτε πληθώρα άλλων) για επανάληψη, εύρεση και επίλυση ασκήσεων σε ζητήματα μαθηματικής ανάλυσης, και ολοκληρωτικού λογισμού είναι το

Κορκοτσίδης Αν. (1994), Μαθηματικά Οικονομικής Ανάλυσης, τ. Α-Β, Εκδόσεις Παπαζήση (πατήστε εδώ για την διαθεσιμότητα αυτού στην βιβλιοθήκη του Ο.Π.Α.) και ειδικότερα τα κεφάλαια 1, 14, 15 και η παράγραφος 16.1.

Σύνοψη 3ης Διάλεξης (2016-17)

Sat, 04 Mar 2017 05:14:51 +0300

Αποδείξαμε ιδιότητες που ικανοποιεί κάθε κατανομή πιθανότητας και προκύπτουν ως πορίσματα του ορισμού, πρόχειρες σημειώσεις για τα οποία μπορείτε να βρείτε εδώ.

Σύνοψη 2ης Διάλεξης (2016-17)

Fri, 24 Feb 2017 05:54:44 +0300

Εδώ μπορείτε να βρείτε σημειώσεις που αφορούν στην δεύτερη διάλεξη και ασκήσεις.

Σύνοψη 1ης Διάλεξης (2016-17)

Fri, 24 Feb 2017 05:53:08 +0300

Σκοπός του μαθήματος είναι η περαιτέρω μαθηματική θεμελίωση εννοιών της θεωρίας πιθανοτήτων και διαδικασιών στατιστικής επαγωγής. Παιδαγωγικά μέσω της εν λόγω θεμελίωσης γίνεται ευχερής η ορισμός, η επέκταση και η κατανόηση των ιδιοτήτων περισσότερο περίπλοκων διαδικασιών όπως αυτές που θα συναντηθούν στα μετέπειτα μαθήματα της Οικονομετρίας.

Βάσει του παραπάνω είναι καταρχάς αναγκαία η περαιτέρω διερεύνηση εννοιών που προκύπτουν στη θεωρία πιθανοτήτων, καθώς η στατιστική επαγωγή είναι δυνατόν να θεωρηθεί ως κατά κάποιο τρόπο δυϊκή της θεωρίας πιθανοτήτων. Παραδείγματα τέτοιων εννοιών, είναι αυτή της κατανομής πιθανότητας ως κατάλληλης (σύνολο-) συνάρτησης, των τρόπων αναπαράστασης αυτής από περισσότερο οικείες έννοιες (π.χ. αθροιστικές συναρτήσεις, συναρτήσεις πυκνότητας που οποίες είναι "απλώς" πραγματικές συναρτήσεις με συγκεκριμένες ιδιότητες), της κατανομής πιθανότητας ως διαδιακασίας ολοκλήρωσης, της τυχαίας μεταβλητής κ.ο.κ. Οι έννοιες αυτές έχουν αυτόνομο ενδιαφέρον καθώς δεν συναντώνται μόνο σε ζητήματα στατιστικής επαγωγής (τα οποία θα αντιμετωπίσετε και σε μαθήματα όπως η Οικονομετρία Ι και ΙΙ) αλλά και σε ζητήματα που αφορούν στην μαθηματική αναπαράσταση της αβεβαιότητας και στην χρήση αυτής στα πλαίσια της οικονομικής θεωρίας (και συνεπώς θα σας επιτρέψουν να αντιμετωπίσετε ζητήματα που ανακύπτουν σε μαθήματα που αναφέρονται π.χ. σε ζητήματα βέλτιστης επιλογής, παίγνια, μακροοικονομικά υποδείγματα, κ.ο.κ., σε συνθήκες αβεβαιότητας).

Θα μας χρειαστούν έννοιες που προκύπτουν στα πλαίσια της μαθηματικής ανάλυσης (όπως π.χ. συνέχεια, παραγωγισιμότητα, μονοτονία, ολοκλήρωση πραγματικών συναρτήσεων), της θεωρίας βελτιστοποίησης ("αρκούντως ομαλών") πλειομεταβλητών πραγματικών συναρτήσεων (συνθήκες πρώτης και δεύτερης τάξης) και συνακόλουθα της γραμμικής άλγεβρας (όπως π.χ. ορισμένες συμμετρικές μήτρες, ιδιοτιμές κ.ο.κ.). Κάποιες βασικές έννοιες συνολοθεωρίας θα επισημανθούν όταν χρειαστούν στις αμέσως επόμενες διαλέξεις, ενώ άλλες αναλυτικές έννοιες, όπως π.χ. οι έννοιες της σειράς και της δυναμοσειράς θα επισημανθούν και χρησιμοποιηθούν όταν χρειαστεί χωρίς εξαντλητική διερεύνηση τους.

Συνδυάστε τα παραπάνω με την ανάρτημένη σύνοψη του μαθήματος.

Σύνοψη Διαλέξεων 22ης-23ης

Thu, 02 Jun 2016 14:01:18 +0300

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με στοιχεία της θεωρίας πιθανοφάνειας στο περιορισμένο υπόβαθρο μας. Εξετάσαμε παραδείγματα στα οποία ο εκτιμητής μέγιστης πιθανοφάνειας είναι μεροληπτικός, ενώ παρατηρήσαμε ότι η ιδιότητα της αμεροληψίας μπορεί να εξαρτάται και από τον τρόπο με τον οποίο παραμετράται το στατιστικό υπόδειγμα. Εξετάσαμε και παράδειγμα στο οποίο ο παραμετρικός χώρος είναι διάστασης μεγαλύτερης του ένα. Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Σύνοψη Διαλέξεων 20ης-21ης

Fri, 27 May 2016 01:30:06 +0300

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με στοιχεία της θεωρίας πιθανοφάνειας στο περιορισμένο υπόβαθρο μας. Ορίσαμε (όχι με απόλυτη αυστηρότητα) τον εκτιμητή μέγιστης πιθανοφάνειας, και ασχοληθήκαμε με υπολογισμούς για την εξαγωγή του και την διακρίβωση ιδιοτήτων του σε διάφορα παραδείγματα στα πλαίσια του υποβάθρου μας. Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Σύνοψη Διαλέξεων 18ης-19ης

Sun, 22 May 2016 13:06:47 +0300

Συνεχίσαμε τους υπολογισμούς που αφορούσαν σε ροπές, εξετάζοντας και το παράδειγμα της τυπικής κατανομής Cauchy, για την οποία δείξαμε ότι δεν υπάρχει καμμία ροπή πέραν αυτής της μηδενικής τάξης. Σημειώσεις για αυτά μπορείτε να βρείτε εδώ. Ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με "περιορισμένη" εκδοχή του στατιστικού προβλήματος και στοιχεία της θεωρίας πιθανοφάνειας, σημειώσεις για την οποία μπορείτε να βρείτε εδώ.

Σύνοψη Διαλέξεων 16ης-17ης

Mon, 16 May 2016 01:53:11 +0300

Συνεχίσαμε με περαιτέρω παραδείγματα υπολογισμού και σχετικού σχολιασμού αναφορικά με ροπές σε διάφορες περιπτώσεις κατανομών πιθανότητας. Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Σύνοψη Διαλέξεων 14ης-15ης

Thu, 21 Apr 2016 22:52:45 +0300

Συνεχίσαμε με υπολογισμούς παραδειγμάτων ολοκλήρωσης κατάλληλων συναρτήσεων ως προς κατανομές, σημειώσεις και για τα οποία μπορείτε να βρείτε εδώ. Δεδομένης της έννοιας της ολοκλήρωσης ασχοληθήκαμε με την έννοια των ροπών κατανομής πιθανότητας, δίνοντας ορισμούς σχόλια και ιδιότητες. Σημειώσεις για αυτά μπορείτε να βρείτε εδώ.

Σύνοψη Διαλέξεων 12ης-13ης

Fri, 15 Apr 2016 03:41:45 +0300

Εξ' αφορμής του παραδείγματος της κανονικής κατανομής μελετήσαμε την έννοια της συνάρτησης πυκνότητας και είδαμε ιδιότητες και παραδείγματα. Σημειώσεις για αυτά μπορείτε να βρείτε εδώ. Μελετήσαμε έτσι μια ακόμη αναπαράσταση κατανομής πιθανότητας, η οποία όμως βασίζεται στην προαναφερθείσα έννοια και αυτή είναι δυνατόν να μην υπάρχει σε κάποιες περιπτώσεις, ενώ σε άλλες να μην είναι μοναδική, σε αντιδιαστολή με την αθροιστική συνάρτηση που υπάρχει και είναι μοναδική σε κάθε περίπτωση. Η πλήρης κατανόηση της έννοιας της συνάρτησης πυκνότητας, απαιτεί έννοιες από την μαθηματική ανάλυση οι οποίες δεν μας είναι διαθέσιμες όπως αυτή της απόλυτης συνέχειας ή αυτή της ολοκλήρωσης κατά Lebesgue, οι οποίες προφανώς βρίσκονται εκτός του εύρους του μαθήματος.

Στην συνέχεια, ξεκινήσαμε την (αναγκαστικά ελλειπή) μελέτη της αναπαράστασης κατανομής πιθανότητας στους προγματικούς ως διαδικασίας ολοκλήρωσης κατάλληλων συναρτήσεων, παραθέσαμε ορισμούς και ιδιότητες και ξεκινήσαμε υπολογισμούς σε διάφορα παραδείγματα. Σημειώσεις για αυτά μπορείτε να βρείτε εδώ. Και για αυτή την έννοια, ισχύει ότι για την πλήρη κατανόηση της απαιτεί την έννοια ολοκλήρωσης κατά Lebesgue-Stieljes από την μαθηματική ανάλυση οι οποία δεν μας είναι επίσης διαθέσιμη και προφανώς βρίσκεται εκτός του εύρους του μαθήματος.

Σύνοψη Διαλέξεων 10ης-11ης

Sat, 09 Apr 2016 20:32:53 +0300

Eίναι δυνατόν μια κατανομή να αποδίδει μηδενική πιθανότητα σε μονοσύνολο που αποτελείται από κάποιο στοιχείο του στηρίγματός της (αυτό είναι δυνατόν να συμβαίνει σε κάθε μονοσύνολο που αποτελείται από όποιο στοιχείο του στηρίγματος, όπως δείχνουν τα παραδείγματα της ομοιόμορφης, της εκθετικής και της κανονικής κατανομής). Προφανώς κάτι τέτοιο είναι αδύνατον για διακριτές κατανομές (γιατί;).
Ο ορισμός που έχουμε υιοθετήσει για το πότε μια κατανομή θεωρείται συνεχής, αφορά στην "τοπολογική" μορφή του supp και όχι στο αν η αθροιστική της είναι συνεχής συνάρτηση. Έτσι, π.χ. είδαμε παράδειγμα συνεχούς κατανομής που έχει αθροιστική που εμφανίζει ασυνέχεια. Αναλόγως είδαμε παραδείγματα συνεχών κατανομών με συνεχείς αθροιστικές.
Κατασκευάσαμε παράδειγμα όπου το στήριγμα είναι η ένωση ενός διακριτού υποσυνόλου των πραγματικών και ενός διαστήματος ξένου ως προς το προηγούμενο. Αυτό προφανώς είναι παράδειγμα κατανομής που δεν είναι ούτε διακριτή, ούτε συνεχής.
Χωρίς μαθηματική αυστηρότητα είδαμε ότι κάποιες κατανομές είναι δυνατόν να προκύπτουν "ως οριακές περιπτώσεις" άλλων παίρνοντας κατάλληλα όρια στις ανάλογες αθροιστικές.
Είδαμε ότι υπάρχει περίπτωση η αθροιστική να έχει την μορφή ολοκληρώματος. Μέσω αυτής της παρατήρησης θα οδηγηθούμε στην έννοια της συνάρτησης πυκνότητας.

Σύνοψη Διαλέξεων 8ης-9ης

Fri, 01 Apr 2016 03:15:55 +0300

Στην συνέχεια, και στην προσπάθεια μας για αναπαράσταση όποιας κατανομής πιθανότητας στους πραγματικούς από κατάλληλες και οικείες έννοιες, ώστε να αποφεύγετι ο δύσχρηστος ορισμός, ξεκινήσαμε την εξέταση της έννοιας της αθροιστικής συνάρτησης. Αναφερθήκαμε σε θεώρημα που απαριθμεί τις χαρακτηριστικές της ιδιότητες, και δείχνει ότι η αθροιστική αναπαριστά την κατανομή της "τέλεια". Σκιαγραφήσαμε την απόδειξη των χαρακτηριστικών ιδιοτήτων, εξετάσαμε περαιτέρω ιδιότητες που προκύπτουν από αυτές, και είδαμε το πως είναι δυνατόν να υπολογίζονται πιθανότητες που αποδίδει η κατανομή μέσω της χρήσης της αθροιστικής της. Πρόχειρες σημειώσεις για τα όσα παραπάνω αναφέρονται στην έννοια της αθροιστικής συνάρτησης κατανομής πιθανότητας στους πραγματικούς, μπορείτε να βρείτε εδώ.

Σύνοψη 7ης Διάλεξης

Fri, 01 Apr 2016 03:08:14 +0300

Δεδομένης της προεργασίας μας για τις τυχαίες μεταβλητές, ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με το ζήτημα της αναπαράστασης κατανομών στους πραγματικούς. Ορίσαμε την έννοια του στηρίγματος, και χρησιμοποιώντας την εξετάσαμε κατηγορία κατανομών στους πραγματικούς που είναι "εύκολα περιγράψιμες", τις λεγόμενες διακριτές κατανομές. Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Σύνοψη 6ης Διάλεξης

Fri, 01 Apr 2016 03:04:40 +0300

Ασχοληθήκαμε με την έννοια της τυχαίας μεταβλητής και του πως μια τυχαία μεταβλητή μεταφέρει μια κατανομή πιθανότητας στους πραγματικούς. Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Σύνοψη 5ης Διάλεξης

Thu, 17 Mar 2016 18:19:49 +0300

Συνεχίσαμε την διερεύνηση της έννοιας της δεσμευμένης σε ενδεχόμενο πιθανότητας και συνακόλουθα της δεσμευμένης σε ενδεχόμενο κατανομής. Παρατηρήσαμε για παράδειγμα ότι όταν το ενδεχόμενο στο οποίο δεσμεύουμε είναι πλήρους πιθανότητας ως προς την δεδομένη κατανομή τότε όποια δεσμευμένη ως προς αυτό πιθανότητα ταυτίζεται με την ανάλογη αδέσμευτη. Δεδομένης της ερμηνείας της πληροφοριακότητας κάποιου ενδεχομένου για άλλο ως προς την δεδομένη κατανομή, ορίσαμε ως ανεξαρτησία μεταξύ δύο μη αμελητέων ενδεχομένων, την ταύτιση της δεσμευμένης του ενός στο άλλο πιθανότητας με την σχετική αδέσμευτη πιθανότητα. Αποδείξαμε ότι ο ορισμός ταυτίζεται με τον σχετικό κανόνα του γινομένου για την πιθανότητα της τομής τους, οπότε και γενικεύσαμε τον ορισμό της ανεξαρτησίας χρησιμοποιώντας αυτόν τον κανόνα ακόμα και για ζεύγη ενδεχομένων όπου τουλάχιστον ένα είναι αμελητέο. Ασχοληθήκαμε με διάφορες ιδιότητες του γενικού ορισμού όπως ότι δύο ξένα μεταξύ τους ενδεχόμενα είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα ανν το ένα τουλάχιστον είναι αμελητέο, ή ότι κάθε αμελητέο είναι ανεξάρτητο ως προς κάθε άλλο (και τον εαυτό του), και δυϊκά κάθε πλήρους πιθανότητας είναι ανεξάρτητο ως προς κάθε άλλο (και τον εαυτό του). Γενικεύσαμε στην έννοια της από κοινού ανεξαρτησίας ως προς την δεδομένη κατανομή για όποιο πεπερασμένο πλήθος ενδεχομένων.

Σύνοψη Διαλέξεων 3ης-4ης

Mon, 14 Mar 2016 20:21:54 +0300

Εξετάζοντας το παράδειγμα της πραγματικής ευθείας, παρατηρήσαμε ότι όταν η συλλογή από τα σχετικά μετρήσιμα υποσύνολα είναι "περίπλοκη" τότε είναι δυσχερής ο ορισμός για την περιγραφή κατανομής πιθανότητας. Επομένως μας χρειάζονται έννοιες που είναι δυνατόν να αναπαριστούν μια κατανομή αποφεύγοντας τον ορισμό, και οι οποίες είναι επίσης "οικείες" (π.χ. συναρτήσεις από το στο ). Προκύπτει επίσης το ερώτημα του πως είναι δυνατόν οι ιδιότητες της κατανομής να αντανακλώνται σε τυχόν "οικείες αναλυτικές" ιδιότητες όποιας τέτοιας αναπαράστασης. Θα ασχοληθούμε με αυτά τα ερωτήματα σε σημαντικό μέρος του μαθήματος.

Πριν από την ανασχόληση αυτή, και δεδομένου χώρου πιθανότητας, ξεκινήσαμε την διερεύνηση του πως είναι δυνατόν κάποιο μετρήσιμο υποσύνολο του συνόλου αναφοράς, έστω Β, (ή ισοδύναμα ενδεχομένου στα πλαίσια της ερμηνείας του χώρου πιθανότητας μέσω πειράματος τύχης), να εμπεριέχει "πληροφορία" για αυθαίρετο μετρήσιμο υποσύνολο του συνόλου αναφοράς,έστω Α, (ή ισοδύναμα στα πλαίσια της ίδιας ερμηνείας, αυθαίρετου ενδεχομένου). Ορίσαμε την έννοια της δεσμευμένης πιθανότητας και σημειώσαμε ότι το Β θα εμπεριέχει πληροφορία για το Α, βάσει της υφιστάμενης κατανομής αν και μόνο αν η σχετική δεσμευμένη πιθανότητα του Α ως προς το Β είναι διαφορετική από την πιθανότητα του Α, όπως αυτές αποδίδονται μέσω της χρήσης της υφιστάμενης κατανομής. Πρόχειρες σημειώσεις για την εν λόγω έννοια, ιδιότητες της και την συνακόλουθη έννοια της ανεξαρτησίας μεταξύ ενδεχομένων, μπορείτε να βρείτε εδώ.

Σύνοψη 2ης Διάλεξης και Ασκήσεις

Thu, 03 Mar 2016 23:28:47 +0300

Εδώ μπορείτε να βρείτε την σύνοψη της δεύτερης διάλεξης και ασκήσεις.

Σύνοψη 1ης Διάλεξης

Mon, 29 Feb 2016 16:53:07 +0300

Θα μας χρειαστούν έννοιες που προκύπτουν στα πλαίσια της μαθηματικής ανάλυσης (όπως π.χ. συνέχεια, παραγωγισιμότητα, μονοτονία, ολοκλήρωση πραγματικών συναρτήσεων), της θεωρίας βελτιστοποίησης ("αρκούντως ομαλών") πλειομεταβλητών πραγματικών συναρτήσεων (συνθήκες πρώτης και δεύτερης τάξης) και συνακόλουθα της γραμμικής άλγεβρας (όπως π.χ. ορισμένες συμμετρικές μήτρες, ιδιοτιμές κ.ο.κ.). Κάποιες βασικές έννοιες συνολοθεωρίας θα επισημανθούν όταν χρειαστούν στις αμέσως επόμενες διαλέξεις, ενώ άλλες αναλυτικές έννοιες, όπως π.χ. οι έννοιες της σειράς και της δυναμοσειράς θα επισημανθούν και χρησιμοποιηθούν όταν χρειαστεί χωρίς εξαντλητική διερεύνηση τους.

Συνδυάστε τα παραπάνω με την ανάρτημένη σύνοψη του μαθήματος.