2.3: Γραμμική ανεξαρτησία

Τα διανύσματα μιας συλλογής 1 , 2 , . . . , k , θα λέμε ότι είναι γραμμικώς εξαρτημένα αν ισχύει μια από τις παρακάτω ισοδύναμες συνθήκες:

(1) Κάποιο από αυτά είναι γραμμικός συνδυασμός των άλλων.
(2) Η διανυσματική εξίσωση λ11 + λ22 + . . . + λkk = έχει και μη-μηδενικές λύσεις .


Άσκηση : Να αποδειχθεί η ισοδυναμία των παραπάνω προτάσεων (1) και (2) . Απόδειξη

Διανύσματα που δεν είναι γραμμικώς εξαρτημένα μεταξύ τους , θα λέμε ότι είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.

Παρατήρηση :
Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της γραμμικής εξάρτησης , έχουμε το εξής :
Τα διανύσματα 1 , 2 , . . . , k , θα είναι γραμμικώς ανεξάρτητα η διανυσματική εξίσωση
λ11 + λ22 + . . . + λkk =
έχει για μόνη λύση της, την μηδενική ( δηλαδή την λ1 = λ2 = . . . = λk = 0 ).

Άσκηση :
Tα διανύσματα 1 = (1,-2,3) , 2 = (5,6,-1) , 3 = (3,2,1) είναι γραμμικώς ανεξάρτητα ή γραμμικώς εξαρτημένα ;
Απάντηση

Παρατηρήσεις :


(1) Μια συλλογή γραμμικώς ανεξαρτήτων διανυσμάτων δεν μπορεί να περιέχει το μηδενικό διάνυσμα.
Αποδείξτε το (1) σαν άσκηση .    
Απόδειξη


(2) Έστω σύνολο S , το οποίο περιέχει για στοιχεία του , γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα . Κάθε υποσύνολο του S , θα αποτελείται επίσης από γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα .
Αποδείξτε το (2) σαν άσκηση .    
Απόδειξη


(3) Έστω σύνολο S, το οποίο περιέχει για στοιχεία του, γραμμικώς εξαρτημένα διανύσματα . Κάθε υπερσύνολο του S, θα αποτελείται επίσης από γραμμικώς εξαρτημένα διανύσματα.
Αποδείξτε το (3) σαν άσκηση .    
Απόδειξη