Τα διανύσματα μιας συλλογής 1 , 2 , . . . , k , θα λέμε ότι είναι γραμμικώς εξαρτημένα αν ισχύει μια από τις παρακάτω ισοδύναμες συνθήκες:

(1) Κάποιο από αυτά είναι γραμμικός συνδυασμός των άλλων.
(2) Η διανυσματική εξίσωση λ11 + λ22 + . . . + λkk = έχει και μη-μηδενικές λύσεις .


Άσκηση : Να αποδειχθεί η ισοδυναμία των παραπάνω προτάσεων (1) και (2) .

Απόδειξη

a) (1) (2)

Ας υποθέσουμε ότι κάποιο από τα 1 , 2 , . . . , k , είναι γραμμικός συνδυασμός των άλλων.
Έστω ότι είναι         1 = t12 + t23 + . . . + tk-1k
Τότε έχουμε         (-1)1 + t12 + t23 + . . . + tk-1k = .
Όμως σ'αυτήν την περίπτωση η διανυσματική εξίσωση λ11 + λ22 + . . . + λkk = έχει μη-μηδενικές λύσεις . Συγκεκριμένα μια τέτοια λύση είναι η λ1 = -1 , λ2 = t1 , . . . , λk = tk-1 .
Άρα από (1) (2).
b) (2) (1)

Ας υποθέσουμε ότι η διανυσματική εξίσωση λ11 + λ22 + . . . + λkk = έχει και μη - μηδενικές λύσεις .
Έστω την        λ1 = t1 , λ2 = t2 , . . . , λk = tk . Αυτό σημαίνει ότι        t11 + t22 + . . . + tkk =      και ότι τουλάχιστον ένας εκ των αριθμών      t1 , t2 , . . . , tk      είναι διάφορος του μηδενός.
Μπορούμε να υποθέσουμε ότι t1 0 , οπότε έχουμε
1 = ( )2 + . . . + ( )k
Δηλαδή κάποιο από τα διανύσματα μπορεί να εκφρασθεί ως γραμμικός συνδυασμός των άλλων .
Άρα από (2) (1).