2.2: Υπόχωρος

Έστω V . Το V ονομάζεται υπόχωρος του όταν :
 

(i)

   , V + V

και  

(ii)

   V και λ λ V

Σημείωση :
Εάν το σύνολο V έχει τις δύο παραπάνω ιδιότητες , λέμε τότε ότι είναι κλειστό ως προς αυτές τις δύο πράξεις.

Παραδείγματα
α) Θεωρούμε το σύνολο διανυσμάτων
V={(a , b , c , d ) | d=a-b και c=a+b}
Το V είναι υπόχωρος του 4

Απόδειξη :
Έστω 1 , 2 V όπου 1 = (a1 , b1 , c1 , d1) και 2 = (a2 , b2 , c2 , d2).
Τότε 1 + 2 = (a1+a2 , b1+ b2 , c1+c2 , d1+d2).
Όμως επειδή
1 , 2 V , d1 = a1 - b1 , c1 = a1 + b1 , d2 = a2 - b2 , c2 = a2 + b2 .
Άρα d1 + d2 = (a1 + a2) - (b1 + b2) , c1 + c2 = (a1 + a2) + (b1 + b2) και επομένως 1 + 2 V.
Έστω τώρα ότι 1 V όπου 1 = (a1 , b1 , c1 , d1) και λ .
Τότε λ 1 = (λa1 , λb1 , λc1 , λd1) .
Όμως επειδή 1 V είναι d1 = a1 - b1 και c1 = a1 + b1. Άρα λd1 = λa1 - λb1 και λc1 = λa1 + λb1 και επομένως λ1 V.
β) Θεωρούμε το σύνολο διανυσμάτων
V = {(a , b , c , d) | a=b+c+d+2}

Το V δεν είναι υπόχωρος του 4

Απόδειξη :
Έστω 1 , 2 V όπου 1 = (a1 , b1 , c1 , d1) και 2 = (a2 , b2 , c2 , d2).
Τότε 1 + 2 = (a1+a2 , b1+ b2 , c1+c2 , d1+d2).
Όμως επειδή 1 , 2 V , a1 = b1 + c1 + d1 +2   ,   a2 = b2 + c2 + d2 +2 .
Άρα a1 + a2 = (b1+b2) + (c1+c2) + (d1+d2) +4 και επομένως 1 + 2 V.
Το σύνολο V δεν είναι κλειστό ως προς την πράξη της πρόσθεσης μεταξύ διανυσμάτων , άρα δεν είναι υπόχωρος του 4.

Παρατηρήσεις :

(1) Έστω V υπόχωρος του και έστω 1 , 2 , ... , k V.
      Κάθε γραμμικός συνδυασμός των 1 , 2 , ... , k ανήκει επίσης στο V.
Αποδείξτε το σαν άσκηση. Απόδειξη

(2) Έστω 1 , 2 , ... , k .
     Το σύνολο V , όλων των γραμμικών συνδυασμών των 1 , 2 , ... , k,       αποτελεί υπόχωρο του .
Αποδείξτε το σαν άσκηση. Απόδειξη

Σημείωση
Σ' αυτή την περίπτωση , λέμε ότι ο υπόχωρος V παράγεται από τα διανύσματα
1 , 2 , ... , k και αυτός συμβολίζεται με L(1 , 2 , ... , k).

Άσκηση:
Θεωρούμε τα διανύσματα 1 = (1,-1,0) , 2 = (1,1,0) , 3 = (2,1,0) , = (5,-7,0).
(i) Να αποδειχθεί ότι L(1 , 2 , 3)
(ii) Nα εκφρασθεί το ως γραμμικός συνδυασμός των 1 , 2 , 3
Απάντηση