Παρατηρήσεις :

 

(1) Μια συλλογή γραμμικώς ανεξαρτήτων διανυσμάτων δεν μπορεί να περιέχει το μηδενικό διάνυσμα.

Απόδειξη
Έστω { ₁ , ₂ , . . . , _k } συλλογή γραμικώς ανεξαρτήτων διανυσμάτων και έστω ότι ₁ = . Όμως σ'αυτήν την περίπτωση η διανυσματική εξίσωση    λ₁₁ + λ₂₂ + . . . + λ_kk = έχει και μη-μηδενικές λύσεις. Για παράδειγμα την λ₁ = t (όπου t -{0}) , λ₂ = λ₃ = . . . = λ_k = 0. Όμως κάτι τέτοιο δεν μπορεί να ισχύει διότι τα ₁ , ₂ , . . . , _k είναι γραμμικώς ανεξάρτητα και επομένως το δεν μπορεί να ανήκει σ'αυτήν την συλλογή διανυσμάτων.

(2) Έστω σύνολο S , το οποίο περιέχει για στοιχεία του , γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα . Κάθε υποσύνολο του S , θα αποτελείται επίσης από γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα .

Απόδειξη
Έστω S = { ₁ , ₂ , . . . , _k } και έστω ότι υπάρχει υποσύνολο S^* του S , το οποίο αποτελείται από γραμμικώς εξαρτημένα διανύσματα. Μπορούμε να υποθέσουμε χωρίς να βλάψουμε την γενικότητα των επιχειρημάτων μας, ότι
S^* = { ₁ , ₂ , . . . , _m } όπου m < k. Επειδή το S^* είναι σύνολο γραμμικώς εξαρτημένων διανυσμάτων , η διανυσματική εξίσωση λ₁₁ + λ₂₂ + . . . + λ_mm = θα έχει μη-μηδενικές λύσεις.
Έστω λ₁ = t₁ , λ₂ = t₂ , . . . , λ_m = t_m μια τέτοια μη-μηδενική λύση .
Θεωρούμε την διανυσματική εξίσωση λ₁₁ + λ₂₂ + . . . + λ_mm + λ_m+1m+1 + . . . + λ_kk = Η παραπάνω διανυσματική εξίσωση θα έχει μη-μηδενικές λύσεις. Για παράδειγμα μια τέτοια μη-μηδενική λύση είναι η λ₁ = t₁ , λ₂ = t₂ , . . . , λ_m = t_m , λ_m+1 = λ_m+2 =. . . = λ_k = 0 (όπου τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς t₁ , t₂ , . . . , t_m είναι διάφορος του μηδενός )
Όμως αυτό δεν μπορεί να ισχύει, διότι το S είναι σύνολο γραμμικώς ανεξαρτήτων διανυσμάτων. Άρα το S^* θα αποτελείται από γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα.

(3) Έστω σύνολο S, το οποίο περιέχει για στοιχεία του, γραμμικώς εξαρτημένα διανύσματα . Κάθε υπερσύνολο του S, θα αποτελείται επίσης από γραμμικώς εξαρτημένα διανύσματα.

Απόδειξη
Υποθέτωντας ότι S = { ₁ , ₂ , . . . , _m } αποτελείται από γραμμικώς εξαρτημένα διανύσματα και έστω ένα υπερσύνολό του , S^* = { ₁ , ₂ , . . . , _m , _m+1 , . . . , _k}. Εφ'όσον τα { ₁ , ₂ , . . . , _m } είναι γραμμικώς εξαρτημένα θα υπάρχουν λ₁ , λ₂ , . . . , λ_m με τουλάχιστον ένα από τα λ_i , i = 1, . . . ,m διάφορο του μηδενός και τέτοια ώστε να επαληθεύεται η διανυσματική εξίσωση λ₁₁ + λ₂₂ + . . . + λ_mm = Τότε όμως έχουμε ότι ισχύει και η διανυσματική εξίσωση λ₁₁ + λ₂₂ + . . . + λ_mm + 0_m+1 + . . . + 0_k = Από την τελευταία εξίσωση επειδή δεν είναι όλοι οι συντελεστές των διανυσμάτων μηδέν βγαίνει το συμπέρασμα ότι το S^* = { ₁ , ₂ , . . . , _m , _m+1 , . . . , _k} αποτελείται από γραμμικώς εξαρτημένα διανύσματα.