2.4: Βάση

Ορισμός :
Έστω V υπόχωρος του και έστω ₁ , ₂ , . . . , _k V.
Θα λέμε ότι τα διανύσματα ₁ , ₂ , . . . , _k αποτελούν βάση του V εάν ισχύουν τα εξής:

(i) Τα 1 , 2 , . . . , k είναι γραμμικώς ανεξάρτητα και (ii) V = L ( 1 , 2 , . . . , k ) (δηλαδή εάν ο υπόχωρος V παράγεται απ' αυτά τα διανύσματα ).

Παραδείγματα :
a) Τα διανύσματα ₁ = (1,0) , ₂ = (0,1) αποτελούν βάση για τον ² , διότι αυτά είναι γραμμικώς ανεξάρτητα και διότι αυτά παράγουν τον ² .
b) Τα διανύσματα ₁ = (4,1) , ₂ = (-7,-8) αποτελούν επίσης βάση του ² .
Απόδειξη : Θα αποδείξουμε πρώτα , ότι τα ₁ = (4,1) , ₂ = (-7,-8) είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.
Θεωρούμε την διανυσματική εξίσωση λ₁(4,1) + λ₂(-7,-8) = (0,0) από την οποία προκύπτει το ομογενές γραμμικό σύστημα

4λ1 - λ2 = 0 λ1 - 8λ2 = 0

Το παραπάνω γραμμικό ομογενές σύστημα έχει για μόνη λύση του, την μηδενική. ’ρα τα ₁ = (4,1) , ₂ = (-7,-8) είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.
Επίσης ² = L(₁ , ₂ ) διότι εάν (a₁,a₂) ² , είναι
(a₁,a₂) = (8a₁-7a₂)(4,1) + (a₁-4a₂)(-7,-8)

Θεώρημα 2.1 :

Κάθε διανυσματικός υπόχωρος V του έχει βάση.

Θεώρημα 2.2 :

Έστω V υπόχωρος του και έστω ότι το σύνολο {1 , 2 , . . . , k} αποτελεί βάση για τον V. Τότε κάθε συλλογή m διανυσμάτων του V, όπου m > k , θα είναι συλλογή γραμμικώς εξαρτημένων διανυσμάτων.

Θεώρημα 2.3 :

Όλες οι βάσεις ενός υπόχωρου V του , έχουν τον ίδιο αριθμό διανυσμάτων. Ο αριθμός αυτός ονομάζεται διάσταση του V και τον συμβολίζουμε με dimV.

’σκηση : Να αποδειχθεί το Θεώρημα 2.3 χρησιμοποιώντας το Θεώρημα 2.2
Απόδειξη

Θεώρημα 2.4 :

Έστω V υπόχωρος του , S = {1 , 2 , . . . , k} βάση του V και έστω V. Το μπορεί να εκφρασθεί ως γραμμικός συνδυασμός των 1 , 2 , . . . , k μ' έναν και μοναδικό τρόπο.

’σκηση : Να αποδειχθεί το Θεώρημα 2.4    
Απόδειξη

Θεώρημα 2.5 :

Εάν ένας υπόχωρος V περιέχεται σ' έναν άλλο υπόχωρο W, τότε dimV<dimW . Ισότητα ισχύει μόνον όταν V = W .

---