2.4: Βάση
Ορισμός :
Έστω V υπόχωρος του 
και έστω
1 ,
2 , . . . ,
k 
V.
Θα λέμε ότι τα διανύσματα
1 ,
2 , . . . ,
k αποτελούν βάση του V εάν ισχύουν τα εξής:
(i) Τα 1 ,
2 , . . . ,
k είναι γραμμικώς ανεξάρτητα και
(ii) V = L ( 1 ,
2 , . . . ,
k ) (δηλαδή εάν ο υπόχωρος V παράγεται απ' αυτά τα διανύσματα ).
|
Παραδείγματα :
a) Τα διανύσματα 
1 = (1,0) , 2 = (0,1) αποτελούν βάση για τον 
2 , διότι αυτά είναι γραμμικώς ανεξάρτητα και διότι αυτά παράγουν τον 2 .
b) Τα διανύσματα
1 = (4,1) ,
2 = (-7,-8) αποτελούν επίσης βάση του 2 .
Απόδειξη : Θα αποδείξουμε πρώτα , ότι τα 1 = (4,1) ,
2 = (-7,-8) είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.
Θεωρούμε την διανυσματική εξίσωση
λ1(4,1) + λ2(-7,-8) = (0,0)
από την οποία προκύπτει το ομογενές γραμμικό σύστημα
4λ1 - λ2 = 0
λ1 - 8λ2 = 0
|
Το παραπάνω γραμμικό ομογενές σύστημα έχει για μόνη λύση του, την μηδενική. Άρα τα 1 = (4,1) ,
2 = (-7,-8) είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.
Επίσης 2 = L(1 ,
2 ) διότι εάν (a1,a2) 2 , είναι
(a1,a2) = (8a1-7a2)
(4,1) + (a1-4a2)(-7,-8)
Θεώρημα 2.1 :
Κάθε διανυσματικός υπόχωρος V του έχει βάση. |
Θεώρημα 2.2 :
Έστω V υπόχωρος του και έστω ότι το σύνολο {1 ,
2 , . . . ,
k} αποτελεί βάση για τον V. Τότε κάθε συλλογή m διανυσμάτων του V, όπου m > k , θα είναι συλλογή γραμμικώς εξαρτημένων διανυσμάτων. |
Θεώρημα 2.3 :
Όλες οι βάσεις ενός υπόχωρου V του , έχουν τον ίδιο αριθμό διανυσμάτων. Ο αριθμός αυτός ονομάζεται διάσταση του V και τον συμβολίζουμε με dimV. |
Άσκηση : Να αποδειχθεί το Θεώρημα 2.3 χρησιμοποιώντας το Θεώρημα 2.2
Απόδειξη
Θεώρημα 2.4 :
Έστω V υπόχωρος του , S = {1 ,
2 , . . . ,
k} βάση του V και έστω  V. Το μπορεί να εκφρασθεί ως γραμμικός συνδυασμός των 1 ,
2 , . . . ,
k μ' έναν και μοναδικό τρόπο. |
Άσκηση : Να αποδειχθεί το Θεώρημα 2.4
Απόδειξη
Θεώρημα 2.5 :
Εάν ένας υπόχωρος V περιέχεται σ' έναν άλλο υπόχωρο W, τότε dimV<dimW .
Ισότητα ισχύει μόνον όταν V = W .
|
