2.1:Βασικοί ορισμοί

Εάν ν θετικός ακέραιος , θεωρούμε το σύνολο όλων των διατεταγμένων ν-άδων πραγματικών αριθμών ( a₁,a₂, . . .,a_ν ). Κάθε στοιχείο αυτού του συνόλου το συμβολίζουμε με =( a₁,a₂, . . .,a_ν ) και το ονομάζουμε διάνυσμα. Τους ν αριθμούς a₁,a₂, . . .,a_ν που το ορίζουν , τους ονομάζουμε συντεταγμένες ή συνιστώσες του.

Σ'αυτό το σύνολο ορίζουμε τις εξής δύο πράξεις:

(α) Πρόσθεση διανυσμάτων
Εάν =( a₁,a₂, . . .,a_ν ) και =( b₁,b₂, . . .,b_ν ) τότε
+ = ( a₁,a₂, . . .,a_ν ) + ( b₁,b₂,. . .,b_ν ) = ( a₁ + b₁ , a₂ + b₂,. . ., a_ν + b_ν ) .

(β) Πολλαπλασιασμός διανύσματος με αριθμό
Εάν =( a₁,a₂, . . .,a_ν ) και λ πραγματικός αριθμός
τότε λ= λ( a₁,a₂, . . .,a_ν ) = ( λa₁,λa₂, . . .,λa_ν ).
Οι πράξεις αυτές έχουν όλες τις γνωστές ιδιότητες που ισχύουν για τις αντίστοιχες πράξεις μεταξύ διανυσμάτων του επιπέδου και του χώρου .

Συγκεκριμένα :

+ = +	,	- = όπου - = (-1)
+ ( + ) = ( + ) +	,	+ = + =
λ(μ) = (λμ)	,	(λ+μ) = λ + μ
λ( + ) = λ + λ	,	1 =     ,      0 =

Το σύνολο των διανυσμάτων , που ορίσαμε προηγουμένως , εφοδιασμένο με τις δύο πράξεις και τις αντίστοιχες ιδιότητές τους, το ονομάζουμε ν-διανυσματικό χώρο και το συμβολίζουμε με .

Στο σύνολο αυτό μπορούμε να ορίσουμε επιπλέον και το παρακάτω γινόμενο:

Εάν =( a1,a2, . . .,aν ) και =( b1,b2, . . .,bν ) τότε = ( a1,a2, . . .,aν )( b1,b2, . . .,bν ) = a1b1 + a2b2 + . . . + aνbν

Το γινόμενο αυτό ονομάζεται εσωτερικό γινόμενο μεταξύ των δύο διανυσμάτων. Το εσωτερικό γινόμενο έχει όλες τις γνωστές ιδιότητες που έχει η αντίστοιχη πράξη μεταξύ διανυσμάτων του επιπέδου και του χώρου.

Συγκεκριμένα :

=	,	λ( ) = (λ ) = ( λ)
= 0	,	( + ) = +

Το μήκος ή η νόρμα ενός διανύσματος =( a₁,a₂, . . .,a_ν ) συμβολίζεται με || και ορίζεται ως εξής :

Θα λέμε ότι δύο διανύσματα και είναι ορθογώνια ή κάθετα μεταξύ τους , αν μηδενίζεται το εσωτερικό τους γινόμενο , δηλαδή εάν = 0.

Επίσης θα λέμε ότι ένα διάνυσμα είναι μοναδιαίο αν έχει μήκος 1,
δηλαδή αν = 1.
Τα μοναδιαία διανύσματα συνήθως τα συμβολίζουμε με , , . . .
Παρατήρηση :

Εάν , το διάνυσμα είναι μοναδιαίο.

Αναφέρουμε ειδικά τα διανύσματα :
όπου το _i έχει την i-συντεταγμένη ίση με 1 και όλες τις άλλες μηδενικές .
Τα διανύσματα αυτά είναι μοναδιαία και ανά δύο ορθογώνια μεταξύ τους.
Επίσης κάθε διάνυσμα =( a₁,a₂, . . .,a_ν ) μπορεί να γραφεί στη μορφή = a₁₁ + a₂₂ + . . .+ a_νν = a₁(1,0,...,0) + a₂(0,1,...,0) +. . .+ a_ν(0,0,...,1)
Γενικώτερα, αν ₁ , ₂ , . . . , _k είναι διανύσματα του , κάθε διάνυσμα που γράφεται στη μορφή

= t11 + t22 + . . . + tkk

για κάποιους πραγματικούς αριθμούς t₁ , t₂ , ... , t_k , λέμε ότι είναι γραμμικός συνδυασμός των ₁ , ₂ , ... , _k .
Εάν , διανύσματα του , το διάνυσμα ονομάζεται προβολή του πάνω στο και συμβολίζεται με pr.

---