Μάθημα : Οικονομετρία ΙΙ

Στις τελευταίες δύο διαλέξεις συνεχίσαμε την ανάπτυξη της γενικής θεωρίας για τον ρυθμό σύγκλισης και την ασυμπτωτική κατανομή των εκτιμητών τύπου M, εφαρμόζοντάς την σε βασικά οικονομετρικά υποδείγματα.

Αρχικά, επανήλθαμε στο γραμμικό υπόδειγμα και εφαρμόσαμε τη θεωρία στον εκτιμητή ελαχίστων τετραγώνων (OLSE). Υπό το πλαίσιο των υποθέσεων μας (ιδίως στο iid περιβάλλον), ανακτήσαμε τα κλασικά αποτελέσματα: ρυθμό σύγκλισης \sqrt{n} και ασυμπτωτική κανονικότητα. Παράλληλα, κατασκευάσαμε έναν φυσικό (με βάση τη δομή του υποδείγματος) συνεπή εκτιμητή της ασυμπτωτικής διακύμανσης.

Στη συνέχεια εφαρμόσαμε τη γενική θεωρία στον εκτιμητή οργανικών μεταβλητών (IVE) σε iid πλαίσιο. Το κριτήριο παραμένει τετραγωνικό, αλλά η ανάλυση είναι λίγο πιο απαιτητική, καθώς εμπλέκονται πιο σύνθετες εφαρμογές των νόμων μεγάλων αριθμών και του κεντρικού οριακού θεωρήματος. Παρά ταύτα, προκύπτουν και εδώ τα κλασικά αποτελέσματα: ρυθμός \sqrt{n} και ασυμπτωτική κανονικότητα.

Ιδιαίτερη έμφαση δόθηκε στη μορφή της ασυμπτωτικής διακύμανσης του IVE, η οποία εμφανίζεται σε μορφή “sandwich”. Αποδείξαμε ότι στην ειδική περίπτωση όπου ο αριθμός των ροπών ισούται με τη διάσταση της παραμέτρου (q=p), η ασυμπτωτική διασπορά —και συνεπώς και ο ίδιος ο εκτιμητής— είναι ανεξάρτητοι από την επιλογή της μήτρας στάθμισης W. Το αποτέλεσμα αυτό βασίζεται στην εσωτερικότητα της πραγματικής παραμέτρου και παύει να ισχύει σε πιο σύνθετα σενάρια (π.χ. σε παρουσία οριακών σημείων). Αντιθέτως, όταν q>p, η επιλογή του W επηρεάζει την ασυμπτωτική διακύμανσης, και επομένως τίθεται φυσικά το ζήτημα της βέλτιστης επιλογής του ως προς την ελαχιστοποίηση αυτής — ζήτημα που θα αποτελέσει αντικείμενο της θεωρίας GMM.

Παράλληλα, προχωρήσαμε στην κατασκευή μέρους ενός συνεπούς εκτιμητή της ασυμπτωτικής διασποράς του IVE, η οποία θα ολοκληρωθεί στο πλαίσιο της GMM.

Στο δεύτερο μέρος των διαλέξεων, στραφήκαμε στην εφαρμογή της θεωρίας M-εκτιμητών στην κατηγορία των παραμετρικών υποδειγμάτων. Εισαγάγαμε την έννοια της απόκλισης Kullback–Leibler ως αναπαράσταση της διαφοράς μεταξύ της πραγματικής κατανομής και των κατανομών εντός δεδομένου παραμετρικού μοντέλου. Δείξαμε ότι η ελαχιστοποίηση της απόκλισης, αυτής ισοδυναμεί με τη μεγιστοποίηση της αναμενόμενης λογαριθμικής πιθανοφάνειας, και όταν το υπόδειγμα είναι καλώς εξειδικευμένο αυτή ανακαλεί την πραγματική κατανομή. Η αναμενόμενη λογαριθμική πιθανοφάνεια προσεγγίζεται δειγματικά μέσω της μέσης λογαριθμικής πιθανοφάνειας.

Με τον τρόπο αυτό ορίσαμε τον εκτιμητή μέγιστης πιθανοφάνειας (MLE) ως έναν ειδικό M-εκτιμητή, ο οποίος μεγιστοποιεί τη λογαριθμική πιθανοφάνεια. Στο πλαίσιο του γραμμικού υποδείγματος υπό κανονικότητα των σφαλμάτων, διαπιστώσαμε ότι ο MLE συμπίπτει με τον εκτιμητή ελαχίστων τετραγώνων, αναδεικνύοντας τη σύνδεση μεταξύ διαφορετικών μεθοδολογικών προσεγγίσεων.

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορούν να βρεθούν εδώ, εδώ και εδώ.