Μάθημα : Οικονομετρία ΙΙ

Στην τελευταία διάλεξη συνεχίσαμε την εφαρμογή της θεωρίας των M-εκτιμητών στην κατηγορία των παραμετρικών στατιστικών υποδειγμάτων μέσω της μεθόδου μέγιστης πιθανοφάνειας.

Αρχικά εξετάσαμε, στο πλαίσιο του γραμμικού υποδείγματος με δεσμευμένη ανεξαρτησία των σφαλμάτων, το υπόδειγμα Student-t, επιτρέποντας οι βαθμοί ελευθερίας να είναι είτε γνωστοί είτε άγνωστοι αλλά σταθεροί. Το πλαίσιο αυτό συνεπάγεται δεσμευμένη ομοιογένεια των καινοτομιών και επομένως μια μορφή δεσμευμένης i.i.d. δομής γ

Στις τελευταίες δύο διαλέξεις συνεχίσαμε την ανάπτυξη της γενικής θεωρίας για τον ρυθμό σύγκλισης και την ασυμπτωτική κατανομή των εκτιμητών τύπου M, εφαρμόζοντάς την σε βασικά οικονομετρικά υποδείγματα.

Αρχικά, επανήλθαμε στο γραμμικό υπόδειγμα και εφαρμόσαμε τη θεωρία στον εκτιμητή ελαχίστων τετραγώνων (OLSE). Υπό το πλαίσιο των υποθέσεων μας (ιδίως στο iid περιβάλλον), ανακτήσαμε τα κλασικά αποτελέσματα: ρυθμό σύγκλισης \sqrt{n} και ασυμπτωτική κανονικότητα. Παράλληλα, κατασκευάσαμε έναν φ

Στις δύο τελευταίες διαλέξεις συνεχίσαμε την ανάπτυξη της γενικής θεωρίας των M-εκτιμητών προς την κατεύθυνση της μελέτης του ρυθμού σύγκλισης και της ασυμπτωτικής κατανομής. Βασιστήκαμε στο πλαίσιο που είχε ήδη διαμορφωθεί, όπου, υπό κατάλληλες συνθήκες, ο εκτιμητής ικανοποιεί τις συνθήκες πρώτης τάξης με μεγάλη πιθανότητα και αυτές μπορούν να γραμμικοποιηθούν μέσω ανάπτυξης Taylor γύρω από την αληθή τιμή της παραμέτρου.

Για την ολοκλήρωση της ανάλυσης εισαγάγαμε δύο πρόσθετες υποθέσεις. Πρώ

Στις τελευταίες τρεις διαλέξεις συνεχίσαμε τη μελέτη του γραμμικού υποδείγματος υπό το πρίσμα της ήπιας κακής εξειδίκευσης (mild misspecification), δηλαδή της περίπτωσης όπου το σφάλμα εξειδίκευσης συνίσταται αποκλειστικά στην περίπτωση που ο παραμετρικός χώρος δεν περιλαμβάνει την αληθή τιμή της παραμέτρου. Στο πλαίσιο αυτό εξετάσαμε κατά πόσο η γενική θεωρία των $M$-εκτιμητών παραμένει εφαρμόσιμη και ποια είναι η μορφή του οριακού αντικειμένου στο οποίο συγκλίνει ο εκτιμητής.

Αρχικά δείξαμε ότι

Τις τελευταίες τρεις διαλέξεις συνεχίσαμε την εξέταση της δομής του εκτιμητή LAD (Least Absolute Deviations). Αρχικά, επισημάναμε ότι η συγκεκριμένη εκδοχή του γραμμικού υποδείγματος μπορεί να έχει αυτόνομο ενδιαφέρον στην οικονομετρία. Για παράδειγμα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί όταν το ενδιαφέρον εστιάζεται στον προσδιορισμό της διάμεσου της κατανομής του εισοδήματος υπό συνθήκη ως προς τους ερμηνευτικούς παράγοντες, ή όταν επιδιώκεται ανθεκτικότητα σε περιβάλλοντα όπου η δεσμευμένη κατανομή τω

Ολοκληρώσαμε την καταρχάς μελέτη του γραμμικού υποδείγματος με οργανικές μεταβλητές στην ειδική περίπτωση της ακριβούς ταυτοποίησης (ταύτιση πλήθους οργανικών μεταβλητών και παλινδρομητών) και εισάγαμε τον εκτιμητή ελαχίστων απολύτων αποκλίσεων (LAD), ως εναλλακτική προς την κλασική μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων.

Δείξαμε ότι στην περίπτωση της ταύτισης, και εφόσον ο παραμετρικός χώρος είναι πλήρης, ο εκτιμητής IV απλοποιείται δραστικά και λαμβάνει μορφή η οποία είναι ανεξάρτητη από τη μήτρα στά

Συνεχίσαμε την ανάπτυξη της μεθοδολογικής και γεωμετρικής λογικής της οικονομετρικής εκτίμησης, εστιάζοντας αρχικά σε μορφές κανονικοποίησης στο γραμμικό υπόδειγμα. Επισημάνθηκε ότι η γεωμετρία αυτών των κανονικοποιήσεων μπορεί να λειτουργήσει ως μηχανισμός επιλογής ανάμεσα σε πολλαπλές δυνατές λύσεις, κάτι ιδιαίτερα χρήσιμο σε περιβάλλοντα με μεγάλο αριθμό παλινδρομητών σε σχέση με το πλήθος των παρατηρήσεων.

Επιστρέφοντας στο συνήθες πλαίσιο του υποδείγματος χωρίς κανονικοποιητές, δείξαμε

Συνεχίσαμε τη μελέτη του γραμμικού ημιπαραμετρικού υποδείγματος και δείξαμε ότι, υπό τις βασικές υποθέσεις εξωγένειας, σφαιρικών σφαλμάτων και πλήρους βαθμίδας του πίνακα παλινδρομητών, η πληθυσμιακή συνάρτηση απώλειας ελαχιστοποιείται μοναδικά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου. Το βασικό συμπέρασμα ήταν ότι η ταυτοποίηση είναι ιδιότητα του πληθυσμιακού προβλήματος: η αληθής παράμετρος είναι, θεωρητικά, ανακτήσιμη επειδή είναι το μοναδικό σημείο που ελαχιστοποιεί το σχετικό criterion. Έτσι θεμ

Στη δεύτερη διάλεξη θέσαμε το βασικό εννοιολογικό και μεθοδολογικό λεξιλόγιο που θα χρησιμοποιείται σε όλη τη διάρκεια του μαθήματος. Αφετηρία αποτέλεσε η έννοια του δείγματος ως τυχαίου στοιχείου που συνδέεται με μια άγνωστη κατανομή πιθανότητας (Data Generating Process — DGP). Μέρος των χαρακτηριστικών αυτής της κατανομής είναι το αντικείμενο της στατιστικής ανάλυσης, και το στατιστικό πρόβλημα διατυπώθηκε ως πρόβλημα προσέγγισης ή ανάκτησης αυτών των άγνωστων χαρακτηριστικών με βάση το δείγμ

Στην πρώτη διάλεξη παρουσιάστηκε η φιλοσοφία του μαθήματος. Κεντρική ιδέα είναι ότι η σύγχρονη οικονομετρική θεωρία μπορεί να ιδωθεί ως ένα ενιαίο πλαίσιο όπου (σε ένα σημαντικό μέρος της) οι εκτιμητές και οι έλεγχοι υποθέσεων προκύπτουν ως στοιχεία προβλημάτων βελτιστοποίησης, των οποίων τα κριτήρια εκφράζουν τη δομή του στατιστικού υποδείγματος.

Η ανάλυση στηρίζεται σε τρεις αλληλένδετες διαστάσεις:

• Μεθοδολογική: κατασκευή εκτιμητών και ελέγχων μέσω κριτηριακών συναρτήσεων.

• Θεωρητική/