Μάθημα : Οικονομετρία ΙΙ

Έχει αναρτηθεί ένας φάκελος (με τον τίτλο Σημειώσεις Φοιτητών) που περιέχει (προφανώς) σημειώσεις φοιτητών οι οποίες καταγράφουν σημαντικό μέρος της ύλης και των εννοιών που καλύφθηκαν κατά τη διάρκεια των διαλέξεων.

Θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τους φοιτητές που επέλεξαν να μοιραστούν το υλικό αυτό με τους συναδέλφους τους. Τα ονόματα των συντακτών αναγράφονται στα αντίστοιχα αρχεία.

Οι σημειώσεις αυτές δεν αποτελούν επίσημο διδακτικό υλικό του μαθήματος, αλλά βοηθητικό υλικό μελέτης. Όπως συμ

Στις δύο τελευταίες διαλέξεις ολοκληρώσαμε αφενός τη συζήτηση γύρω από τον εκτιμητή οργανικών μεταβλητών και τη σύνδεσή του με τη γενικευμένη μέθοδο των ροπών (GMM), και αφετέρου εισαγάγαμε ένα πρώτο παράδειγμα σύγχρονης μεθόδου επιλογής μεταβλητών από τον χώρο της μηχανικής μάθησης, τον αλγόριθμο Forward Selection.    

Από τον IV στη GMM

Ξεκινήσαμε επανεξετάζοντας το υπόδειγμα εργαλειακών μεταβλητών υπό συνθήκες ανεξαρτησίας και ομοιογένειας μεταξύ των γραμμών του δείγματος. Υπενθυμίσαμε ότι

Στην τελευταία διάλεξη συνεχίσαμε την εφαρμογή της θεωρίας των M-εκτιμητών στην κατηγορία των παραμετρικών στατιστικών υποδειγμάτων μέσω της μεθόδου μέγιστης πιθανοφάνειας.

Αρχικά εξετάσαμε, στο πλαίσιο του γραμμικού υποδείγματος με δεσμευμένη ανεξαρτησία των σφαλμάτων, το υπόδειγμα Student-t, επιτρέποντας οι βαθμοί ελευθερίας να είναι είτε γνωστοί είτε άγνωστοι αλλά σταθεροί. Το πλαίσιο αυτό συνεπάγεται δεσμευμένη ομοιογένεια των καινοτομιών και επομένως μια μορφή δεσμευμένης i.i.d. δομής γ

Στις τελευταίες δύο διαλέξεις συνεχίσαμε την ανάπτυξη της γενικής θεωρίας για τον ρυθμό σύγκλισης και την ασυμπτωτική κατανομή των εκτιμητών τύπου M, εφαρμόζοντάς την σε βασικά οικονομετρικά υποδείγματα.

Αρχικά, επανήλθαμε στο γραμμικό υπόδειγμα και εφαρμόσαμε τη θεωρία στον εκτιμητή ελαχίστων τετραγώνων (OLSE). Υπό το πλαίσιο των υποθέσεων μας (ιδίως στο iid περιβάλλον), ανακτήσαμε τα κλασικά αποτελέσματα: ρυθμό σύγκλισης \sqrt{n} και ασυμπτωτική κανονικότητα. Παράλληλα, κατασκευάσαμε έναν φ

Στις δύο τελευταίες διαλέξεις συνεχίσαμε την ανάπτυξη της γενικής θεωρίας των M-εκτιμητών προς την κατεύθυνση της μελέτης του ρυθμού σύγκλισης και της ασυμπτωτικής κατανομής. Βασιστήκαμε στο πλαίσιο που είχε ήδη διαμορφωθεί, όπου, υπό κατάλληλες συνθήκες, ο εκτιμητής ικανοποιεί τις συνθήκες πρώτης τάξης με μεγάλη πιθανότητα και αυτές μπορούν να γραμμικοποιηθούν μέσω ανάπτυξης Taylor γύρω από την αληθή τιμή της παραμέτρου.

Για την ολοκλήρωση της ανάλυσης εισαγάγαμε δύο πρόσθετες υποθέσεις. Πρώ

Στις τελευταίες τρεις διαλέξεις συνεχίσαμε τη μελέτη του γραμμικού υποδείγματος υπό το πρίσμα της ήπιας κακής εξειδίκευσης (mild misspecification), δηλαδή της περίπτωσης όπου το σφάλμα εξειδίκευσης συνίσταται αποκλειστικά στην περίπτωση που ο παραμετρικός χώρος δεν περιλαμβάνει την αληθή τιμή της παραμέτρου. Στο πλαίσιο αυτό εξετάσαμε κατά πόσο η γενική θεωρία των $M$-εκτιμητών παραμένει εφαρμόσιμη και ποια είναι η μορφή του οριακού αντικειμένου στο οποίο συγκλίνει ο εκτιμητής.

Αρχικά δείξαμε ότι

Τις τελευταίες τρεις διαλέξεις συνεχίσαμε την εξέταση της δομής του εκτιμητή LAD (Least Absolute Deviations). Αρχικά, επισημάναμε ότι η συγκεκριμένη εκδοχή του γραμμικού υποδείγματος μπορεί να έχει αυτόνομο ενδιαφέρον στην οικονομετρία. Για παράδειγμα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί όταν το ενδιαφέρον εστιάζεται στον προσδιορισμό της διάμεσου της κατανομής του εισοδήματος υπό συνθήκη ως προς τους ερμηνευτικούς παράγοντες, ή όταν επιδιώκεται ανθεκτικότητα σε περιβάλλοντα όπου η δεσμευμένη κατανομή τω

Ολοκληρώσαμε την καταρχάς μελέτη του γραμμικού υποδείγματος με οργανικές μεταβλητές στην ειδική περίπτωση της ακριβούς ταυτοποίησης (ταύτιση πλήθους οργανικών μεταβλητών και παλινδρομητών) και εισάγαμε τον εκτιμητή ελαχίστων απολύτων αποκλίσεων (LAD), ως εναλλακτική προς την κλασική μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων.

Δείξαμε ότι στην περίπτωση της ταύτισης, και εφόσον ο παραμετρικός χώρος είναι πλήρης, ο εκτιμητής IV απλοποιείται δραστικά και λαμβάνει μορφή η οποία είναι ανεξάρτητη από τη μήτρα στ

Συνεχίσαμε την ανάπτυξη της μεθοδολογικής και γεωμετρικής λογικής της οικονομετρικής εκτίμησης, εστιάζοντας αρχικά σε μορφές κανονικοποίησης στο γραμμικό υπόδειγμα. Επισημάνθηκε ότι η γεωμετρία αυτών των κανονικοποιήσεων μπορεί να λειτουργήσει ως μηχανισμός επιλογής ανάμεσα σε πολλαπλές δυνατές λύσεις, κάτι ιδιαίτερα χρήσιμο σε περιβάλλοντα με μεγάλο αριθμό παλινδρομητών σε σχέση με το πλήθος των παρατηρήσεων.

Επιστρέφοντας στο συνήθες πλαίσιο του υποδείγματος χωρίς κανονικοποιητές, δείξαμε