Μάθημα : Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ

Συνεχίσαμε την διερεύνση της άλγεβρας σειρών, της περικοπής αυτών, κ.ο.κ. Μέσω περαιτέρω παραδείγματος παρατηρήσαμε ότι σε κάποιες περιπτώσεις η φραγή της ΑΜΑ είναι δυνατόν να προκύψει μέσω της κατά σημείο σύγκρισης της παραπάνω με κατάλληλα επιλεγμένη συγκλίνουσα γεωμετρική. Αυτό τελικά μας οδήγεί στην κατασκευή γενικού κριτηρίου (Κριτήριο του Πηλίκου) το οποίο θα μας πληροφορεί σε κάποιες περιπτώσεις για το αν δεδομένη σειρά υπάρχει μέσω μιας υπολογιστικά "λιγότερο περίπλοκης" διαδικασίας.

Ξεκινήσαμε να χρησιμοποιούμε την καταχρηστική ορολογία που χρησιμοποιείται γενικότερα στις σχετικές βιβλιογραφίες περί "σύγκλισης σειρών".

Προκειμένου για την διατύπωση του Κριτηρίου του Πηλίκου ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με  εκλέπτυνση της έννοιας σύγκλισης σειρών, εν προκειμένω με την έννοια της απόλυτης σύγκλισης.

Αναφέραμε ότι η απόλυτη σύγκλιση αποτελεί γνήσια εκλέπτυνση της συνήθους σύγκλισης, ενώ επίσης αναφέραμε εν συντομία το Θεώρημα Σειρών του Riemann και το ότι ανν έχουμε απόλυτη σύγκλιση η αναδιάταξη των όρων της σειράς δεν επηρεάζει την άθροιση. 

Μέσω του παραπάνω έγινε τελικά εφικτή η διατύπωση του Κριτηρίου του Πηλίκου το οποίο (σε κάποιες περιπτώσεις) αποφαίνεται για το αν δεδομένη σειρά συγκλίνει απολύτως ή αποκλίνει  και ξεκινήσαμε να εργαζόμαστε με αυτό.

Παρατηρήσαμε ότι επί της ουσίας λειτουργεί μέσω της σύγκρισης με γεωμετρική σειρά ο συντελεστής της οποίας σχετίζεται με το όριο της βοηθητικής ακολουθίας των πηλίκων των απολύτων τιμών των διαδοχικών όρων. Συνεπώς είναι αναμενόμενο ότι όταν τέτοια σύγκριση είναι αδύνατη (π.χ. σε υπεραρμονικές σειρές) το κριτήριο θα είναι να είναι μη πληροφοριακό όταν υπάρχει το σχετικό όριο.

Μέσω παραδειγμάτων, είδαμε ότι η περίπτωση της μη πληροφοριακότητας είναι δυνατόν να αφορά κατά συνθήκη σύγκλιση, κάτι αναμενόμενο, απόκλιση αλλά και απόλυτη σύγκλιση. Συνεπώς είναι γενικά αδύνατο να συνάγουμε κάτι για την συμπεριφορά σειράς για την οποία το κριτήριο είναι μη πληροφοριακό χρησιμοποιώντας μόνο το κριτήριο. Παρατηρήσαμε επίσης ότι υπάρχουν εκλεπτύνσεις του κριτηρίου που είναι δυνατόν να μας πληροφορούν για την συμπεριφορά δεδομένης σειράς είτε όταν το όριο της βοηθητικής ακολουθίας δεν υπάρχει, είτε όταν αυτό ισούται με ένα

Πρόχειρες σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε  εδώ, εδώ,  και εδώ. 

Τους πίνακες των από απόστασης διαλέξεων του Ακ. Έτους 2020-21, που μεταξύ άλλων, αναφέρονται και στα παραπάνω να βρείτε εδώ,  εδώ και εδώ. Αντίστοιχους σχετικούς πίνακες από απόστασης διάλεξης από το Ακ. Έτος 2021-22 μπορείτε να βρείτε εδώ.

Συνεχίσαμε να εργαζόμαστε σε απλά παραδείγματα εμφάνισης των εννοιών των πραγματικών ακολουθιών, της διαδικασίας μερικής άθροισης και των πραγματικών σειρών στα οικονομικά.

Το παράδειγμα που εξετάσαμε αφορά σε περιοριστικό ορισμό και τιμολόγηση χρηματοοικονομικού τίτλου. Σε αυτό, εκφράσαμε υπό προϋποθέσεις την τιμή ως σειρά των κατάλληλα προεξοφλημένων αποδόσεων. Διερευνήσαμε παραδείγματα της προσέγγισής μας, ένα εκ των οποίων αφορούσε στην μη σύγκλιση κατάλληλης σειράς, ως σχετικό με την έννοια της χρηματοοικονομικής φούσκας. Η περιορισμένη εκφραστικότητα του υποδείγματος συνεπάγονταν στο εν λόγω παράδειγμα τον απειρισμό της τιμής (εξαιτίας της απόκλισης της σειράς των παρουσών αξιών των αποδόσεων), κάτι που προφανώς δεν παρατηρείται στην πραγματικότητα).

Η κατασκευή πιο εκφραστικών υποδειγμάτων, αλλά και η εξέταση της έννοιας της δυναμοσειράς και των συνακόλουθων εφαρμογών, διευκολύνεται από την γενίκευση των έννοιών που έχουμε δει μέχρι τώρα εισάγωντας και την έννοια της ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού.

Πρόχειρες σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ. Ένα γενικότερο υπόδειγμα αποτίμησης σε υπόβαθρο αβεβαιότητας (το οποίο προφανώς είναι εκτός της ύλης του μαθήματος) μπορείτε να βρείτε εδώ(και περισσότερες λεπτομέρειες για αυτό μπορείτε να βρείτε στο Κεφ. 9 του εγχειριδίου που ενδεχομένως έχετε επιλέξει στο μάθημα της Στατιστικής ΙΙ).

Περαιτέρω Ασκήσεις (προσπαθήστε να λύσετε τις 1-4 τόσο χρησιμοποιώντας αποκλειστικά το κριτήριο του πηλίκου όσο και χωρίς να το χρησιμοποίησετε).

1. Δείξτε ότι η σειρά  συγκλίνει για κάθε .
2. Δείξτε ότι η σειρά  αποκλίνει.
3. Δείξτε ότι η σειρά  για όποιο  συγκλίνει. Υπόδειξη: Μπορείτε να συσχετίσετε την συμπεριφορά της εν λόγω σειράς με την ανάλογη υπεραρμονική. Μπορείτε για μεγαλύτερη ευκολία να ασχοληθείτε με την  ή/και να δείτε την προηγούμενη μόνο για m=2).
4. Δείξτε ότι η σειρά  αποκλίνει.
5. Επινοήστε όσο το δυνατόν περισσότερες σειρές και προσπαθήστε να διαπιστώσετε το αν συγκλίνουν χρησιμοποιώντας πλέον αποκλειστικά το κριτήριο. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε και αυτές που αναφέρονται σε παλαιότερες αναρτήσεις.