Μάθημα : Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με το ζήτημα της φραγής ως προς τις πραγματικές ακολουθίες εξετάζοντας παραδείγματα και άντιπαραδείγματα. Παρατηρήσαμε ότι ως προς το ερώτημα του αν δεδομένη ακολουθία είναι φραγμένη, η άμεση χρήση του ορισμού είναι γενικά δυσχερής. Προσπαθήσαμε να το αντιμετωπίσουμε, τουλάχιστον ως προς το ότι θα μας απασχολήσει στην συνέχεια, μέσω της ανάπτυξης ενός μικρού σχετικού λογισμού. Έτσι ασχοληθήκαμε με την εξαγωγή αποτελεσμάτων που π.χ. αποδίδουν την ιδιότητα της φραγής σε πραγματική ακολουθία μέσω κατάλληλης σύγκρισης με φραγμένη ακολουθία, μέσω της εύρεσης απολύτων φραγμάτων, και μέσω της διαπίστωσης της ύπαρξης φραγμάτων που καλύπτουν σχεδόν όλη την ακολουθία, όπως και με τις δυικές εκδοχές αυτών των αποτελεσμάτνω. Αντιστοίχως, δείξαμε π.χ. ότι οι αλγεβρικές πράξεις διατηρούν την φραγή (έτσι π.χ. το σύνολο των φραγμένων πραγματικών ακολουθιών είδαμε ότι αποτελεί διανυσματικό υποχώρο του συνόλου των πραγματικών ακολουθιών ως προς τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτου πολλαπλασιασμού). Ολοκληρώσαμε την καταρχάς διερεύνηση της φραγής δείχνοντας ότι το άθροισμα φραγμένης με μη φραγμένη ακολουθία είναι μη φραγμένη ακολουθία.

Παρατηρήστε ότι η διάταξη με την οποία εμφανίζονται οι όροι μιας πραγματικής ακολουθίας μέσα σε αυτή δεν συμφωνεί αναγκαστικά με την διάταξη τους στην πραγματική ευθεία. Όταν οι δύο αυτές διατάξεις σχετίζονται μονότονα αποκτούμε την έννοια της μονότονης ακολουθίας. Διατυπώσαμε τον ορισμό ο οποίος επί της ουσίας βασίζεται στην έννοια μονότονης πραγματικής συνάρτησης, και στην συναρτησιακή μορφή των ακολουθιών.

Παρατηρήσαμε ότι οι (γνησίως) αύξουσες ακολουθίες είναι αναγκαστικά φραγμένες από κάτω, ενώ δυικά οι (γνησίως) φθίνουσες ακολουθίες είναι αναγκαστικά φραγμένες από πάνω.

Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω όπως και κάποιες ασκήσεις μπορείτε να βρείτε εδώ.

Τους πίνακες διαλέξεων που εμπεριέχουν την πραγμάτευση αντίστοιχων εννοιών στο Ακ. Έτος 2020-21 μπορείτε να βρείτε εδώ, εδώ (σελ. 1-9),  εδώ και εδώ.

Περαιτέρω σχόλια μπορείτε να βρείτε εδώ.

Περαιτέρω Ασκήσεις:

1. Να δειχθεί ότι αν η  φραγμένη ανν κάθε υπακολουθία της επίσης φραγμένη.
2. Να δειχθεί ότι για κάθε μονότοτονη ακολουθία, κάθε υπακολουθία αυτής έχει την ίδια ή ισχυρότερη μονοτονία.
3. Nα δειχθεί ότι αν οι  είναι αύξουσες, τότε και η  είναι (ενδεχομένως γνησίως) αύξουσα.