Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Συνεχίσαμε την διερεύνηση της συμπεριφοράς του κριτηρίου μέσω παραδειγμάτων.

Παρατηρήσαμε ότι επί της ουσίας λειτουργεί μέσω της σύγκρισης με γεωμετρική σειρά ο συντελεστής της οποίας σχετίζεται με το όριο της βοηθητικής ακολουθίας των πηλίκων των απολύτων τιμών των διαδοχικών όρων. Συνεπώς είναι αναμενόμενο ότι όταν τέτοια σύγκριση είναι αδύνατη (π.χ. σε υπεραρμονικές σειρές) το κριτήριο θα είναι να είναι μη πληροφοριακό όταν υπάρχει το σχετικό όριο.

Μέσω παραδειγμάτων, είδαμε ότι η περίπτωση της μη πληροφοριακότητας είναι δυνατόν να αφορά κατά συνθήκη σύγκλιση, κάτι αναμενόμενο, απόκλιση αλλά και απόλυτη σύγκλιση. Συνεπώς είναι γενικά αδύνατο να συνάγουμε κάτι για την συμπεριφορά σειράς για την οποία το κριτήριο είναι μη πληροφοριακό χρησιμοποιώντας μόνο το κριτήριο. Σημειώνεται επίσης ότι υπάρχουν εκλεπτύνσεις του κριτηρίου που είναι δυνατόν να μας πληροφορούν για την συμπεριφορά δεδομένης σειράς είτε όταν το όριο της βοηθητικής ακολουθίας δεν υπάρχει, είτε όταν αυτό ισούται με ένα.

Ξεκινήσαμε να εργαζόμαστε σε απλά παραδείγματα εμφάνισης των εννοιών των πραγματικών ακολουθιών, της διαδικασίας μερικής άθροισης και των πραγματικών σειρών στα οικονομικά.

Το πρώτο παράδειγμα αφορά σε περιοριστικό ορισμό και τιμολόγηση χρηματοοικονομικού τίτλου. Σε αυτό, εκφράσαμε υπό προϋποθέσεις την τιμή ως σειρά των κατάλληλα προεξοφλημένων αποδόσεων. Διερευνήσαμε παραδείγματα της προσέγγισής μας, ένα εκ των οποίων αφορούσε στην μη σύγκλιση κατάλληλης σειράς, ως σχετικό με την έννοια της χρηματοοικονομικής φούσκας. Η περιορισμένη εκφραστικότητα του υποδείγματος συνεπάγονταν στο εν λόγω παράδειγμα τον απειρισμό της τιμής (εξαιτίας της απόκλισης της σειράς των παρουσών αξιών των αποδόσεων), κάτι που προφανώς δεν παρατηρείται στην πραγματικότητα.

Το δεύτερο, εμπίπτει στα πλαίσια της νομισματικής θεωρίας όπου συναντάμε τις έννοιες της πραγματικής ακολουθίας και της πραγματικής σειράς. Αυτό αφορά στην δημιουργία χρήματος από τις θεμελιώδεις λειτουργίες του τραπεζικού συστήματος, το οποίο αποτελείται από την κεντρική και τις εμπορικές τράπεζες και στο οποίο υπάρχει η τεχνολογία των κλασματικών διαθεσίμων.

Η κατασκευή πιο εκφραστικών υποδειγμάτων, αλλά και η εξέταση της έννοιας της δυναμοσειράς και των συνακόλουθων εφαρμογών, διευκολύνεται από την γενίκευση των έννοιών που έχουμε δει μέχρι τώρα εισάγωντας και την έννοια της ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού.

Πρόχειρες σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ, εδώ, και εδώ. Ένα γενικότερο υπόδειγμα αποτίμησης σε υπόβαθρο αβεβαιότητας (το οποίο προφανώς είναι εκτός της ύλης του μαθήματος) μπορείτε να βρείτε εδώ (και περισσότερες λεπτομέρειες για αυτό μπορείτε να βρείτε στο κεφ. 9του εγχειριδίου που ενδεχομένως έχετε επιλέξει στο μάθημα της Στατιστικής ΙΙ).

Τους πίνακες των από απόστασης διαλέξεων του Ακ. Έτους 2020-21, που μεταξύ άλλων, αναφέρονται και στα παραπάνω να βρείτε εδώ και εδώ.

Άσκηση (ίσως λίγο δύσκολη): Έστω η αρμονική σειρά. Να δειχθεί ότι είναι δυνατόν να επιλεγεί άπειρο πλήθος συνετελεστών της το οποίο σχηματίζει συγκλίνουσα σειρά (μπορείτε να χρησιμποποιήσετε το πως λειτουργεί το κριτήριο του πηλίκου για να το δείξετε).