Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Συνεχίζοντας την χρήση του γεωμετρικού ορισμού, είδαμε ότι αφού μια συγκλίνουσα ακολουθία έχει όρους φραγμένους από πάνω (κάτω) από πραγματικό αριθμό, τότε και το όριο αυτής δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο (αντ. μικρότερο) του φράγματος, ότι ακολουθία που βρίσκεται κατά σημείο μεταξύ συγκλινουσών ακολουθίων στο ίδιο όριο, συγκλίνει και αυτή εκεί, και ότι το ζήτημα της σύγκλισης της ακολουθίας δεν επηρεάζεται καθόλου από την συμπεριφορά όποιου πεπερασμένου μέρους της ακολουθίας.

Παρατηρήσαμε ότι η διατύπωση στοιχείων αυτού του λογισμού θα είναι πιο ευχερής μεταγράφοντας τον αρχικό γεωμετρικό ορισμό του ορίου σε ισοδύναμο αναλυτικό ορισμό, χρησιμοποιώντας τους ποσοδείκτες ("υπάρχει" και "για κάθε" ) και ανισότητες.

Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω και ασκήσεις μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Τους πίνακες των διαλέξεων του Ακ. Έτους 2020-21 που εμπεριέχουν και μέρος των παραπάνω, μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ. 

Στην συνέχεια, μεταγράψαμε τον αρχικό γεωμετρικό ορισμό του ορίου στον ισοδύναμο του αναλυτικό ορισμό, και είδαμε πως ο τελευταίος εφαρμόζεται σε παραδείγματα και αντιπαραδείγματα. Προχωρήσαμε μέσω της χρήσης του στην διακρίβωση της σχέσης της σύγκλισης με τις αλγεβρικές πράξεις που έχουμε μελετήσει για πραγματικές ακολουθίες.

Παρατηρώντας ότι η χρήση μέρους του λογισμού των ορίων έχει να κάνει με την διευκόλυνση της εξακρίβωσης του ζητήματος σύγκλισης (και ενδεχομένως της συνακόλουθης εύρεσης του ορίου) για ακολουθίες που απατελούν κατάλληλους μετασχηματισμούς ακολουθιών των οποίων η ασυμπτωτική συμπεριφορά είναι γνωστή, αναφερθήκαμε  στον μετασχηματισμό ακολουθιών μέσω σύνθεσης με κατάλληλες συναρτήσεις, και συνακόλουθα στην αρχή της μεταφοράς. Χρησιμοποιήσαμε πολλές από τις έννοιες που έχουμε μέχρι τώρα εξάγει στην μελέτη της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς χρήσιμων στα παρακάτω παραδειγμάτων που σχετίζονται με την γεωμετρική σειρά.

Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω και ασκήσεις μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Τους πίνακες των διαλέξεων του Ακ. Έτους 2020-21 που εμπεριέχουν και μέρος των παραπάνω, μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Ξεκινώντας την ενασχόληση μας με τις πραγματικές σειρές, και προσπαθώντας να εννοιολογήσουμε το απειροπληθές άθροισμα είδαμε ότι γενικά αυτό είναι γενικά αδύνατο μέσω της άλγεβρας. Ξεκινήσαμε την εννοιολόγηση ορίζοντας την έννοια της ακολουθίας μερικών αθροισμάτων δεδομένης πραγματικής ακολουθίας που περικλείει του συντελεστές του αθροίσματος. Αυτή μπορεί να θεωρηθεί ως διαδικασία "ολοκλήρωσης ", ενώ η ζητούμενη έννοια της σειράς ως προς την ακολουθία των συντελεστών είναι το όριο αυτής όταν αυτό υπάρχει. Εξετάσαμε παραδείγματα μεταξύ των οποίων αυτά της γεωμετρικής, της αρμονικής, της εναλλάσουσας αρμονικής και της υπεραρμονικής ακολουθίας μερικών αθροισμάτων. Ορίσαμε την έννοια της σειράς ως το όριο της ακολουθίας μερικών αθροισμάτων των συντελεστών.

Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Στοιχεία των παραπάνω μπορείτε να βρείτε και στους πίνακες των από απόσταση διαλέξεων του Έτους 2020-21, εδώ και εδώ.

Περαιτέρω Ασκήσεις

1. Να οριστεί αυστηρά η αντίστροφη της διαδικασίας μερικής άθροισης.
2. Να δείξετε ότι κάθε άθροισμα πεπερασμένου πλήθους όρων είναι δυνατόν να γραφεί ως κάταλληλη σειρά.