Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Προοικονομώντας την έννοια του ορίου, δείξαμε ότι όταν μια ακολουθία συνδυάζει τις ιδιότητες της μονοτονίας και της φραγής τότε διαθέτει ένα ενδιαφέρον χαρακτηριστικό συγκέντρωσης. Ξεκινήσαμε την ανάπτυξη της έννοιας χρησιμοποιώντας το γενικό παράδειγμα φραγμένης και αύξουσας ακολουθίας όπου και είδαμε ότι θα εμφανίζει μορφή "ασυμπτωτικής συγκέντρωσης" "γύρω από" το sypremum της. Δυικά ισχύει  "ασυμπτωτικής συγκέντρωσης" όποιας φραγμένης και φθίνουσας ακολουθίας "γύρω από" το infimum της.

Τα παραπάνω μας οδήγησε στην ακριβή (καταρχάς γεωμετρική) διατύπωση της έννοιας του ορίου πραγματικής ακολουθίας. Μέσω αυτής διαπιστώσαμε ότι υπάρχουν τόσο συγκλίνουσες (π.χ. οι φραγμένες και μονότονες) όσο και αποκλίνουσες ακολουθίες (π.χ. εναλλάσουσες). 

Ξεκινήσαμε την εξαγωγή μιας σειρά από αποτελέσματα που συγκροτούν ένα μικρό μέρος του (ατελούς) λογισμού που χρησιμεύει στην διακρίβωση του αν μια ακολουθία είναι συγκλίνουσα, ή/και όταν είναι, στην εύρεση του ορίου αυτής. Έπι παραδείγματι, μέσω της χρήσης του γεωμετρικού ορισμού είδαμε ότι το όριο όταν υπάρχει είναι μοναδικό.

Είδαμε ότι αν μια ακολουθία είναι συγκλίνουσα είναι και φραγμένη οπότε ισοδύναμα αν μια ακολουθία είναι μη φραγμένη τότε αναγκαστικά είναι αποκλίνουσα, ότι όταν μια συγκλίνουσα ακολουθία έχει όρους φραγμένους από πάνω (κάτω) από πραγματικό αριθμό, τότε και το όριο αυτής δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο (αντ. μικρότερο) του φράγματος, ότι ακολουθία που βρίσκεται κατά σημείο μεταξύ συγκλινουσών ακολουθίων στο ίδιο όριο, συγκλίνει και αυτή εκεί, και ότι το ζήτημα της σύγκλισης της ακολουθίας δεν επηρεάζεται καθόλου από την συμπεριφορά όποιου πεπερασμένου μέρους της ακολουθίας.

Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω και ασκήσεις μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Τους πίνακες διαλέξεων προηγούμενων ακαδημαϊκών ετών που εμπεριέχουν και μέρος των παραπάνω, μπορείτε να βρείτε  εδώ, εδώ, εδώ, και εδώ. Περαιτέρω σχόλια μπορείτε να βρείτε εδώ.

Περαιτέρω Ασκήσεις

1. Έστω συγκλίνουσα ακολουθία όπου κάθε όρος της οποίας είναι αυτηρά μεγαλύτερος (αντ. μικρότερος) του πραγματικού αριθμού C. Να δειχθεί ότι το όριο είναι επίσης μεγαλύτερο (αντ. μικρότερο) ή ίσο του C. Γιατί είναι δυνατόν να είναι ίσο;
2. 'Εστω ακολουθία για την οποία οι απόλυτες τιμές σχεδόν όλων των όρων είναι μεγαλύτερες ή ίσες των απολύτων τιμών των αντίστοιχων όρων ακολουθίας που δεν είναι φραγμένη. Να δειχθεί ότι η αρχική ακολουθία είναι αποκλίνουσα.
3. Δείξτε ότι συγκλίνουσα ακολουθία με κάτω φράγμα το 1 δεν μπορεί να έχει όριο μικρότερο του 1.
4. Δείξτε ότι συγκλίνουσα ακολουθία με άνω φράγμα το 1 δεν μπορεί να έχει όριο μεγαλύτερο του 1.
5. Δείξτε ότι το όριο συγκλίνουσας ακολουθίας δεν μπορεί να είναι μικρότερο από το inf και μεγαλύτερο από το sup αυτής.
6. Χρησιμοποιώντας τον γεωμετρικό ορισμό του ορίου να δειχθεί ότι κάθε υπακολουθία συγκλίνουσας ακολουθίας συγκλίνει επίσης στο ίδιο όριο.