Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Ιστολόγιο

Επιστροφή

Σύνοψη Διαλέξεων 5ης-6ης (Ακ. Έτος 2024-25)

Τρίτη, 29 Οκτωβρίου 2024 - 5:37 μ.μ.

Συνεχίσαμε με την διερεύνηση της έννοιας της φραγμένης πραγματικής συνάρτησης, εκκινώντας από την έννοια της φραγής από πάνω, εξετάζοντας παραδείγματα και άντι-παραδείγματα. Ασχοληθήκαμε αντιστοίχως με την δυική έννοια της φραγής από κάτω. Συνδυάζοντας τα προηγούμενα αποκτήσαμε τελικά την έννοια της φραγής για πραγματικές συναρτήσεις.

Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω διατυπώσαμε τελικά τον ορισμό της φραγμένης πραγματικής ακολουθίας χρησιμοποιώντας καταρχάς την συνάρτησιακή της μορφή. Είδαμε παραδείγματα και αντί παραδείγματα.

Ξεκινήσαμε την διατύπωση και απόδειξη βοηθητικών αποτελεσμάτων. Το πρώτο αφορά στην διατύπωση ισοδύναμου ορισμού χρησιμοποιώντας την έννοια του απολύτου φράγματος∙ αυτό επιτρέπει την ενασχόληση με την εύρεση ενός αντί για δύο φράγματα, και επομένως μπορεί να διαυκολύνει την ανάλυση σε κάποιες περιπτώσεις.

Πρόχειρες σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ, εδώ, και εδώ.

Τους πίνακες των σχετικών από απόσταση διαλέξεων του Ακ. Έτους 2020-21 μπορείτε να βρείτε εδώ.

Περαιτέρω σχόλια μπορείτε να βρείτε εδώ.

Περαιτέρω Ασκήσεις:

Να δειχθεί ότι αν οι $gif.latex?%28x_%7Bn%7D%29%2C%5C%3A%28y_%7Bn%7D%29$ φραγμένες τότε και η $gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cmax%28x_%7Bn%7D%2Cy_%7Bn%7D%29%20%5Cright%20%29$ φραγμένη.
Να δειχθεί ότι η ακολουθία $gif.latex?%5Cleft%20%28%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bn%7Dx%5E%7B2%7Ddx%20%5Cright%20%29$ δεν είναι φραγμένη.
Να δειχθεί ότι αν η $gif.latex?%28y_%7Bn%7D%29$ φραγμένη και $gif.latex?%5Cleft%20%7C%20x_%20%7Bn%7D%20%5Cright%20%7C%20%3C%20%5Csup%5Cleft%20%7Cy_%7Bn%7D%5Cright%20%7C%2C%5C%3A%5Cforall%20n%5Cgeq%20%5Cmathbb%7BN%7D$ , τότε υπάρχει κάποιος φυσικός $gif.latex?n%5E%7B%5Cstar%7D$ , τέτοιος ώστε $gif.latex?%5Cleft%20%7C%20x_%20%7Bn%7D%20%5Cright%20%7C%20%5Cleq%20%5Cleft%20%7Cy_%7Bn%7D%5Cright%20%7C%2C%5C%3A%5Cforall%20n%5Cgeq%20n%5E%7B%5Cstar%7D$ .