Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Ασχοληθήκαμε περαιτέρω με την έννοια της φραγής. Διατυπώσαμε τον ορισμό της φραγμένης πραγματικής ακολουθίας χρησιμοποιώντας καταρχάς την συνάρτησιακή της μορφή. Είδαμε παραδείγματα και αντί παραδείγματα.

Συνεχίσαμε με την διατύπωση και απόδειξη βοηθητικών αποτελεσμάτων. Το πρώτο αφορά στην διατύπωση ισοδύναμου ορισμού χρησιμοποιώντας την έννοια του απολύτου φράγματος∙ αυτό επιτρέπει την ενασχόληση με την εύρεση ενός αντί για δύο φράγματα, και επομένως μπορεί να διαυκολύνει την ανάλυση σε κάποιες περιπτώσεις. Το δεύτερο αφορά στην διακρίβωση της φραγής μέσω της κατα σημείο σύγκρισης με κατάλληλη βοηθητική ακολουθία. Στο τρίτο δείξαμε ότι η ιδιότητα της φραγής δεν προσδιορίζεται από κανένα πεπερασμένο υποσύνολο της ακολουθίας αλλά εξαρτάται από την συμπεριφορά του υπόλοιπου απειροπληθούς μέρους της. Παρατηρήσαμε μέσω άσκησης, ότι τα παραπάνω μπορεί να είναι χρήσιμα στην εξαγωγή αποτελεσμάτων που π.χ. αποδίδουν την ιδιότητα της φραγής σε πραγματική ακολουθία μέσω κατάλληλης (σχεδόν παντού) σύγκρισης με φραγμένη ακολουθία, κ.ο.κ.

Δείξαμε π.χ. ότι οι αλγεβρικές πράξεις διατηρούν την φραγή (έτσι π.χ. το σύνολο των φραγμένων πραγματικών ακολουθιών είδαμε ότι αποτελεί διανυσματικό υποχώρο του συνόλου των πραγματικών ακολουθιών ως προς τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτου πολλαπλασιασμού), ενώ ισχυριστήκαμε ότι το άθροισμα φραγμένης με μη φραγμένη ακολουθία είναι μη φραγμένη ακολουθία.

Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω όπως και κάποιες ασκήσεις μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Τους πίνακες των σχετικών από απόσταση διαλέξεων του Ακ. Έτους 2020-21 μπορείτε να βρείτε εδώ (σελ. 5-9) και εδώ (σελ. 1-8).

Περαιτέρω σχόλια μπορείτε να βρείτε εδώ.

Περαιτέρω Ασκήσεις:

1. Να δειχθεί ότι αν οι  φραγμένες τότε και η  φραγμένη.
2. Να δειχθεί ότι η ακολουθία  δεν είναι φραγμένη.
3. Να δειχθεί ότι αν η  φραγμένη και  (ορθή επανάληψη), τότε υπάρχει κάποιος φυσικός , τέτοιος ώστε .