Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Ιστολόγιο

Επιστροφή

Σύνοψη Διαλέξεων 25ης-26ης (+1/2)

Δευτέρα, 31 Ιανουαρίου 2022 - 4:22 π.μ.

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με το πρόβλημα του καλώς ορισμένου, βρήκαμε εφικτές διαχρονικές ροές κατανάλωσης για τις οποίες η συνάρτηση ωφέλειας συγκλίνει ακόμη και όταν β=1. Στην συνέχεια, υποθέτωντας υπεραρμονική προεξόφληση, προκειμένου να αναφερθούμε σε προτιμήσεις όπου αποδίδεται μεγαλύτερη σημασία στις απομακρυσμένες χρονικά καταναλώσεις, δείξαμε επίσης το καλώς όρισμένο του αντίστοιχου προβλήματος δυναμικής βελτιστοποίησης.

Στην συνέχεια ξεκινήσαμε την εισαγωγή μας στην θεωρία των δυναμοσειρών. Παρατηρώντας ότι μπορούν τυπικά να ειδωθούν ως κατάλληλα αλγεβρικά συμπληρώματα των πολυωνύμων εφόσον αγνοήσουμε αναλυτικές ιδιότητες τους (ενώ η αλγεβρική αυτή θέαση είναι προφανώς εκτός του εύρους του μαθήματος), και ότι ως έννοιες της ανάλυσης (που είναι εντός του εύρους του μαθήματος) και εξαιτίας των "καλών ιδιοτήτων τους" έχουν ποικίλες εφαρμογές, ασχοληθήκαμε με τον ορισμό τους, και είδαμε παραδείγματα, και αντιπαράδειγμα.

Δεδομένων των παραπάνω, ασχοληθήκαμε καταρχάς με το ζήτημα της συγκλισής τους, οπότε και διατυπώσαμε το θεώρημα Cauchy-Hadamard που μας πληροφορεί ότι το σύνολο σύγκλισης έχει πάντοτε την μορφή διαστήματος (έστω εκφυλισμένου, ή γενικευμένου), με κατάλληλο κέντρο και ακτίνα, μια πρώτη ένδειξη της καλής συμπεριφοράς αυτών. Σκιαγραφήσαμε (και) μέσω του κριτηρίου του πηλίκου την απόδειξη του θεωρήματος, ενώ είδαμε ότι στο εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης η σύγκλιση της δυναμοσειράς είναι απόλυτη, το διάστημα σύγκλισης είναι δυνατόν να περιέχει κάποιο ή και τα δύο άκρα του (εφόσον υπάρχουν), αυτό είναι αδύνατο να διερευνηθεί μέσω του κριτηρίου του πηλίκου, ενώ η σύγκλιση σε κάποιο από αυτά ή και στα δύο (εφόσον ισχύει) μπορεί να είναι κατά συνθήκη. Στην συνέχεια διερευνήσαμε παραδείγματα ως προς το θεώρημα Cauchy-Hadamard.

Συνεχίσαμε με στοιχεία της άλγεβρας μεταξύ δυναμοσειρών με κοινό κέντρο, με αναφορά στα διαστήματα σύγκλισής τους. Παρατηρήσαμε π.χ. ότι δύο δυναμοσειρές με το ίδιο κέντρο είναι ίσες ανν οι συντελεστές τους είναι κατά σημείο ίσοι, ενώ περισσότερο περίπλοκες σχέσεις μεταξύ των συντελεστών είναι δυνατόν να χρειάζονται για την διατύπωση ισότητας μεταξύ δυναμοσειρών με διαφορετικά κέντρα. Αναλόγως το άθροισμα δυναμοσειρών με κοινό κέντρο είναι δυναμοσειρά με το ίδιο κέντρο και διάστημα σύγκλισης υπερσύνολο της τομής των διαστημάτων σύγκλισης των δύο δυναμοσειρών, κ.ο.κ.

Ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με αναλυτικές ιδιότητες των δυναμοσειρών. Καταρχάς διατυπώσαμε το θεώρημα συνέχειας που μας πληροφορεί ότι οι δυναμοσειρές είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα συγκλισής τους. Η απόδειξη αυτού είναι δυνατόν να προκύπτει από έννοιες εκτός του εύρους του μαθήματος (δείτε π.χ. εδώ και εδώ), αλλά επί της ουσίας μας πληροφορεί ότι για της δυναμοσειρές επιτρέπεται κάποιου είδους εναλλαγή ορίων.

Εντυπωσιακότερο είναι το θεώρημα παραγωγισιμότητας δυναμοσειράς με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης, στο εσωτερικό αυτού, που επιτρέπει επίσης κάποιου εναλλαγή ορίου, και συνεπάγεται ότι η παράγωγος είναι επίσης δυναμοσειρά με το ίδιο κέντρο και εσωτερικό διαστήματος σύγκλισης που ταυτίζεται με το εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης της αρχικής, ενώ υπολογίζεται πολύ εύκολα από την αρχική δυναμοσειρά. Ξεκινήσαμε να ασχολούμαστε με διάφορες εφαρμογές του.

Χρησιμοποιώντας την παραγωγισιμότητα, εργαστήκαμε με παραδείγματα που προέκυψαν στα πλαίσια της γεωμετρικής σειράς όποτε είδαμε ότι είναι δυνατόν να χρησιμοποιείται η εν λόγω αναλυτική ιδιότητα προκειμένου να βρίσκουμε πραγματικές σειρές.

Ολοκληρώσαμε την διδαχθείσα ύλη με την εξής εφαρμογή: παραγωγίζοντας κατάλληλη δυναμοσειρά και βρίσκοντας την μοναδική λύση προβλήματος αρχικών τιμών δείξαμε το πως αναπαρίσταται από δυναμοσειρά η εκθετική συνάρτηση, ενώ είδαμε ότι η αναπαράσταση αυτή δεν είναι μοναδική όπως και άλλα συναφή ζητήματα. Οι λόγοι που ισχύουν αυτές οι αναπαραστάσεις αφορούν στην θεωρία των αναλυτικών συναρτήσεων.

Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Τους πίνακες των εξ' αποστάσεως διαλέξεων για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Περαιτέρω Ασκήσεις

Προσπαθήστε να δείξετε αν το πρόβλημα βελτιστοποίησης που διερευνήθηκε παραπάνω είναι καλώς ορισμένο όταν η συνάρτηση ωφέλειας είναι η $\sum_{t=0}^{\infty}\beta^{t}\ln (c_{t}+1)$ .
Για το προηγούμενο να βρεθούν αν υπάρχουν εφικτές διαχρονικές καταναλώσεις με σχεδόν όλους τους όρους θετικούς για τις οποίες η συνάρτηση ωφέλειας συγκλίνει όταν $\beta=1$ .
Εξηγήστε το γιατί η συνάρτηση ωφέλειας είναι σειρά πραγματικών συναρτήσεων η κάθε μία εκ των οποίων ορίζεται επί του εφικτού συνόλου.
Προσπαθείστε να διερευνήσετε ότι έχει γίνει και ότι έχει ζητηθεί στην εφαρμογή μας όταν αντί του μετασχηματισμού $k\rightarrow k^{a}$ ισχύει ο μετασχηματισμός (δηλ. ο στιγμιαίος ανατοκισμός του διαθέσιμου πόρου με στιγμιαίο σταθερό στον χρόνο επιτόκιο r) $\kappa_{t}\rightarrow (1+r)k_{t},\:t\in\mathbb N,\: r>0.$
Να δειχθεί ότι οι παρακάτω είναι δυναμοσειρές και να βρεθεί το εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης αυτών:
1. $\sum_{i=0}^{\infty}i(x-5)^{i}$
2. $\sum_{i=0}^{\infty}\frac{i!}{i^{i}} (x-2)^{i}$
3. $\sum_{i=0}^{\infty}\frac{2}{(i+1)^{2}} (x-1)^{i}$
4. $\sum_{i=2}^{\infty}\frac{1}{\ln(i)} (x-1)^{i}$
5. $\sum_{i=2000}^{\infty}\frac{1}{\exp(i)} (x-100!)^{i}$
Να βρεθούν οι παράγωγοι 1ης τάξης για όσες από τις παρακάτω δυναμοσειρές είναι καλώς ορισμένες:
1. $\sum_{i=0}^{\infty}i!(x-4)^{i}$ ,
2. $\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i+1}(x-2)^{i}$ ,
3. $\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i+2}(x-7)^{i}$ ,
4. $\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^2}x^{i}$ ,
5. $\sum_{i=0}^{\infty}\frac{i!}{\exp(i)}x^{i}$ .
6. $\sum_{i=0}^{\infty}i(x-5)^{i}$
7. $\sum_{i=0}^{\infty}\frac{i!}{i^{i}} (x-2)^{i}$
8. $\sum_{i=0}^{\infty}\frac{2}{(i+1)^{2}} (x-1)^{i}$
9. $\sum_{i=2}^{\infty}\frac{1}{\ln(i)} (x-1)^{i}$
10. $\sum_{i=2000}^{\infty}\frac{1}{\exp(i)} (x-100!)^{i}$

Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Ιστολόγιο

Σύνοψη Διαλέξεων 25ης-26ης (+1/2)

Σχόλια (0)

Επιλογές Μαθήματος