Σύνοψη διαλέξεων 17ης-19ης (Ακ. Έτος 2021-22-περιλαμβάνει και την 3η αναπληρωτική)

Κυριακή, 19 Δεκεμβρίου 2021 - 1:22 π.μ.
- από τον χρήστη ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ ΣΤΥΛΙΑΝΟΣ

Αποδείξαμε ότι η απόλυτη σύγκλιση αποτελεί γνήσια εκλέπτυνση της συνήθους σύγκλισης, ενώ αναφέραμε εν συντομία το Θεώρημα Σειρών του Riemann και το ότι ανν έχουμε απόλυτη σύγκλιση η αναδιάταξη των όρων της σειράς δεν επηρεάζει την άθροιση. 

Μέσω του παραπάνω μπορέσαμε και διατυπώσαμε το Κριτήριο του Πηλίκου το οποίο (σε κάποιες περιπτώσεις) αποφαίνεται για το αν δεδομένη σειρά συγκλίνει απολύτως ή αποκλίνει  και ξεκινήσαμε να εργαζόμαστε με αυτό.

Παρατηρήσαμε ότι επί της ουσίας λειτουργεί μέσω της σύγκρισης με γεωμετρική σειρά ο συντελεστής της οποίας σχετίζεται με το όριο της βοηθητικής ακολουθίας των πηλίκων των απολύτων τιμών των διαδοχικών όρων. Συνεπώς είναι αναμενόμενο ότι όταν τέτοια σύγκριση είναι αδύνατη (π.χ. σε υπεραρμονικές σειρές) το κριτήριο θα είναι να είναι μη πληροφοριακό όταν υπάρχει το σχετικό όριο.

Μέσω παραδειγμάτων, είδαμε ότι η περίπτωση της μη πληροφοριακότητας είναι δυνατόν να αφορά κατά συνθήκη σύγκλιση, κάτι αναμενόμενο, απόκλιση αλλά και απόλυτη σύγκλιση. Συνεπώς είναι γενικά αδύνατο να συνάγουμε κάτι για την συμπεριφορά σειράς για την οποία το κριτήριο είναι μη πληροφοριακό χρησιμοποιώντας μόνο το κριτήριο. Παρατηρήσαμε επίσης ότι υπάρχουν εκλεπτύνσεις του κριτηρίου που είναι δυνατόν να μας πληροφορούν για την συμπεριφορά δεδομένης σειράς είτε όταν το όριο της βοηθητικής ακολουθίας δεν υπάρχειείτε όταν αυτό ισούται με ένα.

Ξεκινήσαμε να εργαζόμαστε σε απλά παραδείγματα εμφάνισης των εννοιών των πραγματικών ακολουθιών, της διαδικασίας μερικής άθροισης και των πραγματικών σειρών στα οικονομικά. Το πρώτο παράδειγμα αφορά σε περιοριστικό ορισμό και τιμολόγηση χρηματοοικονομικού τίτλου. Εκφράσαμε υπό προϋποθέσεις την τιμή ως σειρά των κατάλληλα προεξοφλημένων αποδόσεων. Θεωρήσαμε υποπαράδειγμα της προσέγγισής μας που αφορούσε στην μη σύγκλιση κατάλληλης σειράς, ως σχετικό με την έννοια της χρηματοοικονομικής φούσκας.

Συνεχίσαμε με δεύτερο παράδειγμα στα πλαίσια της νομισματικής θεωρίας όπου συναντάμε τις έννοιες της πραγματικής ακολουθίας και της πραγματικής σειράς. Αυτό αφορά στην δημιουργία χρήματος από τις θεμελιώδεις λειτουργίες του τραπεζικού συστήματος, το οποίο αποτελείται από την κεντρική και τις εμπορικές τράπεζες και στο οποίο υπάρχει η τεχνολογία των κλασματικών διαθεσίμων.

Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ, και εδώ. Ένα γενικότερο υπόδειγμα αποτίμησης σε υπόβαθρο αβεβαιότητας (το οποίο προφανώς είναι εκτός της ύλης του μαθήματος) μπορείτε να βρείτε εδώ.

Τους πίνακες των από απόσταση διαλέξεων του Ακ. Έτους 2020-21 που μεταξύ άλλων σχετίζονται με τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Τους πίνακες της 3ης αναπληρωτικής διάλεξης μπορείτε να βρείτε εδώ.

Ασκήσεις (προσπαθήστε να λύσετε τις 1-4 χρησιμοποιώντας αποκλειστικά το κριτήριο του πηλίκου).

  1. Δείξτε ότι η σειρά \sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i!} συγκλίνει για κάθε x\geq 0.
  2. Δείξτε ότι η σειρά \sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(i+1)^m},\: 0\leq m <1 αποκλίνει.
  3. Δείξτε ότι η σειρά \sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i^{m})) για όποιο m>1 συγκλίνει. Υπόδειξη: Μπορείτε να συσχετίσετε την συμπεριφορά της εν λόγω σειράς με την ανάλογη υπεραρμονική. Μπορείτε για μεγαλύτερη ευκολία να ασχοληθείτε με την \sum_{i=0}^{\infty}\exp(-(i+1)^{m})) ή/και να δείτε την προηγούμενη μόνο για m=2).
  4. Δείξτε ότι η σειρά \sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(i)+1} αποκλίνει.
  5. Επινοήστε όσο το δυνατόν περισσότερες σειρές και προσπαθήστε να διαπιστώσετε το αν συγκλίνουν χρησιμοποιώντας πλέον αποκλειστικά το κριτήριο. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε και αυτές που αναφέρονται σε παλαιότερες αναρτήσεις.
  6. Προσπαθήστε να ερμηνεύσετε στα πλαίσια της οικονομικής θεωρίας το τι συμβαίνει με την τιμή του τίτλου όταν δεν ισχύει η συνθήκη μη ύπαρξης φούσκας στο παράδειγμα που μας απασχόλησε.
  7. Προσπαθήστε να ερμηνεύσετε στα πλαίσια της οικονομικής θεωρίας το τι θα συνέβαινε  στο άνω φράγμα της συνολικής προσφοράς χρήματος αν οι εμπορικές τράπεζες δεν είχαν υποχρέωση διακράτησης ρευστών διαθεσίμων (a=0);
Σχόλια (0)