Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Ασχοληθήκαμε περαιτέρω με την έννοια της φραγής. Διατυπώσαμε τον ορισμό της φραγμένης πραγματικής ακολουθίας χρησιμοποιώντας την συνάρτηση ακή της μορφή. Είδαμε παραδείγματα και αντί παραδείγματα.

Συνεχίσαμε με την διατύπωση και απόδειξη βοηθητικών αποτελεσμάτων. Το πρώτο αφορά στην διακρίβωση της φραγής μέσω της κατα σημείο σύγκρισης με κατάλληλη βοηθητική ακολουθία. Στο δεύτερο δείξαμε ότι η ιδιότητα της φραγής δεν προσδιορίζεται από κανένα πεπερασμένο υποσύνολο της ακολουθίας αλλά εξαρτάται από την συμπεριφορά του υπόλοιπου απειροπληθούς μέρους της. Αυτό μας επέτρεψε να "γενικεύσουμε" την έννοια στην σχεδόν παντού φραγή με τον προφανή τρόπο και να δείξουμε την ισοδυναμία των δύο εννοιών. Είδαμε μέσω παραδείγματος, ότι αυτό μπορεί να είναι χρήσιμο στην εξαγωγή αποτελεσμάτων που π.χ. αποδίδουν την ιδιότητα της φραγής σε πραγματική ακολουθία μέσω κατάλληλης (σχεδόν παντού) σύγκρισης με φραγμένη ακολουθία, κ.ο.κ.

Δείξαμε π.χ. ότι οι αλγεβρικές πράξεις διατηρούν την φραγή (έτσι π.χ. το σύνολο των φραγμένων πραγματικών ακολουθιών είδαμε ότι αποτελεί διανυσματικό υποχώρο του συνόλου των πραγματικών ακολουθιών ως προς τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτου πολλαπλασιασμού), ενώ το άθροισμα φραγμένης με μη φραγμένη ακολουθία είναι μη φραγμένη ακολουθία.

Παρατηρήσαμε ότι η διάταξη με την οποία εμφανίζονται οι όροι μιας πραγματικής ακολουθίας μέσα σε αυτή δεν συμφωνεί αναγκαστικά με την διάταξη τους στην πραγματική ευθεία. Όταν οι δύο αυτές διατάξεις σχετίζονται μονότονα αποκτούμε την έννοια της μονότονης ακολουθίας. Διατυπώσαμε τον ορισμό ο οποίος βασίζεται στην έννοια μονότονης πραγματικής συνάρτησης, και στην συναρτησιακή μορφή των ακολουθιών.

Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω όπως και κάποιες ασκήσεις μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Τους πίνακες των σχετικών από απόσταση διαλέξεων του Ακ. Έτους 2020-21 μπορείτε να βρείτε εδώ (σελ. 5-9) και εδώ (σελ. 1-8).

Περαιτέρω σχόλια μπορείτε να βρείτε εδώ.

Περαιτέρω Ασκήσεις:

1. Να δειχθεί ότι αν οι  φραγμένες τότε και η  φραγμένη.
2. Να δειχθεί ότι η ακολουθία  δεν είναι φραγμένη.
3. Να δειχθεί ότι αν η  φραγμένη και  (ορθή επανάληψη), τότε υπάρχει κάποιος φυσικός , τέτοιος ώστε .