Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Συνεχίσαμε με στοιχεία της άλγεβρας μεταξύ δυναμοσειρών με κοινό κέντρο, με αναφορά στα διαστήματα σύγκλισής τους. Παρατηρήσαμε π.χ. ότι δύο δυναμοσειρές με το ίδιο κέντρο είναι ίσες ανν οι συντελεστές τους είναι κατά σημείο ίσοι, ενώ περισσότερο περίπλοκες σχέσεις μεταξύ των συντελεστών είναι δυνατόν να χρειάζονται για την διατύπωση ισότητας μεταξύ δυναμοσειρών με διαφορετικά κέντρα. Αναλόγως το άθροισμα δυναμοσειρών με κοινό κέντρο είναι δυναμοσειρά με το ίδιο κέντρο και διάστημα σύγκλισης υπερσύνολο της τομής των διαστημάτων σύγκλισης των δύο δυναμοσειρών, κ.ο.κ.  

Ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με αναλυτικές ιδιότητες των δυναμοσειρών. Καταρχάς διατυπώσαμε το θεώρημα συνέχειας που μας πληροφορεί ότι οι δυναμοσειρές είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα συγκλισής τους. Η απόδειξη αυτού είναι δυνατόν να προκύπτει από έννοιες εκτός του εύρους του μαθήματος (δείτε π.χ. εδώ και εδώ), αλλά επί της ουσίας μας πληροφορεί ότι για της δυναμοσειρές επιτρέπεται κάποιου είδους εναλλαγή ορίων.

Εντυπωσιακότερο είναι το θεώρημα παραγωγισιμότητας δυναμοσειράς με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης, στο εσωτερικό αυτού, που επιτρέπει επίσης κάποιου εναλλαγή ορίου, και συνεπάγεται ότι η παράγωγος είναι επίσης δυναμοσειρά με το ίδιο κέντρο και εσωτερικό διαστήματος σύγκλισης που ταυτίζεται με το εσωτερικό του διαστήματος σύγκλισης της αρχικής, ενώ υπολογίζεται πολύ εύκολα από την αρχική δυναμοσειρά. Ξεκινήσαμε να ασχολούμαστε με διάφορες εφαρμογές του. Έτσι, παραγωγίζοντας κατάλληλη δυναμοσειρά και βρίσκοντας την μοναδική λύση προβλήματος αρχικών τιμών δείξαμε το πως αναπαρίσταται από δυναμοσειρά η εκθετική συνάρτηση, ενώ είδαμε ότι η αναπαράσταση αυτή δεν είναι μοναδική όπως και άλλα συναφή ζητήματα. Οι λόγοι που ισχύουν αυτές οι αναπαραστάσεις αφορούν στην θεωρία των αναλυτικών συναρτήσεων.

Χρησιμοποιώντας την παραγωγισιμότητα, εργαστήκαμε με παραδείγματα που προέκυψαν στα πλαίσια της γεωμετρικής σειράς όποτε είδαμε ότι είναι δυνατόν να χρησιμοποιείται η εν λόγω αναλυτική ιδιότητα προκειμένου να βρίσκουμε πραγματικές σειρές.

Περνώντας σε εφαρμογές δυναμοσειρών είδαμε εν συντομία κάποιες βασικές έννοιες που αφορούν στις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις. Παρατηρήσαμε ότι συνήθως λύσεις αυτών βρίσκονται μέσω περίπλοκων διαδικασιών ολοκλήρωσης (που συνδυάζονται με κατάλληλους μετασχηματισμούς) και ότι εφόσον η ολοκλήρωση είναι γενικά υπολογιστικά πολύπλοκη, προκύπτει εύλογα το ερώτημα αν είναι δυνατόν σε κάποιες περιπτώσεις να αποφευχθεί μέσω διαδικασίών εύρεσης λύσεων ενδεχομένως μικρότερης πολυπλοκότητας. Οδηγηθήκαμε έτσι σε μια εισαγωγή στην Μέθοδο των Δυναμοσειρών για την εύρεση λύσεων.

Η μέθοδος ανάγεται στην επίλυση απειροπληθούς συστήματος από αναδρομικές σχέσεις για την εύρεση των άγνωστων συντελεστών της δυναμοσειράς. Αυτό προκύπτει από την μορφή της εξίσωσης, την μορφή που έχουν οι παράγωγοι δυναμοσειράς με μη εκφυλισμένο διάστημα σύγκλισης, και από την έννοια της ισότητας δυναμοσειρών. Είναι δε δυνατόν να είναι ευκολότερα επιλύσιμο από την ολοκλήρωση. Το σύστημα δεν θα εμπεριέχει εξ'ορισμού πληροφορία για κάποιους από τους συντελεστές της εξίσωσης το πλήθος των οποίων θα ταυτίζεται με την τάξη της, και οι οποίοι θα αναπαριστούν τις σχετικές σταθερές ολοκλήρωσης. Ασχοληθήκαμε με την εφαρμογή της μεθόδου στην κατηγορία των γραμμικών εξισώσεων πρώτης τάξης, με σταθερούς συντελεστές και όρο, και χρησιμοποιήσαμε τα ευρήματά μας σε εφαρμογή για την ασυμπτωτική ευστάθεια αγοράς με σχετικά απλή δυναμική συμπεριφορά. Ασχοληθήκαμε επίσης, και με παράδειγμα γραμμικής πρώτης τάξης με σταθερούς συντελεστές και γραμμικό όρο όπως και με παράδειγμα ομογενούς γραμμικής δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές.

Σημειώσεις και ασκήσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ, εδώ, και εδώ.

Τους πίνακες των από απόσταση διαλέξων μπορείτε να βρείτε εδώ, εδώ και εδώ.    

Περαιτέρω Ασκήσεις.

Α. Να βρεθούν οι παράγωγοι 1ης τάξης για όσες από τις παρακάτω δυναμοσειρές είναι καλώς ορισμένες:

1. ,
2. ,
3. ,
4. ,
5. .
6. 
7. 
8. 
9. 
10.