Μάθημα : Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ

Συνεχίσαμε και ολοκληρώσαμε το παράδειγμα στα πλαίσια της θεωρίας χρήματος που αφορά στην δημιουργία χρήματος από τις θεμελιώδεις λειτουργίες του τραπεζικού συστήματος• αυτό αποτελείται από την κεντρική και τις εμπορικές τράπεζες και στο οποίο υπάρχει η τεχνολογία των κλασματικών διαθεσίμων.

Προκειμένου να μπορούμε να ασχοληθούμε με πολυπλοκότερα παραδείγματα αλλά και με την έννοια της δυναμοσειράς και τις συνακόλουθες εφαρμογές, ξεκινήσαμε την γενίκευση των έννοιών που έχουμε δει μέχρι τώρα εισ

Αποδείξαμε ότι η απόλυτη σύγκλιση αποτελεί γνήσια εκλέπτυνση της συνήθους σύγκλισης, ενώ αναφέραμε εν συντομία το Θεώρημα Σειρών του Riemann και το ότι ανν έχουμε απόλυτη σύγκλιση η αναδιάταξη των όρων της σειράς δεν επηρεάζει την άθροιση. 

Μέσω του παραπάνω μπορέσαμε και διατυπώσαμε το Κριτήριο του Πηλίκου το οποίο (σε κάποιες περιπτώσεις) αποφαίνεται για το αν δεδομένη σειρά συγκλίνει απολύτως ή αποκλίνει  και ξεκινήσαμε να εργαζόμαστε με αυτό.

Παρατηρήσαμε ότι επί της ουσίας λειτουργεί μέσω τ

Συνεχίσαμε με το παράδειγμα της αρμονικής σειράς και εκμεταλλευόμενοι την προεργασία που είχαμε κάνει για την προσέγγιση του γενικού όρου της αρμονικής ΑΜΑ από ολοκλήρωμα, δείξαμε ότι η εν λόγω σειρά δεν υπάρχει επειδή η ΑΜΑ αυτής δεν είναι φραγμένη.

Αναφερθήκαμε στο παράδειγμα της εναλλάσουσας αρμονικής η οποία υπάρχει και ισούται με ln(2), και σημειώσαμε ότι τα εννοιολογικά εργαλεία που έχουμε συγκεντρώσει μέχρι τώρα δεν επαρκούν για να εξετάσουμε το τι συμβάινει με αυτό το παράδειγμα•θα μας χ

Παρατηρώντας ότι η χρήση μέρους του λογισμού έχει να κάνει με την διευκόλυνση της εξακρίβωσης του ζητήματος σύγκλισης (και ενδεχομένως της συνακόλουθης εύρεσης του ορίου) για ακολουθίες που απατελούν κατάλληλους μετασχηματισμούς ακολουθιών των οποίων η ασυμπτωτική συμπεριφορά είναι γνωστή, αναφερθήκαμε καταλήγωντας στον μετασχηματισμό ακολουθιών μέσω σύνθεσης με κατάλληλες συναρτήσεις, και συνακόλουθα στην αρχή της μεταφοράς. Χρησιμοποιήσαμε πολλές από τις έννοιες που έχουμε μέχρι τώρα εξάγει στ

Συνεχίσαμε την εξαγωγή σειράς από αποτελέσματα που συγκροτούν ένα μικρό μέρος του (ατελούς) λογισμού που χρησιμεύει στην διακρίβωση του αν μια ακολουθία είναι συγκλίνουσα, ή/και όταν είναι, στην εύρεση του ορίου αυτής. Είδαμε ότι αν μια ακολουθία είναι συγκλίνουσα είναι και φραγμένη οπότε ισοδύναμα αν μια ακολουθία είναι μη φραγμένη τότε αναγκαστικά είναι αποκλίνουσα, ότι όταν μια συγκλίνουσα ακολουθία έχει όρους φραγμένους από πάνω (κάτω) από πραγματικό αριθμό, τότε και το όριο αυτής δεν μπορεί

Ολοκληρώσαμε την καταρχάς διερεύνηση της φραγής δείχνοντας ότι το άθροισμα φραγμένης με μη φραγμένη ακολουθία είναι μη φραγμένη ακολουθία.

Παρατηρήσαμε ότι η διάταξη με την οποία εμφανίζονται οι όροι μιας πραγματικής ακολουθίας μέσα σε αυτή δεν συμφωνεί αναγκαστικά με την διάταξη τους στην πραγματική ευθεία. Όταν οι δύο αυτές διατάξεις σχετίζονται μονότονα αποκτούμε την έννοια της μονότονης ακολουθίας. Διατυπώσαμε τον ορισμό ο οποίος βασίζεται στην έννοια μονότονης πραγματικής συνάρτησης, και στ

Ασχοληθήκαμε περαιτέρω με την έννοια της φραγής. Διατυπώσαμε τον ορισμό της φραγμένης πραγματικής ακολουθίας χρησιμοποιώντας καταρχάς την συνάρτησιακή της μορφή. Είδαμε παραδείγματα και αντί παραδείγματα.

Συνεχίσαμε με την διατύπωση και απόδειξη βοηθητικών αποτελεσμάτων. Το πρώτο αφορά στην διατύπωση ισοδύναμου ορισμού χρησιμοποιώντας την έννοια του απολύτου φράγματος∙ αυτό επιτρέπει την ενασχόληση με την εύρεση ενός αντί για δύο φράγματα, και επομένως μπορεί να διαυκολύνει την ανάλυση σε κάποιε

Η πρώτη διάλεξη είχε καταρχάς τον χαρακτήρα ενημέρωσης για ζητήματα που άπτονται της διεξαγωγής του μαθήματος. Τα παραπάνω εν μέρει περιγράφονται στην σύνοψη του μαθήματος η οποία βρίσκεται εδώ.

Επίσης, έγινε σύντομη περιγραφή και κινητροδότηση βασικών εννοιών που θα παρουσιαστούν κατά την διάρκεια του μαθήματος. Πρόχειρες σημειώσεις για αυτά όπως και ασκήσεις για επανάληψη προγενέστερων εννοιών που είναι δυνατόν να χρειαστούν βρίσκονται εδώ. 

1. Η εξεταστέα ύλη του μαθήματος περιγράφεται από ότι πραγματευτήκαμε στις διαλέξεις, μέχρι και την διάλεξη της 28/01/2022, όπως και από ότι αναφέρεται στις σχετικές αναρτήσεις του ιστολογίου και στους εκεί συνδέσμους, και στις σημειώσεις του μαθήματος για το τρέχον ακαδημαϊκό έτος (σχετικές σημειώσεις υπάρχουν και στην ομάδα του MS Teams του μαθήματος). Εξαιρέσεις αποτελούν i) η έννοια του εκθετικού μήτρας η οποία αναφέρεται εδώ, ii) οι τύποι που εξάγονται για τις υψηλότερης (πέραν της πρώτης) τ