Κεφάλαιο 4(2)

4.2:Αντίστροφος τετραγωνικού πίνακα

Ορισμός Έστω τετραγωνικός πίνακας Α. Θα λέμε ότι ο πίνακας Β είναι αντίστροφος του Α, εάν Α Β = Β Α = Ι Θεώρημα 4.1 :

Ο αντίστροφος ενός τετραγωνικού πίνακα Α είναι μοναδικός.

Απόδειξη

Ορισμός Εάν ένας τετραγωνικός πίνακας Α έχει αντίστροφο, τότε ο Α λέμε ότι έιναι αντιστρέψιμος και ο αντίστροφός του συμβολίζεται με Α^-1.

Θεώρημα 4.2 :

Εάν οι Α και Β είναι αντιστρέψιμοι τετραγωνικοί πίνακες του ιδίου μεγέθους, τότε

(i)
ο Α^.Β είναι αντιστρέψιμος

και (ii)
(Α^.Β)^-1 = B^-1A^-1.

Απόδειξη

Θεώρημα 4.3 :

Για κάθε αντιστρέψιμο τετραγωνικό πίνακα Α,

(i)
o Α^-1 είναι αντιστρέψιμος και (Α^-1)^-1 = Α

(ii)
για κάθε μη-μηδενικό αριθμό k, ο kA είναι αντιστρέψιμος και

(iii)
o Α^Τ είναι αντιστρέψιμος και (Α^Τ)^-1 = (Α^-1)^Τ

Άσκηση : Να αποδειχθούν οι (i) και (ii). Απάντηση