Θεώρημα 4.2
:
Εάν οι Α και Β είναι αντιστρέψιμοι τετραγωνικοί πίνακες του ιδίου μεγέθους, τότε
(i)
ο Α Β είναι αντιστρέψιμος
και (ii)
(Α Β)
-1
= B
-1
A
-1
.
Απόδειξη
Εάν αποδείξουμε ότι
(Α Β) (B
-1
A
-1
) = (B
-1
A
-1
) (Α Β) = Ι
τότε έχουμε αποδείξει ταυτόχρονα και τις δύο παραπάνω προτάσεις.
Πράγματι
(Α Β) (B
-1
A
-1
) = A (B B
-1
) A
-1
= A I A
-1
= I.
Ομοίως
(B
-1
A
-1
) (Α Β) = B
-1
(A
-1
A) B = B
-1
I B = I
