2.6: Συμπληρωματικοί υπόχωροι

Θεώρημα 2.8 :

Έστω V και W υπόχωροι του . Το σύνολο Κ = { | = + , V και W} είναι υπόχωρος του .

Άσκηση : Να αποδειχθεί το Θεώρημα 2.8 .    Απόδειξη

Ορισμός :
Ο υπόχωρος Κ που αναφέρεται στο Θεώρημα 2.8, ονομάζεται άθροισμα των υποχώρων V , W και συμβολίζεται με Κ = V + W.
Τώρα εάν = V + W και V W = { } , τότε λέμε ότι οι V , W είναι συμπληρωματικοί και επίσης ότι ο είναι το ευθύ άθροισμα των V , W.
Το τελευταίο συμβολίζεται με = V W.

Παράδειγμα :
Έστω V, ο υπόχωρος του ³ που παράγεται από τα διανύσματα ₁ = (1,0,0) , ₂ = (0,1,0) και W ο υπόχωρος του ³ που παράγεται από το διάνυσμα ₃ = (0,0,1) .
Οι V , W είναι συμπληρωματικοί υπόχωροι.
Απόδειξη :
Κατ' αρχήν είναι εύκολο να δούμε ότι κάθε διάνυσμα ( α₁, α₂ , α₃ ) του ³, μπορεί να εκφρασθεί ως άθροισμα δύο διανυσμάτων εκ των οποίων το ένα ανήκει στον V, και το άλλο ανήκει στον W.
Πράγματι ( α₁, α₂ , α₃ ) = ( α₁, α₂ , 0 ) + ( 0, 0 , α₃ ) όπου ( α₁, α₂ , 0 ) V διότι
( α₁, α₂ , 0 ) = α₁(1,0,0) + α₂(0,1,0) και (0 , 0 , α₃ ) = α₃(0,0,1).
Στην συνέχεια θα αποδείξουμε ότι V W = { }.
Έστω = ( α₁, α₂ , α₃ ) V W. Αυτό σημαίνει ότι το ( α₁, α₂ , α₃ ) μπορεί να εκφρασθεί ως γραμμικός συνδυασμός των ₁ , ₂ , οπότε έχουμε ότι α₃ = 0 και επίσης ότι το ( α₁, α₂ , α₃ ) μπορεί να εκφρασθεί ως γραμμικός συνδυασμός του ₃ , οπότε έχουμε α₁ = α₂ = 0. Άρα V W = { }.

Θεώρημα 2.9 :

Ο αποτελεί το ευθύ άθροισμα των υπόχωρων V και W κάθε         μπορεί να εκφρασθεί μ' έναν και μοναδικό τρόπο στην μορφή = + , όπου V και W.

Άσκηση : Να αποδειχθεί το Θεώρημα 2.9     Απόδειξη

Όπως θα δούμε στα επόμενα θεωρήματα που είναι απλή συνέπεια των παραπάνω, συμπληρωματικοί χώροι αντιστοιχούν σε συμπληρωματικές βάσεις.

Θεώρημα 2.10 :

Αν χωρίσουμε μια βάση του σε δύο υποσύνολα τότε οι υπόχωροι που παράγονται από το κάθε υποσύνολο είναι συμπληρωματικοί και αντιστρόφως.

Θεώρημα 2.11 :

Το άθροισμα των διαστάσεων δύο συμπληρωματικών υπόχωρων ισούται με την διάσταση ολοκλήρου του χώρου .

---