2.5: Ορθοκανονικές βάσεις

Ορισμός :
Mια βάση {1 , 2 , . . . , k} ενός υπόχωρου V του , θα λέμε ότι είναι ορθογώνια βάση , αν τα διανύσματά της είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους, εάν δηλαδή i . j = 0 όταν i j .  Εάν τα 1 , 2 , . . . , k είναι επιπλέον μοναδιαία , τότε η βάση ονομάζεται ορθοκανονική .

  Κάθε υπόχωρος έχει ορθογώνιες και ορθοκανονικές βάσεις. Μάλιστα ξεκινώντας από οιαδήποτε βάση του υπόχωρου μπορούμε να κατασκευάσουμε μία ορθογώνια του με μια απλή διαδικασία που είναι γνωστή ως διαδικασία ορθογωνοποίησης Gramm-Schmidt. Η διαδικασία αυτή περιγράφεται στο παρακάτω θεώρημα.

Θεώρημα 2.6 :

Έστω V υπόχωρος του και {1 , 2 , . . . , k} βάση του. Θεωρούμε τα διανύσματα
1 = 1 ,   j = j - pr j     ( j = 2 , . . . , k )
Το σύνολο { 1 ,2 , . . . , k } αποτελεί ορθογώνια βάση του V

Στην συνέχεια , εάν έχουμε μια ορθογώνια βάση του υπόχωρου , μπορούμε να κατασκευάσουμε μια ορθοκανονική βάση , στηριζόμενοι στο παρακάτω θεώρημα.

Θεώρημα 2.7 :

Έστω V υπόχωρος του και S = { 1 ,2 , . . . , k } ορθογώνια βάση του.
Το σύνολο S* = { , , . . . , } αποτελεί ορθοκανονική βάση του V.


Άσκηση : Να αποδειχθεί το Θεώρημα 2.7     Απόδειξη

Παράδειγμα :
Τα διανύσματα 1 = (1,1,1) , 2 = (0,1,1) , 3 = (0,0,1) , αποτελούν βάση του 3. Ξεκινώντας απ' αυτήν την βάση και χρησιμοποιώντας τα Θεωρήματα 2.6 , 2.7 θα βρούμε μια ορθοκανονική βάση του 3.
Θεωρούμε τα διανύσματα ,

Από το Θεώρημα 2.6 έχουμε ότι τα διανύσματα 1 , 3 , 3 αποτελούν ορθογώνια βάση του 3.
Στην συνέχεια θεωρούμε τα διανύσματα :
Από το Θεώρημα 2.7 έχουμε ότι τα διανύσματα αποτελούν ορθοκανονική βάση του 3.