Μάθημα : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ (Ακ. Έτος 2016-17)

Στα πρώτα 2 φροντιστήρια έγινε μία εισαγωγή στις βασικές έννοιες της Γραμμικής Άλγεβρας και ειδικότερα στη θεωρία διανυσμάτων. Αναλύσαμε τις έννοιες: Διανυσματικός χώρος, Διανυσματικός υποχώρος, μήκος, εσωτερικό γινόμενο, απόσταση διανυσμάτων και μιλήσαμε για την έννοια της Βάσης και της Διάστασης ενός Διανυσματικού χώρου.

Τέλος, λύθηκαν οι ασκήσεις του 1ου φυλλαδίου.

Στο 9ο φροντιστήριο επαναλάβαμε τη μέθοδο υπολογισμού αντίστροφου πίνακα με τη χρήση του adjoint καθώς και επαναλάβαμε τους τρόπους χαρακτηρισμού των Εσσιανών πινάκων ως θετικά ή αρνητικά ορισμένους.

Επαναλάβαμε επίσης τις έννοιες Βάση και Διάσταση διανυσματικού χώρου και την έννοια της διαγωνοποίησης πινάκων.

Συνεχίσαμε με την έννοια του ιδιοδιανύσματος και συνακόλουθα του ιδιοχώρου που αντιστοιχεί σε ιδιοτιμή τετραγωνικής μήτρας. Παρατηρήσαμε ότι αυτά αναπαριστούν σημαντικές ιδιότητες της μήτρας ως "γραμμικό μετασχηματιστή", ενώ ασχοληθήκαμε με περαιτέρω ιδιότητες των ιδιοτιμών και των ιδιοδιανυσμάτων κάποιες από τις οποίες μας επέτρεψαν να συμπληρώσουμε το παρακάτω βασικό αποτέλεσμα:

Αν η Α είναι τετραγωνική nxn μήτρα, τα παρακάτω είναι ισοδύναμα:

1. η A είναι αντιστρέψιμη,
2. ο βαθμός της Α ισούται με n

Συμπληρώσαμε την ενασχόληση μας με τα γραμμικά συστήματα παρατηρώντας για παράδειγμα ότι ένα τετραγωνικό nxn ομογενές σύστημα θα έχει μοναδική λύση (αναγκαστικά-γιατί;-την μηδενική) ανν η μήτρα των συντελεστών του έχει βαθμό n, κ.ο.κ. Από την εν λόγω ενασχόληση παρατηρήσαμε ότι η εύρεση των λύσεων γραμμικού συστήματος συνδέεται με την αντιστροφή κατάλληλης μήτρας, οπότε και ασχοληθήκαμε με μέθοδο αντιστροφής τετραγωνικών αντιστρέψιμων μητρών. Οπότε και εξετάσαμε την έννοια της ορίζουσας τετραγων

Στο 8ο φροντιστήριο λύθηκαν οι ασκήσεις του φυλλαδίου 3 (για ιδιοτιμές, ιδιοδιανύσματα, διαγωνοποίηση, εφαρμογές γραμμικής άλγεβρας στα οικονομικά - μήτρες εισροών/εκροών Leontief).

Οι φοιτητές μπορούν να βρουν στο e-class στον φάκελο excel έτοιμα αρχεία μέσω των οποίων μπορούν να υπολογίζουν ιδιοτιμές, ιδιοδιανύσματα, διαγωνοποίηση, επίλυση συστημάτων και εύρεση μήτρας Leontief για 3 κλάδους.

Στο 7ο Φροντιστήριο είδαμε τη βασική θεωρία για ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα.

Μία (σημαντικά εκτενέστερη παρουσίαση οι φοιτητές μπορούν να βρουν στις σελ 165-174 του: https://eclass.aueb.gr/modules/document/file.php/OIK269/OMN-201612-110650-1-Course_notes-v1.pdf 

Στο 6ο φροντιστήριο λύσαμε την άσκηση https://eclass.aueb.gr/modules/document/file.php/OIK269/PolGS.pdf, και μιλήσαμε για την αντιστροφή εκθετικού διαγώνιας μήτρας (τελευταία σελίδα στο (https://eclass.aueb.gr/modules/document/file.php/OIK269/Mat1%20%281%29.pdf).

Ασχοληθήκαμε με το ζήτημα των δυνατών τιμών που μπορεί να έχει το πλήθος των λύσεων γραμμικών συστημάτων. Την διερεύνηση μας, διευκόλυνε το γεγονός ότι πολλαπλασιασμός διανύσματος με σύμμορφη μήτρα από αριστερά ισοδυναμεί με γραμμικό συνδυασμό των στηλών της μήτρας με συντελεστές τα στοιχεία του διανύσματος. Αυτό, μαζί με τα όσα ξέρουμε για τους διανυσματικούς χώρους, μας έδωσε κατευθείαν το κριτήριο για το πότε ένα γραμμικό σύστημα είναι αδύνατο ή μη. Στην συνέχεια χρησιμοποιώντας την έννοια το

Στο 5ο φροντιστήριο ασχοληθήκαμε με την επίλυση γραμμικών συστημάτων (μέθοδοι αντίστοφου πίνακα, ορίζοσας, Gauss-Jordan και Gauss) καθώς και με τη διερρεύνηση μοναδικής (μηδενικής) ή άπειρων λύσεων σε ομογενή γραμμικά συστήματα. Πρακτικά ολοκληρώθηκαν όλες οι ασκήσεις του 2ου σετ ασκήσεων.

Επαναλάβαμε επίσης τις έννοιες τις Βάσης ενός διανυσματικού χώρου (επίλυση άσκησης 1.4) και των span (άσκηση 1.5).

Ασχοληθήκαμε με στοιχεία της θεωρίας πραγματικών μητρών, όπως η πράξη της αναστροφής, στοιχεία της θεωρίας των τετραγωνικών μητρών, τον πολλαπλασιασμό μητρών, την συνακόλουθη έννοια του εκθετικού τετραγωνικής μήτρας, και την έννοια της αντιστρόφου τετραγωνικής μήτρας. Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.