Course Blog ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ (Ακ. Έτος 2016-17)

Σύνοψη 1ου και 2ου Φροντιστηρίου

Fri, 16 Jun 2017 07:37:19 +0300

Στα πρώτα 2 φροντιστήρια έγινε μία εισαγωγή στις βασικές έννοιες της Γραμμικής Άλγεβρας και ειδικότερα στη θεωρία διανυσμάτων. Αναλύσαμε τις έννοιες: Διανυσματικός χώρος, Διανυσματικός υποχώρος, μήκος, εσωτερικό γινόμενο, απόσταση διανυσμάτων και μιλήσαμε για την έννοια της Βάσης και της Διάστασης ενός Διανυσματικού χώρου.

Τέλος, λύθηκαν οι ασκήσεις του 1ου φυλλαδίου.

Σύνοψη 9ου Φροντιστηρίου (30/5/2017)

Fri, 02 Jun 2017 09:23:42 +0300

Στο 9ο φροντιστήριο επαναλάβαμε τη μέθοδο υπολογισμού αντίστροφου πίνακα με τη χρήση του adjoint καθώς και επαναλάβαμε τους τρόπους χαρακτηρισμού των Εσσιανών πινάκων ως θετικά ή αρνητικά ορισμένους.

Επαναλάβαμε επίσης τις έννοιες Βάση και Διάσταση διανυσματικού χώρου και την έννοια της διαγωνοποίησης πινάκων.

Σύνοψη Διαλέξεων 23ης-24ης (2016-17)

Thu, 01 Jun 2017 01:42:00 +0300

Συνεχίσαμε με την έννοια του ιδιοδιανύσματος και συνακόλουθα του ιδιοχώρου που αντιστοιχεί σε ιδιοτιμή τετραγωνικής μήτρας. Παρατηρήσαμε ότι αυτά αναπαριστούν σημαντικές ιδιότητες της μήτρας ως "γραμμικό μετασχηματιστή", ενώ ασχοληθήκαμε με περαιτέρω ιδιότητες των ιδιοτιμών και των ιδιοδιανυσμάτων κάποιες από τις οποίες μας επέτρεψαν να συμπληρώσουμε το παρακάτω βασικό αποτέλεσμα:

Αν η Α είναι τετραγωνική nxn μήτρα, τα παρακάτω είναι ισοδύναμα:

η A είναι αντιστρέψιμη,
ο βαθμός της Α ισούται με n,
όλες οι ιδιοτιμές της είναι διάφορες του μηδενός,
η ορίζουσα της Α είναι διάφορη του μηδενός,
ο χώρος στηλών της Α είναι ο ,
ο χώρος γραμμών της Α είναι ο ,
το σύστημα έχει μοναδική λύση την για όποιο .

Παρατηρήσαμε ότι αν η Α είναι συμμετρική τότε όλες οι ιδιοτιμές της είναι πραγματικές και έχει ορθοκανονικό σύνολο ιδιοδιανυσμάτων. Αυτό μας οδήγησε στην έννοια της ορθογώνιας διαγωνιοποίησης συμμετρικής μήτρας (ως ειδική περίπτωση της γενικότερης έννοιας της διαγωνιοποίησης μήτρας) κάτι που χρησιμοποιήσαμε στην (δεδομένης της εν λόγω παραγοντοποίησης) στην διευκόλυνση του υπολογισμού φυσικών (και ακέραιων εφόσον έχουμε αντιστρεψιμότητα) δυνάμεων και συνακόλουθα του εκθετικού της Α, και στην επέκταση στην έννοια της δύναμης της Α σε πραγματικούς εκθέτες εφόσον οι ιδιοτιμές της μπορούν να υψωθούν σε αυτούς. Τλειώσαμε με εφαρμογή της έννοιας του εκθετικού σε ζητήματα "δυναμικής ευστάθειας" δυναμικών συστημάτων.

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ, εδώ και εδώ.

Σύνοψη Διαλέξεων 21ης-22ης (2016-17)

Sat, 27 May 2017 15:23:29 +0300

Συμπληρώσαμε την ενασχόληση μας με τα γραμμικά συστήματα παρατηρώντας για παράδειγμα ότι ένα τετραγωνικό nxn ομογενές σύστημα θα έχει μοναδική λύση (αναγκαστικά-γιατί;-την μηδενική) ανν η μήτρα των συντελεστών του έχει βαθμό n, κ.ο.κ. Από την εν λόγω ενασχόληση παρατηρήσαμε ότι η εύρεση των λύσεων γραμμικού συστήματος συνδέεται με την αντιστροφή κατάλληλης μήτρας, οπότε και ασχοληθήκαμε με μέθοδο αντιστροφής τετραγωνικών αντιστρέψιμων μητρών. Οπότε και εξετάσαμε την έννοια της ορίζουσας τετραγωνικής μήτρας, δίνοντας σε αδρές γραμμές μια γεωμετρική ερμηνεία αυτής ως "προσημασμένο στοιχείο n-διάστατου όγκου της μήτρας", τρόπο αναδρομικό υπολογισμού της (μέσω του αναπτύγματος Laplace) και ιδιότητες της (επαυξήσαμε περαιτέρω το θεώρημα ισοδυναμίας του πότε μια τετραγωνική μήτρα είναι αντιστρέψιμη δίνοντας ότι αυτό θα συμβαίνει ανν η ορίζουσα της δεν είναι μηδενική). Στην συνέχεια είδαμε τον τρόπο υπολογισμού της προσάρτημένης σε τετραγωνική μήτρα (adjoint ή adjucate matrix) και μέσω των παραπάνω αποκτήσαμε τρόπο υπολογισμού της αντίστροφης. Είδαμε εφαρμογές σε γραμμικά συστήματα. Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Στην συνέχεια ασχοληθήκαμε με υποκατηγορία τετραγωνικών μητρών όπου η αντιστροφή ταυτίζεται με την αναστροφή, εξετάζοντας τις ορθογώνιες μήτρες. Επισημαίνουμε ότι ανάμεσα στα άλλα οι μήτρες αυτές ως γραμμικοί μετασχηματισμοί έχουν ιδιαίτερη γεωμετρική ερμηνεία, ενώ είδαμε και εφαρμογή στην επίλυση γραμμικών συστημάτων. Σημειώσεις για αυτά μπορείτε να βρείτε εδώ.

Τέλος ξεκινήσαμε την ενασχόληση μας με την έννοια των ιδιοτιμών ως ριζών του χαρακτηριστικού πολυωνύμου τετραγωνικής μήτρας, που προέκυψε από το ερώτημα για το αν υπάρχουν μη μηδενικά διανύσματα για τα οποία ο πολλαπλασιασμός από αριστερά με την δεδομένη μήτρα ισοδυναμεί με πολλαπλασιασμό με βαθμωτό. Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Σύνοψη 8ου Φροντιστηρίου (23/5/2017)

Wed, 24 May 2017 12:41:50 +0300

Στο 8ο φροντιστήριο λύθηκαν οι ασκήσεις του φυλλαδίου 3 (για ιδιοτιμές, ιδιοδιανύσματα, διαγωνοποίηση, εφαρμογές γραμμικής άλγεβρας στα οικονομικά - μήτρες εισροών/εκροών Leontief).

Οι φοιτητές μπορούν να βρουν στο e-class στον φάκελο excel έτοιμα αρχεία μέσω των οποίων μπορούν να υπολογίζουν ιδιοτιμές, ιδιοδιανύσματα, διαγωνοποίηση, επίλυση συστημάτων και εύρεση μήτρας Leontief για 3 κλάδους.

Σύνοψη 7ου Φροντιστηρίου

Wed, 24 May 2017 12:36:10 +0300

Στο 7ο Φροντιστήριο είδαμε τη βασική θεωρία για ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα.

Μία (σημαντικά εκτενέστερη παρουσίαση οι φοιτητές μπορούν να βρουν στις σελ 165-174 του: https://eclass.aueb.gr/modules/document/file.php/OIK269/OMN-201612-110650-1-Course_notes-v1.pdf

Σύνοψη 6ου Φροντιστηρίου

Wed, 24 May 2017 09:53:15 +0300

Στο 6ο φροντιστήριο λύσαμε την άσκηση https://eclass.aueb.gr/modules/document/file.php/OIK269/PolGS.pdf, και μιλήσαμε για την αντιστροφή εκθετικού διαγώνιας μήτρας (τελευταία σελίδα στο (https://eclass.aueb.gr/modules/document/file.php/OIK269/Mat1%20%281%29.pdf).

Σύνοψη Διαλέξεων 19ης-20ης (2016-17)

Fri, 19 May 2017 23:04:58 +0300

Ασχοληθήκαμε με το ζήτημα των δυνατών τιμών που μπορεί να έχει το πλήθος των λύσεων γραμμικών συστημάτων. Την διερεύνηση μας, διευκόλυνε το γεγονός ότι πολλαπλασιασμός διανύσματος με σύμμορφη μήτρα από αριστερά ισοδυναμεί με γραμμικό συνδυασμό των στηλών της μήτρας με συντελεστές τα στοιχεία του διανύσματος. Αυτό, μαζί με τα όσα ξέρουμε για τους διανυσματικούς χώρους, μας έδωσε κατευθείαν το κριτήριο για το πότε ένα γραμμικό σύστημα είναι αδύνατο ή μη. Στην συνέχεια χρησιμοποιώντας την έννοια του βαθμού μήτρας και διερευνώντας βάσει αυτού την αναγωγή του σε ισοδύναμα (ως προς το σύνολο λύσεων συστήματα) απαλοίφοντας τις γραμμικά εξαρτημένες εξισώσεις (αν υπάρχουν) ή/και μεταφέροντας στην δεξιά πλευρά τα μέρη του συστήματιος που αντιστοιχούν στις γραμμικά εξαρτημένες στήλες (αν υπάρχουν) διαπιστώσαμε ότι αν υπάρχουν λύσεις αυτές θα είναι είτε μοναδική ή άπειρες, και η εξαγωγή τους είναι δυνατόν να εμπλέκει την αντιστροφή κατάλληλης τετραγωνικής αντιστρέψιμης μήτρας. Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και συμπληρωματικές παρατηρήσεις εδώ.

Σύνοψη 5ου Φροντιστηρίου (8-9 Μαϊου 2017)

Mon, 15 May 2017 13:37:35 +0300

Στο 5ο φροντιστήριο ασχοληθήκαμε με την επίλυση γραμμικών συστημάτων (μέθοδοι αντίστοφου πίνακα, ορίζοσας, Gauss-Jordan και Gauss) καθώς και με τη διερρεύνηση μοναδικής (μηδενικής) ή άπειρων λύσεων σε ομογενή γραμμικά συστήματα. Πρακτικά ολοκληρώθηκαν όλες οι ασκήσεις του 2ου σετ ασκήσεων.

Επαναλάβαμε επίσης τις έννοιες τις Βάσης ενός διανυσματικού χώρου (επίλυση άσκησης 1.4) και των span (άσκηση 1.5).

Σύνοψη Διαλέξεων 17ης-18ης (2016-17)

Sat, 13 May 2017 19:56:37 +0300

Ασχοληθήκαμε με στοιχεία της θεωρίας πραγματικών μητρών, όπως η πράξη της αναστροφής, στοιχεία της θεωρίας των τετραγωνικών μητρών, τον πολλαπλασιασμό μητρών, την συνακόλουθη έννοια του εκθετικού τετραγωνικής μήτρας, και την έννοια της αντιστρόφου τετραγωνικής μήτρας. Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Σύνοψη 4ου Φροντιστηρίου (2 Μαϊου 2017)

Mon, 08 May 2017 12:44:45 +0300

Στο 4ο Φροντιστήριο επαναλάβαμε τις έννοιες της ιδιάζουσας μήτρας καθώς και της γραμμικής εξάρτησης/ανεξαρτησίας μεταξύ των διανυσμάτων ενός πίνακα (μήτρας). Οι φοιτητές έμαθαν τρόπους εύρεσης αντιστρόφου πίνακα με τις μεθόδους της προσαρτημένης μήτρας (adjoint matrix) και των Gauss-Jordan. Μπήκαμε επίσης στην εφαρμογή του αντίστοφου πίνακα στην επίλυση συστημάτων και μιλήσαμε για τα συμβιβαστά και τα αδύνατα συστήματα.

Σύνοψη 16ης Διάλεξης (2016-17)

Sat, 06 May 2017 17:48:59 +0300

Εξετάσαμε περαιτέρω στοιχεία της γεωμετρίας των χώρων εσωτερικού γινομένου όπως το πυθαγόρειο θεώρημα, καθώς και τον αλγόριθμο ορθοκανονικοποίησης Gram-Schmidt ο οποίος δεδομένου ότι κάθε διανυσματικός χώρος έχει βάση μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι κάθε χώρος εσωτερικού γινομένου (τουλάχιστον πεπερασμένης διάστασης) έχει ορθοκανονική βάση.

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Σύνοψη Διαλέξεων 14ης-15ης (2016-17)

Fri, 28 Apr 2017 14:15:07 +0300

Συνεχίσαμε την ενασχόληση μας με σχετικές έννοιες της νόρμας εξετάζοντας π.χ. ιδιότητες και παραδείγματα. Παρόλο που στα πλαίσια του μαθήματος ασχολούμαστε μόνο με νόρμες που προκύπτουν από σχετικά εσωτερικά γινόμενα, παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν η έννοια να αποσυνδεθεί από αυτή του εσωτερικού γινομένου και ότι υπάρχουν νόρμες που δεν προκύπτουν από εσωτερικά γινόμενα. Ασχοληθήκαμε με την έννοια του κανονικού διανύσματος (ως προς δεδομένη νόρμα), την κανονικοποίηση διανύσματος (που είναι εφικτή ανν αυτό δεν είναι το μηδενικό) και τις συνακόλουθες έννοιες του κανονικού συνόλου από διανύσματα και της κανονικοποίησης μη κενού, πεπερασμένου και μη περιέχοντος το μηδενικό διάνυσμα, συνόλου.

Είδαμε ότι σε όποιο χώρο εσωτερικού γινομένου (εφοδιασμένου και με την νόρμα που προκύπτει από αυτό) είναι εφικτός ο ορισμός της γωνίας μεταξύ διανυσμάτων εφόσον αυτή περιοριστεί κατάλληλα και χωρίς απώλεια γενικότητας ώστε η συνάρτηση συνημίτονο να είναι 1-1. Αυτό αποτελεί γενίκευση της ανάλογης γεωμετρικής κατασκευής σε Ευκλείδιους. Αυτό μας δίνει την δυνατότητα να αποφανθούμε ότι δύο διανύσματα σε χώρο εσωτερικού γινομένου είναι ορθογώνια ανν το εσωτερικό γινόμενο μεταξύ τους είναι ίσο με μηδέν. Γενικεύσαμε στον ορισμό του ορθογώνιου συνόλου ως όποιου συνόλου από διανύσματα τα οποία είναι ανα δύο μεταξύ τους ανεξάρτητα. Αποδείξαμε ότι όποιο ορθογώνιο σύνολο δεν περιέχει το μηδενικό διάνυσμα είναι αναγκαστικά γραμμικά ανεξάρτητο και έτσι οηγηθήκαμε στην έννοια της ορθογώνιας και της ορθοκανονικής βάσης. Η τελευταία προκύπτει όταν το σύνολο έχει και την ιδιότητα της κανονικότητας.

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Σύνοψη Διαλέξεων 12ης-13ης (2016-17)

Sat, 08 Apr 2017 16:48:14 +0300

Ολοκληρώσαμε την ανασχόληση μας με τις έννοιες της βάσης και της διάστασης παρατηρώντας ότι κάθε γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο αποτελεί εξ ορισμού βάση του υποχώρου που αυτό παράγει. Επίσης είδαμε ότι η έννοια της διάστασης είναι δυνατόν να μας προσφέρει πληροφορία για το αν ένα σύνολο είναι γραμμικά ανεξάρτητο ή/και παράγει δεδομένο υποχώρο χωρίς να χρειάζονται υπολογισμοί. Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Οι μέχρι τώρα εξεταζόμενες έννοιες είναι αλγεβρικές και δεν επιτρέπουν γενικά την απόδοση γεωμετρικών ή/και αναλυτικών ιδιοτήτων σε διανυσματικούς χώρους. Ένας τρόπος προκειμένου για την διερεύνηση τέτοιων εννοιών προκύπτει μέσω της εισαγωγής συνάρτησης εσωτερικού γινομένου σε δεδομένο διανυσματικό χώρο. Είδαμε τον γενικό ορισμό όποιας τέτοιας συνάρτησης, ιδιότητες της που προκύπτουν από αυτόν και παραδείγματα σε διάφορους διανυσματικούς χώρους. Παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν σε δεδομένο διανυσματικό χώρο να μπορούν να ορισθούν πέραν του ενός εσωτερικά γινόμενα, και αποκτήσαμε έτσι την έννοια του χώρου εσωτερικού γινομένου. Παρατηρήσαμε ότι από κάθε εσωτερικό γινόμενο αντιστοιχεί νόρμα η οποία αποδίδει έννοια μήκους σε κάθε διάνυσμα του χώρου, και ενέχει και αναλυτικά χαρακτηριστικά (π.χ. η ανισότητα Cauchy-Schwarz που συνδέει το εσωτερικό γινόμενο με το γινόμενο των σχετικών νορμών, ή η τριγωνική ανισότητα που αναγκαστικά ικανοποιεί κάθε νόρμα και γενικεύει την ανάλογη σχέση που έχουμε υπόψη σε Ευκλείδιους χώρους). Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Σύνοψη τρίτου Φροντιστηρίου (3 και 4 Απριλίου 2017)

Tue, 04 Apr 2017 22:24:36 +0300

Στο τρίτο φροντιστήριο συνεχίστηκαν ασκήσεις του φυλλαδίου 2 (2.1 και 2.2) και καλύφθηκαν οι έννοιες της ορίζουσας (determinant), της τάξης/βαθμού (rank) ενός πίνακα, της γραμμικής εξάρτησης/ανεξαρτησίας διανυσμάτων και της ιδιάζουσας μήτρας.

Σύνοψη Διαλέξεων 10ης-11ης (2016-17)

Fri, 31 Mar 2017 14:47:16 +0300

Συνεχίσαμε την εξέταση της έννοιας της γραμμικής ανεξαρτησίας. Παρατηρήσαμε ότι ένα σύνολο είναι γραμμικά ανεξάρτητο ανν δεν υπάρχει διάνυσμα σε αυτό που να μπορεί να εκφρασθεί ως γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων. Δείξαμε ότι όταν το μηδενικό διάνυσμα βρίσκεται στο σύνολο τότε το τελευταίο είναι πάντοτε γραμμικά εξαρτημένο, το οποίο σημαίνει π.χ. ότι ο υποχώρος που εμπεριέχει μόνο το μηδενικό διάνυσμα δεν έχει μη κενό γραμμικά ανεξάρτητο υποσύνολο. Δείξαμε ότι όποιο μη κενό υποσύνολο γραμμικά ανεξάρτητου συνόλου είναι γραμμικά ανεξάρτητο (αυτό σημαίνει ότι όποιοδήποτε υπερσύνολο γραμμικά εξαρτημένου συνόλου είναι γραμμικά εξαρτημένο-γιατί;), ενώ το υπερσύνολο γραμμικά ανεξάρτητου υποσυνόλου είναι δυνατόν να είναι ανεξάρτητο ή εξαρτημένο. Προέκυψε έτσι το ερώτημα το ποιό μπορεί να είναι το μεγαλύτερο πλήθος των στοιχείων του συνόλου προκειμένου αυτό να είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

Προκειμένου να αποκτήσουμε την έννοια της αποτελεσματικής περιγραφής συνδυάσαμε τις έννοιες της γραμμικής παραγωγής και της γραμμικής ανεξαρτησίας αποκτώντας την έννοια της (γραμμικής) βάσης ενός διανυσματικού χώρου. Μέσω παραδειγμάτων είδαμε ότι είναι δυνατόν να υπάρχουν βάσεις, ενώ αποδείξαμε ότι όταν υπάρχει βάση τότε κάθε στοιχείο του χώρου προκύπτει ως γραμμικός συνδυασμός αυτής με μοναδικό τρόπο (και επομένως η έννοια της βάσης είναι αυτή που ψάχναμε εξ αρχής).

Παρατηρήσαμε ότι αν επιτρέπουμε στο σύνολο να μπορεί επίσης να είναι κενό, ή απειροσύνολο, τότε είναι δυνατόν να αποδειχθεί (και η αποδείξη εκφεύγει πολύ από το εύρος του μαθήματος) ότι:

Κάθε διανυσματικός χώρος έχει βάση.

Έτσι π.χ. το παραπάνω μας αναγκάζει λογικά στο να θεωρήσουμε ότι η βάση του υποχώρου που αποτελείται μόνο από το μηδενικό διάνυσμα είναι το κενό. Μέσω παραδειγμάτων διαπιστώσαμε ότι ένας διανυσματικός χώρος είναι δυνατόν να έχει πάνω από μία βάσεις. Όμως είναι δυνατόν να αποδειχθεί (και πάλι η αποδείξη εκφεύγει πολύ από το εύρος του μαθήματος) επίσης ότι κάθε δυνατή βάση του έχει το ίδιο πλήθος στοιχείων, όποτε οδηγηθήκαμε στην έννοια της διάστασης ενός διανυσματικού χώρου ως το πλήθος των στοιχείων όποιας βάσης αυτού. Όταν η διάσταση δεν είναι πεπερασμένη τότε ο χώρος ονομάζεται απειροδιάστατος (δεν θα ασχοληθούμε ιδιαίτερα με τέτοιους χώρους), ενώ τυπικό παράδειγμα τέτοιου είναι π.χ. το σύνολο των πολυωνυμικών πραγματικών συναρτήσεων που ορίζονται στους πραγματικούς. Τα παραδείγματα μας μας λένε ότι είναι δυνατόν ένας απειροδιάστατος χώρος να έχει υποχώρους πεπερασμένης διάστασης.

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Σύνοψη Διαλέξεων 8ης-9ης (2016-17)

Fri, 24 Mar 2017 16:12:01 +0300

Συνεχίσαμε με την εξέταση περαιτέρω παραδειγμάτων και γενικών ιδιοτήτων της έννοιας του γραμμικού συνδυασμού. Αποδείξαμε ότι αν κάποιο διάνυσμα αποτελεί γραμμικό συνδυασμό σχετικού συνόλου τότε αποτελεί και γραμμικό συνδυασμό και όποιου (πεπερασμένου) υπερσυνόλου αυτού. Συνεπώς η ιδιότητα δεν αλλοιώνεται όταν μεταβαίνουμε σε υπερσύνολα, αλλά είναι δυνατόν να αλλοιώνεται όταν μεταβαίνουμε σε υποσύνολα του αρχικού συνόλου. Αυτό που μπορεί να αλλάζει στην μετάβαση σε υπερσύνολα είναι το ότι ενδεχομένως να μεταβαίνουμε από σύστημα εξισώσεων με μοναδική λύση σε σύστημα με πάνω από μία λύσεις, και έτσι να χάνεται η "οικονομικότητα" του γραμμικού συνδυασμού.

Επεκτείνοντας τα παραπάνω εξετάσαμε το πότε ένα μη κενό και πεπερασμένο υποσύνολο ενός διανυσματικού χώρου παράγει (γραμμικά) έναν υποχώρο αυτού, μέσω της έννοιας του γραμμικού συνδυασμού. Εξετάσαμε παραδείγματα και παρατηρήσαμε ότι αν το σύνολο παράγει τον υποχώρο τότε και οποιοδήποτε υπερσύνολο αυτού τον παράγει επίσης (ενδεχομένως με απώλεια της "οικονομικότητας" όπως παραπάνω), ενώ κάτι τέτοιο δεν ισχύει όταν μεταβαίνουμε σε υποσύνολα. Συνεπώς αναρωτηθήκαμε ποιό μπορεί να είναι το μικρότερο πλήθος από στοιχεία του χώρου που παράγει δεδομένο υποχώρο.

Δεδομένου ενός συνόλου από διανύσματα αναρωτηθήκαμε τι ιδιότητες έχει η συλλογή από τα διανύσματα του χώρου που προκύπτουν ως γραμμικοί συνδυασμοί του συνόλου. Δείξαμε ότι αυτή είναι διανυσματικός υποχώρος και χρησιμοποιώντας αυτό ορίσαμε τις έννοιες του χώρου στηλών και χώρου γραμμών πραγματικής μήτρας.

Προσπαθώντας να απαντήσουμε στο παραπάνω ερώτημα που άπτεται και της παραπάνω "οικονομικότητας" ξεκινήσαμε να εξετάζουμε την έννοια της γραμμικής ανεξαρτησίας.

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Σύνοψη Διαλέξεων 6ης-7ης (2016-17)

Fri, 17 Mar 2017 16:10:48 +0300

Ασχοληθήκαμε με περαιτέρω παραδείγματα (και άντιπαραδείγματα) υποχώρων. Διερευνήσαμε το αν η ιδιότητα του υποχώρου διατηρείται από τις συνολοθεωρητικές πράξεις οπότε και διαπιστώσαμε ότι το συμπλήρωμα υποχώρου δεν είναι ποτέ υποχώρος, η τομή υποχώρων είναι πάντα υποχώρος, ενώ η ένωση υποχώρων δεν είναι γενικά υποχώρος. Σημειώσεις για αυτά μπορείτε να βρείτε εδώ.

Συνεχίζοντας περάσαμε σε ζητήματα άλγεβρας σε διανυσματικούς χώρους έχοντας υπόψη μας το ερώτημα του αν είναι δυνατόν ένα χώρος να "περιγραφεί" από ένα σύνολο από διανύσματα του με "οικονομικό τρόπο". Ξεκινήσαμε με τον όρισμό του πότε ένα διάνυσμα του χώρου αποτελεί γραμμικό συνδυασμό μη κενού και πεπερασμένου υποσυνόλου του χώρου (ή ισοδύναμα των μελών αυτού του συνόλου). Ξεκινήσαμε να εξετάζουμε παραδείγματα παρατηρώντας ότι το παραπάνω ισχύει ανν σχετικό (γραμμικό) σύστημα από εξισώσεις έχει λύση (ενδεχομένως μη μοναδική). Σημειώσεις για αυτά μπορείτε να βρείτε εδώ.

Σύνοψη Διαλέξεων 4ης-5ης (2016-17)

Fri, 10 Mar 2017 02:47:26 +0300

Εξάγαμε πορίσματα που προκύπτουν από τις ιδιότητες που προβλέπει ο ορισμός του διανυσματικού χώρου για τις πράξεις, τα οποία συμφωνούν με ανάλογες ιδιότητες που έχουμε στους πραγματικούς. Έτσι π.χ. είδαμε ότι το αντίθετο διανύσματος είναι αναγκαστικά μοναδικό, το μηδενικό διάνυσμα είναι μοναδικό, δεν είναι δυνατή η μηδενοδιαίρεση, ενώ αποκτούμε το αντίθετο πολλαπλασιάζοντας το αρχικό με -1.

Είδαμε περαιτέρω παραδείγματα διανυσματικών χώρων όπως αυτός των μητρών της ίδιας διάστασης και των πραγματικών συναρτήσεων επί κοινού πεδίου ορισμού όταν αυτά εφοδιάζονται με τις ανάλογες πράξεις που έχουμε μελετήσει. Οπότε η έννοια του διανύσματος μπορεί να είναι αρκετά γενικότερη από αυτή που έχουμε συνηθίσει, ως διάταξη πραγματικών αριθμών. Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Κατασκευάσαμε παράδειγμα διανυσματικού χώρου τα στοιχεία του οποίου είναι λύσεις συγκεκριμένης διαφορικής εξίσωσης. Επ'αφορμή αυτού οδηγηθήκαμε στην έννοια του (διανυσματικού) υποχώρου, ως όποιου μη κενού υποσυνόλου του αρχικού που είναι επίσης διανυσματικός χώρος (εφοδιασμένο με τις ίδιες πράξεις περιορισμένες στο υποσύνολο). Αποδείξαμε ότι ένα υποσύνολο ενός διανυσματικού χώρου είναι υποχώρος ανν είναι κλειστό ως προς τις δύο πράξεις. Το αναγκαίο είναι εμφανές. Για το επαρκές, παρατηρήσαμε ότι οι ιδιότητες 1,2,5,6,7,8 του ορισμού που εμπλέκουν μόνο τον όρο "για κάθε" θα ισχύουν αναγκαστικά στο υποσύνολο επειδή ισχύουν εξ'ορισμού στο υπερσύνολο. Για τις 3,4 που εμπλέκουν (και) τον όρο "υπάρχει" είδαμε ότι αυτές ικανοποιούνται εξαιτίας της κλειστότητας του υποσυνόλου ως προς τις πράξεις και επειδή παίρνουμε το μηδενικό διάνυσμα πολλαπλασιάζοντας με τον αριθμό μηδέν και το αντίθετο πολλαπλασιάζοντας με -1. Ξεκινήσαμε να εξετάζουμε περαιτέρω παραδείγματα. Σημειώσεις για αυτά μπρείτε να βρείτε εδώ.

Σύνοψη 3ης Διάλεξης (2016-17)

Sat, 04 Mar 2017 05:04:56 +0300

Προχωρήσαμε στην εξέταση παραδειγμάτων βαθμωτού πολλαπλασιασμού στις περιπτώσεις που μας είχαν απασχολήσει και ως προς την πρόσθεση. Αναλόγως τον ορίσαμε κατά σημείο. Εξετάσαμε το αντιπαράδειγμα των ακεραίων που δεν είναι κλειστοί ως προς την εν λόγω πράξη. Στην συνέχεια προχωρήσαμε στον ορισμό του διανυσματικού χώρου, ως τριάδα που αποτελείται από το σύνολο αναφοράς, και τις δύο πράξεις και ικανοποιεί οκτώ αξιώματα. Αυτά μας επιτρέπουν να επεκτείνουμε τον ορισμό των πράξεων σε πεπερασμένο πλήθος παραγόντων, και γενικότερα να κάνουμε άλγεβρα στον διανυσματικό με "παρεμεφερή" τρόπο όπως στους πραγματικούς. Παρατηρήσαμε ότι ο εφοδιασμένος με τις κατά σημείο πράξεις είναι διανυσματικός χώρος, ο εφοδιασμένος με τισ κατά σημείο πράξεις δεν είναι επειδή δεν είναι κλειστός ως προς τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό, ενώ αν στον αντικατστήσουμε την κατά σημεί πρόσθεση με την σταυροειδή, αυτός παύει να είναι διανυσματικός χώρος επειδή αυτή δεν είναι αντιμεταθετική. Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Σύνοψη 2ης Διάλεξης (2016-17)

Fri, 24 Feb 2017 06:07:32 +0300

Ξεκινήσαμε την εισαγωγή μας σε έννοιες της γραμμικής άλγεβρας, με σκοπό καταρχάς την διατύπωση του ορισμού του διανυσματικού χώρου επί των πραγματικών και την εξέταση παραδειγμάτων. Προς αυτό τον σκοπό είδαμε την έννοια της εσωτερικής πράξης (πρόσθεσης) και της εξωτερικής (βαθμωτός πολλαπλασιασμός με πραγματικούς), και ξεκινήσαμε να μελετούμε παραδείγματα τέτοιων πράξεων μεταξύ διανυσμάτων στηλών, μητρών και συναρτήσεων. Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ.

Σύνοψη 1ης Διάλεξης (2016-17)

Fri, 24 Feb 2017 06:03:37 +0300

Στην πρώτη διάλεξη αναπτύχθηκε με λεπτομέρειες η σύνοψη του μαθήματος, την οποία μπορείτε να βρείτε εδώ. Είδαμε παραδείγματα εννοιών που θα αναπτυχθούν στο πρώτο μέρος του μαθήματος (γραμμική άλγεβρα και εφαρμογές) και στο δεύτερο (διαφορικές εξισώσεις, μέθοδοι επίλυσης και εφαρμογές). Αναφερθήκαμε και σε ενδεχόμενο τρίτο μέρος που θα αφορά στην επίλυση ομαλών προβλημάτων βελτιστοποίησης με ανισοτικούς περιορισμούς και εφαρμογές, και το οποίο θα μελετήσουμε εφόσον υπάρχει χρόνος.