Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ (1406)

Χρησιμοποιώντας τον γεωμετρικό ορισμό του ορίου, εξετάσαμε περαιτέρω παραδείγματα, και εξάγαμε μιας σειρά από αποτελέσματα που συγκροτούν ένα μικρό μέρος του (ατελούς) λογισμού που χρησιμεύει στην διακρίβωση του αν μια ακολουθία είναι συγκλίνουσα, ή/και όταν είναι, στην εύρεση του ορίου αυτής. Έπι παραδείγματι, μέσω της χρήσης του γεωμετρικού ορισμού είδαμε ότι το όριο όταν υπάρχει είναι μοναδικό, ότι αν μια ακολουθία είναι συγκλίνουσα είναι και φραγμένη οπότε ισοδύναμα αν μια ακολουθία είναι μη φραγμένη τότε αναγκαστικά είναι αποκλίνουσα, ή ότι όταν μια συγκλίνουσα ακολουθία έχει μη αρνητικούς όρους,τότε το όριο της δεν μπορείνα είναι αρνητικό, ή ότι το ζήτημα της σύγκλισης της ακολουθίας δεν επηρεάζεται καθόλου από την συμπεριφορά όποιου πεπερασμένου μέρους της ακολουθίας.

Παρατηρήσαμε ότι η διατύπωση στοιχείων αυτού του λογισμού θα είναι πιο ευχερής μεταγράφοντας τον αρχικό γεωμετρικό ορισμό του ορίου σε ισοδύναμο αναλυτικό ορισμό, χρησιμοποιώντας τους ποσοδείκτες ("υπάρχει" και "για κάθε" ) και ανισότητες. Τον διατυπώσαμε και θα εξηγήσουμε στις επόμενες διαλέξεις.

Πρόχειρες σημειώσεις για τα παραπάνω και ασκήσεις μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ.

Τους πίνακες των από απόσταση διαλέξεων μπορείτε να βρείτε εδώ (σελ. 5-9 για την δ.7) και εδώ.

Περαιτέρω Ασκήσεις:

1. Να δειχθεί ότι αν μια ακολουθία είναι φθίνουσα και φραγμένη, τότε σε κάθε ανοικτό διάστημα με κέντρο το infimum της θα περιέχει σχεδόν όλη την ακολουθία, με το πλήθος των όρων που βρίσκονται εκτός αυτού να μπορεί να εξαρτάται από το διάστημα. Θα άλλαζε το συμπέρασμα αν χρησιμοποιούσαμε τα κλειστά αντι των ανοικτών διαστήματα;
2. Χρησιμοποιώντας τον γεωμετρικό ορισμό του ορίου να δειχθεί ότι κάθε υπακολουθία συγκλίνουσας ακολουθίας συγκλίνει επίσης στο ίδιο όριο.
3. Έστω συγκλίνουσα ακολουθία όπου κάθε όρος της οποίας είναι μεγαλύτερος ή ίσος του πραγματικού αριθμού C. Να δειχθεί ότι το όριο είναι επίσης μεγαλύτερο ή ίσο του C.
4. Έστω συγκλίνουσα ακολουθία όπου κάθε όρος της οποίας είναι μικρότερος ή ίσος του πραγματικού αριθμού C. Να δειχθεί ότι το όριο είναι επίσης μικρότερο ή ίσο του C.
5. 'Εστω ακολουθία για την οποία οι απόλυτες τιμές σχεδόν όλων των όρων είναι μεγαλύτερες ή ίσες των απολύτων τιμών των αντίστοιχων όρων ακολουθίας που δεν είναι φραγμένη. Να δειχθεί ότι η αρχική ακολουθία είναι αποκλίνουσα.
6. Εξάγετε τις αποδείξεις όλων των αποτελεσμάτων αντικαθιστώντας στον ορισμό του ορίου τα ανοικτά με κλειστά διαστήματα.