Μάθημα : Οικονομετρία ΙΙ

Στις δύο τελευταίες διαλέξεις συνεχίσαμε την ανάπτυξη της γενικής θεωρίας των M-εκτιμητών προς την κατεύθυνση της μελέτης του ρυθμού σύγκλισης και της ασυμπτωτικής κατανομής. Βασιστήκαμε στο πλαίσιο που είχε ήδη διαμορφωθεί, όπου, υπό κατάλληλες συνθήκες, ο εκτιμητής ικανοποιεί τις συνθήκες πρώτης τάξης με μεγάλη πιθανότητα και αυτές μπορούν να γραμμικοποιηθούν μέσω ανάπτυξης Taylor γύρω από την αληθή τιμή της παραμέτρου.

Για την ολοκλήρωση της ανάλυσης εισαγάγαμε δύο πρόσθετες υποθέσεις. Πρώτον, υποθέσαμε ότι η παράγωγος (gradient) του δειγματικού κριτηρίου, υπολογισμένη στην αληθή τιμή της παραμέτρου και κατάλληλα πολλαπλασιασμένη με \sqrt{n}, συγκλίνει σε κατανομή σε ένα Γκαουσσιανό διάνυσμα με μηδενική μέση τιμή και καλά ορισμένη συνδιακύμανση. Η υπόθεση αυτή μπορεί να δικαιολογηθεί, μεταξύ άλλων, μέσω κατάλληλων κεντρικών οριακών θεωρημάτων. Δεύτερον, υποθέσαμε ότι η Εσσιανή μήτρα (Hessian) του κριτηρίου, υπολογισμένη σε ενδιάμεσο σημείο, συγκλίνει σε πιθανότητα σε έναν μη στοχαστικό, θετικά ορισμένο πίνακα, ο οποίος ενδέχεται να εξαρτάται από την αληθή τιμή της παραμέτρου και είναι συνήθως μη παρατηρήσιμος.

Ο συνδυασμός των παραπάνω υποθέσεων οδηγεί στο κλασικό αποτέλεσμα ότι ο εκτιμητής συγκλίνει με ρυθμό \sqrt{n} και είναι ασυμπτωτικά κανονικός. Η ασυμπτωτική διακύμανση λαμβάνει τη γνωστή μορφή “sandwich”, και αποτελέι συνάρτηση τόσο της ασυμπτωτικής διακύμανσης της παραγώγου όσο και του οριακού Εσσιανού πίνακα. Η διακύμανση αυτή είναι, γενικά, λανθάνουσα (latent) και, προκειμένου να χρησιμοποιηθεί για σκοπούς στατιστικής συμπερασματολογίας, απαιτεί συνεπή εκτίμηση.

Παράλληλα, τονίσαμε ότι η υπόθεση πως η αληθής τιμή της παραμέτρου βρίσκεται στο εσωτερικό του παραμετρικού χώρου απλοποιεί σημαντικά τη θεωρία, αποκρύπτοντας όμως πιο σύνθετα φαινόμενα που προκύπτουν όταν η παράμετρος βρίσκεται στο σύνορο. Στις περιπτώσεις αυτές, η οριακή κατανομή του εκτιμητή μπορεί να είναι μη κανονική και να εμφανίζονται ιδιότητες που σχετίζονται με ασυμπτωτική βελτίωση αποτελεσματικότητας.

Στη συνέχεια αρχίσαμε να εφαρμόζουμε τη γενική θεωρία σε συγκεκριμένους εκτιμητές. Στην περίπτωση του εκτιμητή ελαχίστων τετραγώνων (OLS), και σε πλαίσιο i.i.d., δείξαμε ότι η υπόθεση εσωτερικότητας συνεπάγεται ότι ο εκτιμητής είναι ασυμπτωτικά ισοδύναμος με τη γνωστή κλειστή μορφή του OLS, ανεξάρτητα από τον παραμετρικό χώρο, εφόσον ο τελευταίος είναι αποδεκτός με βάση τις υποθέσεις. Επιπλέον, η ασυμπτωτική συνδιακύμανση του εκτιμητή διαθέτει φυσικό συνεπή εκτιμητή.

Τέλος, ξεκινήσαμε την εφαρμογή της ίδιας θεωρίας στον εκτιμητή οργανικών μεταβλητών (IV estimator) στο γραμμικό υπόδειγμα, θέτοντας τις βάσεις για την πλήρη ανάλυση της ασυμπτωτικής του συμπεριφοράς στο ίδιο ενιαίο πλαίσιο.

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορούν να βρεθούν εδώ και εδώ.