Μάθημα : Οικονομετρία ΙΙ

Στις τελευταίες τρεις διαλέξεις συνεχίσαμε τη μελέτη του γραμμικού υποδείγματος υπό το πρίσμα της ήπιας κακής εξειδίκευσης (mild misspecification), δηλαδή της περίπτωσης όπου το σφάλμα εξειδίκευσης συνίσταται αποκλειστικά στην περίπτωση που ο παραμετρικός χώρος δεν περιλαμβάνει την αληθή τιμή της παραμέτρου. Στο πλαίσιο αυτό εξετάσαμε κατά πόσο η γενική θεωρία των $M$-εκτιμητών παραμένει εφαρμόσιμη και ποια είναι η μορφή του οριακού αντικειμένου στο οποίο συγκλίνει ο εκτιμητής.

Αρχικά δείξαμε ότι οι ιδιότητες σύγκλισης του δειγματικού κριτηρίου παραμένουν σε ισχύ. Συγκεκριμένα, υπό κατάλληλες συνθήκες, το στατιστικό κριτήριο συγκλίνει κατά πιθανότητα τοπικά ομοιόμορφα στο ίδιο οριακό (ντετερμινιστικό) κριτήριο. Χρησιμοποιώντας τη γενική θεωρία, καταλήξαμε ότι εάν ο παραμετρικός χώρος είναι κλειστός και κυρτός, τότε ο εκτιμητής συγκλίνει σε πιθανότητα σε εκείνη την τιμή της παραμέτρου που βρίσκεται σε ελάχιστη απόσταση από την αληθή τιμή, όπου η έννοια της απόστασης καθορίζεται από τη Mahalanobis μορφή που εμφανίζεται στο οριακό κριτήριο.

Στη συνέχεια εφαρμόσαμε το παραπάνω σχήμα στον εκτιμητή οργανικών μεταβλητών (IV estimator). Υπό ένα σύνολο υποθέσεων υψηλότερης τάξης, οι οποίες μπορούν να δικαιολογηθούν μέσω κατάλληλων νόμων μεγάλων αριθμών στο αντίστοιχο στοχαστικό πλαίσιο, δείξαμε ότι το δειγματικό κριτήριο συγκλίνει τοπικά ομοιόμορφα στο τετράγωνο μιας απόστασης τύπου Mahalanobis από την αληθή τιμή της παραμέτρου. Το οριακό αυτό κριτήριο είναι αυστηρά κυρτό, και συνεπώς διαθέτει μοναδικό ελάχιστο. Από τη γενική θεωρία προκύπτει τότε η ασθενής συνέπεια του εκτιμητή IV. Επιπλέον, υπό ήπια κακή εξειδίκευση (αντίστοιχη με την προαναφερθείσα) και με παραμετρικό χώρο κλειστό και κυρτό, ο εκτιμητής συγκλίνει στο μοναδικό στοιχείο του χώρου που βρίσκεται πλησιέστερα στην αληθή παράμετρο ως προς την αντίστοιχη Mahalanobis απόσταση.

Έπειτα εφαρμόσαμε την ίδια γενική προσέγγιση στον εκτιμητή LAD. Στο πλαίσιο i.i.d. και υπό ήπιες συνθήκες ύπαρξης ροπών, κατασκευάσαμε το οριακό κριτήριο ως την αναμενόμενη τιμή του πληθυσμιακού κριτηρίου που ορίζει τον εκτιμητή. Υπό κατάλληλες συνθήκες ταυτοποίησης, και χρησιμοποιώντας τον νόμο αναδρομικών αναμενόμενων τιμών (LIE) καθώς και ιδιότητες της αλληλεπίδρασης μεταξύ ελαχίστου (minimum) και μονοτονίας του ολοκληρώματος, δείξαμε ότι το οριακό κριτήριο είναι κυρτό και ελαχιστοποιείται μοναδικά στην αληθή τιμή της παραμέτρου (άρα είναι και αυστηρά κυρτό στην περιοχή ενδιαφέροντος). Επομένως, από τη γενική θεωρία προκύπτει και εδώ η ασθενής συνέπεια του εκτιμητή.

Τέλος, προχωρήσαμε με την επέκταση της γενικής θεωρίας προς τη μελέτη του ρυθμού σύγκλισης και της ασυμπτωτικής κατανομής. Υποθέσαμε ότι η αληθής τιμή της παραμέτρου είναι εσωτερικό σημείο του παραμετρικού χώρου (υπόθεση που, αν και τεχνικά βολική, υποβαθμίζει τη σημασία των περιορισμένων παραμετρικών χώρων), καθώς και ότι το κριτήριο είναι δύο φορές συνεχώς παραγωγίσιμο σε μια γειτονιά της. Οι υποθέσεις αυτές συνεπάγονται ότι ο εκτιμητής ικανοποιεί τις συνθήκες πρώτης τάξης με μεγάλη πιθανότητα και ότι αυτές μπορούν να γραμμικοποιηθούν. Στο πλαίσιο αυτό ξεκινήσαμε τη μελέτη των όρων της ανάπτυξης Taylor του κριτηρίου, με στόχο την εξαγωγή μιας ασυμπτωτικής αναπαράστασης του εκτιμητή.

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορούν να βρεθούν εδώ και εδώ.