Μάθημα : Οικονομετρία ΙΙ

Συνεχίσαμε τη μελέτη του γραμμικού ημιπαραμετρικού υποδείγματος και δείξαμε ότι, υπό τις βασικές υποθέσεις εξωγένειας, σφαιρικών σφαλμάτων και πλήρους βαθμίδας του πίνακα παλινδρομητών, η πληθυσμιακή συνάρτηση απώλειας ελαχιστοποιείται μοναδικά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου. Το βασικό συμπέρασμα ήταν ότι η ταυτοποίηση είναι ιδιότητα του πληθυσμιακού προβλήματος: η αληθής παράμετρος είναι, θεωρητικά, ανακτήσιμη επειδή είναι το μοναδικό σημείο που ελαχιστοποιεί το σχετικό criterion. Έτσι θεμελιώθηκε η ιδέα ότι η οικονομετρική εκτίμηση ξεκινά από την ύπαρξη μιας δομής που επιτρέπει να ξεχωρίσουμε την αλήθεια από τις εναλλακτικές τιμές της παραμέτρου. 

Εξετάσαμε τι συμβαίνει όταν κάποιες από τις βασικές προϋποθέσεις αποτυγχάνουν. Πρώτα συζητήθηκε η αποτυχία ταυτοποίησης, όταν ο πίνακας παλινδρομητών δεν έχει πλήρη τάξη: τότε το πληθυσμιακό criterion δεν έχει μοναδικό ελάχιστο και η αληθής παράμετρος δεν μπορεί να διακριθεί από άλλες τιμές. Στη συνέχεια εξετάστηκε η περίπτωση ήπιας λανθασμένης εξειδίκευσης, όταν η αληθής τιμή δεν ανήκει στον παραμετρικό χώρο· σε αυτήν την περίπτωση το πληθυσμιακό κριτήριο εξακολουθεί να επιλέγει ένα καλά ορισμένο σημείο, αλλά αυτό είναι μια ψευδο-αληθής τιμή και όχι η πραγματική παράμετρος. Τέλος, διατυπώθηκε η αρχή της αναλογίας: επειδή το πληθυσμιακό criterion δεν είναι παρατηρήσιμο, το αντικαθιστούμε με ένα δειγματικό ανάλογο και ορίζουμε τον εκτιμητή ως ελαχιστοποιητή αυτού του παρατηρήσιμου κριτηρίου. Στο πλαίσιο αυτό εισήχθη και η γενική έννοια του Εκτιμητή Ακρότατου (M-estimator). Προκειμένου για την εξειδικευμένη μελέτη αυτών, θυμηθήκαμε τις γενικότερες έννοιες του εκτιμητή στα πλαίσια στατιστικών υποδειγμάτων που εξαρτώνται από Ευκλείδειες παραμέτρους καθώς και εννοιών που άπτονται της ασυμπτωτικής θεωρίας αυτών, ξεκινόντας με την έννοια της ασθενούς συνέπειας ως πρώτης βασικής ασυμπτωτικής ιδιότητας. 

Συνεχίσαμε τη διαμόρφωση της γενικής γλώσσας που θα χρησιμοποιούμε για τις ασυμπτωτικές ιδιότητες των εκτιμητών σε παραμετρικά και ημιπαραμετρικά υποδείγματα. Περιγράψαμε την έννοια του ρυθμού σύγκλισης και της ασυμπτωτικής κατανομής, τονίζοντας ότι στις περισσότερες περιπτώσεις που θα μας απασχολήσουν ο ρυθμός θα είναι \sqrt{n} και η οριακή κατανομή Γκαουσιανή, πράγμα που οδηγεί στην έννοια της ασυμπτωτικής κανονικότητας και, συνεπώς, στην έννοια της ασυμπτωτικής διακύμανσης. Τονίστηκε ότι η ασθενής συνέπεια θα προκύπτει συνήθως από τη κατάλληλη σύγκλιση του δειγματικού κριτηρίου σε ένα ντετερμινιστικό (δηλ. ανεξάρτητο του δείγματος) οριακό κριτήριο που θα ικανοποιεί κάποιας μορφής ασυμπτωτική ταυτοποίηση, με βασικό εργαλείο τους νόμους μεγάλων αριθμών. Αντίστοιχα, ο ρυθμός σύγκλισης και η ασυμπτωτική κανονικότητα θα θεμελιώνονται μέσω αναπτύγμάτων Taylor, νόμων μεγάλων αριθμών και κεντρικών οριακών θεωρημάτων. Οι ιδιότητες αυτές παρουσιάστηκαν και ως ένα είδος «κοσκίνου» που αποκλείει μη αποδεκτούς εκτιμητές: μη συνεπείς, συνεπείς με αργούς ρυθμούς ή συνεπείς αλλά μη ασυμπτωτικά κανονικούς.

Επιστρέφοντας στα ζητήματα εκτίμησης μ'εσω βελτιστοποίησης,  δόθηκε ο τυπικός ορισμός του Εκτιμητή Ακρότατου και επισημάνθηκαν τρεις βασικές ενδεχόμενες δυσκολίες στην κατασξκευή του: ενδεχόμενη μη ύπαρξη argmin για πολλές δειγματικές τιμές, πολυτιμία του argmin, και, ανάγκη αριθμητικής βελτιστοποίησης, η οποία εισάγει τόσο σφάλμα αλγοριθμικής επίλυσης όσο και πιθανή εξάρτηση του εκτιμητή από τον χρησιμοποιούμενο αλγόριθμο. Η συζήτηση έκλεισε με επιστροφή στο παράδειγμα του OLS: όταν ο παραμετρικός χώρος είναι ο μέγιστος δυνατός, ο εκτιμητής έχει αναλυτική μορφή, ενώ όταν η τάξη των παλινδρομητών είναι μικρότερη του p τότε έχουμε παράδειγμα εμφανίσης πολυτιμίας του argmin, η οποία μπορεί να αντιμετωπιστεί με επιλογές όπως η κανονικοποίηση (regularization).

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ, και εδώ.