Στατιστική ΙΙ

Δεδομένου του ορισμού της κατανομής πιθανότητας, και χρησιμοποιώντας την προεργασία μας, προχωρήσαμε στην εξαγωγή περαιτέρω ιδιοτήτων των κατανομών, όπως η μονοτονία, και παρατηρήσαμε ότι  κάποιες από αυτές είναι δυνατόν να ερμηνευθούν ως ικανές συνθήκες υπό τις οποίες η εκάστοτε κατανομή μετασχηματίζει συνολοθεωρητικές πράξεις σε ”αντίστοιχες” πράξεις μεταξύ πραγματικών αριθμών.

Εξετάσαμε τις έννοιες των αμελητέων συνόλων και των δυικών τους συνόλων πλήρους πιθανότητας, και είδαμε ότι τα τελευταία μπορούν να χρησιμοποιούνται προκειμένου να εκφράζονται οι πιθανότητες που αποδίδονται από την κατανομή ως προς αυτά, κάτι που είναι δυνατόν να διευκολύνει την περιγραφή κατανομής πιθανότητας σε κάποιες περιπτώσεις (όπως θα δούμε στην συνέχεια μέσω της έννοιας του στηρίγματος μιας κατανομής επί των πραγματικών). Παρατηρήσαμε ότι στην σχετική μελέτη μας διευκόλυνε η ιδιότητα της μονοτονίας για τις κατανομές πιθανότητας. 

Εξετάσαμε παραδείγματα και αντιπαραδείγματα σχετικά και με τα παραδείγματα συνολοσυναρτήσεων που είχαμε ήδη εξετάσει.

Συνεχίσαμε με την κατασκευή και ανάλυση παραδειγμάτων που καταρχάς εμπλέκουν πεπερασμένα σύνολα αναφοράς. Παρατηρήσαμε ότι όταν ένας μετρήσιμος χώρος είναι τετριμμένος (δηλαδή το Ω έχει μόνο ένα στοιχείο) τότε μόνο μία (εκφυλισμένη) κατανομή πιθανότητας είναι δυνατόν να ορίζεται σε αυτόν. Περνώντας στο αμέσως πολυπλοκότερο παράδειγμα, αυτό όπου το Ω έχει δύο στοιχεία, παρατηρήσαμε ότι είναι δυνατόν να ορίζονται πολύ περισσότερες κατανομές πιθανότητας. Εξαιτίας αυτού προκύπτει το στατιστικό πρόβλημα.

Καταλήξαμε με το ερώτημα του αν οι κατανομές πιθανότητας επί των πραγματικών μπορούν να περγράφονται γενικά χρησιμοποιώντας άμεσα τα παραπάνω, ή είναι αναγκαίο από αυτά να προκύπτουν αλλά αναλυτικά εργαλέια που μας βοηθούν στην περιγραφή τους.

Η ανάλυση των ιδιοτήτων των κατανομών πιθανότητας επί των πραγματικών είναι σημαντική επειδή, σε αυτούς, ή σε "παρεμφερείς" χώρους, είναι συνήθως ορισμένες οι κατανομές που αφορούν την Οικονομική Θεωρία και την Οικονομετρία, και επίσης επειδή μέσω της έννοιας της τυχαίας μεταβλητής είναι δυνατή η "μεταφορά" κατανομών από αυθαίρετους χώρους στην πραγματική ευθεία η οποία έχει πλούσια μαθηματική δομή, και συνεπώς η μελέτη τους εκεί.

Από τα προηγούμενα γνωρίζουμε ότι τόσο στην πραγματική ευθεία, αλλά και γενικότερα σε περιπτώσεις που η συλλογή από τα σχετικά μετρήσιμα υποσύνολα είναι "περίπλοκη" τότε γενικά είναι δυσχερής η χρήση του ορισμού για την περιγραφή κατανομής πιθανότητας. Επομένως μας χρειάζονται έννοιες που είναι δυνατόν να αναπαριστούν μια κατανομή αποφεύγοντας τον ορισμό, και οι οποίες είναι επίσης "οικείες" (π.χ. συναρτήσεις από το  στο ) και "εύχρηστες". Προκύπτει επίσης το ερώτημα του πως είναι δυνατόν οι ιδιότητες της κατανομής να αντανακλώνται σε τυχόν "οικείες αναλυτικές" ιδιότητες όποιας τέτοιας αναπαράστασης. Θα ασχοληθούμε με αυτά τα ερωτήματα σε σημαντικό μέρος του μαθήματος.

Χρησιμοποιώντας παράδειγμα που έχουμε ήδη μελετήσει συμπεράναμε ότι υπάρχουν κάποιες κατανομές στους πραγματικούς που είναι "εύκολα περιγράψιμες" χωρίς την ανάγκη χρήσης επί της ουσίας νέων εννοιών πέρα του ορισμού. Αυτό επειδή η πιθανότητες που αυτές αποδίδουν σε κάποιο μετρήσιμο υποσύνολο των πραγματικών επί της ουσίας εξαρτώνται μόνο από την τομή του τελευταίου με "μικρό" υποσύνολο των πραγματικών, και από την πιθανότητα που η κατανομή αποδίδει στα μονοσύνολα που σχηματίζει κάθε ξεχωριστό στοιχείο αυτού του διακριτού συνόλου. Καταρχάς λοιπόν, η ανάλυση μας θα αφορά στην ταξινόμηση των κατανομών στους πραγματικούς βάσει της "ευκολίας περιγραφής".

Για να προχωρήσουμε με τα παραπάνω μας είναι χρήσιμες οι έννοιες: α) του κλειστού υποσυνόλου του , ως όποιου υποσυνόλου των πραγματικών με την ιδιότητα ότι δεν υπάρχει πραγματικός έξω από αυτό που να μπορεί να προκύψει ως όριο στοιχείων του υποσυνόλου, και β) του διακριτού υποσυνόλου του , ως συλλογή από "απομονωμένους" πραγματικούς, με την έννοια ότι κάθε στοιχείο του συνόλου μπορεί να απομονωθεί από τα υπόλοιπα μέσω κατάλληλου ανοικτού διαστήματος που θα το περιέχει και δεν θα περιέχει κάνενα άλλο στοιχείο του εν λόγω συνόλου. 

Βάσει των παραπάνω δεδομένης όποιας κατανομής πιθανότητας στους πραγματικούς ξεκινήσαμε την διερεύνηση  της έννοιας του στηρίγματος αυτής. Αυτή μας διευκολύνει στο να α) διευκολύνουμε σε κάποιες περιπτώσεις τον υπολογισμό των ιθανοτήτων που αποδίδει η κατανομή και β) να ταξινομήσουμε τις κατανομές στο  μέσω των ιδιοτήτων των στηριγμάτων τους.

Σημειώσεις για τα παραπάνω μπορείτε να βρείτε εδώ, εδώ, εδώ και εδώ. Οι σχετικοί πίνακες των υβριδικών διαλέξεων βρίσκονται εδώ, εδώ και εδώ.

Oι πίνακες σχετικών από απόσταση διαλέξεων του περυσινού ακαδημαϊκού έτους (2020-21) βρίσκονται εδώ και εδώ. Προσοχή οι περυσινές διαλέξεις δεν ταυτίζονται αναγκαστικά και απολύτως με τις αντίστοιχες φετινές, παρόλο που έχουν κοινά στοιχεία, συνεπώς οι σχετικοί πίνακες και οι βιντεοσκοπήσεις σας δίνονται συμπληρωματικά του φετινού υλικού.

Άσκηση: Είναι δυνατόν η ανισότητα της υποπροσθετικότητας να ισχύει και ως ισότητα ακόμη και στην περίπτωση που τα εμπλεκόμενα στην ένωση σύνολα δεν είναι ξένα μεταξύ τους; Μπορείτε να τεκμηριώσετε την απάντηση σας χρησιμοποιώντας μόνο την περίπτψση που η ένωση αποτελείται από δύο παράγοντες.