Μάθημα : Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ

Οι διαλέξεις της προηγούμενης εβδομάδας περιλαμβάνουν και την τέταρτη και την πέμπτη προαναπλήρωση, σύμφωνα με το πρόγραμμα που έχει ανακοινωθεί εδώ.

Από τον γεωμετρικό στον αναλυτικό ορισμό

Ξεκινήσαμε επανεξετάζοντας τον γεωμετρικό ορισμό του ορίου. Ο ορισμός μέσω ανοικτών διαστημάτων αποδίδει με σαφήνεια την ιδέα ότι οι όροι μιας συγκλίνουσας ακολουθίας συγκεντρώνονται γύρω από το όριό της. Δεν προσφέρεται όμως πάντοτε για τον υπολογισμό ορίων ή για την απόδειξη αλγεβρικών ιδιοτήτων.

Παρατηρήσαμε ότι κάθε ανοικτό διάστημα με κέντρο το ℓ μπορεί να γραφτεί στη μορφή

(ℓ−ε, ℓ+ε), ε > 0,

και ότι η συνθήκη

xₙ ∈ (ℓ−ε, ℓ+ε)

είναι ισοδύναμη με

|xₙ−ℓ| < ε.

Οδηγηθήκαμε έτσι στον ποσοτικό ορισμό:

Η πραγματική ακολουθία (xₙ) συγκλίνει στο ℓ ∈ ℝ αν, για κάθε ε > 0, υπάρχει n*(ε) ∈ ℕ τέτοιο ώστε

|xₙ−ℓ| < ε

για κάθε n ≥ n*(ε).

Ο αριθμός ε εκφράζει την ακρίβεια που ζητούμε. Ο δείκτης n*(ε) προσδιορίζει πόσο μακριά πρέπει να προχωρήσουμε στην ακολουθία ώστε όλοι οι επόμενοι όροι να απέχουν από το ℓ λιγότερο από ε.

Τονίσαμε τη σειρά και τη σημασία των ποσοδεικτών:

• η συνθήκη πρέπει να ισχύει για κάθε ε > 0,

• ο δείκτης n*(ε) επιτρέπεται να εξαρτάται από το ε,

• μετά τον δείκτη αυτόν η ανισότητα πρέπει να ισχύει για κάθε n ≥ n*(ε).

Έλεγχος της σύγκλισης της 1/(n+1)

Εφαρμόσαμε τον ορισμό στην ακολουθία

xₙ = 1/(n+1)

και δείξαμε απευθείας ότι xₙ → 0.

Για δεδομένο ε > 0 ζητήσαμε

|xₙ−0| < ε,

δηλαδή

1/(n+1) < ε.

Η ανισότητα αυτή ισοδυναμεί με

n > 1/ε − 1.

Επομένως, αρκεί να επιλέξουμε έναν φυσικό αριθμό n*(ε) μεγαλύτερο από το 1/ε−1. Με τη βοήθεια της συνάρτησης ακέραιου μέρους ή της οροφής μπορούμε να δώσουμε έναν συγκεκριμένο τέτοιο δείκτη.

Το παράδειγμα ανέδειξε ένα γενικό πρότυπο απόδειξης:

1. ξεκινούμε από την επιθυμητή ανισότητα |xₙ−ℓ| < ε,

2. τη λύνουμε ως προς n,

3. επιλέγουμε έναν φυσικό δείκτη που ικανοποιεί τη συνθήκη,

4. επαληθεύουμε ότι όλοι οι μεταγενέστεροι όροι βρίσκονται στην απαιτούμενη απόσταση από το όριο.

Κανόνας του αθροίσματος

Αποδείξαμε ότι, αν

xₙ → ℓₓ και yₙ → ℓᵧ,

τότε

xₙ+yₙ → ℓₓ+ℓᵧ.

Για δεδομένο ε > 0 χρησιμοποιήσαμε τη διάσπαση της διαθέσιμης ακρίβειας σε δύο μέρη. Από τη σύγκλιση της (xₙ) μπορούμε να βρούμε έναν δείκτη μετά τον οποίο

|xₙ−ℓₓ| < ε/2,

και από τη σύγκλιση της (yₙ) έναν δείκτη μετά τον οποίο

|yₙ−ℓᵧ| < ε/2.

Επιλέγοντας το μέγιστο των δύο δεικτών, εξασφαλίζουμε ότι και οι δύο ανισότητες ισχύουν ταυτόχρονα. Τότε, από την τριγωνική ανισότητα,

|(xₙ+yₙ)−(ℓₓ+ℓᵧ)|
≤ |xₙ−ℓₓ|+|yₙ−ℓᵧ|
< ε/2+ε/2
= ε.

Η απόδειξη αυτή ανέδειξε δύο τεχνικές που θα χρησιμοποιούνται συχνά:

• τη διάσπαση του ε σε κατάλληλα μικρότερα τμήματα,

• την επιλογή του μέγιστου περισσότερων αρχικών δεικτών, ώστε οι αντίστοιχες εκτιμήσεις να ισχύουν ταυτόχρονα.

Ανάλογα αποδεικνύεται ότι, αν xₙ → ℓ και λ ∈ ℝ, τότε

λxₙ → λℓ.

Συνεχείς συναρτήσεις και όρια

Εισαγάγαμε την αρχή της μεταφοράς του ορίου μέσω συνεχούς συνάρτησης:

Αν xₙ → ℓ και η g : ℝ → ℝ είναι συνεχής στο ℓ, τότε

g(xₙ) → g(ℓ).

Η αρχή αυτή επιτρέπει να μετατρέπουμε μια γνωστή συγκλίνουσα ακολουθία μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης, χωρίς να επαναλαμβάνουμε κάθε φορά ολόκληρη την ε-απόδειξη.

Για παράδειγμα, αφού

1/(n+1) → 0

και η εκθετική συνάρτηση είναι συνεχής, προκύπτει ότι

e¹⁄⁽ⁿ⁺¹⁾ → e⁰ = 1.

Η γεωμετρική ακολουθία

Μελετήσαμε αναλυτικότερα τη γεωμετρική ακολουθία

1, α, α², …, αⁿ, … .

Διακρίναμε τις ακόλουθες περιπτώσεις:

• Αν |α| < 1, τότε αⁿ → 0.

• Αν α = 1, η ακολουθία είναι σταθερή και συγκλίνει στο 1.

• Αν α = −1, η ακολουθία εναλλάσσεται μεταξύ 1 και −1 και δεν συγκλίνει.

• Αν |α| > 1, η ακολουθία δεν είναι φραγμένη και επομένως δεν συγκλίνει.

Για την περίπτωση 0 < |α| < 1 χρησιμοποιήσαμε λογαρίθμους για να μετατρέψουμε την ανισότητα

|α|ⁿ < ε

σε συνθήκη για τον δείκτη n. Επειδή ln|α| < 0, απαιτείται προσοχή στην αλλαγή φοράς της ανισότητας κατά τη διαίρεση.

Καταλήξαμε ότι, για κατάλληλα μεγάλο n,

n > ln ε / ln|α|

συνεπάγεται |α|ⁿ < ε. Επιλέγοντας έναν φυσικό αριθμό μεγαλύτερο από το δεξί μέλος, κατασκευάζουμε τον απαιτούμενο δείκτη n*(ε).

Εισαγωγή στις πραγματικές σειρές

Στη συνέχεια περάσαμε από τις ακολουθίες στις πραγματικές σειρές.

Μια τυπική έκφραση όπως

x₀+x₁+x₂+x₃+⋯

δεν μπορεί να αντιμετωπιστεί ως ένα συνηθισμένο πεπερασμένο άθροισμα, επειδή περιλαμβάνει άπειρο πλήθος προσθετέων. Για να της δώσουμε ακριβές μαθηματικό νόημα, κατασκευάζουμε την ακολουθία των μερικών αθροισμάτων:

S₀ = x₀,

S₁ = x₀+x₁,

S₂ = x₀+x₁+x₂,

και γενικά

Sₙ = x₀+x₁+⋯+xₙ.

Η ακολουθία (Sₙ) ονομάζεται ακολουθία μερικών αθροισμάτων της αρχικής ακολουθίας (xₙ).

Η πραγματική σειρά

Σxₙ

ορίζεται μέσω αυτής της ακολουθίας. Λέμε ότι η σειρά συγκλίνει όταν η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων συγκλίνει. Στην περίπτωση αυτή ορίζουμε

Σxₙ = lim Sₙ.

Αν η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων δεν συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό, λέμε ότι η σειρά αποκλίνει.

Η κατασκευή αυτή είναι αντιστρέψιμη: από μια αρχική ακολουθία μπορούμε να σχηματίσουμε τα μερικά αθροίσματά της, ενώ από την ακολουθία των μερικών αθροισμάτων μπορούμε να ανακτήσουμε τους αρχικούς όρους μέσω διαδοχικών διαφορών.

Πρώτα παραδείγματα σειρών

1. Για την ακολουθία

1, −1, 1, −1, …

τα μερικά αθροίσματα είναι

1, 0, 1, 0, … .

Επειδή η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων δεν συγκλίνει, η σειρά

1−1+1−1+⋯

αποκλίνει με τη συνήθη έννοια.

Το παράδειγμα έδειξε επίσης γιατί δεν επιτρέπεται να ομαδοποιούμε αυθαίρετα άπειρους όρους και να αποδίδουμε διαφορετικές τιμές στην ίδια έκφραση. Το ότι διαφορετικές ομαδοποιήσεις φαίνεται να δίνουν 0 ή 1 δεν συνιστά υπολογισμό αθροίσματος· φανερώνει ακριβώς ότι η αντίστοιχη σειρά δεν συγκλίνει.

2. Για τη σταθερή ακολουθία

1, 1, 1, 1, …

τα μερικά αθροίσματα είναι

1, 2, 3, 4, … .

Η ακολουθία αυτή είναι μη φραγμένη, άρα η αντίστοιχη σειρά αποκλίνει.

3. Για τη γεωμετρική ακολουθία

1, α, α², …,

τα μερικά αθροίσματα είναι

Sₙ = 1+α+α²+⋯+αⁿ.

Για α ≠ 1, πολλαπλασιάζοντας με α και αφαιρώντας τις δύο εκφράσεις, βρήκαμε τον τύπο

Sₙ = (1−αⁿ⁺¹)/(1−α).

Για α = 1 έχουμε Sₙ = n+1.

Η γεωμετρική σειρά

1+α+α²+⋯

συγκλίνει αν και μόνο αν |α| < 1. Σε αυτή την περίπτωση αⁿ⁺¹ → 0 και επομένως

Σαⁿ = 1/(1−α).

Για |α| > 1 τα μερικά αθροίσματα είναι μη φραγμένα. Για α = 1 αυξάνονται χωρίς φράγμα, ενώ για α = −1 εναλλάσσονται μεταξύ 1 και 0. Συνεπώς, στις περιπτώσεις αυτές η σειρά αποκλίνει.

Ως αριθμητικά παραδείγματα:

• για α = 1/2, η σειρά έχει άθροισμα 2,

• για α = −1/3, η σειρά έχει άθροισμα 3/4.

Η γεωμετρική σειρά αποτελεί βασικό πρότυπο σύγκλισης και θα χρησιμοποιηθεί αργότερα για συγκρίσεις και εκτιμήσεις άλλων σειρών.

Άλλες σημαντικές σειρές

Παρουσιάσαμε ακόμη τις ακόλουθες βασικές οικογένειες:

• την αρμονική σειρά

1+1/2+1/3+1/4+⋯,

• την εναλλασσόμενη αρμονική σειρά

1−1/2+1/3−1/4+⋯,

• τις p-σειρές

1+1/2ᵖ+1/3ᵖ+⋯, p > 1.

Η αρμονική σειρά είναι χαρακτηριστικό παράδειγμα που δείχνει ότι το γεγονός πως οι προσθετέοι τείνουν στο μηδέν δεν αρκεί για τη σύγκλιση μιας σειράς. Η αρμονική σειρά αποκλίνει, μολονότι 1/(n+1) → 0.

Αντίθετα, η εναλλασσόμενη αρμονική σειρά συγκλίνει, ενώ οι p-σειρές συγκλίνουν για p > 1. Οι αποδείξεις αυτών των αποτελεσμάτων απαιτούν πρόσθετα εργαλεία και θα αναπτυχθούν στη συνέχεια.

Για p > 1, το άθροισμα της p-σειράς συνδέεται με τη συνάρτηση ζ του Riemann:

ζ(p) = Σ 1/nᵖ.

Η σύνδεση αυτή αποτελεί μια πρώτη ένδειξη ότι οι πραγματικές σειρές δεν είναι απλώς τεχνικό εργαλείο υπολογισμού, αλλά εμφανίζονται σε κεντρικά προβλήματα της ανάλυσης και της θεωρίας αριθμών.

Κεντρικό συμπέρασμα

Η μετάβαση από τις ακολουθίες στις σειρές πραγματοποιείται μέσω των μερικών αθροισμάτων. Μια άπειρη σειρά δεν αντιμετωπίζεται ως ολοκληρωμένο «άπειρο άθροισμα», αλλά ως όριο μιας συγκεκριμένης πραγματικής ακολουθίας.

Επομένως, ολόκληρη η θεωρία που αναπτύξαμε για τα όρια ακολουθιών -φραγή, μονοτονία, αλγεβρικοί κανόνες και ε-εκτιμήσεις- μπορεί πλέον να χρησιμοποιηθεί για τη μελέτη της σύγκλισης σειρών.

Τους πίνακες των διαλέξων μπορείτε να βρείτε εδώ και εδώ. Για συστηματικότερη μελέτη μπορείτε επίσης να συμβουλευθείτε τα κεφάλαια 4-8 των σημειώσεων του μαθήματος.

Περαιτέρω ασκήσεις

1. Να αποδείξετε απευθείας από τον ε-ορισμό ότι

1/(2n+1) → 0

και να δώσετε έναν συγκεκριμένο κατάλληλο δείκτη n*(ε).

2. Να αποδείξετε ότι

n/(n+1) → 1

χρησιμοποιώντας τον ε-ορισμό.

3. Έστω xₙ → ℓ και λ ∈ ℝ. Να αποδείξετε ότι λxₙ → λℓ. Να χειριστείτε χωριστά την περίπτωση λ = 0.

4. Αν xₙ → ℓₓ, yₙ → ℓᵧ και zₙ → ℓ𝓏, να αποδείξετε ότι

xₙ+yₙ+zₙ → ℓₓ+ℓᵧ+ℓ𝓏.

Πώς γενικεύεται το αποτέλεσμα σε πεπερασμένο πλήθος συγκλινουσών ακολουθιών;

5. Να δείξετε απευθείας από τον ε-ορισμό ότι, αν 0 < α < 1, τότε αⁿ → 0.

6. Να εξετάσετε πλήρως τη σύγκλιση της ακολουθίας αⁿ για:
   α) α = 0,
   β) α = 1,
   γ) α = −1,
   δ) |α| < 1,
   ε) |α| > 1.

7. Να κατασκευάσετε την ακολουθία των μερικών αθροισμάτων για καθεμία από τις σειρές:
   α) 1+1+1+⋯,
   β) 1−1+1−1+⋯,
   γ) 1+1/2+1/4+1/8+⋯,
   δ) 1−1/3+1/9−1/27+⋯.

8. Να αποδείξετε τον τύπο

1+α+α²+⋯+αⁿ = (1−αⁿ⁺¹)/(1−α),

για α ≠ 1, χωρίς να παραλείψετε τα ενδιάμεσα αλγεβρικά βήματα.

9. Να υπολογίσετε, όπου υπάρχουν, τα αθροίσματα:
   α) Σ(1/3)ⁿ,
   β) Σ(−1/2)ⁿ,
   γ) Σ(2/3)ⁿ,
   δ) Σ(−2)ⁿ.

10. Να εξηγήσετε γιατί η συνθήκη xₙ → 0 είναι αναγκαία για τη σύγκλιση της σειράς Σxₙ. Είναι και ικανή; Να χρησιμοποιήσετε την αρμονική σειρά για να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

11. Να βρείτε την αρχική ακολουθία (xₙ), αν η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων της είναι:
    α) Sₙ = n+1,
    β) Sₙ = 1−1/2ⁿ⁺¹,
    γ) Sₙ = (−1)ⁿ.

12. Να διερευνήσετε ποιοι από τους ακόλουθους ισχυρισμούς είναι ορθοί:
    α) Αν xₙ → 0, τότε η σειρά Σxₙ συγκλίνει.
    β) Αν η σειρά Σxₙ συγκλίνει, τότε xₙ → 0.
    γ) Αν όλοι οι όροι μιας σειράς είναι θετικοί, τότε η σειρά συγκλίνει.
    δ) Αν η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων είναι αύξουσα και άνω φραγμένη, τότε η σειρά συγκλίνει.