Μάθημα : Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ

Η διάλεξη της τρέχουσας εβδομάδας περιλαμβάνει και την τρίτη προαναπλήρωση, σύμφωνα με το πρόγραμμα προαναπληρώσεων που έχει ανακοινωθεί εδώ.

Έχοντας ήδη μελετήσει τη φραγή και τη μονοτονία, περάσαμε στην κεντρική έννοια του ορίου πραγματικής ακολουθίας. Η προηγούμενη εξέταση των μονότονων και φραγμένων ακολουθιών μάς είχε οδηγήσει στη γεωμετρική διαπίστωση ότι οι όροι τους συγκεντρώνονται προοδευτικά γύρω από έναν συγκεκριμένο πραγματικό αριθμό. Στη διάλεξη αυτή διατυπώσαμε με ακρίβεια τι σημαίνει μια πραγματική ακολουθία να συγκλίνει.

Γεωμετρικός (Τοπολογικός) ορισμός του ορίου

Έστω πραγματική ακολουθία (xₙ) και ℓ ∈ ℝ. Λέμε ότι η (xₙ) συγκλίνει στο ℓ όταν κάθε ανοικτό διάστημα με κέντρο το ℓ περιέχει όλους τους όρους της ακολουθίας εκτός, ενδεχομένως, από πεπερασμένο πλήθος.

Ισοδύναμα, η ακολουθία συγκλίνει στο ℓ όταν, όσο μικρό ανοικτό διάστημα γύρω από το ℓ και αν επιλέξουμε, υπάρχει κάποια θέση από την οποία και μετά όλοι οι όροι της ακολουθίας βρίσκονται μέσα σε αυτό.

Συμβολίζουμε το γεγονός αυτό με έναν από τους ισοδύναμους τρόπους

xₙ → ℓ, lim xₙ = ℓ.

Αν μια ακολουθία έχει πραγματικό όριο, ονομάζεται συγκλίνουσα. Αν δεν έχει πραγματικό όριο, ονομάζεται αποκλίνουσα.

Η διατύπωση του ορισμού εκφράζει δύο βασικές ιδέες:

• μπορούμε να απαιτήσουμε από τους όρους να βρεθούν οσοδήποτε κοντά στο ℓ,

• επιτρέπεται ένα πεπερασμένο πλήθος εξαιρέσεων, αλλά όλοι οι επόμενοι όροι πρέπει να παραμένουν μέσα στο διάστημα που επιλέξαμε.

Ο ορισμός αφορά επομένως την ουρά της ακολουθίας και όχι τη συμπεριφορά ενός πεπερασμένου πλήθους αρχικών όρων.

Πρώτα παραδείγματα

Δείξαμε ότι κάθε σταθερή ακολουθία

c, c, c, c, …

συγκλίνει στο c. Πράγματι, κάθε ανοικτό διάστημα με κέντρο το c περιέχει όλους τους όρους της.

Αντίθετα, η ταυτοτική ακολουθία

0, 1, 2, 3, …

δεν συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό. Για κάθε υποψήφιο όριο μπορούμε να επιλέξουμε ένα φραγμένο ανοικτό διάστημα γύρω του, ενώ η ακολουθία έχει άπειρους όρους έξω από κάθε τέτοιο διάστημα. Το ίδιο συμπέρασμα προκύπτει και από το γεγονός, το οποίο αποδείξαμε στη συνέχεια, ότι κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι αναγκαστικά φραγμένη.

Εξετάσαμε επίσης μια εναλλασσόμενη ακολουθία της μορφής

c, d, c, d, …, με c ≠ d.

Η ακολουθία αυτή δεν συγκλίνει. Οι δύο τιμές της απέχουν θετική απόσταση, οπότε μπορούμε να επιλέξουμε γύρω τους ξένα μεταξύ τους ανοικτά διαστήματα. Όποιο από τα δύο και αν θεωρήσουμε πιθανό όριο, άπειροι όροι της ακολουθίας θα εξακολουθούν να βρίσκονται έξω από ένα κατάλληλο διάστημα γύρω του.

Μοναδικότητα του ορίου

Αποδείξαμε ότι, όταν το όριο μιας πραγματικής ακολουθίας υπάρχει, είναι μοναδικό.

Υποθέσαμε, προς άτοπο, ότι η ίδια ακολουθία συγκλίνει σε δύο διαφορετικούς αριθμούς ℓ₁ και ℓ₂. Επειδή ℓ₁ ≠ ℓ₂, η απόστασή τους είναι θετική. Μπορούμε επομένως να κατασκευάσουμε δύο ξένα ανοικτά διαστήματα, ένα γύρω από το ℓ₁ και ένα γύρω από το ℓ₂.

Από τη σύγκλιση στο ℓ₁ προκύπτει ότι όλοι οι όροι, εκτός από πεπερασμένους, πρέπει να βρίσκονται στο πρώτο διάστημα. Από τη σύγκλιση στο ℓ₂ προκύπτει ότι όλοι οι όροι, εκτός από πεπερασμένους, πρέπει να βρίσκονται στο δεύτερο. Αυτό είναι αδύνατο, αφού τα δύο διαστήματα είναι ξένα.

Επομένως, μια πραγματική ακολουθία δεν μπορεί να έχει δύο διαφορετικά όρια.

Σύγκλιση και φραγή

Αποδείξαμε επίσης ότι κάθε συγκλίνουσα πραγματική ακολουθία είναι φραγμένη.

Αν xₙ → ℓ, επιλέγουμε ένα οποιοδήποτε φραγμένο ανοικτό διάστημα γύρω από το ℓ, για παράδειγμα το (ℓ−1, ℓ+1). Από τον ορισμό της σύγκλισης, όλοι οι όροι από κάποια θέση και μετά βρίσκονται μέσα σε αυτό και άρα η ουρά της ακολουθίας είναι φραγμένη.

Οι όροι που προηγούνται είναι πεπερασμένοι σε πλήθος και συνεπώς οι απόλυτες τιμές τους έχουν μέγιστο. Συνδυάζοντας το φράγμα της ουράς με αυτό το πεπερασμένο σύνολο αρχικών όρων, αποκτούμε ένα κοινό φράγμα για ολόκληρη την ακολουθία.

Άρα

σύγκλιση ⇒ φραγή.

Τονίστηκε ότι το αντίστροφο δεν ισχύει. Μια φραγμένη ακολουθία δεν είναι αναγκαστικά συγκλίνουσα, όπως δείχνει η εναλλάσσουσα ακολουθία 0,1,0,1,….

Διατήρηση του ορίου υπό πεπερασμένες τροποποιήσεις

Συνδέσαμε τον ορισμό του ορίου με την έννοια της σχεδόν παντού ισότητας που είχε εισαχθεί στις προηγούμενες διαλέξεις.

Αν xₙ → ℓ και οι ακολουθίες (xₙ) και (yₙ) είναι σχεδόν παντού ίσες, τότε yₙ → ℓ.

Πράγματι, για κάθε ανοικτό διάστημα γύρω από το ℓ, η (xₙ) βρίσκεται τελικά μέσα σε αυτό. Παράλληλα, από κάποια θέση και μετά ισχύει xₙ = yₙ. Επιλέγοντας μια θέση μεγαλύτερη και από τις δύο αντίστοιχες αρχικές θέσεις, συμπεραίνουμε ότι και η (yₙ) βρίσκεται τελικά μέσα στο ίδιο διάστημα.

Συνεπώς, η σύγκλιση και η τιμή του ορίου δεν επηρεάζονται από την αλλαγή πεπερασμένου πλήθους όρων. Πρόκειται για ιδιότητες της ουράς της ακολουθίας.

Όρια και φράγματα

Αποδείξαμε ένα ακόμη χρήσιμο αποτέλεσμα. Αν xₙ → ℓ και υπάρχει α ∈ ℝ τέτοιο ώστε

xₙ ≤ α για κάθε n,

τότε ℓ ≤ α.

Αν ίσχυε ℓ > α, θα μπορούσαμε να επιλέξουμε ένα αρκετά μικρό ανοικτό διάστημα γύρω από το ℓ, το οποίο θα βρισκόταν ολόκληρο δεξιά του α. Από τη σύγκλιση, όλοι οι αρκετά μεταγενέστεροι όροι θα έπρεπε να βρίσκονται σε αυτό το διάστημα και συνεπώς να είναι μεγαλύτεροι από το α, σε αντίθεση με την υπόθεση xₙ ≤ α.

Ανάλογα, αν β ≤ xₙ για κάθε n και xₙ → ℓ, τότε β ≤ ℓ.

Επομένως, αν μια συγκλίνουσα ακολουθία είναι φραγμένη, το όριό της βρίσκεται ανάμεσα στο infimum και το supremum των όρων της:

inf xₙ ≤ ℓ ≤ sup xₙ.

Ο γεωμετρικός ορισμός και η ανάγκη ποσοτικοποίησης

Ο ορισμός μέσω ανοικτών διαστημάτων προσφέρει μια καθαρή γεωμετρική εικόνα της σύγκλισης και είναι ιδιαίτερα κατάλληλος για την απόδειξη ποιοτικών αποτελεσμάτων, όπως:

• η μοναδικότητα του ορίου,

• η φραγή κάθε συγκλίνουσας ακολουθίας,

• η διατήρηση του ορίου υπό πεπερασμένες τροποποιήσεις,

• η σχέση του ορίου με τα άνω και κάτω φράγματα.

Δεν είναι όμως πάντοτε ο πιο αποτελεσματικός τρόπος για υπολογισμούς ή για την απόδειξη αλγεβρικών κανόνων ορίων. Για παράδειγμα, για να αποδείξουμε ότι το άθροισμα δύο συγκλινουσών ακολουθιών συγκλίνει στο άθροισμα των ορίων τους, χρειάζεται να ελέγξουμε ποσοτικά πόσο κοντά βρίσκονται οι όροι στα αντίστοιχα όρια.

Αυτό μάς οδήγησε στην ποσοτική, ε-διατύπωση του ορισμού (η μελέτη του οποίου θα γίνει την ερχόμενη εβδομάδα):

xₙ → ℓ αν και μόνο αν, για κάθε ε > 0, υπάρχει n*(ε) ∈ ℕ τέτοιο ώστε

|xₙ − ℓ| < ε για κάθε n ≥ n*(ε).

Η θετική ποσότητα ε εκφράζει την επιθυμητή ακρίβεια. Ο δείκτης n*(ε) προσδιορίζει πόσο μακριά στην ακολουθία πρέπει να κινηθούμε ώστε όλοι οι επόμενοι όροι να απέχουν από το ℓ λιγότερο από ε.

Η διατύπωση αυτή είναι ισοδύναμη με τον γεωμετρικό ορισμό, επειδή η ανισότητα |xₙ−ℓ| < ε ισοδυναμεί με

xₙ ∈ (ℓ−ε, ℓ+ε).

Η ε-διατύπωση θα χρησιμοποιηθεί στη συνέχεια για τον άμεσο έλεγχο της σύγκλισης συγκεκριμένων ακολουθιών και για την απόδειξη των αλγεβρικών ιδιοτήτων των ορίων.

Οι πίνακες της διάλεξης είναι διαθέσιμοι εδώ. Για συστηματικότερη μελέτη μπορείτε επίσης να συμβουλευθείτε το τέταρτο και το πέμπτο κεφάλαιο των σημειώσεων του μαθήματος.

Περαιτέρω ασκήσεις

1. Χρησιμοποιώντας τον γεωμετρικό ορισμό, να αποδείξετε ότι η σταθερή ακολουθία xₙ = c συγκλίνει στο c.

2. Να δείξετε ότι η ακολουθία xₙ = (−1)ⁿ δεν συγκλίνει. Να αιτιολογήσετε το συμπέρασμα χρησιμοποιώντας δύο κατάλληλα ξένα ανοικτά διαστήματα.

3. Να αποδείξετε ότι η ακολουθία xₙ = n δεν συγκλίνει σε κανέναν πραγματικό αριθμό:
   α) απευθείας από τον ορισμό,
   β) χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι φραγμένη.

4. Να δώσετε παράδειγμα:
   α) φραγμένης και συγκλίνουσας ακολουθίας,
   β) φραγμένης και αποκλίνουσας ακολουθίας,
   γ) μη φραγμένης και αποκλίνουσας ακολουθίας.

   Μπορεί να υπάρξει μη φραγμένη και συγκλίνουσα πραγματική ακολουθία;

5. Να συμπληρώσετε όλες τις λεπτομέρειες της απόδειξης ότι κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι φραγμένη, κατασκευάζοντας ρητά ένα κοινό φράγμα για την ουρά και τους πεπερασμένους αρχικούς όρους της.

6. Έστω xₙ → ℓ και έστω (yₙ) μια ακολουθία που διαφέρει από την (xₙ) σε ακριβώς πέντε θέσεις. Να αποδείξετε ότι yₙ → ℓ.

7. Αν xₙ → ℓ και xₙ ∈ [a,b] για κάθε n, να δείξετε ότι ℓ ∈ [a,b].

8. Έστω xₙ → ℓ και xₙ < α για κάθε n. Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ℓ < α ή μόνο ότι ℓ ≤ α; Να δώσετε παράδειγμα που δικαιολογεί την απάντησή σας.

9. Να μετατρέψετε καθεμία από τις ακόλουθες συνθήκες σε συνθήκη απόλυτης τιμής:
   α) xₙ ∈ (ℓ−1, ℓ+1),
   β) xₙ ∈ (ℓ−0,01, ℓ+0,01),
   γ) xₙ ∈ (ℓ−ε, ℓ+ε).

10. Για την ακολουθία xₙ = 1/(n+1), να βρείτε έναν κατάλληλο δείκτη n*(ε), ώστε για κάθε n ≥ n*(ε) να ισχύει |xₙ| < ε.

11. Για την ακολουθία xₙ = n/(n+1), να εικάσετε το όριό της και να βρείτε έναν δείκτη n*(ε) που να επαληθεύει απευθείας τον ε-ορισμό.

12. Να εξηγήσετε γιατί στον ορισμό του ορίου ο δείκτης n*(ε) επιτρέπεται να εξαρτάται από το ε, ενώ το υποψήφιο όριο ℓ πρέπει να παραμένει σταθερό.