Μάθημα : Μαθηματικά Για Οικονομολόγους ΙΙΙ

Το υλικό που καλύφθηκε κατά τις διαλέξεις της τρέχουσας εβδομάδας περιλαμβάνει και τις δύο πρώτες προαναπληρώσεις, σύμφωνα με το πρόγραμμα που έχει ανακοινωθεί εδώ.

Συνεχίσαμε τη μελέτη των αναλυτικών ιδιοτήτων των πραγματικών ακολουθιών, εστιάζοντας αρχικά στην έννοια της φραγής. Όπως και σε προηγούμενα σημεία του μαθήματος, αξιοποιήσαμε τη συναρτησιακή θεώρηση της ακολουθίας ως συνάρτησης από το ℕ στο ℝ. Ξεκινήσαμε επομένως από τις αντίστοιχες έννοιες για γενικές πραγματικές συναρτήσεις και κατόπιν τις εξειδικεύσαμε στις ακολουθίες.

Μια πραγματική συνάρτηση f : X → ℝ ονομάζεται φραγμένη από πάνω όταν υπάρχει U ∈ ℝ τέτοιο ώστε f(x) ≤ U για κάθε x ∈ X. Ο αριθμός U ονομάζεται άνω φράγμα της f. Αν υπάρχει ένα άνω φράγμα, υπάρχουν συνήθως άπειρα· ενδιαφέρον παρουσιάζει το μικρότερο δυνατό άνω φράγμα, το οποίο ονομάζεται supremum ή ελάχιστο άνω φράγμα και συμβολίζεται με sup f(X).

Διακρίναμε προσεκτικά το supremum από το μέγιστο. Το supremum δεν είναι απαραίτητο να αποτελεί τιμή της συνάρτησης. Για παράδειγμα, η συνάρτηση f(x) = x στο ανοικτό διάστημα (0,1) έχει supremum το 1, αλλά δεν έχει μέγιστο, επειδή το 1 δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού. Αντίθετα, στο κλειστό διάστημα [0,1] η ίδια συνάρτηση έχει και supremum και μέγιστο το 1. Όποτε υπάρχει μέγιστο, αυτό συμπίπτει με το supremum· το αντίστροφο όμως δεν ισχύει γενικά.

Αντίστοιχα, ορίσαμε την κάτω φραγμένη συνάρτηση, τα κάτω φράγματα και το infimum ή μέγιστο κάτω φράγμα. Μια συνάρτηση είναι φραγμένη όταν είναι ταυτόχρονα φραγμένη από πάνω και από κάτω, δηλαδή όταν οι τιμές της μπορούν να εγκλειστούν σε κάποιο διάστημα [L,U] πεπερασμένου μήκους.

Μεταφέραμε κατόπιν αυτούς τους ορισμούς στις πραγματικές ακολουθίες. Η ακολουθία (xₙ) είναι:

• φραγμένη από πάνω, αν υπάρχει U ∈ ℝ τέτοιο ώστε xₙ ≤ U για κάθε n ∈ ℕ,

• φραγμένη από κάτω, αν υπάρχει L ∈ ℝ τέτοιο ώστε L ≤ xₙ για κάθε n ∈ ℕ,

• φραγμένη, αν υπάρχουν L,U ∈ ℝ τέτοια ώστε L ≤ xₙ ≤ U για κάθε n ∈ ℕ.

Είδαμε επίσης τον ισοδύναμο ορισμό μέσω της απόλυτης τιμής: η (xₙ) είναι φραγμένη αν και μόνο αν υπάρχει M ≥ 0 τέτοιο ώστε |xₙ| ≤ M για κάθε n. Γεωμετρικά, όλοι οι όροι της ακολουθίας βρίσκονται τότε μέσα στο συμμετρικό διάστημα [−M,M].

Μελετήσαμε ενδεικτικά τις ακόλουθες περιπτώσεις:

• Η αρμονική ακολουθία 1, 1/2, 1/3, … είναι φραγμένη, αφού όλοι οι όροι της ανήκουν στο [0,1]. Έχει μέγιστο το 1 και infimum το 0, χωρίς όμως να έχει ελάχιστο.

• Η ταυτοτική ακολουθία 0, 1, 2, 3, … είναι φραγμένη από κάτω, αλλά όχι από πάνω.

• Κάθε σταθερή ακολουθία είναι φραγμένη.

• Κάθε εναλλασσόμενη σταθερή ακολουθία της μορφής c, d, c, d, … είναι φραγμένη και έχει μέγιστο το max{c,d} και ελάχιστο το min{c,d}.

• Για τη γεωμετρική ακολουθία 1, α, α², … η φραγή εξαρτάται ουσιωδώς από την τιμή της παραμέτρου α. Για |α| ≤ 1 η ακολουθία είναι φραγμένη. Για |α| > 1 δεν είναι φραγμένη, καθώς τα |α|ⁿ υπερβαίνουν τελικά κάθε προκαθορισμένο θετικό φράγμα. Εξετάστηκαν χωριστά και οι οριακές περιπτώσεις α = 0, α = 1 και α = −1.

Δείξαμε ακόμη ότι, αν μια ακολουθία είναι φραγμένη από κάποια θέση και μετά, τότε είναι φραγμένη συνολικά. Πράγματι, οι όροι της ουράς ελέγχονται από το δεδομένο φράγμα, ενώ οι όροι που προηγούνται είναι πεπερασμένοι σε πλήθος και επομένως οι απόλυτες τιμές τους έχουν μέγιστο. Επιλέγοντας το μεγαλύτερο ανάμεσα στο φράγμα της ουράς και στις απόλυτες τιμές των αρχικών όρων, αποκτούμε ένα κοινό φράγμα για ολόκληρη την ακολουθία.

Η παρατήρηση αυτή αποτελεί χαρακτηριστικό παράδειγμα του τρόπου με τον οποίο μια ιδιότητα της ουράς μπορεί να επεκταθεί σε ολόκληρη την ακολουθία, όταν το πεπερασμένο πλήθος των εξαιρέσεων μπορεί να ελεγχθεί χωριστά.

Στη συνέχεια εξετάσαμε τη συμπεριφορά της φραγής ως προς τις αλγεβρικές πράξεις. Αποδείξαμε ότι, αν οι (xₙ) και (yₙ) είναι φραγμένες και λ ∈ ℝ, τότε είναι φραγμένες και οι ακολουθίες

(xₙ + yₙ), (λxₙ), (xₙyₙ).

Οι αποδείξεις βασίστηκαν στην τριγωνική ανισότητα και στις ιδιότητες της απόλυτης τιμής. Αν |xₙ| ≤ Mₓ και |yₙ| ≤ Mᵧ για κάθε n, τότε

|xₙ + yₙ| ≤ |xₙ| + |yₙ| ≤ Mₓ + Mᵧ,

|λxₙ| = |λ||xₙ| ≤ |λ|Mₓ,

|xₙyₙ| = |xₙ||yₙ| ≤ MₓMᵧ.

Εξετάσαμε επίσης τη μερική αντιστροφή αυτών των αποτελεσμάτων. Αν μία ακολουθία είναι φραγμένη και μία δεύτερη είναι μη φραγμένη, τότε το άθροισμά τους είναι αναγκαστικά μη φραγμένο. Αν όμως και οι δύο είναι μη φραγμένες, το άθροισμά τους μπορεί να είναι είτε φραγμένο είτε μη φραγμένο, λόγω πιθανής αλληλοεξουδετέρωσης των όρων τους. Για παράδειγμα, οι xₙ = n και yₙ = −n είναι μη φραγμένες, αλλά xₙ + yₙ = 0 για κάθε n.

Στο δεύτερο μέρος εισαγάγαμε την έννοια της μονοτονίας. Μια πραγματική ακολουθία (xₙ) ονομάζεται:

• αύξουσα, αν xₙ ≤ xₙ₊₁ για κάθε n,

• γνησίως αύξουσα, αν xₙ < xₙ₊₁ για κάθε n,

• φθίνουσα, αν xₙ ≥ xₙ₊₁ για κάθε n,

• γνησίως φθίνουσα, αν xₙ > xₙ₊₁ για κάθε n.

Μια ακολουθία που είναι αύξουσα ή φθίνουσα ονομάζεται μονότονη.

Είδαμε ότι κάθε αύξουσα ακολουθία είναι αυτομάτως φραγμένη από κάτω από τον πρώτο όρο της, ενώ κάθε φθίνουσα ακολουθία είναι φραγμένη από πάνω από τον πρώτο όρο της. Επομένως, για να αποδειχθεί ότι μια αύξουσα ακολουθία είναι φραγμένη, αρκεί να βρεθεί ένα άνω φράγμα· αντίστοιχα, για μια φθίνουσα ακολουθία αρκεί να βρεθεί ένα κάτω φράγμα.

Ως παραδείγματα διαπιστώσαμε ότι:

• οι σταθερές ακολουθίες είναι ταυτόχρονα αύξουσες και φθίνουσες,

• η ταυτοτική ακολουθία είναι γνησίως αύξουσα,

• η αρμονική ακολουθία είναι γνησίως φθίνουσα,

• μια εναλλασσόμενη ακολουθία δεν είναι γενικά μονότονη.

Συζητήσαμε σύντομα και την οικονομική ερμηνεία της μονοτονίας. Μια αύξουσα ακολουθία μπορεί να περιγράφει, για παράδειγμα, τη διαχρονική εξέλιξη μιας συσσωρευόμενης ποσότητας, ενώ μια φθίνουσα ακολουθία μπορεί να αποτυπώνει απόσβεση, απαξίωση ή εξάντληση. Επισημάνθηκε όμως ότι η μονοτονία είναι ισχυρή υπόθεση: απαιτεί η κατεύθυνση της μεταβολής να διατηρείται σε κάθε διαδοχική περίοδο.

Τέλος, αρχίσαμε να διερευνούμε τη σημαντική αλληλεπίδραση μεταξύ μονοτονίας και φραγής. Για μια αύξουσα και άνω φραγμένη ακολουθία εξετάσαμε το supremum των όρων της. Από τον ορισμό του supremum προκύπτει ότι, για κάθε ε > 0, υπάρχει κάποιος όρος xₙ που βρίσκεται στο διάστημα

(sup xₙ − ε, sup xₙ].

Επειδή η ακολουθία είναι αύξουσα, όλοι οι μεταγενέστεροι όροι παραμένουν επίσης μέσα στο ε-περιβάλλον του supremum. Αποκτήσαμε έτσι μια πρώτη γεωμετρική εικόνα της συγκέντρωσης των όρων γύρω από έναν πραγματικό αριθμό. Η παρατήρηση αυτή θα αποτελέσει τη βάση για την εισαγωγή της έννοιας του ορίου και για το θεώρημα σύγκλισης των μονότονων και φραγμένων ακολουθιών.

Οι πίνακες των δύο διαλέξεων είναι διαθέσιμοι εδώ και εδώ. Για συστηματικότερη μελέτη μπορείτε επίσης να συμβουλευθείτε το δεύτερο και το τρίτο κεφάλαιο των σημειώσεων του μαθήματος.

Περαιτέρω ασκήσεις

1. Για καθεμία από τις παρακάτω συναρτήσεις να εξετάσετε αν είναι άνω φραγμένη, κάτω φραγμένη ή φραγμένη και να προσδιορίσετε, όπου υπάρχουν, supremum, infimum, μέγιστο και ελάχιστο:
   α) f(x) = x, με x ∈ (0,1),
   β) f(x) = x, με x ∈ [0,1],
   γ) f(x) = 1/x, με x ∈ (0,1],
   δ) f(x) = x², με x ∈ (−1,2).

2. Να εξετάσετε ως προς τη φραγή τις ακολουθίες:
   α) xₙ = n/(n+1),
   β) xₙ = (−1)ⁿn,
   γ) xₙ = (−1)ⁿ/(n+1),
   δ) xₙ = n²/(n²+1),
   ε) xₙ = sin n.

3. Να βρείτε το supremum και το infimum των όρων καθεμιάς από τις προηγούμενες ακολουθίες και να εξετάσετε αν αποτελούν μέγιστο ή ελάχιστο.

4. Να αποδείξετε ότι μια πραγματική ακολουθία είναι φραγμένη αν και μόνο αν υπάρχει M ≥ 0 τέτοιο ώστε |xₙ| ≤ M για κάθε n.

5. Έστω ότι υπάρχει n₀ ∈ ℕ και M ≥ 0 τέτοια ώστε |xₙ| ≤ M για κάθε n ≥ n₀. Να κατασκευάσετε ρητά ένα φράγμα για ολόκληρη την ακολουθία, χρησιμοποιώντας τους όρους x₀,…,xₙ₀₋₁.

6. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα μιας φραγμένης και μιας μη φραγμένης ακολουθίας είναι μη φραγμένο.

7. Να βρείτε:
   α) δύο μη φραγμένες ακολουθίες με φραγμένο άθροισμα,
   β) δύο μη φραγμένες ακολουθίες με μη φραγμένο άθροισμα,
   γ) δύο μη φραγμένες ακολουθίες με φραγμένο γινόμενο.

8. Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία τις ακολουθίες:
   α) xₙ = n/(n+1),
   β) xₙ = 1/(n+1),
   γ) xₙ = n²,
   δ) xₙ = (−1)ⁿ,
   ε) xₙ = αⁿ, για τις διαφορετικές δυνατές τιμές του α.

9. Να δείξετε ότι κάθε αύξουσα ακολουθία είναι φραγμένη από κάτω και κάθε φθίνουσα ακολουθία είναι φραγμένη από πάνω. Ισχύουν τα αντίστροφα;

10. Έστω (xₙ) αύξουσα και άνω φραγμένη και έστω s = sup{xₙ : n ∈ ℕ}. Να δείξετε ότι, για κάθε ε > 0, υπάρχει N ∈ ℕ τέτοιο ώστε

s − ε < xₙ ≤ s

για κάθε n ≥ N. Να διατυπώσετε το αντίστοιχο αποτέλεσμα για μια φθίνουσα και κάτω φραγμένη ακολουθία.